2024-2025学年山东省济南市莱芜区九年级（下）质检数学试卷（五四学制）含答案

2024-2025学年山东省济南市莱芜区九年级（下）质检

数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.2024年全国普通高校毕业生规模预计达到1179万人，将1179万用科学记数法表示为（）

A.1.179X107B.1.179x108C.1.179x103D.1179x104

2.下列命题正确的是（）

A.方差越小则数据波动越大B.等边三角形是中心对称图形

C.对角线相等的四边形是矩形D.正多边形的外角和为360。

3.下列运算正确的是（）

A.3a2—a—2aB.(a+1)2=a2+b2

C.a^b24-a2=aD.(a2b)2=a4b2

23

C.|a|>\b\D.a—b<0

6.小刚同学一周的跳绳训练成绩（单位：次/分钟）如下：156,158,158,160,162,165,169,这组数据

的众数和中位数分别是（）

A.160,162B.158,162C.160,160D.158,160

。（2,乃）都在反比例函数y=5（kK0）的图象上，贝仇，y）乃

7.已知点4（—3,月）,8(—2,3),C(-l,y2),2

的大小关系为（）

为

A.y2<yi<B.y3<yi<yiC.y2<y3<71D.yi<y3<y-i

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8.如图，在矩形2BCD中，AB=6,AD=8,P是4D上不与4和D重合的一个动点,

过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E,F,贝UPE+PF的值为()

A.菅12B.24C.5D.仔28

9.如图，在口4BCD中，AB=2,AD=3,乙ABC=60°,在和上

分别截取4EG4E<AB),AF,使AE=AF,分别以E,F为圆心，以大

于的长为半径作弧，两弧在NZMB内交于点G,作射线4G交BC于点H,

连接DH,分别以。，H为圆心，以大于夕)”的长为半径作弧，两弧相交

于点M和N,作直线MN交CD于点K,贝UCK的长为（）

3231

A-B-C.7D-

455Z

10.如图1,在RtA/lBC中，AABC=90°,BC=4,动点D从点4开始沿边以每秒0.5个单位长度的速度

运动，同时，动点E从点B开始沿BC边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，

连接。凡尸为中点，连接力F，CF,设时间为t(s),DE?为y,y关于t的函数图象如图2所示，则下列说法

正确的是()

①当t=1时，DE=2.5；@AB=2；

③DE有最小值，最小值为2；④4F+CF有最小值，最小值为仔.

A.①②③B.①③④

即图2

B.C.②③D.②④

二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。

11.在平面直角坐标系中有五个点,分别是力(1,3),8(—1,3),C(-l,-3),0(4,3),

£(3,-5),从中任选一个点，选到的这个点恰好在第一象限的概率是

D

12.如图，纸片的边缘4B,CD互相平行，将纸片沿EF折叠，使得点B,。分别

__

A

落在点8',。处.若N1=80。，贝比2的度数是B

13.在Rtz\4BC中，2LACB=90°,AB=6,AABC的周长为14,则边上的

高为,

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14.小明周六从家出发沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，资料查阅完毕后沿原路匀速返回，速度与来

时相同，途中遇到同学小亮，交谈一段时间后以相同速度继续行进，直至返回家中，如图是小明离家距离

与时间久（无）的关系，则小明与小亮交谈的时间为h..

15.如图，在矩形纸片48CD中，AB=4,AD=6,E为4。中点，F为边CD上

一点，连接EF,将ADEF沿EF翻折，点。的对应点为D',G为边BC上一点，连

接AG,将△力BG沿4G翻折，点B的对应点恰好也为£>',则8G=.

三、计算题：本大题共1小题，共7分。

16.计算：（-1）201。x（|）-3+（s讥58。苫）。+|A/3-4COS60°|

四、解答题：本题共9小题，共83分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题7分）

'2%—1<3%

解不等式组：口_0；0,，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来.

