2024-2025学年沪教版高一数学必修第二册同步训练：余弦函数的图像与性质（解析版）

第05讲余弦函数的图像与性质

学习目标

课程标准学习目标

1.了解画余弦函数图象的步骤，掌握“五点法”画出余弦函数的图象的

1.通过做余弦函数的图方法.（重点）

象，培养直观想象素养.2.余弦函数图象的简单应用.（难点）

2.通过单调性与最值的计3.余弦函数图象的区别与联系.（易混点）

算，提升数学运算素养.4.掌握余弦函数的单调性，并能利用单调性比较大小（重点、易混点）

3.通过周期性的研究，培养5.掌握余弦函数最大值与最小值，并会求简单余弦函数的值域和最

逻辑推理素养.值.（重点、难点）

6.了解余弦（型）函数、周期、最小正周期的定义.

02思维导图

题型八：利用COSX（型）函数的对称性求参数

知识清单

知识点01余弦曲线和余弦函数图像的画法

余弦函数^=（：05%，xGR的图象叫余弦曲线.

yy=cos

-x-3^二

TT/2ir\3TT

-4or-2TT。去,万彳

一一_2——2--

兀

⑴要得到y=cosx的图象，只需把y=sinx的图象向左平移鼻个单位长度即可.

⑵用“五点法”画余弦曲线y=cosx在［0,2兀］上的图象时，所取的五个关键点分别为（0.1）,

0）,（兀，-1）,3TI,o）,（2兀，1）,再用光滑的曲线连接.

2

【即学即练1］（22-23高一下•上海嘉定・期中）不等式cosxN；（x«-兀，可）的解集为.

itit

【答案】

33

【分析】画出y=cosx（xe［-兀，兀］）的图象，由图象即可求解.

»木

1

^=2

【详解】

X

画出y=cosx（xe［-兀,可）的图象，如图所示,

由图可知，不等式cosxNg（xe［-小可）的解集为兀71

兀兀

故答案为:

知识点02余弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值

函数y=cosx

周期2E（左GZ且左W0）

最小正

2兀

周期

奇偶性偶函数

解析式y=cosx

y

图象

--kM-2

值域LL11

在[―兀+2卜兀，2kk],左©Z上单调递增，

单调性

在[2km7i+2^7i],左©Z上单调递减

x=2左兀，左£Z时，jVmax=1;%=兀+2kn,

最值

MZ时，Jmin=—1

【即学即练2】（23-24高一下•上海徐汇•期中）已知函数〃=sin2%+cosx-4,xe[0,2兀）,求此函数的最大值

与最小值，并分别求出取得最大值和最小值时所对应的x的值.

【答案】答案见解析

【分析】根据二次函数和三角函数的性质，即可求解.

【详解】y=sin2x+cosx-4=-cos2x+cosx-3,xG[0,2K）,

令％=COSX,/G[-1,1],

则/⑺=T2+/_3=_"_g]-U,

当时，/⑺取最大值一?，此时cosx=；,由于xe[0,27i）,则》=方或工=三，

当/=-1时，/⑺取最小值-5,此时cosx=-l,由于xe[0,27r）,贝”=兀，

综上可得，当》=々或无="时，函数取得最大值为-口，

334

当x=?t时，函数取得最小值为-5,

题型精讲

题型一：求COSX型三角函数的单调性

1.（21-22高一下•上海浦东新•期末）函数y=l+2cos[2x-m）的单调递增区间是.

【答案】kn--,/cK+—，后eZ

36

【分析】利用整体代入法求得函数的单调递增区间.

JTIT7T

［详解］由2加-7i<2x——<2lai,解得kn——<x<kn+—,

336

(ITAJITT

所以函数>=l+2cos2x-7的单调递增区间是kji--,kR+-,keZ.

\L36_

ITJT

故答案为：ht--,ht+-，左eZ

5o

jr2兀

2.(21-22高一下•上海黄浦•期末)函数V=COS2X,XG的单调增区间是—.

