2024-2025学年人教A版高中必修第二册考点突破：复数的三角形式

7.3复数的三角形式

【考点梳理】

>考点一：复数的三角表示

>考点二：复数的辐角

>考点三：复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义

>考点四：复数三角表示综合问题

【知识梳理】

知识点一、复数的三角形式的概念

1.复数的辐角

⑴定义：以X轴的非负半轴为始边、向量。Z所在的射线(起点是原点0)为终边的角9叫作复数Z=a+bi的辐角。

(2)辐角主值

[0,2”)内的辐角。的值叫作复数2=0+状的辐角主值，记作argz,即OWargz。11。非零复数与它的模和辐角主值

一一对应。

⑶常用的有关辐角主值的结论

n3n

当aR+时arga=0,arg(-a)arg(ai)=2,arg(-ai)=2,argO可以是[0,2兀)中的任一角。

2.复数相等两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等。

3.复数的三角形式

复数z=a+bi可以用复数的模r和辐角。来表示：z=r(cos0+isin0),其中尸=Ja'+6、,COS^=—,

r

sin—r(cos0+isin0)叫作复数z的三角形式，而a+bi叫作复数z的代数形式。

r。

知识点二、复数的三角形式的乘除法

2e

1.复数的乘法与乘方把复数、■吩别写成三角形式Z1=ri(cos%+tsin%),Z2=^(cose2+isin2：。则

Zi2=匕(cos比+isin%)].|r2(cos52+ising)]=+2)+isin(0t+玩)]。这就是说，两个复数相乘,

其积的模等于这两个复数的模的积，其积的辐角等于这两个复数的辐角的和.上面的结果可以推广到n个复数相乘:

Z1-22,•一Zn=匕(COS84+Sin0x)]*[r2(cos02+sin%)]…，[rn(cos0n+sin%)]

r•r•r[cos(%+d+…+0)++0+…+0)l

x2n2n2no

rr

因此,如果i=2=■-=r„=r,01=02==0n=0.

f七「r(cosB+isin0)]n=r®(cosM+isinn0)(n6N*)

就有L。

这就是说，复数的"5CN,）次幕的模等于这个复数的模的n次幕，它的辐角等于这个复数的辐角的n倍。

2.复数的除法

设Zi=MCOS%+En2Z2=9电+is哂），则4除以Z2的商;

娥**…）+枷（…

/Jo

这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的

辐角所得的差。

【题型归纳】

题型一：复数的三角表示

1.（24-25高一下•上海•期末）复数2+)

4兀..4兀)

D.V2cos-----Fisin——

I55)

【答案】C

【分析】根据两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角,

通过计算得到答案.

【详解】

故选：C.

2.（2024高一下•全国・专题）复数2=玩1115°+18$15°的三角形式是（）

A.cos1950+i-sinl95"B.sin75°+i-cos75°

C.cos15°+i-sinl5°D.cos75°+i-sin75"

【答案】D

【分析】由复数的三角形式定义以及诱导公式即可求解.

【详解】z=sinl50+i-cosl50=cos750+i-sin75°.

故选：D.

3.（2023高一下•上海・专题）-1-6的三角形式是（）

9jr27r

A.-2(cosy+isiny)B.2[cos(-y)+isin(-y)]

c,77r..7兀、

C.2(sin-+icos—)D.2(cos—+ism——)

6666

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用复数三角形式的意义求解即得.

【详解】T-Gi=2（-；-?i）=2[cos（-go+isin（-g9],故B正确；

经检验，ACD都错误.

故选：B

题型二：复数的辐角

JTTT

4.（23・24高一下•福建泉州•阶段）复数z=-sin,+icos,的辐角主值为（）

7113兀_9兀5兀

A.—B.-----C.—D.—

771414

【答案】c

【分析】根据复数的辐角主值的定义进行求解.

JTTT

【详解】因为x=-sin—<0/=cos—>0,

77

71

cos—兀兀9

所以z=—sin二+icos女的辐角主值为arctan2+7i=arctan------+n=--—+K=—兀.

