第8节　向量法、几何法求空间距离 高二数学下学期

第七章立体几何与空间向量第8节向量法、几何法求空间距离INNOVATIVEDESIGN能用向量法、几何法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题.目

录CONTENTS知识诊断自测01考点聚焦突破02课时对点精练03知识诊断自测1ZHISHIZHENDUANZICE

图1

图2

×1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥β.(

) (2)点到直线的距离也就是该点到直线上任一点连线的长度.(

) (3)直线l平行于平面α,则直线l上各点到平面α的距离相等.(

) (4)直线l上两点到平面α的距离相等,则l平行于平面α.(

)

解析

(1)当平面α上三点在平面β的两侧时,α与β相交. (2)点到直线的距离是过该点作直线的垂线,该点与垂足之间的距离. (4)直线l上的两个点在平面α的两侧时,l与平面α相交.×√×

4.(苏教选修二P52T8改编)定义:两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,

BC=2,AA1=3,则异面直线AC与BC1之间的距离为

.

解析

如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,

考点聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考点一

向量法求点到直线的距离例1

如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD.若已知AB=3,AD=4,PA=1,则点P到直线BD的距离为(

)A

思维建模

B则B(0,0,0),A1(2,0,2),B1(0,0,2),C(0,2,0),P(1,0,1),

考点二

向量法求点到平面的距离例2

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,过AB1E的平面截正方体,得到如图所示的多面体,F为棱CC1上的动点.

则CG的中点为H,连接C1G,过点H做HF∥GC1,交C1G于点F,则中点F满足条件.证明如下:由题意可得△ED1C1≌△GBA,所以EC1=GA,同理EA=C1G,所以四边形EC1GA为平行四边形,所以C1G∥AE,又FH∥C1G,所以FH∥AE,又FH⊄平面AEB1,AE⊂平面AEB1,所以FH∥平面AEB1.又因为FH∥C1G,H为CG的中点,所以F为CC1的中点.

思维建模利用向量求点面距的步骤:(1)求出该平面的一个法向量;(2)找出从该点出发到平面的任一条斜线段对应的向量;(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值,再除以法向量的模,即可求出点到平面的距离.

(1)过点P是否存在直线l,使直线l∥平面ABCD?若存在,作出该直线,并写出作法与理由;若不存在,请说明理由.解

过点P存在直线l,满足直线l∥平面ABCD,理由和作法如下.作法:过点P在平面PAD内作直线l平行于直线AD,如图1,满足题意.理由:因为l∥AD,l⊄平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以l∥平面ABCD.

考点三几何法求空间距离

A因为PB⊥平面ABCD,又BC⊂平面ABCD,所以PB⊥BC,又因为AB⊥BC,PB∩AB=B,PB,AB⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB,

(2)(2025·青岛调研)已知圆柱的高和底面半径均为4,AB为上底面圆周的直径,点P是上底面圆周上的一点且AP=BP,PC是圆柱的一条母线,则点P到平面ABC的距离为

.

解析

由题可得AB=8,因为AP=BP,

思维建模1.求点线距一般要作出这个距离,然后利用直角三角形求解,或利用等面积法求解.2.求点面距时,若能够确定过点与平面垂直的直线,即作出这个距离,可根据条件求解,若不易作出点面距,可借助于等体积法求解.3.求线面距时,可转化为点面距.

(2)若点F为PB的中点,求直线EF到平面PCD的距离.解

因为F为PB中点,E为BC中点,所以EF∥PC,又EF⊄平面PCD,PC⊂平面PCD,所以EF∥平面PCD,同理,AE∥平面PCD,又EF与AE为平面AEF内的两条相交直线,所以平面AEF∥平面PCD,所以点A到平面PCD的距离即为EF到平面PCD的距离,如图,作AH⊥PD,

拓展视野

平面方程与其法向量

典例

(2025·济南模拟)在空间直角坐标系O-xyz中,任何一个平面的方程都能表示成Ax+By+Cz+D=0,其中A,B,C,D∈R,A2+B2+C2≠0,且n=(A,B,C)为该平面的法向量.

已知集合P={(x,y,z)||x|≤1,|y|≤1,|z|≤1},Q={(x,y,z)||x|+|y|+|z|≤2}, T={(x,y,z)||x|+|y|≤2,|y|+|z|≤2,|z|+|x|≤2}. (1)设集合M={(x,y,z)|z=0},记P∩M中所有点构成的图形的面积为S1,Q∩M中的所有点构成的图形的面积为S2,求S1和S2的值;

(3)记集合T中所有点构成的几何体为W.①求W的体积V3的值;②求W的相邻(有公共棱)两个面所成二面角的大小,并指出W的面数和棱数.解

①如图所示,即为T所构成的图形,

ABD

课时对点精练3KESHIDUIDIANJINGLIAN

2.如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,

AB=AD,O为BD的中点,△OCD是边长为1的等边

三角形,点E在棱AD上,DE=2EA.

(1)证明:OA⊥BC;

证明

因为AB=AD,O为BD的中点,所以AO⊥BD,

又平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AO⊂平面ABD,

所以AO⊥平面BCD,

又BC⊂平面BCD,所以OA⊥BC.(2)当AO=1时,求点E到直线BC的距离.解

取OD的中点F,连接CF,因为△OCD为正三角形,所以CF⊥OD,过点O作OM∥CF交BC于点M,则OM⊥OD,所以OM,OD,OA两两垂直,

3.(2025·南京调研)如图,在四棱锥P-ABCD中,

底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=

AD=3,F是棱PD的中点,E是棱DC上一点.

(1)证明:AF⊥EF;

证明

在正方形ABCD中,有AD⊥CD,又PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,

所以PA⊥CD,又AD∩AP=A,AD