63_

【答案】卜利,［常：

【分析】可先求出了=。。52工的单调增区间，取了的单增区间与xe-多的交集即可,注意单调区间不可写

63_

并集.

【详解】解:由题知片cos2x的单调增区间为

一兀+2kn<2x<2bi,ksZ,

ji

BPxG---Fkit,kit,kGZz

jr

当左=0时，单增区间为一万,0

JT

当左=1时，单增区间为-,71,

71TT2冗

,o,-,y是〉=cos2x的单调增区间.

6

>,.,<、r7T八7T2兀

故答t案为：,小丁

3.(21-22高一下,上海浦东新,期中)已知函数/(x)和g(x)的定义域分别为。和3,若对任意的毛€口，

都恰好存在n个不同的实数和物…,X”©A,使得g(x；)=f(%)(其中i=l,2,…,%〃eN"),则称g(x)为/(x)

的""重覆盖函数”.

⑴判断下面两组函数中，g(x)是否为的，重覆盖函数"，并说明理由；

(l)g(x)=cosx(0<x<4^),="4重覆盖函数”；

(2)g(x)=|x|(-2<x<2),/(x)=l+sinx(xe7?),"2重覆盖函数”；

(2)若g(x)「TsmG|,》€(0,+8)为〃%)=工，xe(s,/)(O<s<f)的"9重覆盖函数〃，求-s的最大值.

XX

【答案】(1)①是，理由见解析；②不是，理由见解析；

(2)1

【分析】(1)①：根据两个函数的值域，结合余弦函数的周期性进行判断即可;

②：根据两个函数的值域，结合偶函数的性质进行判断即可；

(2)利用正弦型函数的性质，结合反比例函数的性质进行求解即可.

【详解】(1)①：当T<x<l时，-1</(X)<1,根据余弦函数的图象可知，

g(x)是/(X)的"4重覆盖函数”;

②：由-iWsinxVl可知：0W/(x)W2,函数g(x)=国(-2WxW2)的图象如下图所示:

3兀3兀37r

当x=T时，/1+sin—=0,当g(x)=国=0=x=0,

所以g(x)不是“X)的"2重覆盖函数”；

(2)因为xe(sj),所以;</(x)<g,

因为OV^in乃乂41,

所以当XE(0,+OO)时，g(x)>0,

当xe(O4时，g(x)=±2=3至，

2xx

函数V=1-sin"和函数k,都是单调递减函数，

x

故该函数单调递减，

、［,A_L/、l-|sin7rx\l-sinjix

当xwQJ1］1D时，g(x)=—!----L=--------，

2xx

函数y=l-sin欣是单调递增函数，函数〉=」是单调递减函数，而函数y=l-sinxr递增的速度快于函数>=工

XX

递减的速度，所以函数单调递增,

191T

而函数了=1-卜in时的最小正周期为：-X—=1,

2兀

因此函数g(x)=一回，xe(O,+s)的图象如下图所示:

因此要想g(x)=t加到，xe(0,+co)^/(x)=-,

%£(s")(0＜s＜。的"9重覆盖函数”，只需

XX

g(4)S1>1

s>4-s<-4

4s==><1

g⑸，1<1t<5t<5

[5t

所以"S的最大值1.

【点睛】关键点睛：根据函数的单调性结合函数图象是解题的关键.

4.(22-23高一下•上海徐汇・期中)己知函数/(%)=51的5也为+0«h6«乜-(：0$"2_¥,(其中"eN*,xeR)

(1)当％=1时，求函数的严格递增区间；

(2)当人=1时，求函数g(x)=.：：“)在1%上的最大值(其中常数。＞0);

⑶若函数〃%)为常值函数，求上的值.

TT

【答案】⑴析,E+万,*wZ；

亚9

,0<Q«—

,2a4

69

,Q〉一

、4Q+94

⑶左=3.