77x_sin巴7214

7

故选：C

5.（22-23高一•全国）2的辐角主值为（）.

713兀_-

A.—B.—C.0D.2兀

22

【答案】C

【分析】根据复数的三角形式，对选项逐一分析判断即可.

1T（TT冗、

【详解】对于A,若辐角主值为1，则2=厂coS'+isin'Jnri,不可能为2,故A错误;

对于B,若辐角主值为三，则2=〃cos^+isink=-尢，不可能为2,故B错误；

2I22）

对于C,若辐角主值为0,则z=r（cos0+isin0）=r,当r=2时，z=2,故C正确；

对于D,由于辐角主值的范围为[0,2兀），不可能为2兀，故D错误.

故选：C.

/一人八5"n।cos23+isin20,,.-/

6.(21-22IWJ一・全国)设)<6〈下，则复数----八..八的辐角主值为(

4cosa-isin，

A.2万—3。B.36—2%C.30D.36-71

【答案】B

【分析】根据复数三角形式下的乘除运算及辐角的定义即可求解.

cos29+isin26cos20+isin20

【详解】解:=cos36+isin3e,

cos6—isin6cos(-6)+isin(一。)

57r

因为…＜彳,

15兀7Tl

所以3兀＜3。＜士竺，所以兀＜36—2兀＜二，

44

所以该复数的辐角主值为30-2万.

故选：B.

题型三：复数的乘、除运算的三角表示及及其几何意义

7.(22-23高一•全国)计算2(cos75o+isin75))

A.B.

D.包+逅i

22

【答案】B

【分析】根据复数的三角运算公式运算即可.

Y、垩片内、中111•V2(V2应.)V2/Q]

【详解】因为不一51=可—-----1=—(cos315+isin315)

J7

11.o

所以2(cos75o+isin75。).---------1=2(cos75°+isin75)--^-(cos315°+isin315°),

22

11.%/y

所以2(cos75o+isin75。).---------1=V2(cos390°+isin390。)=苧+,

22

故选：B.

8.（24-25高一下•全国）计算:

[d+isinpMosZ兀+isin2；|

⑴2

I66)4(33)

【答案】（1）-述+三

44

(2)-2i

【分析】(1)(2)利用复数运算的三角表示化简可得结果;

【详解】(1)原式=2x(cos仔+U+isin但

43J163

(2)原式=2百

717171兀

=2cos+isin=2cos+isin-2i.

6i~6~1

9.(24-25高一下•全国)计算:

271..5兀..5兀、

(I)2cos——+isin——+isin——：

366)

(2)6(cos160°+isinl60。)+[后(cos25°+isin25。)].

【答案】(1)-26

(2)—3+3i

【分析】复数化为三角形式，按三角形式的乘除运算法则，即可求解.

(2兀5兀..5兀3K..3兀

【详解】(1)2lcosy+isin——+isin——-----Fisin——=-2后.

6622

—+—iL-3+3i.

(2)原式=3后[cos(160。-25o)+isin(160。-25。)]=3后(cosl35o+isinl35。)=3后-

22)

题型四：复数三角表示综合问题

10.(2024高一下•上海)已知/(2)=彳-1,且/(Z[-zj=4+4i,若z=2-2i.

(1)求复数4=2-2i的三角形式，并且复数4的辐角主值arg4；

⑵求—L

【答案】(1)2啦(cos?+isin/),argzy/；

(2)741.

【分析】(1)直接利用三角变换可得复数4的三角形式及辐角主值argz「

(2)设Z2=x+yi(x,yeR),结合〃z)=7-1求得Z2,再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算

公式求解.

【详解】(1)Z[=2-2i=2亚=2夜(cos/+isin?),

贝UargZi=-；

(2)设=x+yi(x，yER)，而z=2—2i,则马—z?=(2—x)—(y+2)i,

又/(z)=NT,于是十包一Z2)=(l-%)+(y+2)i=4+4i,

[l-x=4

则<今.>解得x=-3,>=2,即Z2=-3+2"

[>+2=4

因此二^用…+*所以|幺三|=J(-5)，+42=历.

