2024-2025学年七年级数学下学期第一次月考卷【四川成都专用北师大版七年级下册第1~2章】（全解全析）

2024-2025学年七年级数学下学期第一次月考卷（见

川成都卷）

（考试时间：120分钟，分值：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：北师大版2024七年级下册第1〜2章。

5.难度系数：0.65o

A卷（共100分）

第倦（共32分）

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题

目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）.

1.小夏今天在课堂练习中做了以下5道题，其中做对的有（）

①（一=②/./二片；③（一//）=；④2一・（一3/+1）=一6—+1；⑤

（X+2）（X+1）=X2+3x+2.

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】D

【解析】（一。）3故①计算正确；屋故②计算错误；

（一//丫=/加，故③计算正确；2X2.（-3X2+1）=-6X4+2X2,故④计算错误；

（x+2）（x+l）=x2+2x+x+2=x2+3%+2,故⑤计算正确；.•.计算正确的有3个，故选D.

2.下列说法中正确的有（）

①相等的角是对顶角；

②有公共顶点和一条公共边，且和为180。的两个角互为邻补角；

③同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

④直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离;

⑤如图，N1和N2是同旁内角；

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】B

【解析】①对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故原说法错误；

②有公共顶点和一条公共边，且和为180。的两个角不一定互为邻补角，故原说法错误；

③同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确；

④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故原说法错误；

⑤如图，N1和N2不是同旁内角，故原说法错误；

综上可知，正确的说法是③，共1个，故选：B

3.某智能芯片研发公司需要对一种新型芯片的电路布线设计进行优化.已知芯片电路的一种原始布线规律

可以表示为（-4d+2x）.现在需要将其按照一定的规则进行重新布局，相当于将其除以2x,则新的电

路布线规律可以表示为（）

A.-8x4+4x2B.-4x3C.-2xD.-2x2+1

【答案】D

【解析】由题意可知，新的电路布线规律可以表示为（-以3+2》/2》=-2/+1,故选D.

4.如图，用尺规作图作出。/〃AF,则作图痕迹弧是（）

A.以点8为圆心，OD长为半径作的弧B.以点2为圆心，0c长为半径作的弧

C.以点E为圆心，OD长为半径作的弧D.以点E为圆心，DC长为半径作的弧

【答案】D

【解析】要使。4〃2尸，则

根据题意，得以点£为圆心，DC长为半径作的弧.故选D.

5.在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号如记

〃n

):左=1+2+3+…+(〃-1)+〃；〉：(x+:)=(x+3)+(x+4)...+(x+〃).已知

k=lk=3

^[(x+A;)(x-A:+l)]=5x2+mx-70,则加的值是()

k=2

A.4B.5C.-5D.-4

【答案】B

【解析】・・・、2系数为5,・・・〃=6,

n_

£[(x+左)(x—左+1)]=(%+2)(%-1)+(%+3)(%-2)+(x+4)(x-3)+(x+5)(x-4)+(x+6)(x-5)

k=2

=Y+x-2+(%2+x-6)+(x2+x-12)+(工2+x-20)+(x2+x—30)=512+5x-70,

n

：Z[(x+左)(％一左+1)]=5/+加x-70,：.m=5,故选：B.

无=2

6.如图，点。为直线上一点，OC平分//。巳/。。£=90。，下列结论正确的是()

①与Z8OE互为余角；②NAOD=；NCOE；③4BOE=2ZCOD；④若Z8OE=60。50',则

/COE=59°35'.()

A.①④B.①②③C.②③④D.①③④

【答案】D

【解析】:NDOE=9。°,ZCOD+ZCOE=9Q°,NEOB+NDO4=90。,故①正确;

,.,0(3平分//。£,ZAOE=2ZCOE=2ZAOC；

ZBOE=180°-2ZCOE,：.ZCOD=900-ZCOEN2OE=2NCOD成立；故③正确，

®,/ZBOE=60°50',且//。£+/30£=180°,/.Z^0£=1800-60°50,=119°10,,

OC平分//OE,ZCOE=-xll9°10,=59°35,.

