2024届高三二轮复习：解析几何（二）

24届高三二轮复习解析几何专题5——解析几何（二）

一、单焦点三角形的内心模型

1.（2023下•四川绵阳•高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知双曲线

、一4=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别为百，鸟,P为双曲线上的一点，/为△尸耳鸟的

ab

内心，且西+2国=2百，则C的离心率为（）

12J3

A.-B.-C.—D.2

353

2.（2021・四川成都•校联考三模）己知双曲线C：'-g=1（。>0,b>0）的左，右焦

ab

点分别是耳，耳，点尸是双曲线C右支上异于顶点的点，点“在直线无=〃上，且满足

—•PFPF

PH=2尸=f+尸刍|,2eR.若5HP+4HF,+3明=。,则双曲线C的离心率为（）

〔I叫

A.3B.4C.5D.6

3.（2022•陕西西安・西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知椭圆

22

1T+}=1（a>6>0）的左、右焦点分别为耳、耳，经过耳的直线交椭圆于A,3,△NBg

的内切圆的圆心为/,若3历+4而+5孤=6,则该椭圆的离心率是（）

B-1V3D.

~T2

22

4.（2018下•四川雅安•高三雅安中学阶段练习）已知椭圆二+勺=1（〃>6〉0）的离心率

a2b2

3

为“M是椭圆上一点，片上是椭圆的左右焦点,C为△儿库用的内切圆圆心，若

ULULIULUUUUI

mCF1+3CF2+3CM=0,则根的值是（）

A.4B.3C.2D.1

22

5.（2023上•四川眉山・高二统考期末）已知椭圆C：A+J=l（a>6>0）,片,8为左

ab

右焦点，点尸（2,6）在椭圆C上，的重心为G,内心为/,且有记=4方瓦（2

为实数），则椭圆方程为（）

；22

AA.——-+—y=1B.二+匕=1

86164

C.—+^=1D

927-。口

试卷第1页，共22页

二、双焦点三角形的内心模型

6.（2022上•江苏扬州・高二江苏省祁江中学校考期中）已知片，月分别为双曲线

22

C:?-左=1的左、右焦点"£为双曲线C的右顶点一过片的直线与双曲线C的右支交

于48两点（其中点/在第一象限），设峪N分别为“£月，丹外的内心，则

的取值范围是（）

22

7.（2021上・安徽•高三校联考开学考试）已知双曲线餐-4=1的左右焦点为片，F2,

ab

过月的直线交双曲线于M,N两点（"在第一象限），若△儿阴匕与△明月的内切圆半

径之比为3：2,则直线九W的斜率为（）

A.V6B.2A/6C.V3D.273

8.（2024•江西鹰潭・贵溪市实验中学校考模拟预测）已知耳，耳分别是双曲线C：

22

土-2=1的左、右焦点，过G的直线与双曲线C的右支交于4,B两点,△/片名和

39-

△8耳用的内心分别为“，N,贝力"AM的取值范围是（）

A.[273,4）B.[3,273）C.[273,+oo）D.（3,273）

22

9.（2023上•四川成都・高二成都七中校考期末）已知乃，B分别为双曲线C：?一｝=1

的左、右焦点，E为双曲线C的右顶点.过B的直线与双曲线C的右支交于45两点

（其中点/在第一象限），设M,N分别为A4FIF2,的内心，则|Affi|-|NE|的

取值范围是（）

4百4百）3733疔V5好)

B.C.D.)

22

10.（2023•四川•校联考模拟预测）已知双曲线C:+-%=l（a>0,6>0）的左、右焦点分

别为瓦外，离心率为2,焦点到渐近线的距离为新.过工作直线/交双曲线C的右支于

48两点，若〃,G分别为△/与与△瓦笆的内心，则匠G|的取值范围为.

