2023-2024学年北京市昌平区高二（下）期末数学试卷

2023-2024学年北京市昌平区高二(下)期末数学试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.(4分)己知集合4=*仇・0},B={x||x|Wl},则()

A.[-1,1]B.[-1,0]C.[0,1]D.(-8,1]

2.(4分)若p：VxG(-8,o),/-2x>0,贝厂〃为()

A.3x6(-8,o),/-2xW0B.3x6(-8,0),x2-2x>0

C.VxG(-8,o),x2-2xW0D.Vxe(-8,0),X2-2x<0

3.(4分)下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+8)上单调递增的是()

1

A.y=y/xB.y=sinxC.y=3D.y=--

/X

4.(4分)已知数列{如}的前九项和匕=n2一3n,则〃3+。4=()

A.1B.2C.4D.6

5.(4分)函数f(%)=-％)的最大值为()

11V2

A.-B.-C.—D.1

422

11

6.(4分)已知a,b为非零实数，贝IJ是“一<-"的()

ab

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

7.(4分)若点A(cosa,sina)关于x轴的对称点为B(cos(a-》sin(a一物,则a的取值可以是()

7157r77r57

A.—B.—C.—D.—

3663

8.(4分)已知函数/(x)=logM-x+l,则不等式/(%)V0的解集是()

A.(1,2)B.(-8,1)u(2,+8)

C.(0,2)D.(0,1)U(2,+8)

9.(4分)把液体A放在冷空气中冷却，如果液体A原来的温度是空气的温度是6o℃,则他加后

液体A的温度可由公式6=焉+(4-。0诃一°"求得.把温度是62℃的液体A放在15c的空气中冷

却U液体A的温度冷却到51℃和27℃所用时间分别为九加九，也加〃，则£2-九的值约为()(参考

数据历3p1.10)

A.2.7B.3.7C.4.7D.5.7

10.(4分)已知集合人=｛(xi,X2,•xio)旧=1或0,1=1,2,10),对于集合A中的任意元素p

]

=(pi,P2,--010)和0=(矶，42,矶0),记M(p,(?)=2[(P1+Q1-\P1-Qll)+(P2+Q2-IP2-

Q2I)++(P10+Q10—IPio-Qiol)]-若集合814,Np,q£B,均满足A/(p,q)=0,则8中兀素个

数最多为()

A.10B.11C.1023D.1024

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.(5分)在平面直角坐标系中，角a以原点为顶点，以无轴正半轴为始边，其终边经过点(-1,2),

则cosa=.

12.(5分)已知函数/(x)=/0。2(久+3)-2*,则/(-I)=.

13.(5分)我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中对于同余问题给出了较完整的解法，即“大衍求一术”，

也称“中国剩余定理，，.现有问题：将正整数中，被2除余1且被3除余2的数，按由小到大的顺序排

成一列，则此列数中第10项为.

丫3v>0

；"'若人外在R上是增函数，则。的一个取值为_____________;

｛—X2+2a,x<a.

若/(x)在R上不具有单调性，则a的取值范围是.

1

15.(5分)已知等差数列｛丽｝的前W项和为S”且S2023<52024<52022.数歹其一--｝的前"项和为

anan+l

给出下列四个结论：

@02023<0;

②4202202023〉4202402025;

③使Sn<0成立的n的最大值为4048；

④当见=2023时，4取得最小值.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题(本大题共6小题，共85分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.(13分)已知函数/'(久)=V^sinxcosx+si/x.

(I)求/(x)的最小正周期；

3

(II)若/(X)在区间[o,河上的最大值为求实数机的取值范围.

17.(13分)已知等比数列｛即｝为递增数列，其前a项和为S,碓=9,S3=39.

(I)求数列｛斯｝的通项公式；

(II)若数列｛斯-加｝是首项为1,公差为3的等差数列，求数列｛初｝的通项公式及前"项和7k

18.(14分)已知函数/(x)=x3-x2,-x-1.

