2025年高考数学复习小题限时卷08（学生版+解析）

题型必刷•小题限时卷

小题限时卷08（A组+B组+C组）

0----------------A组•巩固提升-----------*>

（模式：8+3+3满分：73分限时：50分钟）

一、单选题

1.（2025・辽宁・模拟预测）已知集合4=卜产一5x-6<0},B={y|y=2sinx},则A8=（）

A.[-2,3）B.（-3,2]C.（-6,2]D.[-2,6）

2.（2025・新疆•一模）己知复数z满足|z-（l+2i）|=0,其中i是虚数单位，则|z|=（）

A.5B.75C.1D.2

3.（24-25高三上•河南安阳•期中）设非零向量a,6的夹角为。，若同=1,忖=2,则“0为钝角”是“卜-/卜君

的（）

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

且51!1<2+035£=3（：0501311<2,则sin[（/+的值为（）

4.（2025・山东日照•一模）已知a是第一象限角,

A.一叵B.-拽C.下2A/5

-------UN,---------

5555

5.（2025•山西•一模）定义：各位数字之和为5的四位数叫“吉祥数”，例如“1022,3110",则所有“吉祥数”

的个数是（）

A.35B.32C.29D.20

6.（24-25高三上•江苏苏州•期末）设等比数列{%}的前展项和为%且白=*=2,则。2.=（）

26

A.，就B.2C.2025D.22024

7.（2025・陕西榆林•二模）育德中学在3D打印社团实践活动中，要将一个正方体放置在一个母线长为2,

底面半径为1的圆锥内（忽略锥面厚度），使其能自由（任意方向）旋转，则该正方体棱长的最大值为（）

A.—B.■-C.—D.1

323

/、/、PAJ2

8.（2025・四川德阳・二模）已知在平面直角坐标系如丁中，A（-2,l）,B（-2,2）,动点P满足再■=芋，点。为

抛物线C:/=4x上一动点，且点Q在直线x=-2上的投影为R,则归9+0|尸。|+四|QR|的最小值为（）

A.回B.26C.2A/5+A/2D.2M

二、多选题

7T

9.（23-24高三下•西藏拉萨•期末）已知函数/（x）=Acos（0x+°）（A>0,。>0,1夕1<万）的部分图象如

图所示，则下列说法错误的是（）

TT

A.函数/（x）的最小正周期是兀，A=2,a>=1,9=一§

B.函数f（x）的对称中心为（竺+J,O）«eZ

26

C.函数/（尤）的图像可由函数y=2cos2x的图像向右平移m个单位长度得到

D.函数/（x）的图像可由函数y=2cos2x的图像向右平移刍个单位长度得到

6

10.（24-25高三上•山东济南・期末）已知函数“X）的定义域为R,且满足/（X-y）=/（x）+〃y）+2Ay,则

（）

A./（1）=-1

B./（2）=-4

C.y=/（x）+f既是奇函数又是偶函数

2024

D.^/（0=2024

i=l

n.（2025•山西•一模）已知/（九）=，一九"，其中1〉0,且awl,x>0,若/（力之。恒成立，则（）

A.〃=eB.%=e是/（%）的极小值点

C.在（0,e）上单调递减D.在（e,+8）上单调递增

三、填空题

12.（2025・四川内江•一模）若函数〃x）=:詈-cosx为奇函数，则实数机的值为一.

13.（24-25高三上・浙江绍兴•期中）已知实数x>0,y>0，」v+—则x+2y的最小值是________.

x+1y+1

22

14.（2025・辽宁・模拟预测）已知椭圆C:++七=1（。>6>0）的右焦点为为C上两个不同的点，

ab

MF+NF=2OF（。为坐标原点），MF-NF=^S^

MNF=||OF|2,则C的离心率为.

♦>--------------B组•能力强化----------O

（模式：4+2+1满分：37分限时：25分钟）

一、单选题

1.（2024.北京海淀•三模）已知直线/：履-y+l-左=0和圆iO:x2+/=r2（r>0）,则“厂=也”是“存在唯一

上使得直线/与。相切”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.（23-24高三下•湖南•阶段练习）已知3cos（«+^）=cosacos^,则tan（a+/?）的最小值

