2024-2025学年北师大版八年级数学下学期同步训练之直角三角形

2024-2025学年下学期初中数学北师大新版八年级同步经典题精练之直角

三角形

一.选择题（共5小题）

1.（2024秋•长春校级期末）如图，数轴上点A,B对应的数分别是1,2,以AB为边在数轴上方作正方

形ABCD,连接AC,以A为圆心，AC的长为半径画圆弧交数轴于点E（点E在点A的左侧），则点E

2.（2024秋•伊川县期末）已知，如图长方形ABC。中，AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠，使点B

与点。重合，折痕为EF则△A2E的面积为（）

3.（2024秋•锦江区校级期末）下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（）

A.2,3,4B.32,42,52C.V3,V4,V5D.1,VLV3

4.（2024秋•阜宁县期末）满足下列条件的△ABC（a,b、c为三边），不是直角三角形的是（）

A.NB=50°,ZC=40°B.a2=c2-b2

C.a2=5,b2=U,C2=13D.ZA：ZB：ZC=1：2：3

5.（2024秋•源城区期末）已知一个直角三角形的两条边长分别为百和1,则第三边长为（）

A.V2B.2C.鱼或2D.鱼或4

二.填空题（共5小题）

6.（2024秋•长春校级期末）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形,

若正方形A,C,D的面积依次为6,8,24,则正方形2的面积是

C

B

E

<A/-----

7.（2024秋•宿迁期末）如图，在“4X4”的正方形网格中，N1+/2的度数为

8.（2024秋・长沙期末）如图,在区12\48<7中,4。是斜边上的高,如果48=2,4。=2百，那么8。=

9.（2024秋•拱墅区期末）如图，在△ABC中，ZB=90°.NBAC的平分线交BC于点。，连接A。，过

点。作DELAD,交AC于点E,过点。作。尸〃交AC于点?若AB=4,AE=6,则£>。2=.

10.（2024秋•宿豫区期末）如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AD平分NBAC交BC于点。，DE//AB

交AC于点E,已知CE=1,CD=V3,则AE长为.

11.（2024秋•榆中县期末）如图，每个小正方形的边长为1.

（1）求四边形ABCO的面积和周长;

（2）/BCD是直角吗？说明理由.

12.(2024秋•广陵区期末)定义：在△ABC中，若BC=a,AC=b,AB=c,a、b、c满足℃+/=/,则

称这个三角形为“类勾股三角形”.请根据以上定义解决下列问题：

(1)如图1所示，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形"，AB=BC,AOAB,请求NA的度数.

(2)如图2所示，在△ABC中，ZB=2ZA,且/C>/4求证：ZkABC为“类勾股三角形”.志明

同学想到可以在上找一点。使得AZ)=C。，再作请你帮助志明完成证明过程.

13.(2024秋•贵州期末)如图四边形ABCD中，AD±AB,BD1,CD,AD=3,AB=4,BC=13,求四边

形ABC。的面积.

14.(2024秋•锡山区期末)如图，在△ABC中，AB=AC,AO是/BAC的角平分线，AC的垂直平分线交

AD于点E,交AC于点P,连接3E.

(1)求证：AE=BE；

(2)若A2=AC=5,BC=6,求△ABE的周长.

15.(2024秋•靖江市期末)如图，在△ABE■与△C3。中，AELBD于点E,CD_LB。于点。，AB=BC,

2024-2025学年下学期初中数学北师大新版八年级同步经典题精练之直角

三角形

参考答案与试题解析

题号12345

答案BCDCC

选择题（共5小题）

1.（2024秋•长春校级期末）如图，数轴上点A,8对应的数分别是1,2,以AB为边在数轴上方作正方

形ABCD,连接AC,以A为圆心，AC的长为半径画圆弧交数轴于点E（点E在点A的左侧），则点E

【考点】勾股定理；实数与数轴.

【专题】实数；等腰三角形与直角三角形；运算能力.

【答案】B

【分析】首先利用勾股定理计算出AC的长，进而可得AE的长，然后再确定E点所对应的数.

【解答】解：•••点A,B对应在数分别是1,2,

:四边形ABC。是正方形，

：.CB^AB=1,

：.AC=7AB2+BC2=Vl2+I2=V2,

：.AE=V2,

•.•点A对应的数是1,

E在数轴上对应在数为1-V2,

故选：B.

【点评】本题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

2.（2024秋•伊川县期末）已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠，使点8

与点。重合，折痕为ER则AABE的面积为（）

【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）.

【答案】C

【分析】根据折叠的条件可得：BE=DE,在直角AABE中，利用勾股定理就可以求解.

【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，：.BE=ED.

AD=9cm=AE+DE=AE+BE.

