第4节　空间直线、平面的平行 高二数学下学期

第七章立体几何与空间向量第4节空间直线、平面的平行INNOVATIVEDESIGN1.以立体几何的定义、基本事实和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理.

2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.目

录CONTENTS知识诊断自测01考点聚焦突破02课时对点精练03知识诊断自测1ZHISHIZHENDUANZICE1.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面α没有公共点,则称直线l与平面α平行.(2)直线与平面平行的判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示判定定理如果平面外一条直线与此平面内的__________平行,那么该直线与此平面平行

a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α性质定理一条直线和一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与______平行

a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b一条直线交线2.平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义

没有公共点的两个平面叫做平行平面. (2)平面与平面平行的判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理如果一个平面内的两条________与另一个平面平行,那么这两个平面平行

a⊂β,b⊂β,a∩b=P,a∥α,b∥α⇒α∥β相交直线文字语言图形表示符号表示性质两个平面平行,则其中一个平面内的直线______于另一个平面

α∥β,a⊂α⇒a∥β性质定理两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面______,那么两条______平行

α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b平行相交交线常用结论与微点提醒1.平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行.(2)平行于同一平面的两个平面平行.(3)垂直于同一个平面的两条直线平行.2.三种平行关系的转化(1)平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想,解题过程中既要注意一般的转化规律,又要看清题目的具体条件,选择正确的转化方向.(2)在应用判定定理与性质定理时,一定要写全定理满足的条件,否则可能是假命题.×1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)若一条直线和平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.(

)

(2)若直线a∥平面α,P∈α,则过点P且平行于直线a的直线有无数条.(

)

(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(

)

(4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(

)××√解析

(1)若一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行或在平面内,故(1)错误.(2)若a∥α,P∈α,则过点P且平行于a的直线只有一条,故(2)错误.(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行或相交,故(3)错误.D2.(人教A必修二P143T1改编)如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的(

) A.一条直线不相交 B.两条直线不相交 C.无数条直线不相交 D.任意一条直线都不相交

解析

因为直线a∥平面α,直线a与平面α无公共点,因此直线a与平面α内的任意一条直线都不相交.平行四边形3.(人教A必修二P138例3改编)如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为

.

解析

因为平面ABFE∥平面DCGH,又平面EFGH∩平面DCGH=HG,且平面EFGH∩平面ABFE=EF,所以EF∥HG,同理EH∥FG,所以四边形EFGH是平行四边形.

4.(人教B必修四P108T3改编)如图,已知α∥β,点P是平面

α,β外的一点,直线PA和PC分别与β相交于B和D,若

PA=4

cm,AB=5

cm,PC=3

cm,则PD=

cm.

考点聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考点一

直线与平面平行的判定与性质角度1

直线与平面平行的判定例1

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,

PD=AD=AB=2,CD=4,E为PC的中点.求证:BE∥平面PAD.证明

法一如图,取PD的中点F,连接EF,FA.

法二如图,延长DA,CB相交于点H,连接PH,

法三如图,取CD的中点H,连接BH,HE,∵E为PC的中点,∴EH∥PD,又EH⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,∴EH∥平面PAD,又由题意知AB綉DH,∴四边形ABHD为平行四边形,∴BH∥AD,又AD⊂平面PAD,BH⊄平面PAD,∴BH∥平面PAD,又BH∩EH=H,BH,EH⊂平面BHE,∴平面BHE∥平面PAD,又BE⊂平面BHE,∴BE∥平面PAD.

解析

连接BD,设AC∩BD=O,

思维建模1.利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线,即证明线线平行,一般利用中位线定理、线面平行的性质、构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行,而判定直线与平面平行,主要有三种方法:(1)线面平行的定义(无公共点);(2)线面平行的判定定理;(3)面面平行的性质定理.2.应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线.训练1

如图,四边形ABCD为长方形,PD=AB=2,AD=4,点E,F分别为AD,PC的中点.设平面PDC∩平面PBE=l.证明: (1)DF∥平面PBE;

(2)DF∥l.证明

由(1)知DF∥平面PBE,又DF⊂平面PDC,平面PDC∩平面PBE=l,所以DF∥l.考点二

平面与平面平行的判定与性质例3

(2024·潍坊质检)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G

分别为棱B1C1,A1B1,AB的中点. (1)求证:平面A1C1G∥平面BEF;

证明

∵E,F分别为B1C1,A1B1的中点,∴EF∥A1C1.

∵A1C1⊂平面A1C1G,EF⊄平面A1C1G,

∴EF∥平面A1C1G.

又F,G分别为A1B1,AB的中点,∴A1F=BG,

又A1F∥BG,∴四边形A1GBF为平行四边形,∴BF∥A1G.