(I)求/(x)的单调区间；

(II)若关于x的不等式，(x)-CWO在区间［-1,2］上恒成立，求实数c的取值范围.

19.(15分)设函数/(%)=cosg-23%)cos0+cos2o)%s讥0(s>0,|租|<，)，其最小正周期为T.

(I)若T=2m求0)的值；

(II)己知了(无)在区间［金，卷］上单调递减，/(*)=-1,再从条件①、条件②、条件③这三个条

件中选择一个作为已知，使函数/(X)存在，求3,隼的值.

条件①：(普，0)为函数/(无)图象的一个对称中心；

条件②：函数/(无)图象的一条对称轴为力=各

条件③：《)=*

注：如果选择的条件不符合要求，第(II)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一

个解答计分.

1

20.(15分)设函数/(%)=久(靖—2a%—

(I)若m=-1,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(II)若/(%)在x=-l处取得极小值，求实数机的取值范围；

(III)若对任意的xeR,f(x)讨(-1)恒成立，直接写出实数机的范围.

21.(15分)已知无穷数列｛斯｝,给出以下定义：

对于任意的在N*,都有所+帆+222斯+1,则称数列｛即｝为“N数列”;特别地，对于任意的W6N*,都有

an+an+2>2an+l,贝!)称数列｛珈｝为“严格T数列

(I)已知数列｛。"｝,｛加｝的前〃项和分别为A”,Bn,fian=2n-1,与=一2"-】，试判断数列｛4｝,

数列｛当｝是否为“T数列”，并说明理由；

(II)证明：数列｛词为“T数列”的充要条件是“对于任意的k,m,nGN*,当k<m<n时，有(n

-m)ak+(m-k)即2(n-k)am”;

(III)已知数列｛加｝为“严格T数列”，且对任意的“6N*,mCZ,M=-8,加28=-8.求数列｛为｝的

最小项的最大值.

2023-2024学年北京市昌平区高二(下)期末数学试卷

参考答案与试题解析

题号12345678910

答案BADDBDCDBB

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.(4分)已知集合4={无仇<0},8={x||x|Wl},则AC3=()

A.[-1,1]B.[-1,0]C.[0,1]D.(-8,i]

【分析】求出集合8,利用交集定义求ACS.

【解答】解：集合A={无以WO},B={x||x|Wl}={x|-IWXWI},

则{{尤|-1WXW0}=[-1,0].

故选：B.

【点评】本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.(4分)若p：VxE(-8,o),J?-2x>0,则-'p为()

A.(-8,o),x1-2xW0B.BxG(-0),x2-2尤>0

C.Vx£(-8,o),x2-2x^0D.Vx£(-8,o),/-2x<0

【分析】根据全称命题的否定即可求解.

【解答】解：因为p：VxG(-8,o),x2-2x>0,

所以-'p为：3x6(-8,o),/-2xW0.

故选：A.

【点评】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题.

3.(4分)下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+8)上单调递增的是()

A.y-y/xB.y=sinxC.y—3D.y=--

【分析】由题意利用函数的奇偶性和单调性，得出结论.

【解答】解：由于y=F的定义域[0,+8),不关于原点对称，不存在奇偶性，故排除A；

由于y=sinx是奇函数，在(0,+8)上不具有单调性，故排除8；

由于y=3是常函数，不具有单调性，排除C；

由于：是奇函数，且在区间(0,+8)上单调递增，符合题意.

故选：D.

【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.

4.(4分)已知数列｛斯｝的前〃项和£=/一3n,则<?3+。4=()

A.1B.2C.4D.6

【分析】由斯和S”的关系，求得即，可得所求和.

【解答】解：前"项和%="-3n,可得〃=1时，ai=Si=-2,

22

当"N2时，an=Sn-Sn-i=n-3M-(w-1)+3(n-1)=2n-4,

上式对72=1也成立，

贝!J.3+44=6-4+8-4—6.

故选：D.