23~

-3-2-I012345

18.（本小题7分）

如图，在口4BCD中，点E,F分别是AD,BC上的点，且DE=BF,连结BE,DF,求证：BE=DF.

19.（本小题8分）

根据以下素材，探索完成任务.

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探究车牌识别系统的识别角度

某小区为解决“停车难”这个问题，改造

一楼地面

一个地下停车库.图1是该地下停车库坡道

出入口的侧面示意图.地下停车库高

素材1〃〃乙4C

车库地面

BC=4.5mBC1AC,出入口斜坡28长

（图1）

20.5m.

图2是地下停车力荤门口安装的车牌识别设备，摄像头。点位于B点正上方=1.5m,D,B,C三

点共线.摄像头在斜坡上的有效识别区域为EB,车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打

开，车辆通文t后，闸门才会自动关闭,（参考数据s讥53。=0.8,cos53°«0.6,tan53°

素材2

/D一楼•地面

______________1产

）［）））人IC

0:车库地面

（图2）（图3）

素材3汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速

任务一确定斜坡坡比：如图1,求笔的值.

问题解判断车辆是否顺利通过：如图3,当NEDB=53。时，

决任务二请判断此时车辆以最高限速行驶到达B点时，闸门是否

已经打开，请通过计算说明.

20.（本小题8分）

如图，在。。中，4B是直径，点C是。。上一点，AC=9,BC=3,点E在4B上，AE=2BE,连接CE并

延长交。。于点D，连接AD,AF1CD,垂足为F.

⑴求证：△ADF^AABC；

（2）求OF的长.

21.（本小题9分）

为了增强青少年的法律意识，呵护未成年人健康成长，某学校展开了法律知识竞赛活动，并从七、八年级

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分别随机抽取了40名参赛学生，对他们的成绩进行了整理、描述和分析.

①抽取七、八年级参赛学生的成绩统计图如图(不完整)：

七年级参赛学生成绩扇形统计图

说明：A：0<x<60；B：60<x<70；C：70<x<85；

②抽取八年级参赛学生的成绩等级为“C”的分数为：70,71,71,72,73,74,75,76,77,77,

78,80,81,82,84.

③抽取七、八年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如表:

年级平均数中位数众数

七73.57484

八73.5—85

根据以上信息，解答下列问题：

(1)请将条形统计图补充完整；

(2)八年级这40名学生成绩的中位数是；

(3)在这次竞赛中，小明和小亮均得了75分，但小明的成绩在其所在年级排名更靠前，可知小明是(

填“七”或“八”)年级的学生；

(4)该校七年级有720名学生，八年级有800名学生，若该校决定对于竞赛成绩不低于85分的学生授予“法

治先锋”称号，则请估计七、八年级获得“法治先锋”称号的学生共有多少人？

22.(本小题10分)

某超市销售4B两种品牌的牛奶，购买3箱2种品牌的牛奶和2箱8种品牌的牛奶共需285元；购买2箱4种

品牌的牛奶和5箱B种品牌的牛奶共需410元.

(1)求4种品牌的牛奶，8种品牌的牛奶每箱价格分别是多少元？

(2)若某公司购买4B两种品牌的牛奶共20箱，且4种品牌牛奶的数量至少比B种品牌牛奶的数量多6箱，

又不超过B种品牌牛奶的3倍，购买4B两种品牌的牛奶各多少箱才能使总费用最少？最少总费用为多少

元？

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23.(本小题10分)

如图，直线y=|久与双曲线y=/左40)交于4B两点，点4的坐标为(加,-3),点C是双曲线第一象限分

支上的一点，连接BC并延长交x轴于点。，且BC=2CD.

(1)求k的值并写出点B的坐标；

(2)线段EF=1在x轴上运动，且尸点在右侧，求四边形BEFC周长的最小时点E的坐标；

(3)P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P,Q,使得四边形4BPQ是矩形？若存在，请直接写

出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图

24.(本小题12分)

阅读材料并完成问题.

