2024-2025学年沪科版七年级数学下册易错题压轴题专项复习（考试范围：第6~8章）【24大题型】解析版

期中易错题压轴题专项复习【24大题型】

（考试范围：第6~8章）

【沪科版2024】

＞题型梳理

【易错篇】......................................................................................2

【考点1平方根、立方根】......................................................................2

【考点2无理数】..............................................................................3

【考点3实数与数轴】..........................................................................6

【考点4实数的运算】..........................................................................8

【考点5一元一次不等式】.....................................................................10

【考点6一元一次不等式组】...................................................................13

【考点7幕的运算】...........................................................................15

【考点8单项式乘单项式】.....................................................................16

【考点9单项式乘多项式】.....................................................................18

【考点10多项式乘多项式】....................................................................20

【考点11完全平方公式】......................................................................23

【考点12平方差公式】........................................................................25

【考点13因式分解】..........................................................................27

【压轴篇】.....................................................................................29

【考点14无理数的整数与小数部分的计算】.....................................................29

【考点15不等式（组）的整数解问题】............................................................32

【考点16不等式组的有解或无解问题】..........................................................35

【考点17利用不等式的基本性质求最值】.......................................................38

【考点18方程与不等式（组）的实际应用】.....................................................41

【考点19累的运算的逆用】....................................................................47

【考点20多项式乘积不含某项求字母的值】.....................................................49

【考点21多项式乘多项式与图形面积】..........................................................52

【考点22整式乘法中的规律性问题】...........................................................60

【考点23整式乘法中的恒成立问题】...........................................................64

【考点24因式分解的应用】....................................................................67

►举一反三

【易错篇】

【考点1平方根、立方根】

【例1】(24-25七年级上•黑龙江哈尔滨•期末)下列说法中正确的是()

A.|-25|有平方根B.-64没有立方根

C.0.09的平方根是±0.03D.，(-4)2的算术平方根是4

【答案】A

【分析】本题考查了立方根、平方根及算术平方根的知识，注意一个正数的平方根有两个，算术平方根只有

一个，且为正数.根据立方根及平方根、算术平方根的定义，结合各选项进行判断即可.

【详解】解：A、|-25|=25,25有平方根，故选项A正确；

B、-64的立方根为-4,故选项B错误；

C、0.09的平方根是±0.3,故选项C错误；

D、正夺=71%=4,4的算术平方根是2,故选项D错误；

故选：A.

【变式1-1】同+7=27==.

【答案】1

【分析】根据算术平方根和立方根的定义进行计算.

【详解】解：痔+昨方=4-3=1

故答案为1.

【点睛】本题考查算术平方根和立方根，正确掌握算术平方根和立方根的意义是解题关键.

【变式1-2](24-25八年级上•江苏扬州•期末)解方程：

(1)20+1)2=8；

(2)0-3)3—27=0.

【答案】(l)x=1或x=-3

(2)%=6

【分析】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键.

(1)根据平方根的定义解方程即可；

(2)根据立方根的定义解方程即可.

【详解】(1)解：2(x+l)2=8,

（%+l）2=4,

.*.%+1=±2,

=1或%=—3；

（2）解：（％—3）3—27=0,

3）3=27,

%—3=3,

.*.%=6.

【变式1-3］（24-25八年级上•湖北十堰・期末）己知x-1的平方根是±3,x+y的立方根是2,求/+外的

值.

【答案】104

【分析】本题主要考查了平方根、立方根、代数式求值等知识点，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键.

根据平方根的定义求出x的值，根据立方根的定义求出y的值，再根据有理数的乘方法则、加法法则计算即

可.

【详解】解：’."—I的平方根是±3,

■■■x—1—9,

x=10,

+y的立方根是2,

・•.汽+y=8,

・•・y=-2,

・♦・%2+y2=1004-4=104.

【考点2无理数】

［例2］（24-25七年级•安徽安庆•期中）满足-百<%<VTU的整数x是.

【答案】-1、0、1、2

【分析】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根、立方根的意义是解题关键.根据算术平方根、立方

根的意义估算-g,VTU的整数部分，进而得出答案.

【详解】解：：12=1,22=4,且1<3<4,

Al<V3<2,

/•—2<—y/3<—1,

V23=8,33=27,且8<10<27,

：.2<V10<3,

,满足一百〈久〈汨的整数%有一1、0、1、2.

故答案为：—1、0、1、2.