【分析】(1)当左=1时，化简为/(工)=512^11^+(；05犹05%-8$2%=1-852%，再由2EW2x«2E+兀，

keZ,求解即可；

fix)2sinx(3

(2)由(1)得/(x)=2sin2x,从而g(x)=-----—厂丁，令"Zsin，，先求得/©1。，彳，则转

'/a+f[x)a+4sinxI2_

化为求g(尤)="')=匚；，的最大值，分。J。,"和"之两种情况求解即可;

(3)由函数/(x)为常值函数，采用赋值法求得上的值，再代入验证即可.

【详解】⑴

当左=1时，/(x)=sinxsinx+cosxcosx-cos2x=1-cos2x

兀

由2祈<2x<2kn+兀，keZ得左兀KxW左兀十万keZ.

JT

故/(X)的严格递增区间为伍标十万,kcz.

(2)由(1)可知，当左=1时，/(x)=l-cos2x=2sin2x,

/\/(%)2sin2x

则g(x)=一777-^

a+4sin与

令UZsi/x,当时，则所以cos2xE

贝Ijl—cos2x£|o,g,即方£10弓,

于是g(x)=W)=

一(91h(t]=____<___=________]

①当时，㈠巴+J2陌26，当且仅当仁夜时，最大值为而;

②当时，y=-+fS|0,|上递减，贝巾⑺在(0；上是增函数，则当f时，最大值为彳工,

4/12」I2」24〃+9

综上所述，g(x)1mx=4

(3)由函数/(x)为常值函数，令x=0,则原式=0,

令则原式=sinW-(-l>=0nE=4〃-l("为正整数)；

令工=乌，贝!J原式=-cos”'一cos”空=0,即COS%-=-008^—,

kkkkk

TT2冗

因为左=4〃-1(〃为正整数)，即左为正奇数，所以85工=-35彳

rrt兀27r—.77L兀re

即cos—Fcos—=0,贝｛J2cos—Fcos—1=0,

kkkk

解得cos?=-l或cos：=!，

kk2

又因为a=4〃-1("为正整数)，所以4=3.

当左=3时，原式为

sin3xsin3x+cos3xcos3x-cos32x=sin3xsinxsin2x+cos3xcosxcos2x-cos32x

=sin3xsinx(1-cos2x^+cos3xcosx(1-sin2x^-cos32x

=sin3xsinx+cos3xcosx-sin3xsinxcos2x-cos3xcosxsin2x-cos32x

=cos2x-sinxcosx(sin3xcosx+cos3xsinx)-cos32x

=cos2x-sinxcosxsin4x-cos32x=cos2x-sin22xcos2x-cos32x

=cos2x(1-sin22x)-cos32x=cos32x-cos32x=0.

所以当左=3时，函数/(x)为常值函数.

【点睛】关键点睛：第三问的关键是抓住函数/(%)为常值函数，因此可以采用赋值法先确定左的值，再代

入验证即可.

题型二：求COSX(型)函数的单调性

1.（23-24高一下•上海嘉定•期中）下列命题中正确的是（）

xsina

71兀

A.若二£且马＞须＞0,贝I]<1

252

,、(\cosa

B.若且王>%>0,则［强>1

,、z\cosa

C.若二£卜|>!且%2>为>0,则号>1

xsina

兀71x

D.若二£且再>%2>0,则2<1

292

【答案】C

7171

【分析】利用指数函数的性质及三角函数在上函数值的正负，再结合选项的条件，逐一分析即可得

252

出结果.

【详解】对于A,若则强〉1,

再

/\（\sina

因为3层,升当[=0时，sina=0,此时=1，故A错误;

对于B,若西＞马＞0，贝1」。＜退＜1,

%

/、zxcosa

因为a十封,所以cosa〉0,所以.<b故B错误;

对于C,若%>玉>0,则无■>1,

,、zxcosa

因为仪苫,3，所以cosa>0,所以？>1，故C正确;

对于D,若占>%>0,贝1］0<生<1,

/\(\srna

因为ae［dj,当夕=0时，sina=0,止匕时*J=1，故D错误.

