2024-2025学年广东省广州市天河某中学高一（下）月考数学试卷（3月份）含答案

2024-2025学年广东省广州市天河外国语学校高一（下）3月月考

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.若｛瓦，可｝是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（）

A.｛可一瓦，逐一耳｝B.｛2可一石，瓦＞一：/｝

C.｛2葭—3否,6宙—4可｝D.｛否+可闻+3砧

2.如图所示，已知AD,BE分别为△ABC的边BC,AC上的中线，AD=a，BE=

b，则反5=（）

42T

T+b

AR.3-a3-

2T4T

a+b

c3-3-

24

Tb

3-a-3-

2、4T

D.-|a+p

3.平面向量2万满足I初=，1石=—23|=YTL贝嗫在另上投影向量为（）

A.（1,73）B.（苧，苧）D.哼,今

4.冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化

风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊笔画都有

固定的角度，比如在弯折位置通常采用30。、45。、60。、90。、120。、150。等特殊角度下,为了判断“冬”的

弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了△ABD,测得2B=5,BD=6,AC=4,AD=

3,若点C恰好在边8。上，请帮忙计算sinzac。的值（）

B5

9-

5.在△ABC中角/、B、C所对边a、b、c满足a=c-2acosB,c=5,3a=2b,贝仿=()

A.4B.5C.6D.6或三

6.已知3为单位向量，向量2满足方京=2,\a-Ae\=1,则同的最大值为（）

A.1B.2C.<5D.4

7.我们定义：”之义族”为向量江与向量石的“外积”，若向量旨与向量前勺夹角为0,它的长度规定|Nx

b\^\a\-\b\sind,现已知：在△ABC中，若|屈+前|=1,|方+方|=2,则|屈x而|的最大值为

（）

A-BD

-3!1

8.已知凸四边形力BCD内接于圆。，4ABD=24CBD,第=管，则穿的最大值为（）

c472

A邛B・容D与

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下面给出的关系式中，正确的是（）

A.0-a=0B.a-b=b-a

C.(a-b)-c=a-(b-c)D.a2=|a|2

10.正方形ABC。的边长为2,E是8c中点，如图，点P是以力B为直径的半圆上任

意点，AP=XAD+iiAE，贝1k）

A.4最大值为2

B.〃最大值为1

C.AP■标最大值是2

D.AP-荏最大值是6+2

11.已知△HBC三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若（、序c—2as讥B）s讥C=，文bsinB—asMA）,

则下列选项正确的是（）

—

A.cosZcosC的取值范围是（不彳）

B.若。是AC边上的一点，且诙=2瓦?,BD=2,则△ABC的面积的最大值为当

C.若三角形2BC是锐角三角形，贝哈的取值范围是©,2）

D.若。是△ABC的外心，OB=m^A+n0C,则根+九6[—2,1）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

1

12.已知点4（3,2）,B（-l,-1）,若点PG—会在线段AB的中垂线上，贝以=

13.已知是。坐标原点，A(1,-3),B(4,-},C(2a-l,a+2),若点C满足瓦?=cos2。•Ul+•瓯

则a的值为.

14.已知点P为△力BC内一点，PC=2,PB=3,AC=4,AB=5,则阮•巨？=

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知向量8=(3,2),b=(x,—1).

(1)当0+2取1(22一均，且x>0时，求口一小；

(2)当5=(-8,-1),方〃@+3),求向量江与月的夹角a.

16.(本小题15分)

已知，m=(yT3sina)x,cosa)x'),元=(COSQV,—cosa>x)(3>0,xeR),/(x)=m-n--,且/'(久)的图象上

相邻两条对称轴之间的距离为最

(1)求函数/(久)的单调递增区间；

(2)若锐角ATIBC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,且6=，可，/(B)=0,求AABC面积的取值范

围.

17.(本小题15分)

在梯形4BCD中，AB=2DC,AE=^B,\~BC\=3,P为梯形ABC。所在平面上一点，且满足4丽=同+

PB,DA-~CB=\DA\-\DP\,Q为边力D上的一个动点.

(1)求证：2丽=而；

(2)|而|的最小值.

18.(本小题17分)

在斜△ABC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,若as讥2C+ccosZ=b,且cosB=机

(1)求sin4；

(2)若点M为AC中点，且BM=1,求△ABC的面积.

19.(本小题17分)

在平面直角坐标系xOy中，对于非零向量五=(久口为)，b=(x2,y2),定义这两个向量的“相离度”为

。一%

d(a,b)=1%22yli容易知道五I平行的充要条件为我方花)=o.

(1)已知五=(1,2),b=(4,-2),求d何方);

(2)①已知匕族的夹角为仇和口胃的夹角为。2,证明：d(afb)=d0,办的充分必要条件是s讥%=sind2；

②在△ABC中，AB=2,AC=4,角力的平分线2D与BC交于点D,且AD=$若方+而+而=6,求

d(PX,PB).