【变式2-1］（24-25七年级•山东泰安・期末）在实数一3,0,V7,\后包，0.1313313331…（每两个1之

间的3依次多1）中，其中无理数的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】此题主要考查了立方根和无理数的定义，熟知无理数的常见形式是解题的关键.首先计算7=瓦=

-4,然后根据无理数是无限不循环小数判断即可.

【详解】解：V=64--4,

・•・根据无理数的定义可知：V7,p0.131331331…（每两个1之间的3依次多1）是无理数，

二无理数的个数是3个.

故选：B.

【变式2-2］（24-25七年级•甘肃天水・期末）因为22<5<32,可以肯定2<小<3,也就是愿在2与3之间.依

据这一方法，对2.22<5<2.32,可以肯定2.2（近<2.3,也就是逐在2.2与2.3之间，可以得到店的近似

值.那么"U的估算结果中正确的是（）

A.3.15<V10<3.16B.3.16<V10<3.17

C.3.17<同<3.18D.3.18<V10<3.19

【答案】B

【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出VTU的范围是解答本题的关键.

利用估算无理数大小的方法即可求得答案.

【详解】解：；3.162<10<3,172,

.­.3.16<V10<3.17,

故选：B.

【变式2-3］（24-25七年级•辽宁本溪・期末）解答题，在学习第二章第4节《估算》后，某数学爱好小组探

究VHU的近似值的过程如下：

•••V100<VT10<V121

io<VTio<11

••・面积为110的正方形的边长是VTTU

.♦.设“TU=io+%,其中0＜尤＜1,

画出示意图，如图所示.根据示意图，可得图中正方形的面积为

S正方形速。=102+2X1O%+7,

又S正方形ABCO=110,

102+2X10%+x2=110,

当0<%<1时，可忽略/,得100+20%《110,解得xa0.5,

（1）求的整数部分；

（2）仿照该数学爱好小组的探究过程，求的近似值（结果保留1位小数）.（要求：画出示意图，标注

数据，并写出求解过程）

【答案】⑴3

（2）71^8«3.8

【分析】本题主要考查了估计无理数的大小，理解示例并合理解答是解题关键.

（1）判断出再＜旧百＜3%即可解答；

（2）仿造示例画出图形，可得S正方形4BCD=32+2x3*+/,据此即可解答.

【详解】（1）解：＜同，

3＜V13.8＜4,

71^的整数部分为3.

（2）解：根据题意画出示意图，标注数据如下：

.•面积为13.8的正方形的边长是且3<71^8<4,

工设，13.8=3+%,其中0<x<1,

根据示意图，可得图中正方形的面积S正方形ABCD=32+2X3%+%2,

又S正方形4BCD=13.8

.­•32+2x3x+%2=13.8,

当0<久<1时，可忽略/,得9+6x《13.8,解得%20.8,

V13.8®3.8.

【考点3实数与数轴】

【例3】(24-25七年级•浙江杭州•期中)实数。在数轴上对应点A的位置如图所示，若b=|a-VT3+

\2-a\.则：

A

-4-3-2-1012,3

(1)人的值是.

(2)VIU(b+2)的平方根是.

【答案】V10-2±V10

【分析】本题主要考查了实数与数轴、平方根及实数的性质，熟知数轴上的点所表示数的特征及平方根的定

义是解题的关键.

(1)根据数轴上点A的位置，得出数a的取值范围，再结合绝对值的性质即可解决问题.

(2)根据(1)中求出的6的值，结合平方根的定义即可解决问题.

【详解】解：(1)由所给数轴可知，2<a<3,

所以a—V10<0,2—a<0,

则b=V10-a+a-2=V10-2.

(2)由(1)知，

V10(b+2)=V10X(Vio-2+2)=10,

所以VTU(b+2)的平方根是±VTU.

故答案为：(1)66一2；(2)±V10.

【变式3-1](24-25七年级•山西长治•期中)数学课上，为了让同学们更加直观地理解无理数可以在数轴上

表示，张老师作了如图所示的演示，把直径为1个单位长度的圆沿数轴从原点无滑动地顺时针滚动一周，到

达点4此时点4表示的数是.

0~1A

【答案】n

【分析】本题考查用数轴上的点表示实数，数轴上两点间的距离，根据题意，直径为单位1的圆从数轴上的

原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点4,贝U04的长为圆的周长，求圆的周长即可.明确04长度的

实际意义是解题的关键.