【点评】本题考查数列的通项与求和的关系，考查转化思想和运算能力，属于基础题.

5.(4分)函数/(X)=JxQ-x)的最大值为()

11V2

A.-B.—C.—D.1

422

【分析】由已知结合基本不等式即可求解.

【解答】解：因为/(%)=-％)C2(x+1-x)=],当且仅当％=1-%,即x=2时取等号,

故选：B.

【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题.

11

6.(4分)已知4,b为非零实数，贝!J"〃>/'是“一V1'的()

ab

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可判断.

1111

【解答】解：当。>0>/?时，一〉。〉工,所以由〃>/?得不出一〈二，

abab

1111b-a

右一〈一,则一—一=---V0,右ab<0,则b-〃>0,即a<b,

ababab

1l

所以由一V:得z不出a>b,

ab

11

所以是"一<-"的既不充分也不必要条件.

ab

故选：D.

【点评】本题主要考查了不等式的性质，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题.

7.（4分）若点A（cosa,sina）关于x轴的对称点为B（cos（a—处sin（a—物,则a的取值可以是（）

【分析】由已知结合和差角公式及同角基本关系即可求解.

【解答】解：若点A（cosa,sina）关于次轴的对称点为B（cos（a—》s讥（a-初,

7T71=^sa-^na,

贝(Jcosa=cos(a一号)=^cosa+^ysina,sina=-sin(a—=sin(——a)CO

3

所以cosa=V3sina,即tana=孚

故选：C.

【点评】本题主要考查了和差角公式及同角基本关系的应用，属于基础题.

8.（4分）己知函数/（x）=log2x-x+1,则不等式/（无）<0的解集是（）

A.(1,2)B.(-8,1)u(2,+8)

C.(0,2)D.(0,1)U(2,+8)

【分析】分别作出y=log”的图象与y=x-1的图象，观察图象即可得解.

【解答】解：依题意，f（X）<0等价于log2X<X-1,

分别作出y=log”的图象与y=x-1的图象，

如图可得不等式/（x）<0的解集是（0,1）U（2,+8）,

故选：D.

【点评】本题考查了不等式的解法，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题.

9.（4分）把液体A放在冷空气中冷却，如果液体A原来的温度是空气的温度是佻℃,则加初后

液体A的温度0℃可由公式。=埸+(%-。0)?一0・3七求得,把温度是62℃的液体A放在15℃的空气中冷

却I,液体A的温度冷却到51℃和27℃所用时间分别为力加〃，⑵n加，则/2-九的值约为()(参考

数据物3Pl.10)

A.2.7B.3.7C.4.7D.5.7

【分析】把81=62,0o=15,6=51代入9=M+(。1一。0)?一口丸中，求得力，把。1=62,00=15,0

=27代入6=。0+(。1一。0)?一°左中，求得⑦作差求解即可.

【解答】解：把01=62,00=15,8=51代入6=。0+(。1一。0)。一°丸中,得51=15+(62-15)/°汽

即^-。③二碧,所以-0.3/=/〃至，解得/=—学历至,即九=—学历任；

4/47347347

把01=62,00=15,0=27代入6=M+(%-。0元一0・3七中，得27=15+(62-15)/。汽

即春，所以-0.3%=/〃一，解得u—学历一，即/2=—学一；

4/47347347

〜.101236in1247in110in

所以t2-ti=—y-(bi——In—)=—芸n(—X——)=—-历一=—历3=亍xl.l=3.7.

34747347363333

故选：B.

【点评】本题考查了指数函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题.

10.(4分)已知集合A={(xi,xi,尤io)由=1或0,i=l,2,10),对于集合A中的任意元素p

、1

=(pi,P2,…，pio)和9=(qi,q2,…，m0),记M(p,q)=2[(Pi+Qi-IPi-Qil)+(P2+Q2-IP2-

[21)+…+(P10+q10—IPio—liol)],若集合BGA,Yp,qEB,均满足M(p,q)=0,则8中兀素个

数最多为()

A.10B.11C.1023D.1024

【分析】分析可得当Pi和qi同时为1时，(Pi+qD'Pi-qH=1,当pi和qi至少有一个为0时，

⑺叶依)[P，二=0,要使M(p,g)=0,则2的所有元素的》(i=l,2,3,…，10)位置至多有

1个1,讨论即可得到集合8的元素个数的最值.