试卷第2页，共22页

三、渐近线特征三角形与离心率

22

11.（2018・全国•高考真题）设耳,B是双曲线C:三-与=1（a>0,b>0）的左、右

ab

焦点，。是坐标原点.过月作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|尸耳|=卡|。刈，

则C的离心率为

A.V5B.V3C.2D.72

12.（2020上•福建宁德•高二统考期末）已知双曲线C：E-2=1（。>0/>0）的左、右焦

点分别为4,耳，过与作双曲线c的一条渐近线的垂线/,垂足为“，直线/与双曲线C

的左支交于E点，且〃恰为线段%的中点，则双曲线C的离心率为（）

A.V2B.C.V3D.V5

2

13.（2021下•吉林白山•高三校联考阶段练习）已知双曲线二-==1（。>0/>0）的左右

焦点分别为£,工，以。片为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点初（异于坐标原

点。），若线段肛交双曲线于点尸，且沙尸则该双曲线的离心率为（）

A.V2B.V3C.乎D.76

14.（2022•全国•统考高考真题）双曲线C的两个焦点为耳月，以C的实轴为直径的圆

3

记为。，过耳作。的切线与C交于N两点，且cos/4M=M，则C的离心率为

（）

A.在B.-C.叵D.姮

2222

四、垂直渐近线体系

15.（2021上•福建漳州•高二福建省平和第一中学校考阶段练习）已知与为双曲线

22

]-方=1（。>0,6>0）的右焦点，经过与作直线/与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为

A,直线/与双曲线的另一条渐近线在第二象限的交点为8.若|/用=/陷则双曲

线的离心率为.

22

16.（2016下•浙江•高三阶段练习）已知双曲线C:三-七=1（。〉0力>0）的左焦点为尸，

过点尸作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为〃，点P在双曲线上，且丽=3丽,

则双曲线的离心率为

试卷第3页，共22页

A.V3B.26C.叵D.V13

2

22

17.（2017•江西・江西师大附中校考三模）已知片，月是双曲线♦-与=1（。>08>0）的左

ab

右焦点，过与作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A,交另一条渐近线于点5,且

丽=；月瓦则该双曲线的离心率为

A.—B.立C.V3D.2

22

18.（2018・山东济南•统考一模）设片名，分别为双曲线二-冬=1（。>0,6>0）的左、右焦

ab

点，过耳作一条渐近线的垂线，垂足为“，延长耳M与双曲线的右支相交于点N,若

加=3而，则此双曲线的离心率为（）

A.叵B.-C.-D.巫

2333

22

19.（2020上•四川成都・高二树德中学校考阶段练习）已知双曲线C：j一与=1,

ab

（〃>0,6>0）过。的右焦点尸作垂直于渐近线的直线/交两渐近线于A、3两点A、8两

AF1

点分别在一、四象限，若隹=彳，则双曲线。的离心率为（）

BF2

A.拽B.2C.V3D.75

3

五、极化恒等式

22

20.（2022上•山东淄博•高二校联考阶段练习）若耳、g为椭圆C：3+看=1的左、

右焦点，焦距为4,点尸为C上一点，若对任意的均存在四个不同的点尸满

足西.比=2,则C的离心率e的取值范围为.

22

21.（2022・全国•高三专题练习）已知的上、下焦点分别是耳,

外，若椭圆C上存在点尸使得西瓦=两°+万瓦2<41-3〃，则其离心率的

取值范围是（）

A.层］B.加C.［。与口.

22.（2023上•重庆•高二重庆市育才中学校考期中）已知片（-。,0）,月（。,0）为双曲线

22___,___1

亍-3=l（a>0,6>0）的两个焦点，尸为双曲线上一点，且两•用=-,。2.则此双曲

线离心率的取值范围为（）

试卷第4页，共22页

B.（1,2]D.（2,+oo）

23.（2023•黑龙江哈尔滨•哈尔滨市第六中学校校考三模）已知N是椭圆

22

1T+方=1（。>6>0）上关于原点。对称的两点，P是椭圆C上异于的点，且

西心两的最大值是《。2,则椭圆C的离心率是（）

2

22

24.（2023•四川绵阳•统考模拟预测）已知M,N是椭圆C:f+与=l（a>6>0）上关于

原点。对称的两点，尸是椭圆C上异于M,N的点，且同7.丽的最大值是则椭

4

圆C的离心率是（）

A.-B.yC.—D.@

3223

六、解析几何小题中的直角界定

22

25.（2023上•陕西渭南•高二统考期末）如图，已知£,&为椭圆亍+}=1（。>6>0）

的左右焦点，椭圆上存在点尸（x,j）使/耳尸耳为钝角，则椭圆离心率的取值范围

.