【详解】解：如图，

•.•直径为单位1的圆从数轴上的原点沿着数轴无滑动地顺时针滚动一周到达点4

/.0A=71X1=71,

・••点/表示的数是7T.

故答案为：71.

0(0)1A•

【变式3-2](24-25七年级•浙江杭州•期中)数轴上点A表示的数是-2,点、B,C分别位于点A的两侧，且

到点A的距离相等.若点8表示的数是则点C表示的数是.

【答案】一4—遮/—8―4

【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握数轴的性质是解题关键.先画出图形，再求出力C,4B的长，然后

根据数轴的性质求解即可得.

【详解】解：由题意，画出数轴如下：

―1------1------1---------->

CAB

・・,数轴上点4表示的数是-2,点B表示的数是百，

：.AB=V3-(-2)=V3+2,

•・,点SC分别位于点Z的两侧，且到点4的距离相等，

••AC—AB—V3+2,

**•点C表示的数是—2—(V3+2)=—4—V3,

故答案为：-4一心

【变式3-3](24-25七年级・广东江门•期中)实数〃、b在数轴上的位置如图所示.

।1gl।।0।।A

-101X

化简—VF2+d(a—b)2=.

【答案】-2a

【分析】本题考查了利用绝对值和二次根式的性质进行化简，掌握性质是解题的关键.由数轴可得a<0<b,

a(a>0)

a—b<0,根据=|a|=<0(a=0)进行化简即可.

—a(a<0)

【详解】解：由数轴知：a<0<fo,

/.a—h<0,

+J(v-b)2

=\a\—\b\+|a—h|

=­a—b+b—ct

=—2a,

故答案为：—2a.

【考点4实数的运算】

【例4】(24-25七年级•河北邯郸•期中)任意给出一个非零实数相，按如图所示的程序进行计算.

⑴当机=1时，输出的结果为.

(2)当实数机的一个平方根是-百时，求输出的结果.

【答案】(1)0

⑵-2

【分析】(1)将相=1代入流程图，逐步计算即可；

(2)根据题意求出相的值，代入流程图计算即可求出值.

【详解】(1)解：当机=1时，

(l2+l)^l-2xl-0；

(2)根据题意得：m=(-V3)=3,

.\(32+3)4-3-2X3=-2.

【点睛】此题考查了实数的运算，以及平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

【变式4-1](24-25七年级•重庆云阳・期末)计算：(-1)2。25+|百—1|=.

【答案1—2/—2+V3

【分析】本题考查实数的运算，根据乘方和绝对值运算法则进行计算即可.

【详解】解：(一1)2°25+|百一1|

--1+V3-1

=V3—2.

故答案为：V3—2

【变式4-2](24-25七年级•湖北十堰・期末)计算：

(1)725-22+V27

2

(2)(72)+|兀一3|+(—I)】。。

【答案】⑴4

⑵兀

【分析】本题主要考查了实数的混合运算、乘方、立方根、算术平方根等知识点，灵活运用相关运算法则成

为解题的关键.

(1)先根据算术平方根、乘方、立方根化简，然后再计算即可；

(2)先根据乘方、绝对值化简，然后再计算即可.

【详解】(1)解：后一22+初

=5-4+3

=4.

2

(2)解:(V2)+|兀一3|+(—I)】。。

=2+71-3+1

=IT.

【变式4-3](24-25七年级•山东烟台・期末)(1)若m2=(-7)2,n3=(-3)3,请求出m+n的值；

(2)a是-27的立方根和V3石的算术平方根的和，b是比旧彳大且最相邻的整数，请求出5a+6的立方根

【答案】(1)4或—10；(2)-2

【分析】本题考查平方根和立方根，理解平方根和立方根定义是解答的关键.

(1)先根据平方根和立方根定义求得爪=7或-7,n=-3,再代值求解即可；

(2)先求得a=-1,再根据无理数的估算方法求解b=-3,然后代值求解5a+b=-8,进而利用立方根定

义求解即可.

【详解】解：(1)Vm2=(—7)2,n3=(—3尸，

.,.m=7BK—7,n=-3,

当m=7时，m+n=7+(-3)=4,

当Hi=-7时，m+n=-7+(—3)=-10,

+n的值为：4或-10；

(2)：a是-27的立方根和VI石的算术平方根的和，

d=-3+2=-1f

V-4=不不<7^47<-3=7=27，又b是比”而大且最相邻的整数，

/.b=—3,

**•Set+b=5x(-1)+(-3)=-8,

5a+b的立方根是一2.