11.(23-24高一下•安徽马鞍山•期中)已知：①任何一个复数z=a+历都可以表示成r(cosO+isin。)的形式.其中「

是复数Z的模，。是以X轴的非负半轴为始边，向量方所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数2=。+历的辐

角，r(cosd+isin。)叫做复数z=a+6i的三角形式.②方程x"=l("为正整数)有“个不同的复数根；

,)

⑴求证：4(cosq+isin6j•马(cos。2+isin6>2)=r{r2[cos(，+62)+isin(61+%)]；

⑵设0=」+@i,求1°24；

22

(3)试求出所有满足方程/=i的复数x的值所组成的集合.

【答案】(1)证明见解析

(2)；事

22

；1百.1百.।1V3.1V3.'

(3)<1,—H------1,——H--------1,-1,---------------1,-------------1>

1?22222222

【分析】(1)根据题意，由复数的四则运算代入计算，即可证明；

(2)根据题意，将复数切化为复数的三角形式，然后结合三角形式的运算，代入计算，即可得到结果；

(3)根据题意，由复数的三角形式的运算代入计算，结合终边相同的角的集合，即可得到结果.

>

【详解】(1)证明：^(cos^+isin6>1)-^(cos62+isin<92)

=rxr2[cos^cos^-sin^sin^+(cos4sin2+sin4cos%)i]

=rxr2[cos(〃+62)+isin(4+2)].

(2)依题意，co=--+^-i=cos—+isin-,

2233

所以

2024(271..2兀Y°24404871..4048714兀..4兀1VJ.

CD=cos——+isin——=cos---------+isin--------=cos-----Fisin——=-----------1.

(33)333322

(3)^x=cos^+isin^,贝-(cos^+isin^)6=cos66+isin69=1,

因止匕sin6e=0,cos68=l,6e=2E,左£Z,角军得e=,

由终边相同的角的意义，取后=0,1,2,3,4,5,则对应的。依次为0,0,兀,事,当

因此对应的x依次为《+争,-白净，-玛-争，9亭,

二匚卡附住人曰L'工6.1V3.11V3.1V3.

所以所求的集合是11,不+可1,一不+有-i,T,一不一--1?----

乙乙乙乙乙乙乙乙

12.(23-24高一下•重庆)任意一个复数z的代数形式都可写成复数三角形式，即z=a+历=Mcose+isin。)，其

中i为虚数单位，r=\z\=^a2+b2>0,[0,2兀).棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗(1667〜1754)创立.设两个复数

用三角函数形式表示为：Z]=q(cos4+isin6j,z2=(cos+isin612),贝!|：Z]Z2=rxr2[cos(6>+^)+isin((9,+^)].

如果令4=Z?h-=Z“=Z,则能导出复数乘方公式：Z”=/(85〃。+1511”0).请用以上知识解决以下问题.

⑴试将z=G-3i写成三角形式；

(2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：sin36)=3sin-4sin3；cos30=4cos30-3cos6；

(3)计算：cos46»+cos4(6>+120°)+cos4(<9-120°)的值.

【答案】(l)2V3^cosy+isiny^

(2)推导过程见解析

9

⑶W

【分析】(1)求出复数的模，根据复数的三角形式，即可求得答案；

(2)设模为1的复数为2=。05。+1311夕，利用复数的乘方运算，结合复数的相等以及同角的三角函数关系化简，

即可推得结论；

(3)由(2)的结论结合恒等变换推出cos4d=L(cos4O+4cos20+3),继而得

8

COS4(6>+120°)=|[COS(46>+120°)+4COS(26>-120°)+3],cos4(<9-120°)=|[cos(4(9-120°)+4cos(26>+120°)+3],

再结合cos夕+cos(夕+120。)+cos(8-120。)=0,化简，即可求得答案.