Ko

26.（2022上•福建福州•高二福州三中校考期中）已知点尸在以耳,耳为左、右焦点的

22

椭圆C:鼻+斗=15>6>0）上，椭圆内存在一点。在尸旦的延长线上,且满足。耳，0P,

ab

3

若sin/月产。=y,则该椭圆离心率取值范围是（）

夜）

A•岛ri]nB.卜n力CJrv2]D.[O'/i

27.（2024•全国•高三专题练习）如图，椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上，4,4,此鸟

椭圆顶点，耳为右焦点，延长乌匕与小巴交于点P，若/百尸4为钝角，则该椭圆离心

率的取值范围是（）

试卷第5页，共22页

[21

28.（2023•陕西西安•西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知两动点A,B在椭圆

C：1r+/=1（。>1）上，动点尸在直线3x+4y-10=0上，若//尸5恒为锐角，则椭

圆C的离心率的取值范围是（）

A.[0,|]B.臣].闸D.俘1

29.（2022上•天津和平•高二天津市汇文中学校考阶段练习）已知椭圆£的左、右焦点

分别为片，耳，过片且斜率为2的直线交椭圆E于尸，。两点，若/耳尸区为直角，则椭

圆E的离心率为（）

A.正B.1C.—D.-

3333

22

30.（2022•广西柳州・统考三模）如图，£、丹分别是双曲线C：亍-方=1（。>01>0）

的左、右焦点，过耳的直线/与C的左、右两支分别交于点A、B,若4/8&为以外为直

角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为（）

A.4B.V?C.生D.G

3

31.（2023上•山东枣庄•高二枣庄市第三中学校考阶段练习）蒙日是法国著名的数学家,

他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做“蒙日

22_

圆”，已知点/、8为椭圆（+}=1（0<Z><V3）上任意两个动点，动点尸在直线

试卷第6页，共22页

4x+3y-10=0±,若//尸8恒为锐角，则根据蒙日圆的相关知识，可知椭圆C的离心

率的取值范围为

七、米勒定理

32.（2015上•江苏盐城•高三阶段练习）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点西尼

在'轴上且焦距为」c,一£一上为左右顶点，左准线：与i轴的交点为,1/,

噢渴粗碗,若点；在直线,上运动，且离心率「'，则酗就的最大

■

值为一.

22

33.（2023•浙江杭州•统考一模）已知椭圆C：1+2=1的左右焦点分别为耳，F2,

若与椭圆C无公共点的直线x=3上存在一点尸，使得tan/片尸用的最大值为2a,则椭

圆离心率的取值范围是.

34.（2022上•河北石家庄•高二河北新乐市第一中学统考期中）已知双曲线

22

二-与=1仅乃＞0）的左顶点为4左焦点为尸，P为渐近线上一动点，且尸在第二象限

ab

内，O为坐标原点，当尸尸最大时，I。尸1=6,则双曲线的离心率为.

35.（2005•浙江•高考真题）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点片，耳在x轴上，

长轴44的长为4,左准线/与x轴的交点为|加蜀：［4用=2:1.

（1）求椭圆的方程;

试卷第7页，共22页

⑵若点P为/上的动点，求/耳尸鸟的最大值.