：.BE=9-AE,

根据勾股定理可知AB2+AE1=BE1,

/.32+AE2=（9-AE）2,

解得AE=4.

.♦.△ABE的面积为3X4+2=6（C/TI2）.

故选：C.

【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平

方.

3.（2024秋•锦江区校级期末）下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（）

A.2,3,4B.32,42,52C.V3,V4,V5D.1,VLV3

【考点】勾股定理的逆定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力.

【答案】D

【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答.

【解答］解：V22+32=13,42=16,

,-.22+3M42,

•••不能构成直角三角形，

故A不符合题意；

B、32=9,42=16,52=25,

V92+162=337,252=625,

.,.92+162#252,

不能构成直角三角形，

故B不符合题意；

C、（V3）2+（V4）2=7,（V5）2=5,

/.（V3）2+（V4）2片（V5）2,

•••不能构成直角三角形，

故C不符合题意；

D、V12+（V2）2=3,（V3）2=3,

12+（V2）2=（V3）2,

；•能构成直角三角形，

故。符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.

4.（2024秋•阜宁县期末）满足下列条件的AABC（a、b、c为三边）,不是直角三角形的是（）

A.ZB=50°,ZC=40°B.cr=c2-b2

C.cr=5,庐=12,C2=13D.ZA：ZB：ZC=1：2：3

【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理.

【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力.

【答案】C

【分析】依据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理分别进行判断即可.

【解答]解：VZB=50°,ZC=40°,

/.ZA=180°-ZB-ZC=90°,

.♦.△ABC是直角三角形，故选项A不符合题意；

B、'：a2=c1-b2,

'.a1+b1=c1,

.•.△ABC是直角三角形，故选项2不符合题意；

C、VO2=5,廿=12,C2=13,

/+后=]7#02=]3,

・・・△ABC不是直角三角形，故选项。符合题意；

D、VZA：ZB：ZC=1：2：3,ZA+ZB+C=180°,

最大角/C=R^X180°=90°,

.•.△ABC是直角三角形，故选项。不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握勾股定理和三角形内角

和定理是解题的关键.

5.（2024秋•源城区期末）已知一个直角三角形的两条边长分别为百和1,则第三边长为（）

A.V2B.2C.声或2D.夜或4

【考点】勾股定理.

【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；运算能力.

【答案】C

【分析】分两种情况，①当遮和1均为直角边时，②当1为直角边，W为斜边时，根据勾股定理分别

求出第三条边长即可.

【解答】解：分两种情况：

①当次和1均为直角边时，第三条边长=J（a2+12=2；

②当1为直角边，b为斜边时，第三条边长=J（V3）2-I2=V2；

综上所述，第三边长为鱼或2,

故选：C.

【点评】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解题的关键.

二.填空题（共5小题）

6.（2024秋•长春校级期末）在如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，

若正方形A,C,。的面积依次为6,8,24,则正方形8的面积是10.

【考点】勾股定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】10.

【分析】根据勾股定理得到&4+SB=SE,SD-SC=SE,进一步运算即可.

【解答】解：由图可知，SA+SB=SE，SD-Sc=SE,

；.S正方形A+S正方形B=S正方形D-S正方形c，正方形A,C,Z）的面积依次为6,8,24,

正方形8的面积+6=24-8,

正方形B的面积=10.

故答案为：10

【点评】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜

边的平方.

7.（2024秋•宿迁期末）如图，在“4X4”的正方形网格中，/1+/2的度数为45.

【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力.

【答案】450.

【分析】连接AC,先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是等腰直角三角形，故可得出/ABC=45°,

则NABE+/2=45°,再根据平行线的性质得出/I=/ABE即可得出结论.

【解答】解：将/2向下平移1个单位格得到AB,如图，连接AC,

：.Z2=ZABE,

'：AC2=AD2+CD2=22+12=5,AB1=BE^+AE1=22+12=5,BC2=32+12=1O,

AABC是等腰直角三角形，

AZABC=45°,

AZAB£+Z1=45°,

.\Z1+Z2=45O,

故答案为：45°.

【点评】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理，先根据题意判断出△ABC是等腰直角三角形是解题

的关键.

8.（2024秋•长沙期末）如图，在RtZ\ABC中，是斜边上的高，如果AB=2,AC=2A/3,那么

【考点】勾股定理；三角形的面积.

【专题】运算能力.

【答案】1.

22

【分析】根据勾股定理求出8C=AMB2+"2=J（2V3）+2=4,根据等积法求出AD的值，最后根

据勾股定理求出结果即可.