故选：C.

2.(23-24高一下•上海徐汇・期中)函数y=cos［m-x］,xe］—|，1的值域为

【答案】［-1,1

【分析】根据余弦函数的性质，结合整体法即可求解.

.、4hTi.1—(兀兀r*r*t、r兀(2兀71

【详解】由于XE-彳='所以'一不£--不三，

I32」3I36」

故了=cos(m-xJ=cos(x-K；,l,

故答案为：［-;,1.

Jr57r

3.(21-22高一下•上海宝山•期中)函数/(x)=cosx,xe的值域为.

【答案】［-^,1］，

【分析】由余弦函数的单调性求解.

【详解】由余弦函数性质知：

〃x)=cosx在［-丁⑼上递增，在［0,多］上递减，

46

/(0)=1,/(一1)=cos(-/)=孚，f¥)=COS”

44266

所以值域为［-日,1］.

故答案为：［-孝,1］.

4.(22-23高一下•上海•期中)设〃为常数，gflf(x)=asin2x+COS(2K-2x)+l(xeR).

(1)设0=6,求函数了=/(X)的严格增区间；

JTTT

(2)若函数》=/(》)为偶函数，求此函数在-wq上的值域.

兀71

【答案】⑴-+—，keZ

36

⑵[L2]

【分析】(1)利用诱导公式及两角和的正弦公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；

(2)根据偶函数的性质得到对于任意XER,均有/(-%)=/(x)成立，即可求出。的值，从而得到/(%)解

析式，再根据工的范围求出2x的范围，最后由余弦函数的性质计算可得.

【详解】(1)当q=G时，函数/(%)=/sin2x+cos(2兀-2x)+1

=V3sin2x+cos2x+1=2|^-sin2x+—cos2x|+1=2sin(2x+Z]+l,

I22JI6)

JL兀7t

令"2ATIW2xH—W2k7iH—,左£Z,

262

兀71

角牟得14JT----WxWkitH—,ksZ.

36

TTTT

所以此函数的单调递增区间为+-,keZ；

36

(2)由题意可知函数/(x)的定义域为R,

又/(x)=asin2x+cos(2兀-2x)+1=asin2x+cos2x+1,

因为函数了=/(无)为偶函数，

所以对于任意xeR,均有〃-x)=/(x)成立，

即asin(-2x)+cos(-2x)+1=asin2x+cos2x+l,

即2〃sin2x二0对于任意实数》均成立，

只有当a=0时成立，此时/(x)=cos2x+l.

因为，所以2XE——，所以0«cos2x«l,所以I<l+cos2%<2,

44j22_

7171

即此函数在I4'4」上的值域为[1,2].

题型三：求含COSX的二次式的最值

1.(22-23高一下•上海长宁・期末)已知关于x的不等式COS2X-4COSX+“N1在[。，万]内恒成立，则实数。的

取值范围是.

【答案】[4,+。)

【分析】分离参数后，求函数的最大值即可.

【详解】由cos2x-4cosx+«>1得Q2-cos2x+4cosx+l,

71

设，=COSX,因0,—所以,=COSXG[0,1],

则aN-t2+4/+1在％£[0,1]上恒成立，

设/⑺=—t2+4z+1,

则二次函数/(。的对称轴为:2,

因其开口向下，所以/£[05时函数单调递增,

所以的最大值/⑴=4,

故〃24,

故答案为：[4,+。)

23

2.(20-21高一下•上海奉贤•期中)函数＞=sin2x+2cosx+l在区间肛。上的最小值是则。的最大

值为.

27r

【答案】Y

【分析】由已知中函数y=sin2x+2cosx+l,由同角三角函数的基本关系，将函数的解析式化为

歹=-e。5、-1)2+3的形式，进而根据函数的最小值为结合已知中工£[-]»,及余弦函数的图象和性

质，即可得到。的最大值.

