天一大联考2024-2025学年（下）高三第二次四省联考★数学+答案

天一大联考2024—2025学年(下)高三第二次四省联考★3.圆x²+y²-2x-2y+1=0与圆x²+y²+4x+6y+9=0的位置关系是A.相切B.外离C.内含D.相交数学试题第1页(共4页)A.2B.√3MF₂,直线MF₁与y轴交于点N,,则E的离心率为A.2B.√3+1C.3A.BC₁⊥平面A₁B₁C₁D₁B.BC₁//平面ACD₁C.平面A₁C₁B⊥平面B₁D₁CD.平面A₁C₁B⊥平面B₁CDA.111.蔓叶线是公元前2世纪古希腊数学家狄奥克勒(Diocle)为了解决倍立方结论正确的是A.点(1,1)在E上B.直线x=2是E的渐近线C.点(2,0)到E上的点的距离最小值为8√3-12D.若过原点0的直线l与E和抛物线y²=x分别交于点A,B(异于点0),则12.用1,2,3,…,9这9个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为14.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,角B的平分线与AC交于点D,若AD=BD,则数学试题第2页(共4页)15.(13分)(I)求f(x)的最小正周期及单调递增区间；16.(15分)已知等比数列{an}满足a₂=a₁+2,且a₃=8.(I)求{an}的通项公式；(Ⅱ)设数,…的前n项和为Tₙ,求T₃n·17.(15分)某商场举办购物抽奖活动，在一个不透明的袋子中放入24个大小、材质都相同的小球，小红球画O626(I)求P(A)和P(AIB).(Ⅱ)该商场规定在一次抽奖中，每人有放回地摸两次球，每次只摸出一个球，根据两次摸出球的颜色和符号是否相同设置三种奖项：颜色和符号均相同则奖励200元；仅颜色相同或仅符号相同则奖励100元；颜色和符号均不相同则奖励50元.设一次抽奖获得的奖金为X元，求X的分布列和数学期望.数学试题第3页(共4页)数学试题第4页(共4页)18.(17分)已知函(I)若a=3,求f(x)的极值.(Ⅱ)若a>1且b>-1,关于x的方程在(0,+∞)上仅有(ii)求4a-b的最大值.19.(17分)AB=2,,△ABD和△ABM的面积均为1.(Ⅲ)求CD的最小值.2024—2025学年(下)高三第二次四省联考★一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.命题透析本题考查复数的运算.2.答案C命题透析本题考查集合之间的关系.解析若a+1=1,则a=0,此时B={0,1,-1},符合题意；若a-1=1,则a=2,此时B={0,3,1},符合题意，3.答案B命题透析本题考查圆与圆的位置关系.解析圆x²+y²-2x-2y+1=0即(x-1)²+(y-1)²=1,圆心为(1,1),半径为1;圆x²+y²+4x+6y+9=0即(x+2)²+(y+3)²=4,圆心为(-2,-3),半径为2,圆心距为√(-2-1)²+(-3-1)²=5,因为5>1+2,所以两个圆外离.4.答案C命题透析本题考查平面向量的线性运算.解析因为a//b,所以2×1-(m+1)(2-4m)=0,解得或.当m=0时，a=b=(2,1),不符合题5.答案D命题透析本题考查利用导数研究函数的单调性.解析因为f(x)在R上为减函数，所以f'(x)=3ax²-4x-3≤0在R上恒成立，所以3a<0且△=16+36a≤0,解得命题透析本题考查数列的递推关系.解析因为,所以,所以{an的周期为3,又2025÷3=675,所以7.答案B命题透析本题考查多面体与球的关系.解析设正四棱台为ABCD-A₁B₁C₁D₁,如图所示为正四棱台过上、下底面相应对角线的截面，由题可知AC=2,A₁C₁=4,且点0为A₁C₁的中点，设正四棱台的高为h,则球0的半径R=√1+h²=2,得h=√3.8.答案B命题透析本题考查双曲线与直线的位置关系.2a²=0,则e²-2√3e+2=0,而e>1,解得e=√3+1.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的9.答案BD命题透析本题考查空间位置关系的判断.解析对于B,BC₁//AD₁→BC₁//平面AC解析由题意知f(x)的零点个数即为y=Ilnx1和y=hx+2的图象的交点个数，在同一平面直角坐标系内画出y=1lnxl和y=kx+2的大致图象.由图可知，存在ho>0,使得f(x)的零点个数可能为1,2,3.0x命题透析本题考查曲线与直线的位置关系.解析对于A,(1,1)符合E的方程，故A正确.,即2-x→0,从图象上看，当曲线向上或向下无限延伸时，曲线上的点与直线x=2的距离距离的最小值.联立圆与E的方程，消去y,整理可得6x²+(r²-12)x+8-2r²=0,由△=0,得(r²-12)²-24(8-2r²)=0,解得r²=8√3-12,则r≠8√3-12,故C错误.对于D,设l与E的交点为A(x₁,y₁),与抛物线y²=x的交点为B(x₂,y₂),则解析偶数的个数为C!A²=224.解析因为f(x)是奇函数，y=3sinx也是奇函数，所以cos(x+φ)=f(x)-3sinx是奇函数，又因为0<4<π,所以,所以f(x)=3sinx-sinx=2sinx,最大值为2.命题透析本题考查正弦定理与三角恒等变换的综合应用.弦定理四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.命题透析本题考查三角函数的性质、三角恒等变换的应用.……………………(2分)最小正周期T=π(4分)因此f(x)的单调递增区间为,k∈Z…………………(7分)(Ⅱ)由,得…………………(9分)所以.………………(13分)16.命题透析本题考查等比数列的基本性质与运算.解析(I)设{aₙ}的公比为q,由题得…………………………(2分)解得…………………(5分)(Ⅱ)由(I)可得该数列为………………(15分)17.命题透析本题考查概率的计算及随机变量期望的应用.……………………解析(I)由题意得,………………………(Ⅱ)在一次摸球的结果中，44由题意知X的所有可能取值为200,100,50,且,…………………(8分)………………(12分)即X的分布列为XP………………(13分)所以………………(15分)18.命题透析本题考查利用导数研究函数的性质.故f(x)在(-∞,-1),(3,+∞)上单调递增，在(-1,3)上单调递减，…………………(5分)……………………(7分)则g'(x)=x²+(1-a)x-a+(x+1)eˣ=(x+1)(x-a)+(x+1)e²=(x+1)(eˣ+x-a),(8令h(x)=e+x-a,显然h(x)在(0,+∞)上单调递增，又h(0)=1-a<0,h(a)=e">0,所以存在唯一的m∈(0,a),满足h(m)=0,即a=e"+m,………………(9分)故g(x)在(0,m)上单调递减，在(m,+∞)上单调递增，g(m)是g(x)在(0,+∞)上的极小值，也是最小值，………………(10分)又因为g(0)=b+1>0,要使g(x)=0在(0,+∞)上仅有一个实根x₀,必需xo=m,所以a=e⁰+x₀·…………………………(11分)所以………………………(13分)……………………………(15分)所以u(x)在(0,2)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减，所以9,…………(16分)故4a-b的最大值为……………(17分)19.命题透析本题考查空间几何体的结构特征.解析(I)因为点B在平面ACD内的射影H在棱CD上，所以BH⊥CD,又因为MH=DH,所以BM=BD(1分)因为∠ABD,∠ABM都是锐角，所以∠ABD=∠ABM(3分)再根据余弦定理可知AM=AD,所以AH⊥CD,(4分)又AH∩BH=H,所以CD⊥平面ABH