2

根据题干条件无法得出N/OO=；NCOE,故②错误；.•.①③④正确.故选：D

7.图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中〃/,/BCD=60°,

ABAC=50°,若AM〃BC,则/K4c的度数为（）

【答案】B

【解析】-：AB\\CD,ZABC=ZBCD^60°,■.■ZBAC^50°,ZACB=180°-ABAC-ZABC=10°,

■：AM//BC,:.NMAC=NACB=7Q°,故选B.

8.已知(x-2024)2+(x-2022)2=48,则(x-2023『的值为()

A.25B.24C.23D.22

【答案】C

【解析】设x-2023=a,(x-202盯+(x-2022丫=48,

(a-iy+(a+1)2=48,a2-2a+l+a2+2a+l=48,

:.2/+2=48,，。2=23,即(x-2023)2=23,故选：c.

第n卷(共68分)

二、填空题(本大题共5个小题，每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上)

9.近年来，中国北斗芯片实现了22〃加制程的突破，领先GPS芯片.已知22〃加=0.000000022m,数据

0.000000022用科学记数法可表示为—.

【答案】2.2x10s

【解析】0.000000022=2.2xlO-8,故答案为：2.2xlO^8.

10.10月1日，太原五一广场举行庄严的升国旗仪式.如图是一块长为(4a+26)m,宽为(3a-6)m的长方

形地块，在其中心是一个边长为(a+b)m的正方形升旗台，则图中阴影部分的面积为m2.(用含

a,6的代数式表示)

【答案】。1/-362）

【解析】由题意得,,阴影=S长方形一S正方形=（4。+2b）（3。一b）-（a+6）

=12a2-4ab+6ab-2b2-a2-1ab—b2=(lla2-3Z>2)m",故答案为：(11。~一36~).

11.定义运算：加※”=（加-1乂〃+2）.若/※5=加〃，其中A为含加的多项式，8为含”的多项式，写出一

组符合条件的A和8：

【答案】A^m+1,B=n-2（答案不唯一）

【解析】•.•加派〃=0-1)(〃+2),8=(4-1)(2+2),

,:走=mn,A-\=m,B+2=n,A=m+1,B=n-2,故答案为：A=m+1,B=n-2.

12.如图是凸透镜成像原理图，已知物月2和像DC都与主光轴BC垂直，/BAO=63。，则/OOC的度数

为

【答案】63°

【解析】•••已知物N8和像。C都与主光轴2c垂直,NBAO=63°,

：.AB//CD,；.NODC=NBAO=63°,故答案为：63°.

13.如图，将长方形纸片/BCD折叠，使点8落在点9处，折痕为E尸,尸夕延长交4D于4点.G为CD

上一点，连接FG,若NG尸C=18。,

【答案】72。

［解析］由折叠的性质得：NEFB，=NEFB,；FH平分NGFE,；.NEFB'=NB'FG,

'：NGFC=18°,ZEFB'+ZB'FG+ZEFB+ZGFC=180°,ZEFB'+ZB'FG+ZEFB=162°,

NEFB'=ZB'FG=NEFB=162°x-=54°,/.ZHFC=ZB'FG+NGFC=54°+18°=72°,

3

：/BCD是长方形，AD//BC,：.AAHF=AHFC=72°.故答案为：72。.

三、解答题(本大题共5小题，其中14题12分，15-16题，每题8分，17-18题，每题10分，共48分.解

答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

14.(满分12分)先化简，再求值：

(1)5。％■(-36)-+(-«/?)•(-6aZ>)2.

(2)［(肛+2)(xy-2)-2x2y2+41+xy,其中x=2,y=-；；

(3)2a(3a+4)+(2a-3)--(3a—5)(5+3。),其中a?-4a=2.