【详解】解：=函数y=sin?x+2cosx+l=-cos2x+2cosx+2=-(cosx-1)2+3

若在区间：2万，句上的最小值为3:，

3

贝！J由V=—(cosx—l)2+3=-,

4

解得cosx=,

2

又•・•1£[—§»,0]

3

27r

故答案为：

sin

3.(21-22高一下•上海长宁•期中)己知：/(«)=—

cot

⑴化简：/(«);

(2)求函数y=〃2x)-2〃x)的最小直

【答案】⑴，(a)=cosa

(2)-|

【分析】(1)利用诱导公式化简即可；

1Q

(2)利用二倍角公式公式将函数变形y=2(cosx-y-；,再根据余弦函数的有界性及二次函数的性质计算

可得;

--c-o--s-a----t-a--n--a-----c--o--s-«--

tanasina-cota

=coscr

即/(cr)=cos6r

13

(2)解：0^^=/(2x)-2/(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-l=2(cosx--)2--,

,/-1<cosx<1,

iQ

.•.当cosx=]时，函数y=/(2x)-2/(x)取得最小值，最小值为一半

4.(23-24高一下•上海徐汇・期中)已知函数^=5由21+35%-4,%£[0,2兀)，求此函数的最大值与最小值，并

分别求出取得最大值和最小值时所对应的x的值.

【答案】答案见解析

【分析】根据二次函数和三角函数的性质，即可求解.

【详解】y=sin2x+cosx-4=-cos2x+cosx-3,xe[0,2K),

令£=cosx/w[-1,1],

则/(，)=_/+/_3=_'_g]

当t时，/⑺取最大值一:，此时cosx=1,由于xe[0,2%)，贝隈=]或x=¥，

当好一1时，取最小值-5,此时cosx=-l,由于尤€[0,2%)，贝产=兀，

综上可得，当》=?或工=孚时，函数取得最大值为-1，

334

当X=7t时，函数取得最小值为-5,

题型四：由COSX（型）函数的值域（最值）求参数

1.（23-24高一下•上海徐汇・期中）设q,b为实数,满足对任意实数％,都有acos2x+bcosx2-l.则a+b

的最大值为（）

n

A.V7-1B.4+1C.VlO-1D.2

2

【答案】D

2Ji74

【分析】取'=不，可得a+bW2；再取。=§,b=-,检验满足题意，即可得最值.

【详解】因为〃cos2x+6cosx2—l,

门2K,2K1,（711

取、=——,贝|cos——=——,cos2x=cos兀+—=-cos—=——,

332（3）32

可得—Q—bN—1,即Q+6W2；

22

^a=—,匕=一时，6ZCOSX+PCOSZX=—cos2x+—COSX=—cosx+—COSX——

3333333

4<1Y

=—cosx+--1>-1；

312；

综上所述：a+8的最大值为2.

故选：D.

2.（23-24高一下•上海浦东新,期中）已知函数〃x）=coss®>0）在区间［0,2可有且仅有3个零点，则。的

取值范围是.

【答案】

［44；

【分析】由/卜）=0,求得x=F+竺，得出函数的零点，集合题意，得出不等式拄V2兀<g,即可求

2coco2co2（o

解.

【详解】由函数/（x）=COS0X,令/（x）=0,即COS5=0,

角牟得cox=—+kR,keZ,可得X=+—,k€Z,

22coco

n3乃5717万

因为左£Z,则对应的零点为

2G，2啰，2口，2G，

因为函数〃X）=COS0无（0>0）在区间［0,2可有且仅有3个零点,

则满足着W解得六。T即实数。的取值范围为由:

故答案为：KJ

3.（22-23高一下•上海浦东新•期中）已知函数y=2cos12x-；J,当函数值为-2时，自变量x的取值集合

为.

【答案】%=标+1•匹左EZ

【分析】由题意可求cos（2x-：）=T,进而利用余弦函数的性质即可求解.

