新高考背景下数学解题教学的应然追求、实然样态与使然路向

【摘要】新高考背景下的数学解题教学，应当注重发展学生的核心素养，瞄准“四基”、提升“四能”，并着力加强高阶思维的培养。当前的数学解题教学存在着计划性不强、关注学生不够、教学过程失策等问题。新高考背景下的解题教学，应立足方法论原理的研究，明确教学重点；立足学生元认知发展，合理策划教学进程；立足高阶思维培养，建构“4F”教学模式。【关键词】高中数学；数学解题教学；元认知；方法论；高阶思维；新高考新高考背景下的数学考试，在选拔人才中具有特殊的地位和作用，其试题历来为大众关注。改变试卷结构，减少试题数量，降低计算量，创新试题设计，加强思维考查以及“反套路”“反二级结论”等导向，持续向中学数学教学释放信号，希望改变以练代讲的教学模式，重视基础概念教学，降低学生反复、低效刷题的负担。［1］数学解题教学是数学教学的重要活动之一。聚焦新高考的解题教学应当充分关注新高考评价要求，力戒教学误区。那么，当前数学解题教学究竟应该怎样取向，存在哪些问题，又如何实现解题教学方式方法变革呢？一、新高考背景下数学解题教学的应然追求回顾十余年来的高考数学命题改革历程，不难发现新高考越来越注重对学生核心素养的考核，关注学生的能力培养和综合素质的提高，引领中小学教育教学改革的导向作用也越发显著。显而易见，为适应新高考改革形势，数学解题教学也应转变观念，明确育人目标，注重应然取向。1.以发展学生核心素养为目标学科核心素养是育人价值的集中体现，更是每门学科高考的中心内容。数学的抽象性、严谨性和广泛的应用性等特征，加之高考数学考试内容的综合性、开放性、挑战性，决定了数学是高考各学科中最容易拉开差距的一门学科。近几年来的新高考数学聚集创新人才选拔，强调灵活性，突出对思维的考查，区分度显著。基于这一现实，数学解题教学应当以夯实基础知识为本，加强关键能力培养，引领学生学会一题多解、一题多变，勤于反思，及时总结，着力发展学科核心素养。与此同时，在解题教学中还要启迪学生学会思考、理性思维、积极探究，增强挑战自我、征服困难的信心，着力培养勇于批判、敢于创新、坚韧不拔的意志品质。2.以培养高阶思维为重点所谓高阶思维主要是指发生在较高认知水平层次上的心智活动或认知能力。与低级思维相比，高阶思维具有目的性、针对性、挑战性等特点。近几年的新高考数学试题，无论在试题情境的丰富性、内容的灵活性、方法的多样性以及选项和设问的层次性上，都体现着对高阶思维品质的考查。为此，解题教学一定要大力培养学生的高阶思维。在解题路径的探索过程中，不但要让学生知其然，更要知其所以然；不但要知其然，还要知其何以知其然，从中学会选择方法，学以致用，融会贯通，直至能够创新创造。3.以加强“三性”教学为抓手所谓“三性”指的是教育部在《关于做好2024年普通高校招生工作的通知》中提出的“增强试题的应用性、探究性、开放性”要求。“三性”是高考重思维、重创新、考能力、考素养在数学试题中的具体落实，是体现数学学科核心素养和考查学生问题解决能力的重要指标。它们既相互独立，也彼此关联，时常会在同一道试题求解的过程中交互运用。数学解题教学既要重视夯实“四基”，更要加强学生问题解的能力培养，就要认真领会教育部关于数学试题改革的要求，把新高考试题“三性”要求落实在具体的解题教学过程之中，一要注重活学活用，增强应用性，突显数学学科的应用价值；二要注重探索与发现，增强探究性，提高学生的问题解决能力；三要注重综合和创新，增强开放性，培养学生解题思维的开放度和灵活性‌。二、新高考背景下数学解题教学的实然样态新高考反套路、反机械刷题，极大地增强了试题灵活性、综合性、开放性。新高考背景下的解题教学无论是例题选取还是教法选择都需要基于学情特点，加强针对性，注重实效性。然而当前解题教学存在一些问题，主要表现在以下三个方面。1.缺少深入研究，例题选择的计划性不强有些教师不能根据学生的学业水平和学习能力选取例题，选取的例题缺乏典型性和适切性。虽然一些例题有其自身的教学价值，但对于这种解题是否超出学生的学习进度，思想方法是否超出学生的认知水平，是否选对适切的教学方法，讲解过后如何检测学生的掌握情况，如何针对本题教学进行有针对性地拓展训练等问题，则很少考虑。有些教师不太关注目标，解题教学的指向性、计划性不强，偏爱一题多解，有的题目少则给出三四种方法，多则十几种方法，很少考虑这些方法能否被学生真正理解和吸收。有些教师缺少对通性通法的研究，热衷讲授一些解题技巧或记忆一些二级结论。