【解答】解：依题意,对于A中元素p=(pi,P2,•••,pio)和4=(qi,qi,夕10),

(Pi+Qi)-\Pi-Qi\

当pi和qi同时为1时,----------------------=14,

2

(历+蛇)一口一如

当pi和名至少有一个为0时,

2

要使得A的一个子集5中任两个不同元素p、乡均满足A/(p,q)=0,

设集合B中的元素记为(％1,X2,…，xio),

则5的所有元素的斯・(1=1,2,3,…，10)位置至多有1个1,

若Xi（i=l,2,3.•••,10）位置为1,其它位置为0的元素有10个，

若方（i=l,2,3,10）全为0的有1个，

综上B中元素最多有10+1=11个.

故选：B.

【点评】本题主要考查元素与集合的关系，集合与集合的关系，考查逻辑推理能力，属于难题.

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.（5分）在平面直角坐标系中，角a以原点为顶点，以无轴正半轴为始边，其终边经过点（-1,2）,

贝!Jcosa=一廖.

【分析】根据任意角三角函数定义即可得.

【解答】解：角a以原点为顶点，以尤轴正半轴为始边，其终边经过点（-1,2）,则cosa==—得.

故答案为：一洛.

【点评】本题考查任意角三角函数定义，属于基础题.

1

12.（5分）已知函数/（久）=/0。2（久+3）-2工，贝1".

【分析】利用对数运算性质即可求值.

【解答】解：/（-1）=/0出（-1+3）-2（7,=1-1=1.

,,……,1

故答案为：—.

【点评】本题考查对数的运算，考查计算函数值，属于基础题.

13.（5分）我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中对于同余问题给出了较完整的解法，即“大衍求一术”，

也称“中国剩余定理”.现有问题：将正整数中，被2除余1且被3除余2的数，按由小到大的顺序排

成一列，则此列数中第10项为59.

【分析】被2除余1且被3除余2的数构成公差为6的等差数列，由此即可得.

【解答】解：依题意，设a满足被2除余1且被3除余2,

则a加上2和3的最小公倍数6的整数倍后也能满足被2除余1且被3除余2.

设被2除余1且被3除余2的数由小到大排列而成的数列为｛圆｝,

由于被2除余1且被3除余2的最小正整数为5,

则｛词是首项为5,公差为6的等差数列，所以aio=5+（10-1）X6=59.

故答案为：59.

【点评】本题考查等差数列的性质，属于基础题.

笫3丫fi

；一'若f(x)在R上是增函数，则a的一个取值为0(不

｛—X2+2a,x<a.

唯一)；若/(x)在R上不具有单调性，则a的取值范围是(-8,-2)U(0,+8).

【分析】根据塞函数及二次函数的性质求出了(无)在R上是增函数时a的范围，即可得第一空答案，

再用补集思想即可得第二空答案.

【解答】解：因为当时，f(x)=/,

易知函数在［。，+°°)上单调递增；

当x<a时，f(x)=-x2+2a,

当a>0时，

则函数在(-8,0］和m，+8)上单调递增；在(0,a)上单调递减；

当。=0时，则函数y=/(x)在R上单调递增；

当a<0时，要使函数/(无)在R上是增函数，

则必需有一层+24忘/,

解得-2Wa<0,

综上，当/(x)在R上是增函数时，a&［-2,0］；

所以第一空的答案为［-2,0］中的任何一个数即可；

由以上分析可知，当aC(-8,-2)U(0,+8)时，

函数/(x)在R上不具有单调性.

故答案为：0(不唯一')；(-8,-2)U(0,+°°).