【详解】函数y=2cos2x-：,当函数值为-2时，则cos［2x-?）=-l,

715

所以2%——=兀+2左兀,kwZ,则工二碗+—7i,kGZ,

48

故自变量X的取值集合为Qx=

＞x|X=kitH--71,k£Z

故答案为：［8

4.（22-23高一下•上海虹口•期中）设函数V=/（x）定义域为。，对于区间如果存在％,无2e/,无产无2,

使得〃%）+/（%）=2,则称区间/为函数y=/（x）的"P区间”.

⑴求证：（。,+°°）是函数y=igx的"P区间"；

（2）判断（-叫+8）是否是函数了=5亩1+总+3的"产区间”，并说明理由；

⑶设。为正实数，若［兀,2兀］是函数y=coss的"产区间”，求。的取值范围.

【答案】⑴证明见解析

⑵不是，理由见解析

（3）＜ye{2}U［3,+oo）

【分析】（1）取特殊值验证得到答案.

（2）根据三角函数的有界性得到g（xj+g（xj24,得到答案.

（3）代入计算得到区间［。,2句至少上有两个不同的偶数，考虑。=2,2＜。＜3,3«。＜4,四种情

况，计算得到答案.

【详解】（1）y=〃x）=lgx,取石=2,-2=50,则/■（再）+/（工2）；=坨2+350=联00=2,

故(0,+8)是函数N=lgx的"P区间"；

(2)y=g(x)=sin[x+^|[+3,

则g(%)+g(工2)=sin[X]+G[+3+sin1%+77I+32-1+3T+3=4,

故(-8,+8)不是函数丁=5由卜+哥+3的〃尸区间〃，

(3)^=COS^XG[-1,1],y=//(%)=cos<yx,

贝U〃(再)+/z(%2)=cos叫+cosa)x2=2,故coscoxx-cosa)x2=1,

[a)xx=2尢兀

故《〜，kx,k2GZ,不妨设兀<玉<%(2兀，

[a)x2=242兀一一

则neo<2勺兀<2兀刃,Tico<2左2兀V2兀0,i^a)<2kx<2k2<2①,

即在区间[包2例至少上有两个不同的偶数，2ct)-co>2,即。>2,

当0=2,区间为[2,4],满足；

当2<(y<3时，]。,2。仁(2,6),不满足；

当3W0<4时，]砒2旬2[4,6],满足；

当时，2。-。24,区间[0,20]至少上有两个不同的偶数，满足；

综上所述：0©{2}U[3,+⑹

题型五：求余弦(型)函数的最小正周期

TT

1.(23-24高一下•上海•期中)下列函数中，最小正周期为5的是().

A.y=sinB.y=sin2xc.y-cos4xD.y=|cosx|

【答案】C

【分析】由正余弦函数的最小正周期公式计算求解判断即可.

X

【详解】由题意知》=如5周期为4兀，y=sin2x周期为兀，

y=cos4x周期为厘，y=|cosx|周期为兀.

故选：C

2.(23-24高一下•上海奉贤•期中)若函数/(X)=COS0X(O<0<TC)满足/(x+7t)=/(x),则。=

【答案】2

【分析】求出函数周期，利用公式即可得到。的值.

【详解】因为函数〃X)=COS0X(0<。<兀)满足/(x+兀)=/(x),

故/(X)的周期为兀，故也=无，其中左为正整数，故。=2左，

CD

而0<。<兀,故0=2.

故答案为：2

Y

3.（22-23高一下•上海静安•期中）函数y=cosq的最小正周期是.

【答案】6兀

【分析】根据余弦函数的最小正周期公式，即可求得答案.

T=2无=£

【详解】函数了=COS；的最小正周期是‘一丁一

37

故答案为：63t

4.（22-23高一下•上海闵行•期中）函数/（x）=l-cos'的最小正周期为.

【答案】兀

【分析】对给定函数式用二倍角的余弦公式降幕即可得解

【详解】由己知得：/（X）=1-1+C^（2X）=-1COS2X+1,

兀

其最小正周期为7=芋2=兀.