【解析】(1)5a3b-(-3Z?)2+(~ab)■(-6aZ?y

^5a3b-9b2+(-ab)-36a2b2(2分)

=45//_36/加=9a3b3.(4分)

(2)=-4-2x"y2+4^xy=-x2y'^xy=-xy.(6分)

当x=2/=-；时，原式=一2义(一£|=1；(8分)

(3)原式=6/+8。+4。2_12。+9-9/+25=/一4。+34.(10分)

a2—4a=21.,.原式=2+34=36.(12分)

15.(满分8分)如下图，已知三角形/3C,点尸在边2c上.

(1)过点P画AB的平行线交NC于点T；

(2)过点C画

(3)直线尸7MN(填位置关系).

B

【解析】（1）如图，直线PT即为所求.

（3）VPT//AB,MN//AB,：.PT//MN,故答案为：〃.（8分）

16.（满分8分）已知48〃。。，AABC=AADC,ZE平分NR4。交5c的延长线于点£,且/4DC=2/CDE,

连接。E,如图.

（1）求证：ZBAE=ZBEAx

⑵若44ED=50。，求NCED.

【解析】（1）,/AD//BC,:.NBEA=NDAE,（1分）

；4E平分/BAD,：.ZBAE=ZDAE,:.ZBAE=ZBEA;（2分）

（2）,:/ADC=2NCDE,ZABC=ZADC,

可设N/Z）C=/5=2x,ZCDE=x,（3分）

,/AD//BC,/.ZB+ZBAD=m°,NADE+/BED=180°,ABEA=AEAD,（4分）

ABAD=180°-ZS=180°-2x,平分N8AD,（5分）

Z.ABAE=ZEAD=-ABAD=90°-x,：.NBE4=/E4D=90°—x,（6分）

2

VZADE+ZBED^180°,：,ZADC+ZCDE+ZBEA+AAED=180°,（7分）

2x+x+90°-x+50°=180°,解得x=20。，

ZCED=NBEA+ZAED=90°-x+50°=120°.（8分）

17.（满分10分）【探究】如图①，从边长为。的大正方形中剪掉一个边长为6的小正方形，将阴影部分沿

虚线剪开，拼成如图②所示的长方形.

（1）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式：（用含字母。力的式子表示）;

【应用】请应用这个公式解决下列各题：（2）己知2x7=3,4x2-r=12,求2x+y的值;

（3）itM（22+42+62+82+102）-（l2+32+52+72+92）^<.

【解析】（1）图①中阴影部分的面积为力一/,图②中阴影部分的面积为（a+6）（a-6）,

根据两个图中阴影部分的面积相等得a2-b2=（a+b）（a-b）,

即可以得到乘法公式力-人2=（°+颂"6）；

故答案为：/一/=白+颂人与；u分）

（2）V2x-y=3,4x2-y2=（2x+y）（2x-,v）=12,/.3（2x+y）=12,/.2x+y=4；（6分）

（3）（22+42+62+82+102）-（l2+32+52+72+92）=22-l2+42-32+62-52+82-72+102-92

=（2+1）（2-l）+（4+3）（4-3）+（6+5）（6-5）+（8+7）（8-7）+（10+9）（10-9）（8分）

=3+7+11+15+19=55.（10分）

18.（满分10分）如图①，直线与直线AB、分别交于点E、F,NMEB与NDFN互补.

（1）试判断直线48与直线CD的位置关系，并说明理由：

（2）如图②，4BE尸=140。，在NBEF内部有NGE77=20。，且EP平分N8EG,平分NFEH,求4磔

的度数；

（3）在（2）的条件下，当NGEH从/8期=40。的位置开始，绕着点E以每秒2。的速度顺时针旋转f秒,

且NGEH始终在NBEF内部，若NBEP=2NFEQ,求f的值.

图①图②

【解析】⑴AB//CD.