∵A1G⊂平面A1C1G,BF⊄平面A1C1G,∴BF∥平面A1C1G,

又EF∩BF=F,EF,BF⊂平面BEF,∴平面A1C1G∥平面BEF.(2)若平面A1C1G∩BC=H,求证:H为BC的中点.证明

∵平面ABC∥平面A1B1C1,平面A1C1G∩平面A1B1C1=A1C1,平面A1C1G与平面ABC有公共点G,经过点G的直线交BC于点H,则A1C1∥GH,得GH∥AC,∵G为AB的中点,∴H为BC的中点.思维建模1.证明面面平行可以通过线面平行来证明,而判定面面平行主要有四种方法:(1)定义(常与反证法结合);(2)面面平行的判定定理;(3)垂直于同一条直线的两个平面平行;(4)面面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行.2.当已知两平面平行时,可以得出线面平行,如果要得出线线平行,必须是与第三个平面的交线.训练2

如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.

(1)证明:平面A1BD∥平面CD1B1.

证明

由题设知BB1∥DD1且BB1=DD1,

所以四边形BB1D1D是平行四边形,所以BD∥B1D1.

又BD⊄平面CD1B1,B1D1⊂平面CD1B1,所以BD∥平面CD1B1.

因为A1D1∥B1C1∥BC且A1D1=B1C1=BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,

所以A1B∥D1C.

又A1B⊄平面CD1B1,D1C⊂平面CD1B1,

所以A1B∥平面CD1B1.

又因为BD∩A1B=B,BD,A1B⊂平面A1BD,所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)若平面ABCD∩平面CD1B1=l,证明:B1D1∥l.证明

由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1,又平面ABCD∩平面CD1B1=l,平面ABCD∩平面A1BD=BD,所以l∥BD,又B1D1∥BD,所以B1D1∥l.考点三

平行关系的综合应用

思维建模解决面面平行问题的关键点(1)在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而在应用性质定理时,其顺序恰好相反,但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,绝不可过于“模式化”.(2)解答探索性问题的基本策略是先假设,再严格证明,先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法.训练3

(2025·双鸭山模拟)如图,在正四面体S-ABC中,AB=4,

E,F,R分别是SB,SC,SA的中点,取SE,SF的中点M,N,Q

为平面SBC内一点.

(1)求证:平面MNR∥平面AEF;

证明

因为R,M,N分别是SA,SE,SF的中点,

所以MN∥EF,

又MN⊄平面AEF,EF⊂平面AEF,所以MN∥平面AEF.

同理,MR∥平面AEF,又因为MR∩MN=M,MN,MR⊂平面MNR,

所以平面MNR∥平面AEF.

课时对点精练3KESHIDUIDIANJINGLIAN一、单选题1.(2025·南京模拟)在空间中,直线l∥平面α的一个充要条件是(

) A.α内有一条直线与l平行 B.α内有无数条直线与l平行 C.任意一条与α垂直的直线都垂直于l D.存在一个与α平行的平面经过l

解析

对于A,B,C,直线l都可能在α内.D2.如果AB,BC,CD是不在同一平面内的三条线段,则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是(

) A.平行

B.相交 C.AC在此平面内

D.平行或相交

解析

如图,把这三条线段放在正方体内,可得AAC∥EF,AC⊄平面EFG,EF⊂平面EFG,故AC∥平面EFG.3.下列命题中正确的是(

) A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面 B.若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行 C.平行于同一条直线的两个平面平行 D.若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α

解析

A中,a可以在过b的平面内;

B中,a与α内的直线也可能异面;

C中,两平面可能相交;

D中,由直线与平面平行的判定定理知b∥α,故D正确.D4.(2025·济南质检)如图,在四面体A-BCD中,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,下列条件中,不能证明EH∥FG的是(

)D

5.如图,已知P为△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,且α分别交线段PA,PB,PC于点A′,B′,C′,若PA′∶AA′=2∶3,则S△A′B′C′∶S△ABC=(

)D

6.过四棱锥P-ABCD任意两条棱的中点作直线,其中与平面PBD平行的直线有(

) A.4条 B.5条

C.6条

D.7条

解析

如图,设E,F,G,H,I,J,M,N为相应棱的中点,C则NE∥PB,且NE⊄平面PBD,PB⊂平面PBD,所以NE∥平面PBD,同理可得HE,NH,GF,MF,MG与平面PBD平行,由图可知,其他的任意两条棱的中点的连线与平面PBD相交或在平面PBD内,所以与平面PBD平行的直线有6条.7.(2025·北京朝阳区测试)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,平面AB1C与平面AA1D1D的交线为l,则(

) A.l∥A1D B.l∥B1D C.l∥C1D D.l∥D1D

解析

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

因为平面BCC1B1∥平面ADD1A1,平面BCC1B1∩平面AB1C=B1C,

平面AB1C∩平面ADD1A1=l,所以l∥B1C,

因为B1C∥A1D,所以l∥A1D,故A正确;

因为B1D与B1C相交,所以l与B1D不平行,故B错误;

