2025北京丰台高三二模数学（教师版）

第1页/共1页2025北京丰台高三二模数学2025.05本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分选择题（共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．已知集合则（A） （B）（C） （D）2．在复平面内复数的共轭复数对应的点位于（A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限 （D）第四象限3．已知向量满足且则与的夹角为（A） （B） （C） （D）4．已知数列的前项和为且满足则（A） （B） （C） （D）5．已知直线与圆交于两点当变化时则（A）有最小值 （B）有最大值 （C）有最小值 （D）有最大值6．是“关于的不等式的解集为的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件7．已知抛物线焦．过于两点过垂足分别为若四边形的周长等于则直线的斜率为（A） （B） （C）（D）8．如图在棱台中底面和为正方形侧面均为等腰梯形且侧面与底面的夹角均为则该棱台的表面积为（A）18 （B）（C） （D）349．“红移“蓝移是物理学和天文学中的概念如果接收器接收到的光波的频率小于波源发出的光波的频率则光的谱线向红光方向移动称“红移如果接收器接收到的光波的频率大于波源发出的光波的频率则光的谱线向蓝光方向移动称为“蓝移记接收器接收到的光波的频率为正数，波源发出的光波的频率为正数和满足光的普遍多普勒效应公式为波源运动速率与光速的比值为波源到接收器的方向与波源运动方向的夹角）某同学依据该公式利用AI工具制作“光的普遍多普勒效应计算器在给定范围内输入和的值点“计算按钮后运行结果显“红移“蓝移“无频移”下列说法正确的是（A）输入和任意运行结果显“红移”（B）输入和任意运行结果显“蓝移”（C）输入和任意运行结果显“红移”（D）输入和任意运行结果显“蓝移”10．已知是平面直角坐标系中的点集．设是中两点间距离的最大值是中的点与原点连线的斜率是表示的图形的面积给出下列四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的个数为（A） （B） （C） （D）

第二部分非选择题（共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．函数的定义域为．12．已知双曲线的离心率为2则C的渐近线方程为．13．已知直线为函数图象的一条对称轴则满足条件的一个的取值为__若在区间上有零点则的最小值为.14．已知则.（用数字作答）15．已知数列满足给出下列四个结论：①存在唯一的正实数使得是常数列；②当时是等比数列；③若是递增数列则；④若对任意的正整数都有则．其中所有正确结论的序号为．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（本小题13分）在△中．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若求边上的高．17．（本小题14分）如图在四棱柱中底面与侧面均为菱形平面为的中点与平面交于点．（Ⅰ）求证为的中点；（Ⅱ）再从条件①条件②这两个条件中选择一个作为已知判断在线段上是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在求的值若不存在说明理由．条件①；条件②．注：如果选择条件①条件②分别解答按第一个解答计分.18．（本小题13分），100名学生记录他们的日均户外活动时长（单位：小时）及近视情况统计得到：日均户外活动时长在区间内有70人近视率为80%；日均户外活动时长在区间内有20人，近视率为40%；日均户外活动时长在区间内有10人近视率为20%．注：近视率是指某区间内近视人数与该区间内人数的比值.（Ⅰ）估计该校日均户外活动时长不低于1小时的学生的近视率；（Ⅱ）用频率估计概率从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2名求这4名学生中恰有2名近视的概率；（Ⅲ）为响应国家降低青少年近视率的号召该校提“护眼有妙招科学动起来的口号计划在以下2项措施中选择1项实施．措施一：每日给全校学生增设0.5小时晨跑活动；措施二：每日给日均户外活动时长低于1小时的学生增设1小时户外活动.假设所有学生都能按要求参加相应活动，记采取措施一后该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为采取措施二后该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为用样本估计总体试比较与的大小（结论不要求证明）19．（本小题15分）已知椭圆的左顶点为焦距为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ），，垂直平分线与轴交于点与轴交于点．过点且与平行的直线与轴交于点若△与△的面积之比为求的值．