有些老师在备课的时候花费大量时间精力去查找新题型、新解法，引导学生套路化解题。长期以往，必须会使得一部分学生解题思维僵化，缺乏灵活性，难以从多个角度对问题进行深入的分析和解决。学生课上能听懂，课后题目稍有变化就无所适从了。2.关注学生不够，忽视学生的元认知培养元认知是指认知主体对自身心理状态、能力、任务目标、认知策略等方面的认识，对自身各种认知活动的计划、监控和调节。元认知能力是数学解题必备要素，尤其对于有一定难度的问题的解决，更是发挥非常重要的作用。实践中，有些教师的讲题不能基于学情特点关注学生所思所想，不重视学生的情感体验和克服困难的毅力培养；缺少对学生解题思维的研究，很少关注学生的解题迁移、思考方式合理性以及解题过程中的常见障碍。他们就题论题，缺少对例题背景、意图的分析，缺少解题（或证明）思路的探索，缺少例题结构、归类的总结和反思，无法帮助学生建构起良好的概念图式、原理图式、认知策略图式。一些教师缺少对学生群体的关注，解题教学要么是“唱独角戏”，要么只与少数几个优秀学生进行对话，对中等偏下学生在解题过程中出现的一些错误或混乱的思维，缺少分析研究，更谈不上及时反馈、查漏补缺了。3.教学主旨不明，教师讲解失策欲速不达数学解题教学的主要任务不在于教“解”而在于教“学解”［2］，因此解题教学也须遵循一定的教学规律。有些教师对教材例题或补充的例题很少进行生本化加工，经常是照本宣科。有些教师缺乏对新高考试题导向的关注，对新高考试题应用性、探究性、开放性等要求了解甚少，喜欢传授“怎么解”，而对“为什么这样解”“中间会遇到哪些挫折又是如何克服的”的重视不够，缺少解题方法的启发式引领，缺少对解题路径的探究过程、解题可能遭遇的困难以及不同解法优劣的比较分析。有些教师的解题教学课堂题量多、难度大，不考虑解题教学教什么，不去思考多讲一个与少讲一个方法有什么不同，片面追求题海战术，追求解题技巧以及个别知识点在解题上的应用，缺少思路探索的揭示和数学思想的渗透。他们喜欢用“模型教学法”总结各种题型的解题规律，喜欢采用“题海战术”让学生不断刷题熟能生巧。久而久之，就导致学生的思维固化，应变能力较差。三、新高考背景下数学解题教学的使然路向如果说瞄准目标、明确应然追求是解题教学的出发点，那么立足实然样态、走出困境就是解题教学工作的发力点，是指导我们进一步做好新高考背景下解题教学的使然路向。1.立足应用性教学，加强问题解法教法研究应用性教学不限于应用题教学，更广泛意义上的应用性教学指的是数学知识技能及其思想方法在数学解题及其教学上的活学活用。“工欲善其事，必先利其器。”数学思想方法及其相关原理就是数学解题的“器”，诸如化归、类比、审美等思想，以退求进、回归定义、正难则反等策略，特殊化、一般化、数形结合等方法［3］，它们是解题教学的精髓所在。如果教师课前不深入研究题目，不明了教学目标，如何能把解题思想清晰地表达出来？不知道一题多解与多题一解背后的规律性，何以发展学生的高阶思维？因此，为了提高教学实效，在教学前教师首先自己要对例题的典型性、思想性、结构性有一个深度的研究，对每道题目的相关知识点构成、难度系数、可能的解题方法以及解题误区都要有一个清晰的把握。有些例题是为了巩固基础知识和基本技能，而有些例题则是为了提高学生的理解能力，有些综合性问题则是侧重发展学生的思维水平。比如要选择这样一道证明题“求证：cos[π7]-cos[2π7]+cos[3π7]=[12]”作为例题课上讲解，教师在课前就应去研究这道题出自何处，涉及哪些思想方法，可否一题多解，可否进行拓展和引申，如果选用本题作为一道例题讲解应该在哪个单元哪节课讲解比较合适等。除了对例题解法、结构、功能等进行研究，教师还应在课前从方法论的视角研究教法，引领学生提高活学活用的能力。俗话说得好，“只有老师跳进题海，才有学生跳出题海”。要深入研究如何引领学生学会找准问题分析从哪里入手，哪里是起点，如何审题，如何从条件与结论之间的差异入手寻找关联，如何利用解题直觉，如何突破瓶颈，如何才能让学生会一题、通一类、达一片等。有些题目，可以转换背景，帮助学生建立知识点之间的关联。有些题目，如果教学进程尚未可能，可以进行适当改编，以突破章节限制。要仔细审视题目中不同知识之间的交汇与融合，分析“四基”考点和“四能”要求，解构发展高阶思维的方法或路径。要充分发掘题目中蕴涵的数学思想方法及其发生、发展主线，对可能的思维路径要有预测，对启发性引导语有提前谋划，对可能的错误要探究源头。2.