因为C1D与B1C不平行,所以l与C1D不平行,故C错误;

因为DD1与B1C不平行,所以l与DD1不平行,故D错误.A8.(2025·深圳调研)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AM=2MA1, BN=2NB1,过MN作一平面分别交底面△ABC的边BC,AC于点E,F,则(

)DA.MF∥EBB.A1B1∥NEC.四边形MNEF为平行四边形D.四边形MNEF为梯形解析

由于B,E,F三点共面,F∈平面BEF,M∉平面BEF,EB不过点F,故MF,EB为异面直线,故A错误;由于B1,N,E三点共面,B1∈平面B1NE,A1∉平面B1NE,NE不过点B1,故A1B1,NE为异面直线,故B错误;∵在平行四边形AA1B1B中,AM=2MA1,BN=2NB1,∴AM∥BN,AM=BN,故四边形AMNB为平行四边形,∴MN∥AB.又MN⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,∴MN∥平面ABC.又MN⊂平面MNEF,平面MNEF∩平面ABC=EF,∴MN∥EF,∴EF∥AB,显然在△ABC中,EF≠AB,∴EF≠MN,∴四边形MNEF为梯形,故C错误,D正确.二、多选题9.平面α与平面β平行的充分条件可以是(

)A.α内有无数条直线都与β平行 B.α内的任何一条直线都与β平行C.两条相交直线同时与α,β平行 D.两条异面直线同时与α,β平行解析

当α内有无数条直线与β平行时,α与β可能平行,也可能相交,故A不符合题意;当α内的任何直线与β平行时,必有两条相交直线与β平行,故B符合题意;两条相交直线同时与α,β平行,设两相交直线确定平面γ,则γ∥α,γ∥β,可得α∥β,故C符合题意;两条异面直线同时与α,β平行,则可在一条直线上取一点作另一条直线的平行线,问题转化为C项的条件,故D符合题意.BCD10.(2025·金华十校模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD交于点O,则(

) A.AC∥平面BA1C1 B.D1O∥平面BA1C1 C.平面ACD1∥平面BA1C1 D.平面ODD1∥平面BA1C1

解析

对于A,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,易得AC∥A1C1,

又A1C1⊂平面BA1C1,AC⊄平面BA1C1,

所以AC∥平面BA1C1,故A正确;

对于B,连接B1D1交A1C1于点O1,连接BO1,ABC在正方体ABCD-A1B1C1D1中,易得O,O1分别为BD,B1D1的中点,且BD綉B1D1,则OB綉O1D1,所以四边形OBO1D1是平行四边形,所以OD1∥BO1,又OD1⊄平面BA1C1,BO1⊂平面BA1C1,所以D1O∥平面BA1C1,故B正确;对于C,因为AB綉C1D1,所以四边形ABC1D1为平行四边形,所以AD1∥BC1,又BC1⊂平面BA1C1,AD1⊄平面BA1C1,所以AD1∥平面BA1C1,由选项A知,AC∥平面BA1C1,又AC∩AD1=A,AC,AD1⊂平面ACD1,所以平面ACD1∥平面BA1C1,故C正确;对于D,平面ODD1即为平面BDD1B1,而平面BDD1B1与平面BA1C1相交,所以平面ODD1与平面BA1C1相交,故D错误.11.(2025·南昌模拟)在下列底面为平行四边形的四棱锥中,A,B,C,M,N是四棱锥的顶点或棱的中点,则MN∥平面ABC的有(

)AB解析

对于A,如图1,设P为AB的中点,底面为平行四边形BEFC,连接MP,PC,

对于B,如图2,设P为AB的中点,底面为平行四边形BCFE,连接MP,PC,

对于C,如图3,设P为AE的中点,底面为平行四边形BEFG,连接NP,PB,

对于D,如图4,设底面为平行四边形ANEF,FN与AC交于点G,连接AE,FN交于点H,则H为FN的中点,连接BH,BG,由于B为MF的中点,故BH∥MN,又MN⊂平面NMF,MN⊄平面ABC,平面NMF∩平面ABC=BG,假设MN∥平面ABC,则MN∥BG,即在平面NMF内过点B有两条直线和MN都平行,显然是不可能的,故此时MN与平面ABC不平行,D错误.

l⊄α解析

①由线面平行的判定定理知l⊄α;②由线面平行的判定定理知l⊄α.13.如图,空间图形A1B1C1-ABC是三棱台,在点A1,B1,C1,

A,B,C中取3个点确定平面α,α∩平面A1B1C1=m,且m∥AB,

则所取的这3个点可以是

.

A,B,C1(答案不唯一)解析

由空间图形A1B1C1-ABC是三棱台,可得平面ABC∥平面A1B1C1,当平面ABC1为平面α,平面α∩平面A1B1C1=m时,又平面α∩平面ABC=AB,所以由面面平行的性质定理可知m∥AB,所取的这