【解答】解：在Rt^ABC中，根据勾股定理得

BC=yJAB2+AC2=(2圾2+22=4,

11

-ABxAC=-BCxAD,

22

・ACABy(.AC2^/3x2右1

--AD=BC=4=N3,

,：AD是斜边上的高,

AZADB=90°,

：.BD=7AB2—AD2=J22—（g）2=1.

故答案为：1.

【点评】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键.

9.（2024秋•拱墅区期末）如图，在△ABC中，ZB=90°./2AC的平分线交BC于点。，连接AD,过

点。作。ELAD,交AC于点E,过点。作D尸〃交AC于点?若AB=4,AE=6,则。（^=72.

A

【考点】勾股定理；等腰三角形的判定与性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力.

【答案】72.

【分析】(1)过。作OGJ_AC于G,可证△ABOg/XAG。(HL),AB=AG=4,EG=2,再通过△A£>G

s^DGE,可得BD=DG=2&,再根据△ABCs/VJGC可得AC=&DC,再利用勾股定理求解即可.

【解答】解：过。作。G,AC于G,

VZBAC的平分线交BC于点D,

/.Z1=Z2,DB=DG,

又

/.AABD^AAGD(HL),

：.AB^AG=4,

：.EG=AE-AG=2,

'：DG±ACN,

：.Z2+ZADG=9Q°,

：.AADG^/\DGE,

—AG=—DG,Brp—4=—DG,

DGGEDG2

：.DG=2y/2,BD=DG=25

'：ZABC=ZDGC=9Q°,ZC=ZC,

△ABCsADGC,

DCDGDC2V2

--=---,即---=----,

ACABAC4

：.AC=yp2,DC,

A42+（2V2+0cy=（V2DC）2,

解得OC=6鱼或-2V2（舍去），

ADC2=72.

故答案为：72.

【点评】本题考查勾股定理，正确进行计算是解题关键.

10.（2024秋•宿豫区期末）如图，在RtZ\4BC中，ZC=90°,AD平分/BAC交BC于点。，DE//AB

交AC于点已知CE=1,CD=V3,则AE长为2.

【考点】勾股定理；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力.

【答案】2.

【分析】由勾股定理求出DE=2,再由角平分线的定义和平行线的性质证明/ADE=NEAD,然后由等

腰三角形的判定得出AE=DE=2即可.

【解答】解：在Rt^CZJE中，ZC=90°,CE=1,CD=同

由勾股定理得：DE=VCF2+CD2=+（V3）2=2,

平分/BAC,

:./BAD=NEAD,

\'DE//AB,

：.ZADE=ZBAD,

：./ADE=NEAD,

:.AE=DE=2,

故答案为：2.

【点评】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的判定、平行线的性质以及角平分线的定义等知识，熟

练掌握勾股定理，证明是解题的关键.

三.解答题（共5小题）

11.（2024秋•榆中县期末）如图，每个小正方形的边长为1.

(1)求四边形ABCD的面积和周长;

(2)/BC。是直角吗？说明理由.

【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理.

【专题】网格型.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)直接利用勾股定理得出各边长，进而利用四边形所在矩形面积减去周围三角形面积得出答

案；

(2)利用勾股定理的逆定理得出答案.

【解答】解：⑴由勾股定理可得:AB2=32+32=18,

贝ijAB=V50=5A/2,

VBC2=42+22=20,

:.BC=2瓜

VCD2=22+12=5,

:.CD=V5,

VAD2=32+42=25,

：.AD=5,

故四边形ABC。的周长为：5V2+2V5+5+V5=572+375+5,

1

四边形ABCD的面积为：7X5—](1X7+4X2+2X1+4X3)-3=35-17.5=17.5；

(2)由(1)得：BC2=20,CD2=5,ftffB£>2=32+42=25,

则/BCD=90°.

【点评】此题主要考查了勾股定理以及其逆定理，正确应用勾股定理是解题关键.

12.(2024秋•广陵区期末)定义：在△ABC中，若BC=a,AC=b,AB=c,a,b、c满足“<?+/=必，则

称这个三角形为“类勾股三角形”.请根据以上定义解决下列问题：

(1)如图1所示，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形"，AB=BC,AOAB,请求/A的度数.

(2)如图2所示，在△ABC中，ZB=2ZA,且NONA,求证：△ABC为“类勾股三角形”.志明

同学想到可以在AB上找一点。使得AO=CD再作请你帮助志明完成证明过程.

【考点】勾股定理；等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】(1)ZA=45°；

(2)见解析.

【分析】(1)由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论；

11

(2)先求出CD—CB—a,AD—CD—a,DB—AB-AD—c-a,DE=BE=q(c—a),AE=+c),

两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论.