【考点5一元一次不等式】

【例5】关于x的不等式手-1>?的解集都是不等式手-1<2-5的解，贝必的取值范围是.

4642

【答案】

【分析】此题考查了解一元一次不等式.先求出每个不等式的解集，再根据两个不等式解集的关系得到等W

4,即可求出a的取值范围.

【详解】解：9i<2V

4z

去分母得，x-4<8-2%,

移项合并同类项得，3%<12,

系数化为1得，x<4.

色_]>匕，

46'

去分母得，3(x+1)—12>2(4x—a),

去括号得，3x+3-12>8x-2a,

移项合并同类项得，-5久>9-2a,

解得x<等.

由题意可知等W4,

解得QW

故答案为：a<y

【变式5-11若k-(k+2)%网t>0是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是()

11

A.x<2B-x>-2C.x>--D.x<-

【答案】D

【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义及解一元一次不等式，先根据一元一次不定式的定义求出k

的值，再代入解不等式即可.

【详解】解：—(k+2)x因T>0是关于x的一元一次不等式，

：.\k\-1=lfifc+2丰0,

解得k=2,

...原不等式为2-4万>0,

解得x<

故选：D.

【变式5-2】已知关于x的方程4(%-2)=2(x—m)+4的解为负数，则根的取值范围是()

A.m<6B.m>6C.m<—6D.m>—6

【答案】B

【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和求不等式的解集.先解方程4(%-2)=2(x-m)+4可得x=

6-m,再建立不等式求解即可.

【详解】解：-2)=2(%—m)+4,

4%—8=2%—2m+4,

.*.2%=12—2m,

解得：x=6—m.

•・,关于％的方程4(%-2)=2(%-m)+4的解是负数，

6—m<0,

解得772>6.

故选:B.

【变式5-3](24-25八年级•山东聊城•期中)若关于x的一元一次不等式的解集中每一个工

的值都能使不等式手-^>I成立，贝b的取值范围是()

263

4444

A.a4一B.a之一C.aM—D.QN—

3333

【答案】B

【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键.先求出两个不等式的解集分别

为x<—3a+2和x<-2,再根据题意可得—3a+2<—2,解不等式即可得.

【详解】解：~~+1>%+

X—a+2>2x+2a,

-x>3ct—29

xV—3a+2；

l-2x1-5%2

--------->一,

263

3(1-2x)-(1-5%)>4,

3—Gx-1+5x>4,

—x>2,

x<—2；

••・关于x的一元一次不等式F+1>X+a的解集中每一个X的值都能使不等式字-手〉】成立，

2263

—3。+2W—2,

解得a>£

故选：B.

【考点6一元一次不等式组】

【例6】(24-25八年级•四川眉山・期末)若不等式组｛;[上>_；的解集为1<久<2,贝联6+力2。25的值为

()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【分析】本题考查了解一元一次不等式组，按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算可得2-巾<%<n+

4,从而可得2-爪=1,n+4=2,然后求出如”的值，再代入式子中，进行计算即可解答.

【详解】fx+m>2®,

[n-%>-4(2)

解不等式①得：x>2-m,

解不等式②得：%<n+4,

・••原不等式组的解集为：2-??1<久<几+4,

・・•不等式组的解集为1<%<2,

2—m=1,n+4=2,

/.m=1,n=—2,

/.(m+九)2°25=[1+(—2)]2025

=(-1)2025

=—1，

故选：A.

【变式6-1](24-25八年级・广西贵港•期末)对一个实数第按如图所示的程序进行操作，计算机运行从“输入

一个实数k'到“判断结果是否大于190?”为一次操作，如果操作恰好进行两次操作才停止，那么％的取值范

围是()

输入------------------------------1是-----

----------XXiTx3-2_______________停止

L___________________

A.8<x<22B.22<x<64C.22<%<62D.8<x<20

【答案】B

【分析】本题考查了程序流程图，一元一次不等式组的应用，根据程序运行一次的结果小于等于190,运行

两次的结果大于190,可得出关于x的一元一次不等式组，求解即可，正确列出一元一次不等式组是解题的

关键.

【详解】解：根据题意可得,

（3x-2<190

13（3%-2）-2>190'

解得：22<xW64,

故选：B.