20．（本小题15分）已知函数在点处的切线方程为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若求的取值范围．21．（本小题15分）都有则称数列为“好数列”．（Ⅰ）判断下列数列是否“好数列”：①；②．（Ⅱ）证明：由的排列构成的所“好数列中，存在首项不超过的“好数列（表示不超过的最大整数）；（Ⅲ）若数列“好数列”求的最大值．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．题号12345678910答案ADBBABCBDC二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.12.13.1（答案不唯一）；414.；15.=1\*GB3①=2\*GB3②=4\*GB3④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题13分）解：（Ⅰ）在△中，因为，由正弦定理及，得，因为，所以，所以.所以.6分（Ⅱ）因为，，，由余弦定理，得，所以.设边上的高为，又△的面积，所以，所以边上的高为.13分17.（本小题14分）解：（Ⅰ）在菱形中，.因为平面，平面，所以平面.又平面，平面平面，所以.又四棱柱中，，所以四边形为平行四边形.所以，所以为的中点.5分（Ⅱ）选择条件①：取中点，连接.在菱形中，.因为，所以△为等边三角形.因为为中点，所以，故.因为平面，且，平面，所以，.所以，，两两垂直.如图建立空间直角坐标系，则.所以.设平面的一个法向量为，则即令，则.于是.设所以.设直线与平面所成角为，所以.解得.所以存在符合条件的点，.14分选择条件②：取中点，连接.因为平面，且，，平面，所以，，.又，且，平面，，所以平面.因为平面，所以.又因为为中点，所以.在菱形中，，所以△为等边三角形.所以，故.所以，，两两垂直.如图建立空间直角坐标系，则.所以.因为平面，所以取平面的一个法向量为.设所以.设直线与平面所成角为，所以.解得.所以存在符合条件的点，.14分18.（本小题13分）解：（Ⅰ）由题意，样本中日均户外活动时长不低于1小时的学生有20+10=30人，其中近视的学生有人，所以估计该校日均户外活动时长不低于1小时学生的近视率为.4分（Ⅱ）设事件A=“从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2名，这4名学生中恰有2名近视”.由题意，从该校日均户外活动时长低于1小时的学生中随机选取1名，这名学生近视的概率为，从该校日均户外活动时长不低于1小时的学生中随机选取1名，这名学生近视的概率为.则11分（Ⅲ）.13分19.（本小题15分）解：（Ⅰ）由题意解得所以椭圆E的方程为．5分（Ⅱ）由题意，直线l的方程为（），由得.由题意，.设，则，解得所以线段AT的中点为.线段AT垂直平分线的方程为：令得，所以.令得，所以.所以.因为过点与直线l平行的直线的方程为，故所以.因为，所以，整理得.若，则，解得，故；若，则，解得，故.综上，或.15分20.（本小题15分）解：（Ⅰ）因为，所以．由题意解得5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．令，解得，，．当x变化时，，的变化情况如表所示：x000单调递减单调递增1单调递减0单调递增所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，．11分（Ⅲ）设．设，则．当时，，单调递增，；当时，，单调递减，．所以恒成立．由题意，等价于或，解得或．综上，的取值范围是．15分21.（本小题15分）解：（Ⅰ）①是“好数列”；②不是“好数列”.4分（Ⅱ）若是“好数列”，对满足的正整数，数列的任意长为的子列集和数列的任意长为的子列集，都有，即存在.令与，于是集合和也分别是数列和数列的子列集，又存在，得.因此.所以，数列也是“好数列”.设与中较小者为，则且，因此即，于是，所以存在首项不超过的“好数列”.9分（Ⅲ）的最大值为7.(1)先考虑.假设存在“好数列”.由（Ⅱ）可知，不妨设.若，则由长为的子列集和与集合的交集非空，知，即此“好数列”为：.又长为的子列集和与集合的交集非空.所以且，与矛盾.若，则由长为的子列集和与集合的交集非空