是（）

A.2/B.275C.2nD.2不

3.（2025・辽宁・模拟预测）如图，正方形的边长为1,取正方形各边的四等分点4,当了2,2,得到

第2个正方形上星CzA,再取正方形482GA各边的四等分点A,,B3，C3,2，得到第3个正方形A333c3。3，

依此方法一直进行下去，若从第％个正方形开始它的面积小于第1个正方形面积的热，贝心=（）（参考

数据：lg2=0.3）

A.8B.9C.10D.Il

4.（2025•四川德阳•二模）在三棱锥尸-ABC中，平面PA5,平面ABC”为等腰三角形，且/APB=120,

A3=2若,AC=4,NBAC=90,则三棱锥P—ABC外接球的表面积为（）

A.32兀B.64兀C.8071D.128兀

二、多选题

5.（24-25高三上•安徽•阶段练习）样本数据占,吃,吃，匕，毛,毛的平均数是"方差是S2,极差为R,则下列

判断正确的是（）

A.若了=1,则1+如,1+/?%2，〃+6%3,1+6火4，。+6比5，〃+人工6的平均数为。+〃

B.若/=0,贝U〃+/?冗1，〃+/?冗2,。+6X3，〃+6%4，〃+人工5,1+°无6的方差为0

C.若玉,2%,3X3,4%,5%,6%的极差是R,则R>R

D.若须＜%＜退＜%＜当＜/，则这组数据的第75百分位数是土产

6.(24-25高三上.山东济南•期末)已知函数〃x)与其导函数g(无)的定义域均为R,且/(x+1)为奇函数,

g(x)+g(l-x)=4,贝！|()

A./(x)+/(2-x)=0B.g(x)+g(x+l)=。

C.g(-3)+g(-4)=4D./(x)-/(l-x)=4x

三、填空题

7.(24-25高三上•广西•期中)己知函数〃x)=(尤+1)1,过点M(lj)可作2条与曲线y=f(x)相切的直线,

则实数f的取值范围是.

o-----------c组•高分突破-----------♦＞

(模式：1+1+1满分：16分限时：15分钟)

一、单选题

22

1.(2025・辽宁・模拟预测)已知A为双曲线C:?-2=1(4＞02＞0)的右顶点，尸为C上一点，P关于y轴

的对称点为。，APLAQ,ZAPQ=60°,ZVIP。的面积为，则C的焦距为()

A.6B.V6C.2#＞D.2"

二、多选题

2.(2025•四川内江•一模)函数/(x)=2xlnx+o?_x,则下列说法正确的是()

A.当。＞0时,/(X)在(0,内)上是增函数

Q

B.当4=2时，y(x)在x=l处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为|

C./(x)在(0,+。)上为减函数，则。《_屋9

D.当a＜0时，尸(x)=/(x)+or有且只有一个零点，则

三、填空题

3.(2025・四川德阳•二模)若关于a的方程上082^士"应吟=叫凹在区间(0,：］上有且仅有一个实数

mcosla+m-sinlacosa\)

解，则实数7〃=.

题型必刷•小题限时卷

•■J__________________________________________________________

小题限时卷08(A组+B组+C组)

♦>---------A组•巩固提升----------令

(模式：8+3+3满分：73分限时：50分钟)

一、单选题

1.(2025・辽宁・模拟预测)已知集合4={无产一5X-6<。},B={y|y=2sinx},则A3=()

A.[-2,3)B.(-3,2]C.(-6,2]D.[-2,6)

【答案】D

【分析】分别求出集合A,B,再根据并集的定义即可得解.

【详解】由题意得4=卜产-5x-6<o}=1.x|—1<X<6J,3={y|y=2sinx}={引-2VyV2},

所以AB=[-2,6).

故选：D.

2.(2025・新疆•一模)己知复数z满足|z-(l+2i)|=0,其中i是虚数单位，则忖=()

A.5B.V5C.1D.2

【答案】B

【分析】求出复数z,利用复数的模长公式可求得忖的值.

【详解】因为|z-(l+2i)|=0,则z=l+2i,故国="+为=氐

故选：B.

3.(24-25高三上•河南安阳•期中)设非零向量a,6的夹角为。，若同=刑=2,则“0为钝角”是“卜-可

的()

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据数量积和模长关系分析可知卜卜君等价于cos，<0,进而结合充分、必要条件分析判断.

【详解】因为同=1,忖=2,

贝！)\a-b^=yja2+b2-2a-b=，5-4cos6>也,解得cos，<0,

即\a-b^>A/5等价于COS，<0,

若6为钝角，贝!|cos9<。，即充分性成立;

5/21

若cosOvO,则。为钝角或平角，即必要性不成立；

综上所述：“。为钝角”是“卜-〃卜石”的充分不必要条件.

故选：C.

4.（2025・山东日照•一模）已知a是第一象限角，且$111<2+035。=38501311<2,则sin1a+T的值为（）

A.一在B.-型C.立D.至

5555

【答案】D

【分析】先应用同角三角函数关系计算，最后应用诱导公式计算即可.

