黑龙江省哈尔滨市第一中学校2024-2025学年高二下学期第一次质量检测数学试卷（解析）

第页，共页哈尔滨市第一中学校2025-2026学年度第一次质量检测高二数学试卷考试时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷选择题（58分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知机器中有7个娃娃，机器中有8个娃娃，且这15个娃娃互不相同，某人从，机器中分别抓取1个娃娃，则此人抓取娃娃的不同情况共有（）A.15种 B.30种 C.45种 D.56种【答案】D【解析】【分析】运用分步乘法计数原理计算得到总的不同情况数.【详解】已知机器中有个娃娃，那么从机器中抓取个娃娃，就有种不同的情况.

已知机器中有个娃娃，那么从机器中抓取个娃娃，就有种不同的情况.

根据分步乘法计数原理，得到总的不同情况数为（种）.

故选：D2.（）A.10 B.15 C.20 D.40【答案】C【解析】分析】由组合数公式计算求解即可.【详解】，故选：C3.180的不同正因数的个数为（）A.8 B.10 C.12 D.18【答案】D【解析】【分析】把180进行质因数分解，然后结合分步乘法原理计算．【详解】因为，它的正因数即为的幂的乘积，因此正因数个数为.故选：D.4.7个相同的小球，任意放入四个不同的盒子里，每个盒子都不空的放法种数是（）A.20 B.21 C.22 D.23【答案】A【解析】【分析】将7个相同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，即把7个相同的球分成4组，利用隔板法即可的解.【详解】将7个相同的球放入4个不同的盒子中，即把7个相同的球分成4组，因为每个盒子都有球，所以每个盒子至少有一个球，不妨将7个球摆成一排，中间形成6个空，只需在这6个空插入3个隔板将它们隔开，即分成4组，不同插入方法共有种，所以每个盒子都有球的放法种数为20.故选：A.5.4本不同的书分给3人，每人至少1本，共有（）种不同的分法.A.36 B.24 C.18 D.72【答案】A【解析】【分析】选2本捆绑作为一本书与其它2本书一起分给三个人．【详解】由题意有1人分得2本书，方法数为，故选：A．6.在某班学生考试成绩中，数学不及格的占，语文不及格的占，两门都不及格的占．已知一名学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是（）A.0.2 B.0.33 C.0.5 D.0.6【答案】A【解析】【分析】直接由条件概率公式即可求解.【详解】由题意设事件“一名学生数学不及格”，“该名学生两门都不及格”，则所求为.故选：A.7.的展开式中的系数为（）A. B. C.100 D.120【答案】A【解析】【分析】解法一，利用二项式的通项公式即可求得答案；解法二：考虑中选取，或选取，确定的展开式中选取什么项，可得到项，即可求得答案.【详解】解法一，由于的展开式的通项，故的展开式中的系数为；解法二，若中选取，则在的展开式中选取含的项，即，二者相乘得；若中选取，则在的展开式中选取含的项，即，二者相乘得.故的展开式中的系数为，故选：A.8.今天是星期日，再过天是星期几（）A.星期二 B.星期三 C.星期四 D.星期五【答案】C【解析】【分析】由二项式定理将展开，由能被整除，只需看除以的余数，再将展开展开，可得到余数，进而得解.【详解】因为，由能被整除，则上式前项都能被整除，只需看最后一项除以的余数，由，则除以的余数为，所以今天是星期日，再过天，是星期四.故选：C.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分．）9.已知的展开式共有7项，则（）A.B.二项式系数和为64C.展开式的所有项的系数和为1D.含项的系数为【答案】BCD【解析】【分析】根据已知得，进而求出二项式系数和、所有项的系数和判断A、B、C；利用展开式通项求含项的系数.【详解】由的展开式共有7项，则，故二项式系数和为，A错，B对；令，则展开式所有项的系数和为，C对；展开式的通项公式为，若，则含项的系数为，D对.故选：BCD10.某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用排列组合计算符合要求的基本事件的个数和基本事件的总数，根据古典概型概率公式可得选项A错误，C正确；利用条件概率公式可得选项B正确；根据和事件的概率公式可得选项D正确.【详解】A.由题意得，，A错误.B.由题意得，，∴，B正确.C.对于事件B可分为两种情况：第一位出场的是男生，第二位出场的是女生；第一位出场的是女生，第二位出场的是女生，∴，∴，C正确.D.，D正确.故选：BCD.11.现有5个编号为1，2，3，4，5的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（）A.共有120种不同的放法B.恰有一个盒子不放球，共有1200种放法C.每个盒子内只放一个球，恰有1个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有45种D.将5个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有5种【答案】BC【解析】【分析】由题意，根据不同的放法，可得A的正误；根据分组分配的计算方法，可得B的正误；根据分步乘法原理以及分类加法原理，可得C的正误；利用隔板法，可得D的正误.【详解】对于A，每个球都有个选择，则情况数为，故A错误；对于B，先选出一个盒子不放球，其情况数为，将五个球分成四组，其情况数为，将分好的四组球分配到剩下四个不同的盒子里，其情况数为，所以总共的情况数为，故B正确；对于C，先选出一个球放在编号相同的盒子里，其情况数为，对于剩下四个球中，符合题意的情况数为，所以总的情况数为，故C正确；对于D，先选出一个盒子作为空盒，则其情况数为，五个相同的球分为四组，必有一组为两个球，则从剩下的四个盒子中选出一个，放两个球，则其情况数为，所以总共情况数为故D错误.故选：BC.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.已知正整数，若，则__________．【答案】3或7【解析】【分析】根据组合数的定义和性质分析求解即可.【详解】因为，则，解得，由组合数性质可知：或，解得或．故答案为：3或7.13.