故答案为：兀.

题型六：由余弦（型）函数的周期性求值

1.（22-23高一下•上海长宁•期中）设函数=3COS3+9）®>0），若„=。，〃兀）=。，/3在［患］

上为严格减函数，那么。的不同取值的个数为（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】D

【分析】利用余弦函数性质，由已知条件得出最小正周期T的范围，从而得。的范围，再由函数值为0得出

的关系式，从而得出。="|（人-勺），取出可能的0,确定出。值，即可得结论.

【详解】/但］=。且仆）在上为严格减函数，贝4叶-gTN与

<07\o5J4363

__［7C।八/、八.__,,tT7i5兀_5兀

又/r2=0'/r（7i）=0,因止匕彳（兀_］=~^,T<—,

<0/2663

兀兀

又。>0,所以2三7!工2三工5二，即6？WGW3,

3G35

Glcose+夕）=°,贝严+9=桃+四且5+夕=3+工，2Z,

由<

/（兀）=3cos（0兀+0）=06〜-

CO=—（左2一左），左］，上26Z,

因此。=g,y

兀，71

--1~9=左［兀H--

什6：2,取展普，〃x)=3cos4x+普)满足题意,

右69=二,则

67兀10510

］兀+0=42兀+5"

2兀771

---F°=占兀H--

12A2，取。与，/(x)=3cos(3+”满足题意,

若则'

127兀10510

-^-兀+0=左2兀+~

0的值有2个.

故选：D.

f71712]

2.（24-25高一上•上海•期末）已知14个任意角内,a?,…,%满足%+i-%e<丁兀卜对任意1W〃W13,"eZ

恒成立，若%=0,设S为这14个任意角，4的余弦值的和，则S的最大值为.

【答案】3+巫尸5指

22

【分析】根据题意，利用余弦函数V=cosx的周期性，先考虑一个周期内的取值，即可1得解.

【详解】根据余弦函数V=cosx的最小正周期为2兀，

要使S最大，则先在一个周期内尽量的大，

先考虑V=cosx,xe[0,2K）,

由于%=0,%+「%G]7?T,T7ri,

1633I

所以可以取至!j的正值有cos0=l,cos—=^-,cos—=—,cos-=—,cos^-^-=^-，

62323262

在g）之间可取的角的余弦值不是0就是负的，

所以尽量少取，那么就要让差值尽量大，那么只取一个cos兀=-1,

那么此时第一个周期内的和为SI=l+@+」-l+L+且=1+6,且取了6个角,

12222

所以两个周期12个角，在第三个周期取两个cos4兀=1,cos

那么S=2x(l+⑹+苧+1=3+等.

故答案为：3H-------

2

【点睛】关键点点睛：余弦函数最小正周期为2兀，先求[。,2兀）范围的取值即可.

3.（20-21高一下•上海徐汇•期中）函数V=/（x）的定义域为/,对于区间。=/,如果存在国,％e。,

X1HX2，使得+,则称区间。为函数了=/（x）的"产区间”.

(1)判断(-8,+8)是否是函数》=$也1+^|)+3的"产区间"，并说明理由；

(2)设。为正实数，若［肛2加是函数了=850工的“P区间”，求0的取值范围.

【答案】(1)不是，理由见解析;(2){2}U［3,+CO).

【分析】⑴根据函数值的范围可判定(-*+s)不是函数了=$也1+5)+3的“产区间”；

3X-2k7L

(2)根据新定义和余弦函数的性质可得存在鼠/eZ,使得'，再分类讨论即可求出。的取值范

Y(OX2=217T.

围.

【详解】⑴(-8,+功不是函数了=5出口+力1+3的"产区间”.理由如下：

因为/(x)=sin(x+q)+322,

所以对于任意的X1，x2e(-a＞,+oo),都有/(X］)+〃X2)N4,

所以(-吃+的不是函数了=$也［+3)+3的"P区间

(2)因为优2句是函数尸cosox的“产区间”，

所以存在占.2£［肛2句，工尸工2，使得cos叫+cos@%2=2.

cos叫=1,

所以

coscox2=1.

cojCy—2k兀,

所以存在左,％z,使得

a)x2=2/兀.