材料：直线y=依+b(kK0)上任意两点外如及)，力冷，线段MN的中点P(

比3,乃)，P点坐标及上可用公式：右=红/，乃="产；人=修计算.例如：直线

Z.乙-^1人Z

y=2x+1上两点N(3,7),则啊=?=2,乃=妥=5,即线段MN的中点

P(2,5),k=1^=2.

已知抛物线y=mx2-2mx-3(m>0),根据以上材料解答下列问题：

(1)若该抛物线经过点4(3,0),求小的值；

(2)在(1)的条件下，B,C为该抛物线上两点，线段BC的中点为D,若点。(2,1),求直线BC的表达式；

以下是解决问题的一种思路，仅供大家参考：

设直线BC的表达式为：y=kx+b,B(xB,y^),C(xc,yc),则有功=血形-2瓶%一3①，yc=mxc-2mxc

—3②.①—②得：yB-yc=2m(xB—xc)=m(xB—xc)(xB+xc)—2m(xB-xc),两边同除以(久l

xc)>得工:=k=m%+久c)-2ni...；

(3)该抛物线上两点E,F,直线EF的表达式为：y=(5"—2)根久+n(n>0).

I.请说明线段EF的中点在一条定直线上；

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口.将I中的定直线八绕原点。顺时针旋转45。得到直线G,当l<x<3时，该抛物线与6只有一个交点，求

小的取值范围.

备用图

25.（本小题12分）

在Rt△力中，乙4cB=90°,乙ABC=60°.

(1)如图1,在AACE中，^CAE=120°,AE=2AC,F是2E中点，连接BF.若BC=1,求线段BF的长;

(2)如图2,在△BCD中，Z.BDC=120°,BD=2CD,F是AB中点，连接DF,求器的值;

(3)如图3,在ACDE中，/.CDE=120°,DE=2CD,E是48中点，尸是4E中点，连接BD,DF,求需的

值.

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参考答案

I.A

2.0

3.D

4.A

5.D

6.D

7.B

8.B

9.C

10.D

H-

-5

12.50°

13.1

14.0.4

15.6-2-^/5

16.解：原式=1x8+1+.一4x/|=8+1+2-避=n一和

(2x—l<3%①

17.解"曰_曰二②,

23

解不等式①得：x>-1,

解不等式②得：x<4,

••不等式组的解集为：-1<xw%

在数轴上表示为：

-3-2-1o12345

18.证明：•.•四边形/8C。为平行四边形，

:•DE//BF.又DE=BF,

四边形8EDF为平行四边形，

BE=DF.

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19.解：任务一：vBC=4.5m,BC1AC,AB=20.5m,

AC—y/AB2-BC2—20m,

.BC_4.5_9

"7c--20--40；

任务二：闸门没有打开，理由如下:

如图，过点E作EF1于F,

D一楼地面

；B/"/

・•・设E/7=4%m,贝!JDF=3xm,

•・•EF1BC,BC1AC,

・•.EF//AC,

BEFs△BAC,

.BF_BC_9

•・而一就一而

9

.・.BF=—EF=0.9%m,

40

BD=DF-BF=2.1%m=1.5m,

解得X=|.

BE=yjEF2+BF2=^/(4x)2+(0.9x)2=4.1%=4.1X12.93(m),

车辆以最高限速行驶到达B点的时间为：芸7=2.1秒，

5—0.0

•••2.1<3,

・•・闸门没有打开.

20.(1)证明：•・・是直径，

AAACB=90°,VAF1CD,

・•・^AFD=2LACB=90。，

•・•Z-ADF=由

ADFs△ABC；

(2)解：如图，过点C作C”1AB于点H.