【变式6-2]（24-25八年级•山东聊城•期中）若关于x的一元一次不等式组一1>30—2）的解集是比<5,

则机的取值范围是（）

A.m>5B.m>5C.m<5D.m<5

【答案】A

【分析】本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，根据“同大取大、同小取小、

大小小大中间找、大大小小找不到”，据此即可确定根的取值范围.

【详解】解：解不等式2x—1>3（x-2）,得尤<5,

・••不等式组的解集为“<5,

m>5,

故选：A.

【变式6-3X24-25八年级•浙江绍兴•期末）关于尤的不等式组的解集中每一个值均不在一1<x<

5的范围中，则。的取值范围是（）

A.a<1或a>4.5B.a<1或。之4.5

C.a>4或a<1.5D.a>4或a<1,5

【答案】B

【分析】本题考查了不等式的解集，先求出不等式的解集，然后根据不等式组的解集中每一个

值均不在一1<久<5的范围中，得出2a-425或2a-3W-1,然后关于。的不等式即可.

【详解】解：解不等式2@-%>3,得%V2a-3,

解不等式2%+8>4a,得％>2a—4,

・,•不等式组的解集为2a—4<x<2a—3,

•.•不等式组J2的解集中每一个值均不在一1<x<5的范围中，

（2%+8>4a

•**2a-34-1或2a—425,

解得a<1或a>4.5,

故选：B.

【考点7幕的运算】

/4、2024

【例7】(24-25七年级•四川资阳•期末)计算(，)x(1.25产23x5的值等于()

A.4B.-4C.5D.-5

【答案】A

【分析】本题主要考查积的乘方，同底数幕相乘，解答的关键是掌握积的乘方，同底数幕相乘法则的逆用.

先逆用同底数神相乘将化成6)2°23、支再逆用积的乘方法则计算，即可求解.

、

【详解】解：(/一§42024X(1.25)2023X5

=(r34x(ir-

/45\20234

=UX4)X5X5

4

=1x-x5

4

=1x-x5

=4.

故选:A.

【变式7-1](24-25七年级•吉林白城•阶段练习)下列计算正确的是()

A.a5-a5=a25B.(—5a565)2=-25a10/)10

C.%2+%6=x8D.—m7+(—m)2=-m5

【答案】D

【分析】本题考查了同底数事的乘除法运算，积的乘方，熟悉掌握运算法则是解题的关键.

根据运算法则逐一运算判断即可.

【详解】解：A：a5-a5=a10,故A错误；

B：(―5a5Z)5)2=25a10/)10,故B错误；

C：+%6=+汽6,故C错误；

D：—m7-T-(―m)2=—m5,故D正确；

故选：D.

【变式7-2](24-25七年级•四川成都•期末)已知4。一36+1=0,则3?x+27匕的值为.

【答案】3

【分析】本题考查了代数式求值，同底数幕乘除法，嘉的乘方的逆运算，掌握相关运算法则是解题关键.由

题意可得4a-3b=-1,再将32x34。+27b变形为32+4加3匕即可计算求值.

【详解】解：••・4a-3b+l=0,

■■■4a—3b——1,

22

3X34a+（33*=3X34a+33b=32+4a-3b=3,

故答案为：3.

【变式7-3］（24-25七年级•重庆渝北•期末）若4a=6,88=16,a,b为整数,则24八3万=.

【答案】:

4

【分析】本题考查了同底数幕除法的逆运算，积的乘方的逆运算，由同底数幕除法的逆运算可得24。-3b=

24。+23%进而利用积的乘方的逆运算计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键.

【详解】解：24所3b=24a+23b=（«）24-8b=624-16=-,

44

故答案为：J.

4

【考点8单项式乘单项式】

【例8】（24-25七年级•四川遂宁•期末）设•（必叱产）=K5,7,贝的值为（）

A.--B.--C.1D.-

822

【答案】A

【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幕的乘法法则是

解题关键.

先根据单项式乘单项式法则列出关于相、〃的方程，进而求得相、〃的值，最后代入计算即可.

【详解］解：V（xm~1yn+2）•（x5my2）=xm~1+5m-y71+2+2=%6m-1-yn+4=%5y7,

•••6m—l=5,n+4=7,解得：m=l,n=3,

故选：A.

2

【变式8-1］（24-25七年级•四川成都・期末）先化简，再求值：（-24263）.（_丑2）2+（_12b3）,钻，其中

a=2,b=1.

【答案】-a4b7,-16.

【分析】先化简，再把a=2,b=l代入求解即可.

【详解】解：原式=—2a2b3.a2b4+-a4b6-4b=—2a4b7+a4b7=—a4b7.