参考答案

1.D

2.5

3.C

4.4

5.C

6.C

1.D

8.D

9.ABD

IQ.BCD

ll.BCD

12.，

4

13.-13

14.2

15.解:(1)v(a+2b)1(2a-b)o(a+26)-(2a-K)=0,

a+2b=(3+2x,0),2a-b=(6-%,5),(3+2x)(6-x)+0x5=0,解得x=6或一区舍去),

a-b=(-3,3),

：.\a-b\=J(-3)2+32=372；

(2)•,-&+?=(x-8,-2),a//(b+c),

•••3x(-2)-2(%-8)=0,解得x=5,3=(5,-1),

a-B3x5+2x(-l)13A<2

•"°g丽=逅芦丁'

aG[0,7r],

7T

•••a=

4

16.解：(1)已知记=(V~^si7i3%,cos3%),n=(cosa)x,—cosoox^a)>0,xER),/(%)=m-n-

贝疗(%)=yJ~3sin(joxcos(jox—cos2tox—1=^sm2a)x—|cos2cox—1=sin(2cox一卷)一1,

由/(%)的图象上相邻两条对称轴之间的距离为3

有T=芋=7T,

2a）

得3=If

所以/(%)=sin(2x-^)-1,

令—~+2kji<2%—gg+2k.TT(kGZ),

262

解得一+MrW%W(+k?i(k6Z),

所以函数f(%)的单调递增区间为[一名+k*+k7](keZ).

(2)已知/(B)=sin(2B-1=0,

由86(01),

得

由正弦定理=-T-T,=-T-T=普=2,

sinAsinesinB卫

2

得a=2sinA,c=2sinC,

贝USAABC=^cccsinB—yTSsinAsinC—>J~3sinAsm(---X)=^sinAcosA+苧sir^Z

3..>/-3).y/~3y/~3..it、、y/~3

=-sino2A--cos2A+—=—sm(,2A--)+—,

又△ABC是锐角三角形，

(0<A<^

则c2-4n,

I0<y-X<-

加曙),24一盗管片),

贝Usin(2AY)e

所以SMBC=?sin（24_看）+.e（等苧

即4ABC面积的取值范围是（苧,孚］.

Z4

17.

(1)证明：会在瞬ABCO中，AB=2nC,AE=3,P为梯形ABCO所在三面上一点，且满足

4DP=PA+PB.DACB^\DA\-\DP\,

3PA,PB.

-.AE=EB.

：.PA+PB=2PE.

由N+谒+=

得4凉=PA+PB=2PE.

即2凉=PE.

(2)^:-.-AB=2DC,AE=EB,

：.DC=EB.

则四边形DEBC为平行四边形，

则DE//CB,

则(BZCB)=NADE,DE=CB=3.

由五?.苏=|曲•|苏I，

得cosNADE-|FX|•|癌|=\DA\■|PP|,

cosNADE=­f

sinZ.ADE=-(百产=j，

由2加=》，

-->1--)

得|DP|=q|BC|,

*5

即OP=^BC=1,

所以|PQImin=DP•sinZADE=1x—

«5j«5.

18.

辫：(1)因为QSin2C+ccos4=b,

由可得：sinAsin2C+sinCcosA=sinB=sinAcosC4-cosAsinCf

所以2sin4sinCeosC=sinAcosC,

因为cosC#0,sinA0,

所以sinC=],而Cw(0,7r),

所以C=即或1，

oo

当。=警时，因为cosB=：<cos：,

676

所以B>/此时B+C>-不符合条件;

所以。=1，因为8sB=:，

07

所以sinB=今色,

、13

所以sin4=sinBcosC+sinCcosB=—

14

(2)因为点M为47中点，且BAf=1,

因为2丽？=BC+BA,所以向A^BC2+BA+2BC-BA=BC2+次+2|BC|.|E4|cosB,

即4=a2+c2+2acx—,

7

ac

由IE年理可得:4.

葭S

sinm

c

即

可13

上-Q=Tc

1

13-

U2

w

所13c

13-++2X一

=(7c27XCXy,解得C2

所以S/3=2"sinB=彳x

19.

解：（1）因为言=（1,2）,了=（4,一2）,

由向量的相离度定义，dCa,~b）=以鳖子

则d(羽)=.1“(-…q_=10

S+22X”+(—2)2&X2巡

(2)①1正明：因为COS?(言，小+濯(£7)

(工产2+%的产|(工做一工2%)2

(工；+V?)•(考+1/2)(«?+!/?)*(为+或)

工；名+蜡点+短城+为力]

(d+Vi)-(xl+vl)

且以言,了)》0,sin〈M,N>€[0,司，

则4/2(言,了)=1—cos2(^,b)—sin2G1),

所以d(H,b)=sin(亡b).

若d(M,b)=d(M,7)，N)=sin(2,7)，即sin4=sin%

所以d(NN)=d(M,7)的充分必要条件是sin4=sin/；

②因为角力的平分线4。与BC交于点O.

则黑=妾=:，即C0=2B0,

02-/AC2

[筋+害

o«S

---->24---->21----y24---->---->

可得AO=gAB+守4。+gAB-AC.

即竽