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•・.AC=9,BC=3,乙ACB=90°,

・•.AB=yjBC2+AC2=P+92=3回,

•・•AE=2BE,

・•.BE=①，AE=2闻，

AC-BC

回

・•・CH_9

10'

=y/BC2-CH2=心一心"）］=噜^

•••BH

・•・EH=BE-BH=Z^,

10

22

・•.EC=yJCH+EH=祥）2+（窄）2;g，

•・•乙CHE=/.AFE=90°,^AEF=^CEH,

•••△AFE^△CHE,

AF_AE

"07-EC，

.Ap_2回X嚅_18月

71313，

•・•△ADFs△ABC,

DF_BC_1

~AF~~AC~3f

DF=^JH.

13

(2)将八年级学生成绩按从低到高顺序排列，结合条形统计图和八年级C等级分数情况可知，第20位和第21

位分别为75,76,

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因此八年级这40名学生成绩的中位数是殁&=75.5,

故答案为:75.5；

(3)七年级的中位数为74,八年级的中位数为75.5,

因此同样是7(5分)的情况下，在七年级的排名更靠前，可知小明是七年级的学生，

故答案为：七；

(4)720X20%+802X上=144+240=384(A),

40

答：估计七、八年级获得“法治先锋”称号的学生共有384人.

22.解：(1)设4种品牌的牛奶每箱价格是a元，B种品牌的牛奶每箱价格是b元.

根据题意，得岗：器：噩

解嘘需.

答：力种品牌的牛奶每箱价格是55元，B种品牌的牛奶每箱价格是60元.

(2)设购买4品牌的牛奶x箱，则购买B品牌的牛奶(20-%)箱.

根据题意,得｛屋器废6，

解得13Wx<15,

设总费用为勿元，则W=55久+60(20-%)=-5x4-1200,

-5<0,

勿随x的增大而减小，

1•113<%<15,

•••当x=15时，W值最小，”最小=—5x15+1200=1125,20—15=5(箱).

答：购买力品牌的牛奶15箱、B品牌的牛奶5箱才能使总费用最少，最少总费用为1125元.

23.解：(1)直线y=|x与双曲线y=1(k40)交于A,B两点，点4(皿一3),

—Q3=-3m

2,

k7=—3m

解得：｛屋「，

二点力(一2,-3),反比例函数的表达式为：y=p

•.•直线y=|x与双曲线y=5都关于原点。对称，

・••点48关于原点。对称，

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・・•点B的坐标为(2,3)；

(2)过点B作8”1%轴于点”，过点C作CK1%轴于点K,如图1所示:

・•.BH=3,

•・•BC=2CD,

BD=3CD,

vBH1%轴,CK1%轴，

BH//CK,

・•・△BCKs"BH,

.CK_CD

.CK_CD

••可-3CD'

・•.CK=1,

・••点C的纵坐标为1,

对于y=p当y=1时，x=6,

・•・点C的坐标为(6,1),

•••BC=,(2—6)2+(3—1)2=2^/5,

当线段EF=1在久轴上运动时，四边形BEFC的周长为：BC+EF+BE+CF,

・・.当BE+CF为最小时，四边形的周长为最小，

作点3关于久轴对称点P,过点P作尸Q〃无轴，且尸Q=1(点Q在点P的右侧)，连接PE,QF,QC,如图2所

示：

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•・•线段EF在汽上移动，且EF=L

・•.PQ//EF,PQ=EF=1,

・•・四边形AEFQ是平行四边形，

PE=QF=BE,

BE+CF=QF+CF,

根据“两点之间线段最短”得：QF+CF<QC,

.•・点Q,F,C在同一条直线上时，QF+CF为最小，即BE+CF为最小，如图3所示:

•.•点B(2,3),点B与点P关于x轴对称,

.­•点P(2,—3),

•••AQ=1,

•­•点Q(3,—3),

设直线CQ的表达式为：y=kx+b,

将点C(6,l),点Q(3,—3)代入y=kx+6,

4S[6fc+b=1

何：[3k+b=-3，

解得：G(k=-

・・・直线QC的表达式为：y=2%-7,

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对于y=袅-7,当y=0时，％=斗，

J4

点尸的坐标为目,0),

q

OCFL=2,1

4

•・•EF=1,

・•.OE=OF-EF=21牛-117=2

44

此时点E的坐标为(学,0)；

(3)存在，理由如下：

①当点P在久轴上上时，过点B作BM1x轴于点M,如图4所示:

•・・点B(2,3),

OM=2,BM=3,

在Rt△OBM中，由勾股定理得：OB=[OM2+BM2=椁,

•••四边形A8PQ是矩形，

AOMB=乙OBP=90°,

又•：BOM=KPOB,

OBMs△OPB,

.OB_OM

.届一工

・,布一回

・•・OP=13芋

点P的坐标为保0)；

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②当点P在y轴上时，过点P作PB1y轴于点M如图5所示:

BN=2,ON=3,

同理可证明：&OBNs&OPB,0B=713,

OB_ON

~OP~~OBf

■-OP=y,

此时点P的坐标为(0,第.

综上所述：点P的坐标为(3。)，(0,竽).

24解：(1)把点/坐标代入抛物线y=血％2_2根%一3得：9m-6m-3=0,解得m=l.

(2)当m=l时，抛物线解析式为：y=%2—2%-3.

由于点。是线段BC中点，根据材料可知：殁迎=2,生产=1.

B、C两点在抛物线上，贝!JJ/R=培―2次一3,yc—x^—2x(j—3.

两式相减得：yB~yc=第一好一2物+2%C=(XB—XC)(XB4~第「2).

yB-yc'I”、

高心=(%B+XC-2)=2.

设直线BC的解析式为y=kx+b,由材料可得k=2,则y=2x+b.

把点D坐标代入得：1=2x2+匕，b=-3.

故直线BC的表达式为y=2%-3.

(3)I.根据(2)题干思路，对于直线EF,k=(572-2)m,b=n.

则k=m[xE+%F)—2m.

结合直线EF和抛物线解析式可得：mx2-2mx-3=(5^/2-2)mx+n,

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整理得：mx2—5y/2mx—3—n=0,

由根与系数的关系得：孙=5#，

则EF中点的横坐标为：迎产=空，

乙2

EF中点在定直线x=乎上.

口.如图，直线%的与坐标轴相交于48两点，过原点。作L的垂线，点。为垂足，抛物线交y轴负半轴于点

G,其对称轴与x轴、直线G分别交于。、H.

对于抛物线y=mx2—2mx—3,对称轴为％=--1.

当第=0时，y=—3,则抛物线过点G(0,—3).

直线X=竽绕原点。顺时针旋转45。得到直线6，OC=¥，AOBC=45°,

：.△BCO为等腰直角三角形，BD=y[2OC=5.

故直线12相当于直线y=X向右平移了5个单位长度，直线%的解析式为y=x-5.

令租工2-2血%—3=%-5,整理得：mx2—(2m+l)x+2=0,

A=(2m+l)2—4x2m=(2m—l)2,令4=0,m=-1.

此时X=_一(2M：D=2,y=2—5=—3,所以抛物线与L相切于点F(2,—3).

根据抛物线的对称性，y=6/_2曜一3过定点6(0,-3)和尸(2,-3).

当抛物线从与直线％相切位置之后，到其顶点移动至点H时，在这个过程抛物线与G都有两个交点；抛物线

顶点低于点“后，在l<x<3范围内抛物线只与直线％有一个交点工

抛物线顶点纵坐标为：mx(l)2-2mx1-3=m-3.

点”的纵坐标为：y”=l-5=-4.

m-3<—4,即?？i<—1.

综上可知，TH的取值范围为租<-1或m=|-.

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25.解：(1)如图1中，Rt△ABC中，/-ACB=90°,^ABC=60°,BC=1,

ABAC