贵州省黔西南州自强中学2024-2025学年高二下学期第一次月考质量检测数学试题（解析版）

第页，共页秘密★启用前黔西南州自强中学2024-2025学年度第二学期第一次月考质量检测高二数学满分：150分；考试时长：120分钟注意事项：1．答题前考生务必将自己的姓名，准考证号填涂在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．考试结束后，将答题卡交回．5．考试范围：必修一、选择性必修二第五章、数列及解三角形．一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分．）1.函数的导数的极值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求，令，根据极值的定义求，并求的解，分析的单调性，可求出导数的极值.【详解】函数的导数为：，则令，则，令，则有，当时，，当时，，所以为的极小值点，且.故选：B2.若集合则的子集个数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据子集的定义直接求解即可.【详解】若集合有个元素，则其子集个数为，所以的子集个数为.故选：A3.若曲线在处的切线的斜率为（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用导数运算法则求导函数，再求其在处的函数值即可.【详解】定义域为，，则，则，即在处的切线的斜率为.故选：B4.已知函数的导函数，其图象如图所示，则以下选项中正确的是（）A.和是函数的两个零点B.函数的单调递增区间为C.函数在处取得极小值，在处取得极大值D.函数的最大值为，最小值为【答案】C【解析】【分析】由的正负性可以确定函数的单调性以及极值点，可判断BC；但因无具体的解析式，故无法确定具体的函数值，故AD无法确定.【详解】由图象可知，或时，，时，，则在和上单调递减，在上单调递增，则当时取极小值，当时取极大值，故B错误，C正确，由图只能确定函数的单调性以及极值点，无法确定具体的函数值，故AD无法确定.故选：C5.设函数的导函数为，若，且对于恒成立，则的最小值为（）A. B.0 C.1 D.【答案】C【解析】【分析】先对求导，再求出，得到，将对于恒成立，转化为对于恒成立，再利用导数求的最值即可.【详解】由，则，则，解得，则，由对于恒成立，即对于恒成立，即对于恒成立，令，，则，令，，则，令，，则，当时，，时，，则在单调递减，在单调递增，故，即当时，，则在单调递增，则，即当时，，故在单调递增，则，则可得，所以的最小值为，故选：C.6.若函数在其定义域上单调递增，则实数的取值范围为（）A.或 B.或 C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可得对于恒成立，进而结合判别式求解即可.【详解】由，，则，因为函数在其定义域上单调递增，则对于恒成立，则，解得.故选：D.7.已知函数在上有最大值，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用导函数分析函数的单调性，结合二次函数性质分类讨论导函数单调性情况即可求解.【详解】由函数求导可得，.设，其开口向上，对称轴为，因为函数在上有最大值，所以方程一定有两个不相等的实数根，设为且，则，即两根同号，则有，解得或.当时，对称轴，则要使函数上有最大值，则，所以，解得，此时在上单调递增，在上单调递减，有最大值，故符合；当时，对称轴，此时方程的两根均为负根，则在上恒成立，即函数单调递增，没有最大值.综上，.故选：D.8.函数的两个极值点满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知函数求导，令则可得，代入极值点后两式作商，可得到的关系，作商得到的结果指对互换，便可解出，根据题目所求，代入后便可构造新的函数，通过求导可求得最小值.【详解】由函数，，令，则，因为函数两个极值点，则①，②，得③，设，则且，代入③得，，设，则，设，则，在单调递减，，从而，在单调递减，，，故最小值为．故选：A.【点睛】方法点睛：求函数最值，通常是对所求函数求导，当一阶导数不能确定极值点时，可二阶求导确定导函数的单调性和零点，可得到原函数的单调区间，进而求得原函数的最值.二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分．）9.下列求导正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】AC【解析】【分析】根据函数的求导公式及求导法则判断各选项即可.【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：AC.10.过点与函数相切的直线为（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】当为切点时，根据的值和直接求解出切线方程；当不是切点时，设出切点，然后根据斜率的表示求解出的坐标，则切线方程可求.【详解】因为，所以；若A点是切点，则，则切线方程为，即，故C正确；若A点不是切点，设切点，则B处切线斜率为，又因为直线AB的斜率为，则，，化简可得，所以或（舍去，此时重合），所以点B为，故切线斜率为，则切线方程为，即，故D正确．故选：CD．11.若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值可能是（）A. B.4 C. D.【答案】ABD【解析】【分析】设切线与曲线相切于点，与曲线相切于点，分别求出切线方程，可得，令，通过求导可得函数的最值，即可求解.【详解】因为，所以，设切线与曲线相切于点，则斜率为，所以切线方程为，即，因为，所以，设切线与曲线相切于点，则斜率为，所以切线方程为，即，由，所以，令，则，所以当，，单调递增，当，，单调递减，所以，所以，所以正实数a的取值可能是，，.故选：.三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分．）12.曲线在点处的切线方程为______．【答案】【解析】【分析】根据导数的几何意义可求出结果.【详解】，