【详解】(1)由于z=V3—3i,故121=J3+9=2\/3，

(2)设模为1的复数为2=85夕+15由。,

则z3=(cos6+isin6^=cos30+3(cos28)•(isin6)+3(cos9)•(isin0sin9

+、

=cos3^+i(3cos2•sin-3cos0sin2O-isii?0

=(cos3夕一3cos0sin28)+i(3cos29•sin夕一sir?8)

=|^cos36-3cos6(1-cos?e)]+i13(l-sin?。卜inO-sii?

=(4cos36-3cos6)+i(3sine-4sin3°),

由复数乘方公式可得z3=cos3。+isin36，

sin3^=3sin-4sin3cos3^=4cos3e-3cos。；

(3)首先证明：cos6+cos(6+120。)+cos120。)=cos^-^cos^-^-sin^--^cos^+^-sin^=0;

由于cos36=4cos38-3cos8,则4cos30=cos3(9+3cos0，

i3i3

贝!J4cos46=cos39cos6+3cos20=—(cos40+cos2^)+—(1+cos2。)=—cos48+2cos20+—,故

cos4e=g(cos4e+4cos26+3),

贝！|可得cos4(<9+120°)=|[cos(4<9+480°)+4cos(2<9+240°)+3

=g[cos(46+120°)+4cos(2夕一120°)+3],

cos4(<9-120°)=|[cos(48-480。)+4cos(26—240°)+3]

=g[cos(46-120°)+4cos(26+120°)+3],

所以cos46+COS4(<9+120°)+COS4(<9-120°)

=g(cos4e+4cos2e+3)+g[cos(4e+120o)+4cos(2e-120)+3]

+1[cos(4<9-120°)+4cos(2〃+120°)+3]

=g[cos4O+cos(4O+12O)+cos(46-12O")]+g[cos2e+cos(20-12O)+cos(20+12O)]+g=gx°+gxO+g=g.

【高分达标】

一、单选题

jr-jr

13.(24-25高一下•全国)复数cosg+isinT经过〃次乘方后，所得的复数等于它的共轨复数，则"的值等于(

A.3B.12C.6k-l(keZ)D.6上+1(左eZ)

【答案】C

【分析】用共辗复数的概念，以及复数的三角表示即可.

【详施军】由题意，Wcos—+isin—=cos—+isin—=cos--isin—,

133J3333

由复数相等的定义，得

nIT7T

解得三=2版一右(左eZ),:.n=6k-l(keZ).

故选：C

14.(23-24高二下•江苏南京•期中)在复平面内，常把复数z=“+历(a,6eR)和向量反进行一一对应.现把与复

数l+2i对应的向量绕原点。按逆时针方向旋转90。，所得的向量对应的复数为()

A.-2+iB.-2-iC.2+iD.2-i

【答案】A

【分析】利用复数乘法的几何意义可知，根据复数的三角表示可得旋转90。后对应的复数为

(l+2i)(cos90°+isin90")=-2+i.

【详解】根据题意可知，

复数1+2i对应的向量绕原点。按逆时针方向旋转90。可得(1+2i)(cos90。+isin900)=i(l+2i)=i+2i2=-2+i,

即所得的向量对应的复数为-2+i.

故选：A

15.(2024高一下•全国•专题练习)设复数5+6i的辐角的主值是。，则12Toi的辐角的主值为()

A.-0B.—0

2

37r37t

c.——eziD.——+ezi

22

【答案】D

【分析】根据复数的除法运算及复数的辐角的主值的定义即可得解.

【详解】因为弁(12-10i)(5-6i)

=-2i=2|cos—+isin—

(5+6i)(5-6i)22

所以12-lOi的辐角的主值为耳+区

故选：D.

16.(2024高一下•全国•专题练习)(cos?+isin£)1°=()

A.iB.-i

D.q一旦

22

【答案】A

【分析】根据复数的四则运算求解即可.

10

/\ioV2\10

【详解】Icos^-+isin-^I(1+1)(1+炉

T2

7

由于(1+i[=[(1+i)2F=(2i)5=32i,

所以，(¥)“1+3°=(孝产321=1.

故选：A.