立足探究性教学，提高学生的元认知水平数学解题应当合乎学生的认知规律和心理年龄特征，以人本的方式渐进展开，使学生自然而然地发现、想到和悟到。［4］在数学解题教学中，教师要注重运用元认知训练学生的关键能力，发展他们的学科核心素养。一方面，要助力学生生长元认知知识，发挥元认知知识在解题教学中的统摄作用。解题教学中的元认知知识即是学生对自身解题技能及其相关策略的认知。加强解题教学的元认知知识建构，是就要着力提升学生的数学语言转译能力，启发学生善于拆分试题内容，搭建转译思路；巧妙利用提示语言，破译隐含条件；必要时可以画出图形或图表，或引入未知参数；依据已有解题经验对题目所蕴含的语义进行理解和加工，从而建构不同变量之间的联系，开辟从已知条件与待求（证）结论之间的通道。显然，对于“cos[π7]-cos[2π7]+cos[3π7]=[12]”这一恒等式的证明，需要启发学生通过观察，学会思考，建构三角函数之间联系、三角函数和差化积、复数、向量等知识体系以及数形结合、恒等变换、运算化简等能力结构，为顺利解题奠定必要的元认知基础。另一方面，要丰富学生的元认知体验，发挥元认知体验在解题教学中的调节作用。面对解决挫折与失败，要引领学生重新审视解题路径，对相关解题方案进行调整、修正或重建，制定切实可行的解题计划和目标。要充分考虑学习者的认知水平、个性特征和学习习惯，合理确定学习者的认知起点、学习动机。要帮助学生建立解题信心，克服认知和情感上的畏难情绪；要引领学生多维度思考问题，能够从一题多解到优化解法，丰富解题体验，积累解题经验。就“cos[π7]-cos[2π7]+cos[3π7]=[12]”的证明而言，其运算过程、表征转换、化简技巧等都可以让学生在教学过程中有所体验，让他们从中感悟解题策略的获得、意志的磨砺以及成功的喜悦，为发展灵活性、批判性、创造性等高阶思维奠定基础。再一方面，要提升学生元认知监控水平，发挥元认知监控在解题教学中的修正作用。元认知监控即是指在解题进程中，对自我问题解决过程的思维方向、对问题解决的思维、对思维活动策略的进行调整、修复及更正。如果说虽然通过三角函数和差化积能够证得“cos[π7]-cos[2π7]+cos[3π7]=[12]”，但发现比较繁琐，那么接下来就要思考能否另辟蹊径寻找其它证明方法？也就是说，要引领学生读懂题意，尝试解法，探寻多维度、多层次、多路径解题路径；要注重修正解题错误，引导学生适时进行自我诊断与反思、探究、批判与治疗；还要通过变式拓展，提出新的、更有挑战性、更有价值的问题，发展学生的思维张力。3.立足开放性教学，注重学生高阶思维培养基于对一线专家型教师解题教学典型课例的总结、提炼，我们建构了解题教学从发问到发现，再到发省、发展的“4F”教学模式［5］（见下页图1）。这一解题教学模式旨在撬动解题内核，提示解题教学规律，对于增强解题教学实效具有十分重要的意义。图1数学解题“4F”教学导图首先，通过发问，查找解题症结。波利亚的《怎样解题表》中的四个步骤都是通过发问建构起来的。发问可以帮助我们确认解题症结，建立解题信心，也能为问题的化解找准前行的方向，它居于解题教学中心。已知条件解读、变量关系梳理、核心概念厘定等，都可以成为解题需要盘根问底的重点对象，都有可以成为解题教学的发问点。如果说“求证：cos[π7]-cos[2π7]+cos[3π7]=[12]”始终不能得法，通过发问，学生就会发现等式的左边能否进行恒等变形？这是直觉，是解题的起步，也正是初始状态需要化解的症结所在。学生的愤悱之时就是发问的最佳时机。立足学生立场，指向学生感知，引领学生思维同步推进的问题视角就是最好的发问角度。其次，基于发现，探索解题路径。只有发问未必能直接带来问题解法的发现，还需要解题者拥有扎实的数学基本功以及丰富的解题经验。解题发现是捕获解题路径的关键。要引导学生想方设法把待解决的问题与熟悉的或者一些简单的问题联系起来，在它们中间架设桥梁，建立联系。对于上述“cos[π7]-cos[2π7]+cos[3π7]=[12]”左边进行恒等变形后很快就会发现通过和差化积公式、倍角公式等进行化简，逐步变形能够使命题得证。解题教学本质上就是要引领学生在交流、讨论、辨析、探索、联想等活动过程中，体验解题思路的发生、发展、发现的过程。为此，教师要善于运用启发性语言调动学生参与解题的发现过程，充分激发他们的解题智慧以及创造性渴望。第三，借助发省，反思解题过程。当发现解法并实现了解题目标后，就可以对问题进一步寻找更为简洁的方法或路径。基于发问，并结合相关发现进行解