4

当a--2,b—1时，原式=—a4b7=-24Xl7=—16.

【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是正确的化简.

【变式8-2](24-25七年级•山东聊城•期末)若(产+1〃+2).(-a2n-lb2m)=-a3b5,则爪+n的值为.

【答案】2

【分析】先把左边根据单项式的乘法法则化简，再与右边比较，求出m、n的值，然后代入巾+n计算即可.

n35

[详解]6+2).(-a271Tb2m)=-ab,

m2n2mn2

—a+]j++——a3b5,

.fm+2n—3

''l2m+n+2=5'

解之得

(m=1

tn=1,

.".m+n=l+l=2.

【点睛】本题考查了单项式的乘法，以及二元一次方程组的解法，根据题意列出关于m、n的二元一次方程

组是解答本题的关键.

【变式8-3](24-25七年级•浙江金华•期中)如图，在正方形内，将2张①号长方形纸片和3张②号长方形

纸片按图1和图2两种方式放置(放置的纸片间没有重叠部分)，正方形中未被覆盖的部分(阴影部分)

的周长相等.

(1)若①号长方形纸片的宽为2厘米，则②号长方形纸片的宽为厘米；

(2)若①号长方形纸片的面积为40平方厘米，则②号长方形纸片的面积是平方厘米.

【答案】4/

【分析】(1)根据正方形中未被覆盖的部分(阴影部分)的周长相等可得②号长方形纸片的宽为①号长方

形纸片的宽的2倍，进而计算即可；

(2)观察图形，②号长方形纸片的宽为①号长方形纸片的宽的2倍，②号长方形纸片的长的3倍是①号长

方形纸片的长，进而计算即可.

【详解】解：(1)由图知，②号长方形纸片的宽为2x2=4(厘米)，

故答案为：4；

(2)设①长方形纸片的长为〃，宽为。，则时=40,

由图知，②长方形纸片的长为［a,宽为2a,

.♦•②号长方形纸片的面积是2a•2a=|ab=|x40=/(平方厘米)，

故答案为：y.

【点睛】本题考查整式的乘法运算的应用，利用图形，正确列出式子是解答的关键.

【考点9单项式乘多项式】

［例9］(24-25七年级.四川成都.期末)如图，将7张图1所示的小长方形纸片按图2的方式不重叠地放在

矩形A2C。内，未被覆盖的部分用阴影表示.如果当8c的长变化时，左上角与右下角的阴影部分的面积的

差保持不变，那么儿。的值为.

图1图2

【答案】1：3

【分析】根据题意和图形，设的长为无，则可以表示出左上角与右下角的阴影部分的面积的差，然后再根

据左上角与右下角的阴影部分的面积的差保持不变，即可得到岳。的值.

【详解】设BC的长为x,

左上角与右下角的阴影部分的面积的差为：

(%-〃)・3。-(%-4/?)

=3bx-3ab-ax+^ab

(3b-a)x+ab,

•••左上角与右下角的阴影部分的面积的差保持不变，

'.3b-a=Q,

解得a=3b,

.".b：a=l：3

故答案为：1：3.

【点睛】本题考查整式的加减，关键是表示出两个阴影部分的面积，并能正确进行整式的加减运算.

【变式9-1](24-25七年级•广东深圳•期中)若x(x+a)+3比-26=7+5%+4恒成立，则a+6=.

【答案】0

【分析】将等式左边按照单项式乘以多项式，再合并同类项，整理后形式和等式右边一致，即可求出a,b的

值，代入求值即可求出答案.

【详解】解：根据题意可得：

等式左边=x2+ax+3x—2b—x2+(a+3)x—2b,

.,.x2+(a+3)x-2b=%2+5x+4,

a+3—5,—2b-4,

解得：a=2,b=—2,

a+b=2+(—2)-0.

故答案为：0

【点睛】本题主要考查的是整式的运算，掌握单项式与多项式的乘法运算，合并同类项即可求出结果，也是

解题的关键.

【变式9-2](24-25七年级•湖南邵阳•期末)数学课上，老师讲了单项式与多项式相乘：先用单项式乘多项

式中的每一项，再把所得的积相加，小丽在练习时，发现了这样一道题：“―2/(3尤-・+l)=—6*3+4/y—

2比2”那么中的一项是.

【答案】2y

【分析】利用多项式除以单项式法则计算(-6/+4/y-2x2)+(-2/)即可得出中的项，然后利用单项

式乘多项式的法则进行计算验证即可.