【解答】解：(1)9：AB^BC,AC>AB,

・・・△ABC是类勾股三角形，

••ac+ab,

c2+a2=b2,

・・・AABC是等腰直角三角形，

NA=45

(2)如图：以在A3上找一点。使得AO=CO,再作CE_LBZ),

图2

ZA=ZACD,

：.ZCDB=ZACD+ZA=2ZA,

,/ZB=2ZAf

：・/CDB=NB,

•CD—CB—a,

C.AD—CD—a,

.\DB=AB-AD=c-a,

U：CE±AB,

1

DE=BE=](c—a),

11

**•AE=AD+DE=a+](c—ct)=)(c+a),

i

在Rt/XACE中，CE2=AC2-AE2=b2-[^(c+a)]2,

1

在RtABCE中，CE2=BC2-BE2=a2-[j(c-a)]2,

11

/•b?一号(c+a)]2=a2_(c—a)]2,

♦•b~~~ac+a1,

...△ABC是“类勾股三角形”.

【点评】本题考查等腰三角形的判定、勾股定理、“类勾股三角形”的定义等知识，理解题意、灵活运

用勾股定理进而数形结合思想是解题的关键.

13.(2024秋•贵州期末)如图四边形ABC。中，ADLAB,BD±CD,AD=3,AB=4,BC=13,求四边

形ABC。的面积.

【考点】勾股定理；三角形的面积.

【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力.

【答案】36.

【分析】在直角三角形中，利用勾股定理求出BD的长，再利用勾股定理求出CD,根据四边形

ABCD的面积=直角三角形ABO的面积+直角三角形BCD的面积，即可求出四边形的面积.

【解答】解：由题意可得：ZA=ZBDC=9Q°,

'：AB=4,AD=3,

：.BD=>JAD2+AB2=5,

又CB=\3,

：.CD=<BC2-BD2:12,

11

则S因造形4BCD=SAAB。+S^BCD=2X3X4+2X12X5=36.

【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键.

14.（2024秋•锡山区期末）如图，在△ABC中，AB=AC,是NBAC的角平分线，AC的垂直平分线交

A。于点E,交AC于点尸，连接BE.

（1）求证：AE=BE；

（2）若4B=AC=5,BC=6,求△ABE的周长.

【考点】勾股定理；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力.

【答案】（1）证明见解答过程；

45

（2）——.

4

【分析】（1）连接EC,根据等腰三角形的性质得到AOL8C,再根据线段垂直平分线的性质证明即可;

（2）结合（1）求出8。=3,根据勾股定理求出AE=BE=等，再根据三角形周长定义求解即可.

【解答】（1）证明：连结EC.

VAB=AC,AD是N5AC的角平分线,

：.AD垂直平分BC,

・・•点E在AO上，

：.BE=EC,

VAC的垂直平分线交A。于点E,

：.AE=EC,

：・AE=BE.

(2)由(1)得，BD=^BC,

VBC=6,

:・BD=3,

：.AD=yjAB2-BD2=4,

设AE=BE=x,

在RtZXBDE中，BD2+DE1=BE1,

32+(4-x)2=x2,

；♦△ARE的周长为：AB+BE+AE=5+-g-+-g-=

【点评】此题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，熟记勾股定理、线段垂直平分线的性质

是解题的关键.

15.（2024秋•靖江市期末）如图，在△ABE与△CBD中，于点E,CDLBD于点D,AB=BC,

BE=CD.证明：RtAABE^RtABCD.

【考点】直角三角形全等的判定.

【专题】图形的全等；推理能力.

【答案】见解析.

【分析】根据题意利用HL判定RtAABE^RtABCD即可得到本题答案.

【解答】证明：CDLBD,

：.ZAEB=ZBDC=90a,

在RtAABE和RtABCD中,

(AB=BC

\.BE=CD'

/.RtAABE^RtABCD〈HL).

【点评】本题考查全等三角形判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法.

考点卡片

1.实数与数轴

(1)实数与数轴上的点是一一对应关系.

任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数.数轴上的任一点表

示的数，不是有理数，就是无理数.

(2)在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是

在数轴上这个数对应的点与原点的距离.

(3)利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原

点左侧，绝对值大的反而小.

2.三角形的面积

(1)三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即SA=3X底X高.

(2)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.

3.三角形内角和定理

(1)三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角，且每个内角均大

于0°且小于180°.

(2)三角形内角和定理：三角形内角和是180°.

(3)三角形内角和定理的证明

证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角.在转化中借助平

行线.

(4)三角形内角和定理的应用

主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法

求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.

4.直角三角形全等的判定

1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).

2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的

三角形，有它的特殊性，作为“乩”公理就是直角三角形独有的判定方法.所以直角三角形的判定方法最

多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件.

5.角平分线的性质

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有

时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，:c

在/A03的平分线上，CZ)_LOA,CE±