【点评】本题考查了募函数、二次函数的性质，考查了分类讨论思想，属于中档题.

1

15.(5分)已知等差数列｛斯｝的前〃项和为S”且S2023<52024<52022.数歹式一--｝的前〃项和为

anan+l

给出下列四个结论：

@4/2023<0;

②a2022a2023>0202442025;

③使5«<0成立的n的最大值为4048；

④当〃=2023时，6取得最小值.

其中所有正确结论的序号是①②④.

【分析】由&023<&024<&022,可得ai<a2<a3<...<a2023<0<a2024<a2025<...,结合等差数列的性

质和求和公式、数列的裂项相消求和，对四个结论判断，可得正确结论.

【解答】解：对于①：S2024-52023=。2024>0,S2024-52022=«2024+«2023<0,

«2023<0且|。2023|>|。2024|,

由等差数列性质可知，ai<0,公差d>0,故①正确；

对于②：由等差数列性质和一次函数特征，412022<02023<0<42024<42025,

且|〃2023|>|。2024|,|〃2022|>|420251,即4202242023>4202442025,故②正确；

对于③：54047=4047("广"4()47)=4047〃2024>0,54046=2023(41+Q4046)=2023(Q2023+42024)<0,

：.Sn<0成立的而数=4046,故③错误：

111111111111

对于④：设bn=-------=7(——一-----)，可得Tn=7(——-——+——-——+...+-----------)=7

由d>0,3V...<。2023<0<。2024<〃2025〈...，可得〃=2023时，取得最小值，故④正确.

故答案为：①②④.

【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题.

三、解答题(本大题共6小题，共85分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16.(13分)已知函数/(%)=y/Ssinxcosx+sin2x.

(I)求/(x)的最小正周期；

3

(II)若/(x)在区间［o,加上的最大值为鼻，求实数小的取值范围.

【分析】(/)先利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式即可求解；

(〃)结合正弦函数的最值的取得条件可求.

【解答】解：(I)因为/(%)=VSsinxcosx+sin2x

TT

=sin⑵飞)+

所以了(无)的最小正周期

(II)由x€［0,可得2x—6日一亨一6

3

若y(x)在区间［0,河上的最大值为鼻,

则sin(2x-1)在［0,词上的最大值为1,

所以2机一号2*,解得机2号

71

则实数相的取值范围为g，+°°).

【点评】本题主要考查了辅助角公式的应用，正弦函数的周期公式及最值的应用，属于中档题.

17.(13分)已知等比数列｛斯｝为递增数列，其前〃项和为S”,及=9,53=39.

(I)求数列｛.｝的通项公式；

(II)若数列｛珈-加｝是首项为1,公差为3的等差数列，求数列｛m｝的通项公式及前“项和力,.

【分析】(I)由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，可得所求；

(II)由等差数列的通项公式求得劭-为，进而得到加；再由数列的分组求和，结合等差数列和等比

数列的求和公式，可得所求和.

【解答】解：(I)等比数列｛板｝为递增数列，设公比为q,其前〃项和为S”，碓=9,S3=39,

可得aiq=9,ai+ai4+ai/=39,

1

解得。1=4=3,或m=27,q=可(舍去)，

n

则an=3；

(II)若数列｛丽-加｝是首项为1,公差为3的等差数列，

则劭-瓦=1+3(〃-1)=3〃-2,

可得加=3"-(3〃-2),

l+12

前〃项和刀尸(3+9+...+3")-(1+4+...+3«-2)=1(1+3„-2)=3-3-3n+n^

1~DLL

【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的分组求和，考查方程思想和

运算能力，属于中档题.

18.(14分)已知函数无)=x3-x1-x-1.

(I)求/(x)的单调区间；

(II)若关于X的不等式/(x)-CWO在区间［-1,2］上恒成立，求实数C的取值范围.