理由如下：：NME8与4DRV互补，:.NMEB+NDFN=\800（1分）

；NMEB+NBEF=180°,：.ZDFN=ABEF,：.AB//CD.（2分）

（2）设/PEH=a,:EP平分/BEG,:.NBEP=NPEG=20°+a,（3分）

ZFEH=NBEF-NBEH=140°-（a+20°+a）=120°-2a,（4分）

,/EQ平分ZFEH,；.NQEH=|ZFEH=60°-a,

：.ZPEQ=ZQEH+ZPEH=60°-a+«=60°.（5分）

（3）NGEH从NBEH=40。的位置开始,绕着点E以每秒2。的速度顺时针旋转/秒，当NBEP=2NFEQ

时，如图所示，设NGE/T是旋转20。的角，

,:EP平分NBEG,：.ZGEP=ZPEB=40°+«,（6分）

•/ZGEH'=20°,/.ZH/EP=20°+a,/./FEH'=140-ZH'EB=140°-（20°+a+a+40°）=80°-2a

,:EQ平分/FEW,：.2FEQ=NQEH'=40。-a,（8分）

40

,:/BEP=2/FEQ,：.40°+6Z=2（40°-cr）,解得：a=蓝，

Z.ZHEH'=20°+a+a=—,.\/=--2=—（秒），

333

70

综上所述，f的值为一秒.（10分）

3

B卷（共50分）

一、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）

19.已知x2+/一2x+4y+5=0,贝！］3x+2了的值为

【答案】-1

【解析】x2+y~—2x+4v+5=(x—1)+(_v+2)=0,

x=1,y=-2,3x+2y=3x1+2x(-2)=-1,

故答案为：-1.

20.西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到

东部的重要任务.某工程队在管道铺设到某段落的2点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍,

不得不调整铺设路线.新的铺设路线在2的南偏东30。方向上，且/8。。=50。，若要回到最初的铺设

方向上，必须保证/。。=°.

【答案】110

【解析】如图所示：过点。作。尸交48延长线于尸，过点C作交A8延长线于〃,

依题意得：BELAB,ZEBO=30。,Z5OC=50°,CD//AB,：.BE//OF//CH,

:.ZBOF=ZEBO=30。,ZHCO=ZFOC,CHLCD,

：.ZHCD=90°,ZFOC=ZBOC-ZBOF=50°-30°=20°,

Z.zLHCO=ZFOC=20°,ZOCD=ZHCO+ZHCD=20°+90°=110°.

故答案为：110.

21.实数c满足2"=7,2*=14-20=口2,则代数式2023a-40476+2024c的值为

【答案】4049

【解析】；2"=7,2〃=14，2C=1122〃+2"=2j=14+7=2,

b-a=1,贝!Ja=b-1,

；20+2〃=2j=112+14=8=2',：.c-b=3,贝i|c=6+3,

2023a-4047H2024c=2023仅-1)-40476+2024仅+3)=2.023b-2023-40476+20246+2024x3

=4049.

22.“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将数字1〜9填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆

圈上的四个数字的和都等于23,若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A、8、C,且

A+B+C=5\9.如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为x、八x+y,则x+y=；

xy=.

【答案】12,27

【解析】•••每个圆圈上的四个数字的和都等于23,••.三个圆上的数字之和应为3/23=69,

其中的X、了、龙+了这三个数每个都加了两次，

:1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,45+x+y+(x+y)=69,

则2(x+y)=69-45,解得x+y=12；

•••每个圆圈上的四个数字的平方和分别记A、8、C,且/+B+C=519,

12+22+32+42+52+62+72+82+92+x2+/+(x+j)2=519,

I2+22+32+42+52+62+72+82+92=285,

x2++(x+y)2=519-285,x2+y2+(<x+y)2=234,

整理得x2+y2+2xy-2xy+(x+y)~=234,

+-2j(j+(x+y)2=234,

■.-x+y=12..-.122-2xy+122=234,144-2砂+144=234,

2xy=54,解得中=27.故答案为：12；27.