17.（2024高一下•全国•专题练习）复数z=l-cos6+isine（兀＜。＜2兀）的辐角的主值为（

0071

D.

22~2

【答案】C

【分析】根据辐角主值的定义求解.

【详解】z=l-cos6>+isin6»=2sin2-+2isin-cos-=2sin-|sin-+icos-

2222(22

•••兀<”2兀，.一&兀,si/>0,

222

兀兀8八

——<-------<0.

222

•••辐角的主值的取值范围为［0,2兀）,

・••复数z的辐角的主值为

故选：C.

18.（2024高一下•全国・专题练习）复数z=化为代数形式为（）

35

AA.-+—i

22

3V3.

C.------------1D.

22

【答案】D

【分析】直接代入三角函数值即可运算求解.

【详由星】z=g[sing+icosg]=道x+道x]i=1•一i.

故选：D.

19.(2024•内蒙古赤峰•一模)棣莫弗公式(cosx+i.sinx)"=cos(〃x)+i・sin(〃x)(其中i为虚数单位)是由法国数学

家棣莫弗(1667-1754)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数(cosg+i-sing］在复平面内所对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】由棣莫弗公式化简结合复数的几何意义即可得出答案.

、2

71..7112兀..2兀1

【详解】cos—+i-sin—=cos---1-i-sin——=——+——i，

I33)332)

在复平面内所对应的点为-了］,在第二象限.

故选：B.

20.(2024•陕西商洛•模拟预测)法国数学家棣莫弗(1667-1754年)发现了棣莫弗定理：设两个复数

Z1=4(cos^+isin4),z2=r2(cos%+isin2)(4，j3>o),贝1]二/2={21cos(a+%)+isin(a+e2)_|.设z=-]-贝!)

Z23的虚部为()

A.一"B.aC.

1D.0

22

【答案】B

【分析】变形复数z,根据题中定义进行计算，即可判定.

【详解】z=----i=cos—+isin—,

2233

bi、1202447ix2024..4KX2024

所以2u=cos------------+ism-------------

33

2兀..2兀1.

=cos——+ism——=——d-----1,

3322

所以Z2024的虚部为

2

故选:B.

二、多选题

21.(2024高一下•全国•专题练习)在复平面内,已知正三角形N2C的顶点2对应的复数为2+i,3+2i,则顶

点C对应的复数可能是()

A.1-@+1+2B.1+V3+1~V3.

2222

「5—y/3I3+>/3.n5+-\/3.3—V3.

―1―1\-J•-I-1

2222

【答案】CD

【分析】根据题意，得到方对应的复数为1+i,得到就对应的复数为(l+i)(cos600+isin60。)或或

(l+i)[cos(-60°)+isin)(-60°)],结合云=方+就，即可求解.

【详解】由正△NBC的顶点48对应的复数为2+i,3+2i,可得与对应的复数为(3+2i)-(2+i)=l+i,

则AC对应的复数为(1+i)(cos600+isin60°)=+或(1+i)[cos(-60°)+isin(-60°)]=上乎+

所以反=刀+就对应的复数为2+i+及+^i或2+i+*+及i,

2222

gn5-^33+A/3.-p.5+A/33-

即-----+------1或------+------1.

2222

故选：CD.

22.(2024高一下•全国•专题练习)下列命题中正确的是()

A.复数z的辐角的主值是0,则Z?的辐角的主值是20

B.复数z的辐角的主值是凡则三的辐角的主值是2%一。

C.复数4，zz的辐角的主值分别是4，%,则ZR的辐角的主值是4+%

D.复数句，句的辐角的主值分别是4，%，且4>2,则五的辐角的主值是4

Z2

【答案】BD

【分析】辅角的主值的取值范围是。40,2兀)，若6«兀,2冷，2822兀，即可判断A；由

1,

z=/-(cos^-isin^)=/•[cos(2n:-6)+isin(2n-6)],即可判断B；因为4+。222兀，即可判断C；Ox>02,々-名为

五辐角的主值，可判断D.