【分析】(I)求导，直接利用导数求单调区间即可；

(II)由(I)的结论可得/(x)在［-1,2］上的单调性，求出函数无)在［-1,2］上的最大值，即

可求解。的取值范围.

【解答】解：(I)因为于(X)=/-%2-X-1)所以f(X)=3尤2-lx-1,

令f(x)=0,BP3J?-2x-1=0,解得久=—4或x=l,

1i

且当xG(―8，—亍口(］,+8)时，f(x)>0,当xE(―w，1)时，f(x)<0,

所以/(X)的单调递增区间为(一8,一》和(1,+8),递减区间为(4,1);

(II)由(I)有/(x)在［―1,—3和(1,2］上单调递增，在(一/，1)上单调递减，

17?

且/(一引=-27.f(2)=1,

所以/(无)在［-1,2］上的最大值为/(2)=1,

因为关于x的不等式/(x)-cWO在区间［-1,2］上恒成立，

即/(X)〈C在区间［-1,2］上恒成立，即/(X)max^C,所以

所以c的取值范围为口，+8).

【点评】本题考查了运用导数判断函数的单调性，考查了函数思想，属于中档题.

19.(15分)设函数/(x)=cosg-2o)x)cos9+cos2o)xs讥(a)>0,\cp\<^),其最小正周期为T.

(I)若T—2-n,求3的值；

(II)己知了(尤)在区间［金，卷］上单调递减，/(雪)=-1,再从条件①、条件②、条件③这三个条

件中选择一个作为已知，使函数/(%)存在，求3,(P的值.

条件①：(普，0)为函数/(无)图象的一个对称中心；

条件②：函数/(无)图象的一条对称轴为尢=各

条件③：f(T)=

注：如果选择的条件不符合要求，第(II)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一

个解答计分.

【分析】(I)化简可得/(x)=sin(2o)x+(p),再根据正弦函数的周期性，即可得解；

(II)若选条件①：根据正弦函数的单调性、对称性和周期性，推出矛盾结果，可知/(x)不存在；若

选条件②：由函数的单调性与周期性可求得3=1,再利用/(碧)=-1,求解即可；若选条件③：由了

(D=/(0)=simp,求得隼=去再结合/(需)=—1及正弦函数的单调性与周期性，求出3的值即

可.

【解答】解：(I)/(%)=cos(^—2(JL)X)COS(P+cos2a)xsin(p=sin2a)xcosq)+cos2(ji)xsin(p=sin(2a)x+(p),

27r人，i

右T=2n,则—=2m解得(n=亍

2a)2

(II)由(I)知，函数/(x)的最小值为-1,

若选条件①：

因为/(无)在区间比，笥上单调递减，

~,T77r7Tn

所以一>—-一=一，即

212122

又/(碧)=—1,且(整，0)为函数/(%)图象的一个对称中心,

所以工—居—=3即7=等与7办相矛盾,

故函数/(x)不存在.

若选条件②:

因为/(x)在区间段，笥上单调递减，/(碧)=-1,且函数/(无)图象的一条对称轴为x=金,

~、7TInT

所以运一石?即i

又T=57?所以3=1,

所以/(x)=sin(2x+cp),

,7TT,7n7n„77r

由f(豆)=-1,知f(—)=sin(2*—+(p)=-1,即sin(—+(p)=-1,

77L*2^rr^rr

所以—+5=亏+2忆7，即cp=亍+2E:,蛇Z,

6z3

又取V*,所以5=泉

综上，3=1,(p=

若选条件③：

因为/(T)=f(0)=sin(p,且/(T)=字，

所以sin(p=享，即(p=^+2内I,依Z或4=?+2加，左CZ

又1中1〈方所以＜P=泉

所以/(x)=sin(2o)x+^),

।7TT,77r77rTC77r77-

由/(T7)=—1，知/(一)—sin(2o)・一+—)=-1,即sin(—o)+亍)=-1,

八12，J1212363

_7TCTT21T

所以-^-0)+W=彳+2加，蛇Z,即o)二万—Fl,依Z,

因为/(x)在区间［各笥上单调递减,

~T77i7in

所以一>---=-即T》TT,

212122

2TT

又7=乎，所以0<3Wl,

ZC0

取k=0,则a)=l,

综上,3=1,(p=

【点评】本题考查三角函数的综合应用，熟练掌握两角和的正弦公式，诱导公式，正弦函数的图象与性

质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

1

20.(15分)设函数/(x)=久(短—2mx—m).