不妨设兀＜王＜工242兀，又因为。＞0,

所以口兀《口西＜。工242刃兀，所以042左＜2/«2G.

即在区间［。,2封内存在两个不同的偶数.

①当时，区间［。,2旬的长度2。-。24,

所以区间20］内必存在两个相邻的偶数，故。24符合题意.

②当0＜。＜4时，有0＜。42左＜2/42。＜8,

所以2人,2/e{2,4,6}.

2k=4,<4,

当2/=6时,有,BP3<<4.

6W2。

所以3V。＜4也符合题意.

2k=2,67<2,

当时，有即ty=2.

21=4442。

所以。=2符合题意.

12左=2,f（y<2,

当0/1时，有此式无解・

综上所述，。的取值范围是{2}u[3,+s）.

题型七：求C0SX（型）函数的对称轴及对称中心

1.（21-22高一下•上海杨浦•期中）设函数/（x）=wcos（x+a）+“cos（x+/?）,其中加，n,«,力为己知实常

数，XGR,则下列4个命题：

（1）若〃0）=/d=0,则/（x）=0对任意实数X恒成立；

（2）若/⑼=0,则函数了=/（"为奇函数；

⑶若//卜。，则函数了=/3为偶函数；

（4）当尸（0）+尸]|：10时，若〃再）=/0）=0,贝也-2=2丘，keZ

其中错误的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】可根据各选项中的条件得到参数的关系，再反代入原函数，从而可判断（1）（2）（3）的正确与否,

利用反例可判断（4）的正误.

【详解】对于（1）,f（0）=-0即为加cosa+〃cos/3=-msina-nsin0=0,

即mcosa=-ncos/?,msina=-nsin（3,

两边平方后可得/=/,故加=〃或加=_〃.

若加=〃w0,贝（jcosi=—cos/?,sina=—sin/7,故a=分+〃+2左肛左EZ,

此时f（%）=mcos（%+/7+»+2后万）+mcos（x+/7）=0,

若加二一〃w0,则cos6Z=cosJ3,sina=sin/3,故。=/7+2左肛左GZ,

此时f（^）=cos（x++2to）-mcos（x+y0）=0,

若加=〃=0或加=一〃=0,贝口/（工）=0,故（1）成立.

对于（2）,因为/（0）=0,贝U加cosa+〃cos/?=0,

若cosa,cos/?均为零，

则f（%）=~msinasmx-nsinJ3sinx=-（msina+nsin夕）sinx,

其定义域为火，且/（-%）=-/（x）,故为奇函数；

cosB

若cosa,cos/7不全为零，不妨设cosawO,则加=-----n,

cosa

故/(x)=，°°s0xcos(x+a)+scos(x+⑶

n

[cos°xcos(x+a)-cosacos(x+£)]

cosa

=--------(cosasin—sinacos/?)sinx,

cosa

此时函数的定义域为&,而/(-x)=-/(x),故为奇函数；

故(2)正确.

对于(3),因为/(口二。，则加sini+〃sin夕=0,

若sina,sin0均为零，

贝Uf(%)=mcosxcosa+ncosxcosP=(加cosa+〃cos0cosx,

此时函数的定义域为H,而/(-x)=/(x),故为偶函数；

若sina,sin£不全为零，不妨设sintzwO,则〃?=-理幺”，

sina

故/(x)二一"sin'*cos(x+a)+几cos(x+/?)

sina

n

[sin(3xcos(x+a)—sinacos(x+m]

sina

=-------(cos6/sin/?-sinacos/?)cosx,

sina

此时函数的定义域为火，而/(-x)=/(x),故为偶函数；

故(3)正确.

对于⑷，因为尸(。)