安徽省安庆市部分示范高中2024-2025学年高二下学期第一次联考数学试卷 （解析）

第页，共页2024-2025学年高二数学下学期第一次联考试卷试题范围：数列、导数及其应用、计数原理第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.设为数列的前n项和，若，则（）A.1032 B.1033 C.520 D.521【答案】B【解析】【分析】利用题目给的条件。使用退一步相减的方法，构造出数列是等比数列，结合题目的条件，求解出结果即可.【详解】，即，所以又当时，，作差得，即即，则，又，所以，则数列是以为首项，为公比的等差数列，所以，所以，又，所以，所以故选：B.2.已知，，，则关于，，的方程共有（）组不同的解.A.36 B.45 C.50 D.24【答案】A【解析】【分析】根据题意将问题转化为把10个相同的小球放入3个不同的盒子，每个盒子至少放入1个小球的不同放法，由挡板分析可得答案.【详解】根据题意，对于方程将10看成10个相同小球，将其分成3组，每组至少1个，第一组有个，第二组有个，第三组有个，即可得一个方程的解，所以10个相同的小球形成9个空，从中选2个，插入隔板即可，所以共有组不同的解.故选：A3.市内某公共汽车站有6个候车位（成一排），现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是（）A.48 B.54 C.72 D.84【答案】C【解析】【分析】根据题意，现将3个乘客全排列，再将两个空座位捆绑在一起和另一个空座位，结合插空法，即可求解.【详解】根据题意，现将3个乘客全排列，将有4个空隙，再将两个空座位捆绑在一起和另一个空座位，放入4个空隙中的两个，共有种.故选：C.4.若数列的通项公式为，则该数列中的最大项是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用分离常数法分析数列的单调性，再根据单调性求数列的最大项.【详解】因为所以当，即时，，所以.当，即时，，所以.且时，易知数列为递减数列，所以该数列的最大项是.故选：D5.汉诺塔（TowerofHanoi），是一个源于印度古老传说的益智玩具.如图所示，有三根相邻的标号分别为A、B、C的柱子，A柱子从下到上按金字塔状叠放着个不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子B上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方，请问至少需要移动多少次？记至少移动次数为，例如：，，则下列说法正确的是（）A. B.为等差数列C.为等比数列 D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得，判断A；归纳得到，结合等差数列以及等比数列的概念可判断B，C；求出，判断D.【详解】由题意知若有1个圆盘，则需移动一次：若有2个圆盘，则移动情况为：，需移动3次；若有3个圆盘，则移动情况如下：，共7次，故，A错误；由此可知若有n个圆盘，设至少移动次，则,所以，而，故为等比数列，故即，该式不是n的一次函数，则不为等差数列，B错误；又，则，，则为等比数列，C正确，，D错误，故选：C6.已知，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据已知条件，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性比较函数值的大小.【详解】因为，，，构造函数，因为，由，得到，由，得到，所以区间上单调递减，因为，，，因为，所以，故选项A，C，D错误，选项B正确，故选：B.7.从点可向曲线引三条不同切线，则t的取值范围为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设切点为，利用，列出方程，从而将问题转化成函数有3个不同零点，借助于求导判断单调性，求出极值，作出图象得到不等式，求解即得.【详解】设切点为，其中由求导得，则，依题意，方程有三个不同的解.设，则该函数有三个不同零点因，由，则或，令，则或，令，则，则函数在区间单调递减，在区间上单调递增，当时，，当时，，则函数在时取得极大值，在时取得极小值，如图所示：由图知，函数有三个不同零点等价于，解得.故选：A．8.已知函数，若，则的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.e【答案】A【解析】【分析】求出函数的零点，再根据得到与的关系，最后利用函数性质求出的最小值．【详解】令，则或．由可得；由，即，可得．所以函数的零点为和．因为恒成立，所以，即．将代入，可得．设，对求导，可得．令，即，因为，所以，解得．当时，，则，所以在上单调递减；当时，，则，所以在上单调递增．所以在处取得极小值，也是最小值，，即的最小值为1．故选：A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现，它是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是（）A.四位回文数有45个 B.四位回文数有90个C.（）位回文数有个 D.（）位回文数有个【答案】BD【解析】【分析】根据题意，用列举法分析四位回文数数目，可得A错误，B正确；再用分步计数原理分析2n+1位回文数的数目，可得C错误，D正确，综合可得答案．【详解】据题意，对于四位回文数，有1001、1111、1221、……、1991、2002、2112、2222、……、2992、……9009、9119、9229、……、9999，共90个，则A错误，B正确；对于2n位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10种选法，……，第n和第n+1位也有10种，则共有9×10×10×……×10＝9×10n-1种选法，故C错；对于2n+1位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10种选法，……，第n+1个数字，即最中间的数字有10种选法，则共有9×10×10×……×10＝9×10n种选法，即2n+1（n∈N*）位回文数有9×10n个，所以D正确．故选：BD．10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.时，曲线的切线斜率最小值为B.时，有最大值C.时，有两个零点D.时，有最小值【答案】AD【解析】【分析】利用导数的几何意义可判断A选项；利用函数的最值与单调性的关系可判断BD选项；利用函数的最小值可判断C选项.