八、曲率半径

36.（2021•江苏•高二专题练习）曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的

22

量，已知对于曲线1=1（。>0/>0）上点尸（X。,后）处的曲率半径公式为

ab

3

及=/廿（日+或丫，则下列说法：

[/b4J

①对于半径为R的圆，其圆上任一点的曲率半径均为R

22

②椭圆]+方=1（。>6>0）上一点处的曲率半径的最大值为a

2272

③椭圆谷+4=1（a>6>0）上一点处的曲率半径的最小值为—

④对于椭圆5+/=1（。>1）上点处的曲率半径随着a的增大而减小

其中正确的是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

37.（2022•江西•校联考二模）曲率半径可用来描述曲线在某点处的弯曲变化程度，曲率

22

半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆04+[=1（°>6>0）上点

ab

3

P（X。,％）处的曲率半径公式为及=.若椭圆C上所有点相应的曲率半径

的最大值为8,最小值为1,则椭圆C的标准方程为（）

22

AX2_inX2_

A.----Fy—1B.----Fy=1

24

CD一+丁_1

42164

22

38.（2022•浙江•高三专题练习）设8是椭圆C:=+4=l（a>6>0）的上顶点，若C上

ab

的任意一点。都满足I尸5区26,则。的离心率的取值范围是（）

A.B.P1

39.（2023•吉林长春・东北师大附中校考模拟预测）密切圆（OsculatingCircle））,也称

曲率圆，即给定一个曲线及其上一点P,会有一个圆与曲线切在P点，而且是与曲线在

该点邻近最贴近的圆，换言之，没有一个圆能介于此圆与曲线之间而与曲线相切，此圆

称为曲线在点尸处的密切圆，密切圆可能是与曲线在该点相切的圆中半径最大的（比如

在抛物线顶点处的内切圆），曲线上某点的曲率圆的半径称为曲率半径.抛物线

试卷第8页，共22页

C:/=2x在顶点处的曲率半径为,

22

40.（2023上・辽宁葫芦岛・高三统考期末）设5是椭圆。:!7+%=1（“>6>0）的上顶点,

若C上的任意一点P都满足|依归6。，则C的离心率的取值范围是.

九、中垂线截距定理

22

41.（2022•山西・校联考模拟预测）双曲线。：土方=1（〃>0/>0）的右顶点为4。（3氏0）

在x轴上，若C上存在一点尸（异于点A）使得NPLP。，则。的离心率的取值范围是

A.（啦,+勾B.（2,+8）C.（1,0]D.（1,V2）

22

42.（2018上•黑龙江哈尔滨•高二哈师大附中阶段练习）已知椭圆T+q=l（a>6>0）

ab

的右顶点为A,点尸在椭圆上，。为坐标原点，且/。尸/=90。，则椭圆的离心率的取

值范围为

22

43.（2016上•陕西汉中•高二统考期末）已知双曲线C：（a>0,b>0）的右

aZb2

顶点为A,x轴上有一点Q（2a,0）,若C上存在一点P,使AP1PQ,则双曲线离心率

的取值范围是

B.《若D.1«膂

十、抛物线的小结论

44.（2023・四川成都•石室中学校考三模）已知抛物线无y=8x的焦点为尸，点尸与点

C关于原点对称，过点。的直线/与抛物线£交于A,8两点（点C和点/在点2的两

侧），则下列命题中正确的有

①若2尸为A/CP的中线，贝力/尸|=2|8尸|；②若2尸为乙4尸C的平分线，贝力/尸|=8；

③存在直线/,使得|/C|=亚尸|；④对于任意直线/‘都有|相|+|斯|>2|CF].

A.1个B.2个C.3个D.4个

45.（2022•四川眉山•仁寿一中校考二模）已知抛物线/=2px（〃>0））的焦点为R过

下且倾斜角为:的直线/与抛物线相交于/，8两点，|，同=12,过/,8两点分别作抛

4

试卷第9页，共22页

物线的切线，交于点。.则下列四个命题中正确的个数是（）个.

①。/，网

②若1）,P是抛物线上一动点，贝"尸初1+|尸用的最小值为：；

③^AOB（O为坐标原点）的面积为3亚.；

P

（4）M（-—,Q）,则tanZXA/3=.

A.1B.2C.3D.4

46.（2022•四川凉山•统考三模）己知抛物线C:/=4x,焦点为尸，点”是抛物线C

上的动点，过点尸作直线（"1）》+>-2.+1=0的垂线，垂足为尸，贝+的最

小值为（）

A.B.c.5D.3

22

47.（2023・四川南充・四川省南充高级中学校考三模）已知抛物线。:/=2.5>0）的

焦点为尸，直线/：2x+y-6=0与抛物线C交于48两点，M是线段N8的中点，过M

作了轴的垂线交抛物线C于点N,则下列判断正确的序号是

①若/过点尸，则C的准线方程为工=-3

②若/过点尸，则।哉=3

③若福.屉=0，则点尸的坐标为g,。］

_.24

④若福•福k=0，贝1p=历.