(I)若m=-1,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(II)若/(X)在x=-l处取得极小值，求实数机的取值范围；

(III)若对任意的XCR,尤)^/(-1)恒成立，直接写出实数机的范围.

【分析】(I)利用导数的几何意义求解；

(II)先求出/(X),再对初分情况讨论，结合/(尤)的正负得到了(X)的单调性，进而判断了(X)

的极值；

(IID利用(II)中结论直接求解.

【解答】解：(I)若机=-L/(x)=xeK+^x2+x,

则，(x)=(x+1)e^+x+l—(x+1)(e*+l),

所以/(0)=0,f(0)=2,

所以曲线y=/(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x；

(II)函数/'(久)=xex—ymx2—mx,xGR,

则/(x)=(x+1)(，-加)，

①若加WO,/-m>0,

当衽(-8,-1)时，x+l<0,f(x)<0,f(x)单调递减；

当xe(-1,+8)时，x+l>0,f'(无)>0,f(x)单调递增，

所以/(无)在x=-1处取得极小值，

②若加>0,令f(X)=0,得天=-1或了=历"2,

1

若lnm<-1,即0OnV/

当x变化时，f(x)与/(%)的变化如下表：

X(-8,Inm)Inm(Inm,-1)-1(-h+8)

f(X)+0-0+

/（X）递增极大值递减极小值递增

所以了（%）在（-8,Inm）,（-1,+8）上单调递增，在Qlnm,-1）上单调递减，

所以/（%）在x=-1处取得极小值，

1

右1rlmN-1,即zn>

当xE（-8,-i）时，x+i<0,/-m<e1-

所以/（x）>0,/（x）单调递增，

所以％=-1不是f（x）的极小值点，

综上所述，实数机的取值范围是（-8,1）;

（III）（-8,0].

【点评】本题主要考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题.

21.（15分）已知无穷数列｛斯｝,给出以下定义：

对于任意的〃6N*,都有劭+斯+222如+1,则称数列｛斯｝为“T数列”;特别地,对于任意的“CN*,都有

an+an+2>2an+l,则称数列｛斯｝为“严格T数列

711

（I）已知数列｛丽｝,｛加｝的前〃项和分别为A”,Bn,且斯=2〃-1,bn=-2-,试判断数列｛4｝,

数列｛B”｝是否为“T数列”，并说明理由；

（II）证明：数列｛词为“T数列”的充要条件是“对于任意的k,m,71GN*,当k<m<n时，有（咒

-m）ak+Gn-k）珈2（w-k）丽”；

（III）已知数列｛加｝为“严格T数列”，且对任意的让N*,加6Z,加=-8,bi28=-8,求数列｛为｝的

最小项的最大值.

【分析】（1）根据等差等比的求和公式可得4n=创萼3=声，1^=一胃=1一2%即可利用

定义以及作差法求解.

（2）利用累加法，结合放缩法可得Cln~Clm^（〃-机）（。加+1-。勿），Clm-ClkW（徵-左）（dmdm-1）>即

可求证必要性，取机=女+1,〃=k+2即可求证充分性.

（3）根据定义可得｛Cn｝为单调递增数列，且CnEZ,进而得加28-加=C127+C126+…+C1=O,即可根据｛员｝

单调性得最小值为源，结合放缩法和等差求和公式可得，即可求解.

【解答】解：（1）由于an=2n-1为等差数列，所以4n=（1+271）九=九2,.=—2^】为等比数歹U，

222

任意的wEN”，