【详解】解：：(-6一+4x2y-2x2)+(-2%2)

=—6x3+(—2x2)+4x2y+(―2x2)-2x2+(―2%2)

=3%—2y+l

即一2/(3%—2y+1)=-6x3+4x2y-2x2,

.•.“■，，中的一项是2y.

故答案为：2y.

【点睛】此题考查了单项式乘多项式和多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键.单项式与多

项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

【变式9-3](24-25七年级•湖南常德•期末)如图，某校园的学子餐厅Wi-Fi密码做成了数学题，小亮在餐

厅就餐时，思索了会，输入密码，顺利的连接到了学子餐厅的网络.若他输入的密码是2842・，最后两被隐

藏了，那么被隐藏的两位数是

账号：XueZiCanTing

5㊉3㊉2=151025

9㊉2㊉4=183654

8㊉6㊉3=482472

学子餐厅欢迎你!

7㊉2㊉5=143549

【答案】70

【分析】本题考查了数字类规律探索、单项式乘多项式的应用，正确发现一般规律是解题关键.先根据已知

等式找出规律，再设等式左边三个数分别为a,6,c,贝Mb=28,ac=42,据此求出a(6+c)的值即可得.

【详解】解：由第1个等式可知，15=5x3,10=5x2,25=5x(3+2),

由第2个等式可知，18=9X2,36=9X4,54=9x(2+4),

由第3个等式可知，48=8x6,24=8x3,72=8x(64-3),

由第4个等式可知，14=7x2,35=7x5,49=7x(2+5),

设等式左边三个数分别为a,b,c,

则ab=28,ac=42,

所以被隐藏的两位数是a(b+c)=ab+ac=28+42=70,

故答案为：70.

【考点10多项式乘多项式】

【例10](24-25七年级•山西临汾•期末)有如图所示的正方形和长方形卡片若干张,若要拼成一个长为2a+b、

宽为a+26的长方形，需要B类卡片()

A.2张B.3张C.4张D.5张

【答案】D

【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用、单项式除以单项式的应用，熟练掌握多项式乘多项式的运算法

则是解题关键.根据多项式乘多项式法则求出拼成的长方形的面积，从而可得所用的B类卡片的总面积，由

此即可得.

【详解】解：由题意得：拼成的长方形的面积为：

(2a+b)(a+2b)

=2a2+4ab+ab+2b2

=2a2+Sab+2b2,

••T张B类卡片的面积为ab,

二需要B类卡片的张数为5ab+(a6)=5(张),

故选：D.

【变式10-1](24-25七年级•河南省直辖县级单位•期末)有一块长为(爪+6)米(爪为正数)，宽为(爪+3)米

的长方形土地，若把这块地的长增加1米，宽减少1米，则与原来相比，这块土地的面积()

A.没有变化B.变大了C.变小了D.无法确定

【答案】C

【分析】本题考查了整式乘法和加减的运用，由题意得，新长方形的长为(巾+7)米，宽为(巾+2)米，分别

求出新长方形和原长方形的面积，再用作差法比较即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键.

【详解】解：由题意得，新长方形的长为(爪+7)米，宽为(巾+2)米，

新长方形的面积为(?n+7)(m+2)=m2+2m+7m+14=(m2+9m+14)平方米，

原长方形的面积为(爪+6)(m+3)=m2+3m+6m+18=m2+9m+18,

"."m2+9m+18—((m2+9m+14))=4>0,

与原来相比，这块土地的面积变小了，

故选：C.

【变式10-2](24-25七年级•四川成都・期末)先化简，再求值：2a-4b)-(2a+b)(a-b)-2(ab+1),

且单项式娉+3y与-3K*是同类项.

【答案】一炉一2a2-2,-11

【分析】本题考查了整式的乘法，求代数式的值，同类项的定义；先按照整式乘法法则展开，再合并同类项,

得——2a2—2,结合单项式久3y与—3%*是同类项，得出Q+3=1,力=1,即a=—2,代入——2a2—2

进行计算，即可作答.

【详解】解：|b(2a-4b)-(2a+h)(a-b)—2(ab+1)

=ctb-2b2—(2小—2ab+ctb—b?)—2ab—2

=ab—2b2—(2a2—ab—b2)—2ab—2

=ab-2b2—2a2+ab+b2-2ab—2

=—b2—2a2—2；

・.•久a+3y与—3^yb是同类项，

/.a+3=1/b=1,

即@=—2,

・•・-b2-2a2-2=-l2-2x(-2)2-2=-1-8-2=-11.