48.（2023下•四川遂宁•高三射洪中学校考开学考试）已知抛物线C:j?=4x的焦点为

F,过点尸的直线交C于43两个不同点，则下列结论正确的是.

①若点P（2,2）,则厂|+|/尸|的最小值是3

②M切的最小值是2

③若9口=12,则直线N2的斜率为土?

④过点42分别作抛物线C的切线，设两切线的交点为。，则点。的横坐标为T

十一、双曲线渐近线的本质问题

49.（2021•河北石家庄•统考二模）已知双曲线C：J--x2=l（a>0）,其上、下焦点分

别为片，F2,O为坐标原点.过双曲线上一点〃（毛,％）作直线/,分别与双曲线的渐

试卷第10页，共22页

近线交于尸，。两点，且点”为尸。中点，则下列说法正确的是（）

A.若Uy轴,则同1=2.

B.若点"的坐标为（1,2）,则直线/的斜率为:

C.直线尸。的方程为理-x°x=l.

a

D.若双曲线的离心率为由，则三角形。尸。的面积为2.

2

50.（2022上•江苏南京•高三江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）已知双曲线C

2

I-丁=1的左右焦点分别为耳外，。为坐标原点，P为双曲线右支上的一点，过点尸

的直线/与右支交于另一点。，且与双曲线的两条渐近线分别交于48两点，则（）

A.点尸到两条渐近线的距离之积为定值B.a•分为定值

C.F周忖阊<口。『D.|以|=怛。

丫2

51.（2023・福建龙岩•统考二模）已知双曲线C:二-/=1的左、右焦点分别为耳，F2,

4-

左、右顶点分别为N,。为坐标原点.直线/交双曲线C的右支于尸，0两点（不

同于右顶点），且与双曲线C的两条渐近线分别交于48两点，则（）

A.9•砺为定值

B.以=怛。|

C.点尸到两条渐近线的距离之和的最小值为拽

5

D.存在直线/使声.近=0

52.（2023・安徽合肥・合肥市第八中学校考模拟预测）如图，O为坐标原点，片,与分别

为双曲线C:x2-==l（6>0）的左、右焦点，过双曲线C右支上一点尸作双曲线的切线/

分别交两渐近线于48两点，交x轴于点。，则下列结论正确的是（）

B•S^IOB=2s△/op

试卷第11页，共22页

C.S丛AOB=2b

D.若存在点P,使得S△"内="?,且丽=2万月，则双曲线C的离心率为2或

旦

2

53.（2023上•湖北襄阳•高二襄阳市第一中学校考期末）如图，过双曲线

2

C_方=1（6>0）右支上一点P作双曲线的切线I分别交两渐近线于/、2两点，交x

轴于点。，斗鸟分别为双曲线的左、右焦点，。为坐标原点，则下列结论正确的是

C.S—OB=2b

1——------.