【详解】函数的定义域为，且，对于A选项，当时，，当且仅当时，即当时，等号成立，所以，时，曲线切线斜率最小值为，A对；对于B选项，当时，对任意的恒成立，所以，当时，函数在上为增函数，则无最大值，B错；对于CD选项，当时，，，由可得，由可得，此时，函数的减区间为，增区间为，则，所以，，所以，当时，函数有最小值，函数无零点，C错D对.故选：AD.11.已知函数，下列结论正确的是（）A.当时，是的极大值点B.若在区间上单调递减，则的取值范围是C.若存在唯一的零点，且，则的取值范围是D.存在实数，使得成立【答案】ACD【解析】【分析】通过求导判断函数的单调性进而确定极值点即可判断A；根据函数在区间上的单调性，分离参数得出关于的不等式，求出函数最值即可判断B；利用导数讨论函数的单调性，结合零点情况确定的取值范围即可判断C;代入函数进行化简验证等式即可判断D.【详解】由函数可得，对于A，当时，.所以，当或时，单调递增；当时，单调递减.所以是的极大值点，故A正确；对于B，若在上单调递减，则在上恒成立，即不等式在上恒成立，又在上单调递减，其值域，所以的取值范围是，故B错误；对于C,由题意，当时，，令，解得，所以函数有两个零点，不符合题意；由选项A可知，当时，.所以，当或时，单调递增；当时，单调递减.所以的极大值为，极小值且当时，，当时，，要使存在唯一的零点，则解得或（舍去），所以，此时，不符合题意；当时，.所以，当或时，单调递减；当时，单调递增.所以的极大值为，极小值且当时，，当时，，要使存在唯一的零点，且，则，解得或（舍去），所以.综上所述，的取值范围是，故C正确；对于D，，即，则有，解得，所以存在，使得成立，故D正确.故选：ACD.三､填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知数列，对于任意正整数，都满足，则__________【答案】【解析】【分析】令，利用累加法可求得数列的通项公式，根据裂项相消法可得结果.【详解】∵对于任意正整数，都满足，∴令得，即，∴当时，，∵满足上式，∴，故，∴．故答案为：．13.任意时，不等式恒成立，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】同构变形得到，令，故，由单调性得到不等式，故，令，，求导，得到函数单调性和最小值，从而得到，得到答案.【详解】，令，则，故，，故在R上单调递增，所以，又，故，令，，，令得，令得，故在上单调递减，在上单调递增，所以在上取得极小值，也是最小值，其中，故.故答案为：14.某城市的交通道路如图，从城市的西南角到城市的东北角，经过城市中心广场，最近的走法种数有__________种．【答案】60【解析】【分析】解决本问题可以分为两步来解决，先查出A到的走法，再查出到的走法，相乘即得答案.【详解】用分步乘法原理解题，分两步，第一步，由A到，共走5段路，3横5竖，共有种走法；第二步，由到，共走4段路，2横2竖，共有种走法最近的走法种数有种故答案为：60四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.关于正整数2160，求：（1）它有多少个不同的正因数？（2）它的所有正因数的和是多少？【答案】（1）40个；（2）7440．【解析】【分析】（1）对2160分解因数，转化2160的正因数，结合参数的取值及分步乘法计数原理即可得解.（2）我们要求正整数2160正因数的和，我们可以根据式子的展开式就是40个正因数．展开求和，即可得到答案．【小问1详解】由题意，，则2160的正因数，因为可取0，1，2，3，4；可取0，1；可取0，1，2，3；所以2160有个不同的正因数.【小问2详解】式子的展开式就是40个正因数之和．所以，正因数之和为.即2160所有正因数的和是.16.已知数列的首项，的前项和为且满足（1）证明：数列是等差数列；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）依题意可得，结合等差数列的定义证明即可；（2）由（1）可得，再由求出的通项公式，最后利用错位相减法计算可得.【小问1详解】证明：因为，即，所以，又，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列．【小问2详解】由（1）可得，所以，当时，所以，当时也成立，所以，所以，所以①，②，①②得，则，所以．17.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若函数有两个零点，求m的范围．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）求导，再分和两种情况讨论即可得解；（2）令，得，构造函数，利用导数求出函数的最值，进而可得出答案.【小问1详解】函数，当时，则在上单调递增;当时，令，得，当时，单调递减，当时，单调递增，综上所述，当时，在上单调递增；当时，在内单调递减，在单调递增；【小问2详解】由题意可得：，令，整理可得，设，则，由，令，得，令，得，则在内单调递减，在内单调递增，由题意可知：有两个零点，则，解得，若，令，则，则，可知在内有且仅有一个零点，且当趋近于趋近于，可知内有且仅有一个零点，即，符合题意，综上所述，的取值范围为.18.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求当时函数的解析式与导函数，求出切线的斜率，即可求得切线方程；（2）参变分离，构造函数，设，求导讨论的单调性，求出其最大值，即可求出参数的取值范围；（3）取，由（2）得，取，然后利用累加法即可证结论.【小问1详解】当时，，，，则，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即；【小问2详解】因为，恒成立，所以恒成立.令，则，令，则且不恒为0，即在上单调递减，则，所以当时，且不恒为0，所以在区间上单调递减，故，所以，综上，实数的取值范围为；【小问3详解】取，由（2）得当时，，所以.取，则有，即，所以，，，，将上述式子相加得，得证.19.洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数，当时，.已知函数，.（1）证明：在区间上单调递减；（2）对于恒成立，求实数的取值范围；（3），证明：（附：）.【答案】（1）证明见解析（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）先求函数的导函数，再结合分分别求出导函数正负得出函数单调性即可证