【变式10-31(24-25七年级・福建福州•期末)发现规律：

我们发现，(%+p)(%+q)=/+(p+q)%+pq.这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出：(%+p)

(%+q)=/+.％+%+pq=%2+Q+q)%+pq.

运用规律

(1)如果(％+3)(%—5)=/+瓶％+九，那么7H的值是,九的值是；

(2)如果(％+a)(x+b)=%2+3%—2.

①求(a—3)(b—3)的值；

②求W+行的值.

azbz

【答案】⑴-2,-15

⑵①-2；②？

【分析】(1)根据多项式的乘法法则计算即可求解；

(2)①由多项式的乘法法则可得a+b=3,ab=-2,再把值代入(a-3)(6-3)展开后的结果中计算即可

求解；②先通分，再利用积的乘法的逆运算及完全平方公式的变形运算转化，最后把①所得值代入计算即

可求解；

本题考查了分式的求值，整式的运算，掌握分式和整式的运算法则是解题的关键.

【详解】(1)解：:(%+3)(%-5)=/+血第+几，

.*.m=3+(—5)=—2,n=3x(-5)=-15,

故答案为：-2,-15；

(2)解：①(x+a)(%+b)=/+3%—2,

:•a+b=3,ab=—2,

***(a-3)(b—3)

=ctb—3a—3b+9

=ab-3(a+b)+9

=-2-3x3+9

=-2；

一。2丁b2

b2+a2

a2b2

(a+b)2—2ab

(ab)2

_32-2x(-2)

=~-

9-(-4)

二4­

_13

一4.

【考点U完全平方公式】

【例11](24-25七年级•甘肃兰州•期中)已知q2+b2+c2=2a—4b+6c—14,则(ab)。的值是()

A.4B.-4C.8D.-8

【答案】D

【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性等，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.先将

小+炉+=2a—4b+6c—14变形化为(a—I)2+(b+2)2+(c—3)2=0,即可得到a—1=0,b+2=

0,c—3=0,求出a,仇c即可求解(ab)，.

【详解】解：+抉+02=2a—4b+6c-14,

a2+62+c2-2a4-46—6c+14=0

(a—l)2+(b+2)2+(c—3)2=0,

V(a-l)2>0,(6+2尸>0,(c-3)2>0,

.•.a-1=0,b+2=0,c—3=0,

解得：a=l,b=—2,c=3,

・・・(ab)c=[1x(-2)]3-8,

故选：D.

【变式11-1](24-25七年级•上海闵行•期中)如果关于x的整式9——(2m-1)久+；是某个整式的平方，那

么m的值是.

【答案】2或-1

【分析】本题考查完全平方式，根据9/一(2爪-l)x+；是某个整式的平方，得到9/一(2巾-l)x+i=

(3x±j)2,进行求解即可.

【详解】解：•••9/一(2巾—l)x+；是某个整式的平方，

9%2—(2m—l)x+[=(3%±0,

2m—1=+2x3xi=+3,

-2~

.*.m=2或m=—1；

故答案为：2或-1.

【变式11-21(24-25七年级•福建漳州・期中)若是自然数,且满足/+y2=4%+2y-4,则％+y=.

【答案】2或4

【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键.先根据完全平

方公式变形，再结合x,y是自然数讨论即可.

【详解】解：:/+y2=4%+2y—4,

+y2—4%—2y+4=0,

x2—4%+4+y2—2y+1=1,

(%-2)2+(y-l)2=1,

Vx,y是自然数，

222

(%—2)=0(y—I)=1或(第—2)2=1(y—l)=0.

.\x-2=0,y—1=lf或％—2=0,y—1=-1,

x—2=1,y—1=0,或%—2=—1,y—1=0,.

当％-2=0,y-1=1,时，

解得：%=2,y=2,

%+y=2+2=4,

当％—2=0,y—1=-1,时，

解得：x=2,y=0,

x+y—2+0—2,

当x-2=l,y-l=O,时，

解得：x=3,y=1,

x+y—3+1—4,

当x-2=-1,y—1=0,时，

解得：x=1,y=1,

x+y—1+1—2,

故答案为：2或4.

【变式11-3](24-25七年级•湖南娄底•期中)已知(x—2023)2+(>-2025)2=24,则Q—202