D.若存在点尸，使cos/耳S.FlD=2DF2,则双曲线C的禺心率e=2

22

54.（2020・山东日照•统考一模）已知双曲线土-2=l（〃eN*）,不与x轴垂直的直线/

与双曲线右支交于点3,C,（8在x轴上方，。在x轴下方），与双曲线渐近线交于点

A,D（A在x轴上方），。为坐标原点，下列选项中正确的为（）

A.|，C卜忸卜恒成立

B.右工8℃=,则卜忸C|=|CD|

C.△40。面积的最小值为1

D.对每一个确定的〃，若|/邳=忸。=|。|,则的面积为定值

55.（2021上•江苏盐城・高二盐城中学校考期中）在平面直角坐标系xQy中，等轴双曲

线Ck：y2-x2=k（kwN*）,若直线/与Ck在x轴上方的曲线交于P,。两点，点尸在歹

轴右侧，0在y轴左侧，同时，直线/与Ck的渐近线交/，N两点，M点在第一象

限.下列说法中正确的有（）

试卷第12页，共22页

A.对每一个确定的左值,若|MP|：|尸0|：|OM=1：1：1，则SAM为定值

S1

B.萨金=5是“尸，。为线段九W的三等分点”的充要条件

'△OMNJ

C.AOMN的面积的最小值是1

D41

,1^1

56.（2023•江苏南通・统考模拟预测）己知双曲线C:/一：=1的左，右焦点分别为耳,

F2,点尸是双曲线C的右支上一点，过点尸的直线/与双曲线C的两条渐近线交于M,

N,则（）

A.郎2-尸・琢的最小值为8

B.若直线/经过耳，且与双曲线C交于另一点Q,则忸。|的最小值为6

c.|尸可卜|尸阊-|af为定值

D.若直线/与双曲线C相切，则点M,N的纵坐标之积为-3

22

57.（2023上•贵州六盘水•高二统考期末）设点尸是双曲线C：'-鼻=1（a>0,

ab

b>0）上任意一点，过P作双曲线的两条渐近线的平行线，分别交渐近线于点42.若

四边形0/P8的面积为2,则双曲线的焦距的最小值为（）

A.8B.4A/3C.472D.2a

22

58.（2023下•广西•高二校联考阶段练习）如图,已知双曲线亍-3=1（。>0,6>0）的

右焦点为R过点下的直线与双曲线的两条渐近线相交于N两点.若

MF=3FN,OM=3OPX）PPF=Q,则双曲线的离心率为（）

C.2D.V3

十二、非对称韦达

试卷第13页，共22页

22

59.(2022・全国•高三专题练习)设直线/过点尸(0,3),和椭圆/+宁=1顺次交于

Ap

两点，试求百的取值范围.

PB

60.(2023・全国•高三专题练习)直线/与抛物线/=2x交于/、8两点，且满足

OA1OB,证明：直线/过定点.

22

61.(2023•全国•高三专题练习)已知点尸为椭圆E：L+2L=I的右焦点，A,5分别为

43

其左、右顶点，过尸作直线/与椭圆交于M,N两点(不与1,8重合)，记直线

与2N的斜率分别为3附证明?为定值.

62.(2022•全国•高三专题练习)已知A、8分别是椭圆］+V=1的右顶点和上顶点,

C、。在椭圆上，且CD//4B,设直线/C、AD的斜率分别为勺、k2,证明：%向为定

值.

2

尤2y1

63.(2022•全国•高三专题练习)已知椭圆C：—+=1(a>6>0)的左右焦点分

a

别为片(-c,0),乙(c,0),分别为左右顶点，直线/：x=(y+l与椭圆C交于48两

点，当t=一立时，A是椭圆的上顶点，且△/片巴的周长为6.

3

⑴求椭圆C的方程；

(2)设直线交于点。，证明：点。在定直线上.

(3)设直线/MIN的斜率分别为左，《，证明：,为定值.

十三、退化二次曲线观点的渐近线

2

64.(2023•广东深圳•统考一模)已知双曲线£：土-/=i与直线/：了=辰-3相交于

4

/、8两点，M为线段48的中点.

⑴当人变化时，求点M的轨迹方程；

(2)若/与双曲线£的两条渐近线分别相交于C、。两点，问：是否存在实数公使得/、

3是线段CD的两个三等分点？若存在，求出左的值；若不存在，说明理由.

22

65.(2023下•山西吕梁•高二校考开学考试)已知双曲线-与=l(a>0,6>0)的离

ab

心率为半，点［2,--■1在双曲线£上.

(1)求石的方程；

(2)过E的右焦点E的直线/与双曲线E的右支交于48两点，与两条渐近线分别交于

试卷第14页，共22页

M,N两点，设|儿叫=川/却，求实数2的取值范围.

66.（2024上•黑龙江哈尔滨•高二黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学校联考期末）已知百，

22

丹分别是双曲线C：^-4=1（a>0,b>0）的左、右焦点，|与周=2瓦，点片

到。的渐近线的距离为3.

（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；

（2）已知点。为坐标原点，动直线/与C相切，若/与C的两条渐近线交于A,3两点，

求证：“。的面积为定值.