Z]

【详解】设名=r(cose+isine),de[0,2兀)，则z?=/(cos0+isind)2=r?(cos20+isin261),

若。«兀,2劝，2922—则z2的辐角的主值为26-2兀，A不正确；

z=r(cos(9-isinO)=/{cos(27t-(9)+isin(2乃-初，1的辐角的主值为2兀-。，B正确；

设Z]=((cos4+isin)),0xG[0,2TI),

z2=r2(cos02+ising),92G[0,2兀),

2仔2=rx(cos4+isinq)•芍(cosg+isin)=rxr2^cos(^+^2)+isin(^+%)],

若兀,则z-的辐角的主值为伍+%-2兀，C不正确;

Z]rx(cos^+isin^)

=—[005(^-^2)+isin(<91-^2)]

z2弓(cosq+isin幻r2

所以孝勺辐角的主值是。i，D正确.

故选：BD.

23.(2024高一下•全国•专题练习)设4=V^[cos(-isin(],z2=l+i,Z3=2卜osg+ising),则(

)

B,三=1

A.z/2=2

Z1

2K

C.Z/2Z3=-2+2JJi

D.argZj+argz2+argz3=-

【答案】AC

【分析】根据复数三角形式的乘除运算法则求解即可.

【详解】因为4=收"4卜"一'一2=后""呜，…"1+心日

所以乎?=2(cos0+isin0)=2,故A正确;

'1十响+"呜卜，故B错误;

=V2x^2x2cos]—£+：+g]+isin]—：+；+g]=4fcos^+isin^j=-2+2V3i,故C正确;

771兀271Lr-r、IX兀./A+I•、口

argZ]=z",argZ2=z，argZ3=3-，所以arg^+argz?+ar次3=§，故D锢法,

故选：AC.

24.（2024高一下•全国•专题练习）下列说法正确的是（）

A.复数z=cosk+isin_^的辐角的主值为丁

88o

B.复数z=cos]-g）+isin（-gj的辐角的主值为一]

C.复数z=8,ing+icos]]的代数形式为4g*+4i

D.复数z=-2i的三角形式为z=-2卜呜+乱驾

【答案】AC

【分析】根据辐角主值的定义可判断AB的正误，根据代数形式和三角形式的转化规则可判断CD的正误.

【详解】对于A,因为《«0,2兀），故z的辐角的主值为甘，故A正确;

OO

对于B,而2兀），故z的辐角的主值不是一半，故B错误;

对于C,Z=8,in]+icos|^=8,+；i[=4G+4i,故C正确；

对于D,-2(sin]+icosW]=-2,故z=-2,故D错误.

故选：AC.

25.(23-24高三下•贵州•阶段练习)已知复数4，z?满足句=cosa+isina,z2=cos/?+isin/?,且|4-22|=应，则

()

A.|z]-z2|=lB.|ZJ+Z2|=A/3

C.若a=0,贝!Jcos/?=0D.=E+；(左eZ)

【答案】ACD

【分析】由区-22|=应，平方后可推出cos(a-/)=0,即可判断D,由此可判断C；根据复数的乘法以及模的计

算公式可判断A；根据复数的加法以及模的计算公式可判断B；

【详解】由题意知复数4,z2满足％=cosc+isina,z?=cos£+isin/?,且忆一之忆血，

则Zj-z2=(cosa-cos£)+i(sina-sin?),故(cosa-cos夕y+(sina-sin/7)2=2,

即2—2(cosacos夕+sinasin£)=2,得cos(a—/)=0,

故a—/?=析+5(左£Z),D正确；

Zj-z2=(cosor+isina)•(cos/7+isin/?)=coscrcos尸一sinasinB+i(costzsin,+sinacos/?)=cos(cr+/7)+isin(cr+/7),

22

-z2|=cos(6Z+;0)+sin(6Z+y0)=l,A正确；

由于Zi+z2=(cosa+cos£)+i(sina+sin尸),

故I4+z21=J(cosa+cos夕了+(sina+sin/p=J2+2(cosacos/?+sinasin")