已知某射箭场馆共需要6名志愿者，其中3名会说韩语，3名会说日语．目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语，5人只会日语，另外还有1人既会韩语又会日语，则不同的选人方案共有_________种．（用数字作答）．【答案】【解析】【分析】对选出的3名会说韩语的志愿者分为2种情况讨论即只会韩语中选3人和选2人，分别求出其方法总数即可得出答案.【详解】若从只会韩语中选3人，则种，若从只会韩语中选2人，则种，故不同的选人方案共有种．故答案为：14.国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会．第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）．现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色．若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有__________种．【答案】420【解析】【分析】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要3种颜色，然后对使用的颜色种数进行分类讨论，分别求出方案数，再运用分类加法计数原理求出最后结果.【详解】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要3种颜色，若5块区域只用3种颜色涂色，则颜色的选法有种，相对的直角三角形必同色，此时不同的涂色方案有种；若5块区域只用4种颜色涂色，则颜色的选法有种，其中一对相对的直角三角形必同色，余下的两个直角三角形不同色，此时不同的涂色方案有种；若5块区域只用5种颜色涂色，则每块直角三角形都不同色，此时不同的涂色方案有种；综上，不同的涂色方案有：种.故答案为：420四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.设，求下列各式的值：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）令，即可求得.（2）令，求得，结合，即可求解.（3）令和，分别求得和，结合，即可求解.【小问1详解】解：由，令，可得.【小问2详解】解：令，可得，所以.【小问3详解】解：令，可得，令，可得，所以16.某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的和，且四条流水线的产品不合格率分别为和，现从该厂的这一产品中任取一件.（1）问抽到不合格品的概率是多少?（2）在抽到这件产品不合格的条件下，它是第二条流水线生产的概率是多少?【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设A表示“任取一件产品，抽到不合格品”，表示“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，结合条件概率和全概率公式，即可求解.（2）结合第（1）问，利用贝叶斯概率公式求解即可.【小问1详解】设A表示“任取一件产品，抽到不合格品”，表示“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，，由题意，，，，，且，，，，从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的概率是：.小问2详解】结合第（1）问知.17.小明在暑假参加了一项评价测试，在这次测试中，要从10道题中随机抽出5道题，若考生至少能答对其中3道题即可通过，至少能答对其中4道题就获得优秀．已知小明能答对10道题中的5道题，并且知道他在这次测试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．【答案】【解析】【分析】依题意记事件为“小明5道题全答对”，事件为“小明答对了其中4道题，另1道题答错”，事件为“小明答对了其中3道题，另2道题答错”，事件为“小明在这次测试中通过”，事件为“小明在这次测试中获得优秀”，即可求出、、，再根据条件概率的概率公式计算可得；【详解】解：记事件为“小明5道题全答对”，事件为“小明答对了其中4道题，另1道题答错”，事件为“小明答对了其中3道题，另2道题答错”，事件为“小明在这次测试中通过”，事件为“小明在这次测试中获得优秀”，则，，两两互斥，且，，可知，，，则，故小明在这次测试已经通过的条件下，获得优秀成绩的概率为．18.已知在的展开式中，前3项的系数分别为，且满足.求：（1）展开式中二项式系数最大项的项；（2）展开式中系数最大的项；（3）展开式中所有有理项.【答案】（1）（2）和（3）和【解析】【分析】(1)由二项式展开式通项公式，结合条件列方程求，再由二项式系数的性质求二项式系数最大的项；(2)设第项系数最大，列不等式组求，由此确定系数最大的项；(3)根据有理项的定义确定有理项的项数，再求有理项.【小问1详解】因为展开式的通项公式为，，所以依题意得，即，由已知,所以，所以的展开式有9项，二项式系数最大的项为第5项，所以.【小问2详解】由（1）知，，设展开式中系数最大的项为第项，则，即，即，解得，所以或，所以展开式中系数最大的项为和.【小问3详解】由为有理项知，为整数，得，，所以展开式中所有有理项为和.19.小明进行射击练习，他第一次射击中靶的概率为0.7，从第二次射击开始，若前一次中靶，则该次射击中靶的概率为0.9，否则中靶概率为0.7.（1）求小明射击3次恰有2次中靶的概率；（2）①分别求小明第2次，第3次中靶的概率.②求小明第n次中靶的概率.【答案】（1）（2）①第2次中靶的概率为，第3次中靶的概率为；②小明第n次中靶的概率为【解析】【分析】（1）根据题意，将3次射击恰有2次中靶分成三种情况分别计算概率，然后将概率相加即可；（2）①将第2次中靶分成第一次中靶和第一次未中靶两种情况分别计算即可，同理可得第3次中靶的概率；②小明第n次中靶的概率是由第次中靶和未中靶两种情况组成，可通过构造数列求得结果.【小问1详解】小明射击3次恰有2次中靶包括以下三种情况：第一种：第一、二次中靶，第三次未中靶，其概率为；第二种：第一、三次中靶，第二次未中靶，其概率为；第三种：第二、三次中靶，第一次未中靶，其概率为;所以，小明射击3次恰有2次中靶的概率为【小问2详解】小明第2次中靶的概率由以下两种情况组成：第一种：第一次中靶、第二次也