，，所以所求切线方程为，即.故答案为：13.函数，当时，的最小值为_________．【答案】【解析】【分析】利用三次求导判断函数的单调性，从而求得最小值.【详解】因为，所以，令，所以，令，所以，因为，所以，所以，即，所以在上单调递增，所以，即，所以在上单调递增，所以，即，所以在上单调递增，所以.故答案为：0.14.已知函数，，则实数a的取值范围______．【答案】【解析】【分析】求导结合基本不等式分析可知在定义域内单调递增，结合单调性解不等式即可.【详解】由题意可知：的定义域为，且，当且仅当，即时，等号成立，可知在定义域内单调递增，因为，则，解得，所以实数a的取值范围为.故答案为：.四、解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分．）15.已知函数．（1）直线为曲线在点处的切线，求直线的方程；（2）求过原点且与曲线相切的切线方程及切点坐标．【答案】（1）；（2）直线的方程为，切点坐标为．【解析】【分析】（1）由函数解析式求出求点坐标，利用导数求得切线斜率，可得答案；（2）设出切点，结合导数表示出切线斜率，写出切线方程，代入切线上的已知点，建立方程，可得答案.【小问1详解】∵，∴点在曲线上．∵，∴在点处的切线的斜率为.∴切线的方程为．即．小问2详解】设切点为，则直线的斜率为，∴直线的方程为：．又∵直线过点，∴，整理得，∴，∴，∴直线的方程为，切点坐标为．16.设为等差数列的前n项和，，．（1）求数列通项公式及前n项和；（2）若，，成等比数列，求m的值；（3）已知数列满足，为数列的前n项和，若，求k的最小值．【答案】（1）；（2）（3）k的最小值为1013【解析】【分析】（1）根据题意列式求，进而可得；（2）根据等比中项可得，代入运算求解即可；（3）根据题意可得，利用裂项相消法可得，列式求解即可.【小问1详解】因为为等差数列的前n项和，，．则，解得，所以数列的通项公式为．．【小问2详解】因为，，成等比数列，则，可得，即，又因为，解得．【小问3详解】由（1）可知：，则，可得，若，即，解得，且，所以k的最小值为1013．17.如图，在中，，的垂直平分线交边于点．若，求：（1）的值；（2）求的面积与的面积之比．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理求出，在中，由余弦定理求，再利用正弦定理即可求出；（2）利用三角形的面积公式，求出与的面积即可.【小问1详解】由题意知，垂直平分，则，在中，，整理得，即，所以或．因为，所以，所以．在中，由余弦定理得．所以．由，，得．在中，由正弦定理得，即，所以．【小问2详解】由（1）可知，，，，则：，，故.18.已知函数，且满足．（1）若有两个解，求的值；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】（1）（2）最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）先根据求得的值，再根据有两个解，分类讨论，当时，不成立；当时，有两个解，设，根据导数得出函数单调性即可求解；（2）求得导数，得出单调性和极值，再讨论端点函数值即可求解．【小问1详解】因为，所以，令，即方程，解得，故，因为有两个解，即有两个解，当时，上式不成立；当时，则上式可化解为：有两个解，令，则：，由得，，故的单调递增区间为，由得，或，故的单调递减区间为和，且当时，，当时，，当时，，当时，，如图所示，当时，，故有两个解，及有两个解时，．【小问2详解】由（1）知，，所以，令，即，解得．列表如下：23

+00+

递增递减递增当时，在单调递增，当时，在单调递减，当时，在单调递增，所以有极大值；有极小值，又，所以函数在区间上的最大值为，最小值为．19.已知函数.（1）当时，求的单调区间与极值；（2）若在上有解，求实数a的取值范围.【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增，极小值，无极大值；（2）【解析】【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，然后由