67.（2023上•浙江杭州•高二统考期末）已知点4f分别为双曲线。：/-/=/（。>0）

的左顶点和右焦点，过尸且垂直于无轴的直线与双曲线第一象限部分交于点3,AABF

的面积为2（亚+1）.

⑴求双曲线C的方程；

⑵若直线了=履-与双曲线的左、右两支分别交于“，N两点，与双曲线的

两条渐近线分别交于P,。两点，记△MON,△/尸。的面积分别为豆，邑（。为坐标

原点）.若E=%邑，求实数彳的取值范围.

22

68.（2022上•辽宁锦州•高二校考期中）已知双曲线C：与双曲

22

线土-匕=1有相同的焦点；且C的一条渐近线与直线X-2〉+2=0平行.

23

⑴求双曲线C的方程；

（2）若直线/与双曲线C右支相切（切点不为右顶点），且/分别交双曲线C的两条渐近线

于42两点，O为坐标原点，试判断。的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，

请说明理由.

69.（2023・全国•校联考二模）已知双曲线C:+-4=1（°>0/>0）的离心率为行.

ab"

（1）求双曲线C的渐近线方程；

⑵动直线/分别交双曲线C的渐近线于A,8两点（A,8分别在第一、四象限），且AO/8

（。为坐标原点）的面积恒为8,是否存在总与直线/有且只有一个公共点的双曲线C,

若存在，求出双曲线C的方程；若不存在，说明理由.

22

70.（2022上•广东东莞•高三统考期末）已知片（-2,0）,8（2,0）为双曲线氏*-3=1

试卷第15页，共22页

(a>0,b>0)的左右焦点，点|2,丁|在双曲线£上，。为坐标原点.

(1)求双曲线E的标准方程；

(2)若不与坐标轴平行的动直线/与双曲线£相切，分别过点片，巴作直线/的垂线，垂

足为P,Q,求△OP。面积最大值.

十四、抛物线同构与轴点等比性质

71.(2023・四川成都•三模)已知斜率为g的直线/与抛物线C：/=4x相交于P,。两点.

(1)求线段尸。中点纵坐标的值；

⑵己知点7(e,0),直线巾,3分别与抛物线相交于两点(异于尸求证：直

线恒过定点，并求出该定点的坐标.

72.(2023•新疆乌鲁木齐•统考二模)抛物线C：/=2px(p>0)上的点M到x轴的距离

为2/,到焦点的距离为g.

⑴求抛物线C的方程和点M的坐标；

(2)若点初在第一象限，过M作直线/交抛物线C于另一点N,且直线/与直线

x-2y+3=0交于点P,过户作了轴的垂线交C于。.证明：直线0N过定点.

73.(2022上•全国•高三阶段练习)已知抛物线C:y2=20x(p>0)的准线与x轴的交点

为H,直线过抛物线C的焦点尸且与C交于/,8两点，△92的面积的最小值为4.

(1)求抛物线C的方程；

⑵若过点的动直线/交。于N两点，试问抛物线C上是否存在定点£,使

得对任意的直线/,都有加若存在，求出点£的坐标；若不存在，则说明理由.

74.(2023・广西南宁•统考二模)已知抛物线C：/=2px(p>0)经过点尸。，-2),过点

0(0,T)的直线/与抛物线C有两个不同交点/,B,且直线正/交y轴于M,直线

变y轴于N.

⑴求直线/斜率的取值范围；

(2)证明：存在定点T,使得丽=彳/,丽且<+,=-4.

X//

75.(2023•广西柳州•二模)已知抛物线C:x?=2度经过点尸(-2,1),过点。(-1,0)的直

线/与抛物线C有两个不同交点42,且直线产/交x轴于直线尸3交x轴于N.

试卷第16页，共22页

（1）求直线/斜率的取值范围；

（2）证明：存在定点T,使得西=207,函=〃方且4+工=4.

Z//

76.（2023上•湖北•高二校联考期末）已知抛物线C：y2=2px,焦点为F,点

M（-2,0）,N（2,2）,过点M作抛物线的切线MP,切点为P,|尸刊=3,又过