23.如图，直线跖V与直线48、CD分别交于点E、F,AB//CD,4E尸与NEED的角平分线交于点尸，EP

与C。交于点G,点、H是MNJL一点、,且G7/LEG,连接尸“，K是GH上一点、使NPHK=NHPK,作PQ

平分NEPK,交于点。，ZHPQ-.ZQFP=3：2,则NEHG=

【答案】30。

［解析】•/AB//CD,；.NBEF+NEFD=180°,

■:NBEF与NEFD的角平分线交于点P,

NPEF=-ZBEF,ZPFE=-ZEFD,

22

2PEF+APFE=；(/BEF+NEFD)=90°,

ZEPF=180°-(ZPEF+ZPFE)=90°,

,/GH1EG,：.NEPF=NEGH=90。,：.FP//HG,

：.ZFPH=ZPHK,NQFP=NEHG,

设ZPHK=x。,

则AFPII=ZIIPK=ZPIIK=x。，NFPK=ZFPH+ZHPK=(2x)。，

NEPK=NEPF+ZFPK=(90+2x)°,

,/尸。平分ZEPK,：.ZQPK=|ZEPK=(45+无)°,

ZHPQ=ZQPK-/HPK=45°,

,/AHPQ-.NQFP=3:2,ZQFP=30°,ZEHG=ZQFP=30°,

故答案为：30°.

二、解答题(本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分.解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤.)

24.（满分8分）在已有的学习中我们知道，用两种不同的方法计算同一个几何图形的面积，可以得到一些

代数恒等式，例如,如图1可以得到+

⑴根据图2,写出一个代数恒等式:

(2)如图3,现有oxa,6x6的正方形纸片和axb的长方形纸片各若干块，试选用这些纸片，拼出一个

面积为2/+5仍+2/的长方形(每种纸片至少用一次，每两个纸片之间既不重叠，也无空隙)，并标

出此长方形的长和宽;

(3)如图4,写出一个代数恒等式，利用这个恒等式，解决下面的问题：若a+6+c=8,

ab+bc+ac=22,求/+c?的值.

【解析】（1）由题意可知，如图：

X一♦歹

X

y

xyyy

图2

（x+j）（x+3y）=x2+4xy+3y2.

故答案为：（工+歹）（1+3歹）二犬+4盯+3/.Q分）

（2）2q2+5a6+2b2=（q+26）（2。+b）.

画图不唯一，画图正确即可，如图:

拼法一拼法二

（3）由图4可知，（a+Z）+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,（6分）

；.a'+Z?"+c~=（a+6+c）-（2ab+2ac+2bc）=8~-2x22—20.（8分）

25.（满分10分）对于一个正整数”若存在正整数后，使得"能表示为左和4-2的平方差，那么称这个正

整数”为人系平方差数.例如：20=62-42,则20为6系平方差数.

（1）直接写出10系平方差数；

⑵己知赫=（2"+3）（2左一3）-4（仅一1）+26为左系平方差数，求M的值；

（3）已知0,6为正整数，a>b,且（a+26）2-3仅2+3）-6。6为左系平方差数.若a+6+ll是加系平方差

数，请判断2024a-20226是否为平方差数.并说明理由.

【解析】⑴102-82=36,

10系平方差数为36；（2分）

（2）依题意可知，（2左+3）（2左一3）—左（4左一1）+26=/一（左一2『，（3分）

整理得一9+a+26=4左一4,解得k=7,

22

.-.M=7-5=24：（5分）

（3）依题意可知，（。+26）—3（6~+3）-=/+406+462-3/-9一6°6=/-206+—9

=（a-方）?-32,

；（a+26『_3仅2+3）-6a6为左系平方差数，且a>b,

即（4-b/-32=/-（左一2）2,（6分）

:・k—2=3,贝！J左=5,...a—6=3+2=5,贝!JQ=b+5,

a+6+11是加系平方差数,a+6+11=机？_（机_2）2,/.«+Z?+11=4m-4,（7分）

.*.6+5+6+11=4m-4,贝!j2b=4加一20,b=2m-10,

/.a=b+5=2m—10+5=2m—5,

.・・2024〃-20226=2024x（2m-5）-2022（2m-10）=4m+10100,（8分）

假设2024a-2022b是n系平方差数，

贝!J4加+10100=〃2—（〃—2广，（9分）

4m+10100=4??-4,n=m+2526,

2024G-20226是（机+2526）系平方差数.（10分）

26.（满分12分）如图1,