=,2+2cos(a一=V2,B错误；

由以上D的分析可知，若a=0,则cos(-尸)=0,故cos分=0,C正确；

故选：ACD

26.(2023高三・全国•专题练习)把复数4与z2对应的向量次，砺分别按逆时针方向旋转3和令后,重合于向量场

43

且模相等，已知Z2=-l-©,则复数Z]的代数形式和它的辐角分别是()

A.一行一伍型B.-亚+亚电

44

C.-V2-V2i,-D.-V2+V2i,—

44

【答案】BD

【分析】由题意可知，z^cos^+isin^^z^cosy+isiny^,求出4,再求出4所对应的坐标，可得辐角.

■、、,An.ta-r-,17T..7T[15兀..57r1

【详解】由题意可知2i[coS1+ismiJ=Z2[cosw+ismy-J,

=2^cos-^-+isin-^-J=-^2+V2i,

可知Z1对应的坐标为卜正,也），则它的辐角主值为今,

3冗

故可以作为复数-也+"的辐角的是彳+2E,keZ,

当上=1时，—+2n=—.

44

故选：BD.

三、填空题

（兀..兀）

cos—+ism—

27.（23-24高一下•甘肃临夏・期末）计算：一------

兀..兀

cos----ism—

I44；

【答案】-1

【分析】由复数的除法与乘方运算求解即可.

71..716

cos—+isin—(立+i正］

【详解】4422

Tt..It72.0

cos----ism—

I44JI22)

故答案为：-1

28.（23・24高一下•福建宁德•阶段练习）欧拉公式/=cosx+加加x（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现

的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为

“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，若eT疝表示复数z,则目=.

【答案】1

【分析】根据欧拉公式结合诱导公式化简后可求出其模.

用日6★用竽疝2019—2019

【…详角初牛】、由题思得e4=cos------7i+isin-------兀

44

3兀..3兀41拒.

=cos----Flsin——二-----1------1，

4422

所以1z|=+；=1.

故答案为：1

29.（23・24高一下•江苏淮安・期末）欧拉公式M=cosx+isinx是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将复数、指

数函数与三角函数完美联系起来的一个公式，e是自然对数底数，i是虚数单位，它将指数函数的定义域扩大到复数,

建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”.利用欧拉公式解决问题，e4=；关于x的方

程cos4x+sin?3x=1,x£（。,2兀）的解为.

.大«兀_p.57r_p.77r_p_1ITT_p._p.13兀_17兀_p.197c_p,237r

【答案】-1;%二内或17或17或不"或或五或五或五或五・

【分析】将1=九代入欧拉公式，可以求出针，将2x看成一个整体，利用三角恒等变换可得

(cos2x-1)(4cos*22x-3)=0,结合x£(0,2兀)可以求出结果.

【详解】由题意，e"=cos7i+isin兀=一1；

由cos4x=l-sin23x,

得COS4X=COS23X，

e彳1+cos6x

贝Icos4x=-----------

_1+cos4xcos2x-sin4xsin2x

一2

_1+(cos22x-sin22x)cos2x-2sin2xcos2xsin2x

~2

_1+cos32x-3sin22xcos2x

~2

_1+cos32x-3(1-cos22x)cos2x

一2

_l+4cos32x-3cos2x

二，

2

即2(2cos22x-l)=l+4cos32x-3cos2x,

即4cos32x-4cos22x-3cos2x+3=0，

即4cos22Mcos2x-1)-3(cos2x-1)=0,

即(cos2x-1)(4cos22x-3)=0,

角军得cos2%=1或cos2x=土且

2

又x£(0,2兀)，2xe(0,4K),

jr57r7TT1lit137r17TT"19冗237r

^2x=2n^2x=-^2x=—^2x=—^2x=—^2x=—^2x=—^2x=—^2x=—

66666666

.,,.,,_,、.,.I7L5兀7兀11兀13K17兀19K23K

故X的取值集合为彳石,节，兀,

12121212

故答案为1,x=M或"或卷或业或兀或包或处或侬或也.

121212121212