【详解】因为sina+COS6Z=3cosatana,

所以sina+cosa=3sina,所以cosa=2sina,左右两侧平方得cos2cif=4sin26f=4（1-cos?。）,

所以5cos2a=4,又因为a是第一象限角，所以cose=也，

5

贝!Jsin（a+S=cosa=2g.

故选：D.

5.（2025•山西•一模）定义：各位数字之和为5的四位数叫“吉祥数”，例如“1022,3110”，则所有“吉祥数”

的个数是（）

A.35B.32C.29D.20

【答案】A

【分析】根据“吉祥数”的定义，按首位数字分别计算，再由分类加法计数原理可得结果.

【详解】各位数字之和为5的四位数叫“吉祥数”，按首位数字分别计算,

当首位数字为5时，则剩余三位数分别是0,0,0,共有1个“吉祥数”;

当首位数字为4时，则剩余三位数分别是1,0,0,共有3个“吉祥数”；

当首位数字为3时，则剩余三位数分别是1,1,0或2,0,0,共有3+3=6个“吉祥数”;

当首位数字为2时，剩余三位数分别是2,1,0或3,0,0或1,1,1,共有A；+3+1=10个“吉祥数”；

当首位数字为1时，则剩余三位数分别是3,1,0或4,0,0或1,1,2或2,2,0,共有A；+3+3+3=15

个“吉祥数”，

则共有1+3+6+10+15=35个“吉祥数”.

故选：A.

6.（24-25高三上・江苏苏州・期末）设等比数列｛4｝的前〃项和为S,,且当=*=2,则吸=（）

26

A.击B.2C.2025D.22024

6/21

【答案】B

【分析】分gw1和q=l两种情况求解即可.

【详解】因为於=£=2,则洋＞4,s6=n,

2o

设等比数列｛%｝的公比为q（qwO）,

$2=fdlz£)

\—n=4

当#1时，，,、，整理得/+42=0,

q(j)：12

$6=

i—q

即(二+2)d-1)=0,解得4=1(舍)或4=一1,

若q=—l,S2=ax+a2=ax+axq=0^4,所以gw-l；

[5=2a=4

当4=1时，；J日解得q=2,所以。2必=。|/°24=2,

[七=6%=12

综上，“2025=2.

故选：B.

7.（2025・陕西榆林•二模）育德中学在3D打印社团实践活动中，要将一个正方体放置在一个母线长为2,

底面半径为1的圆锥内（忽略锥面厚度），使其能自由（任意方向）旋转，则该正方体棱长的最大值为（）

A.-B.!C.-D.1

323

【答案】C

【分析】根据圆锥的内切球即为正方体的外接球计算求解即可.

【详解】如图1所示，要使得正方体能在圆锥内自由旋转且该正方体的边长得到最大，

则该正方体的外接球为圆锥的内切球，设内切球的半径为R,圆锥的轴截面如图2所示，

为正三角形且上4=2,此时内切球的截面圆与一上4B内切，

R=PHtan%=lx®=®,设正方体边长为。，由图3得，（27?）2=3«2,得0=毡/?=2.

8.（2025・四川德阳・二模）已知在平面直角坐标系如丁中，A（-2,l）,B（-2,2）,动点尸满足"最=一，点。为

rD2

7/21

抛物线C：V=4x上一动点，且点。在直线x=-2上的投影为R,则|即+血怛。|+虚|。园的最小值为()

A.MB.2逐C.275+V2D.2M

【答案】C

【分析】根据题干的条件即可求得A(-2,1),3(-2,2)满足的轨迹方程为圆，再利用距离最小即A,P,Q,尸四

点共线时，即可求得最小值.

【详解】

,、J(x+2)+(y-l)J29

设尸,则亍一，两边同时平方整理得：(彳+2)。产=2,

J(x+2)I，('-2『”2

即点P的轨迹是以(-2,0)为圆心，以及为半径的圆；

因为点Q在直线x=-2上的投影为R,又抛物线上的点到焦点F(l,0)的距离与到准线x=-l的距离相等,

故|。囚=|?。|+1,

故|P@+0|PQ|+忘|QR|=亚1PA|+亚|Pa+g(|QT+l)=0(|PA|+|PQ|+但Q|)+0

当且仅当A,P,Q,P四点共线时，|R4|+|PQ|+|FQ|取得最小值，

最小值为14刊=J(-2—1)2+(1—0)2=A/U),

故|P@+0|PQ|+及依风2夜XM+0=2A/^+亚，

故选：C

二、多选题

7T

9.(23-24高三下•西藏拉萨•期末)已知函数f(x)=Acos(0x+°)(A>0,。>0,|^|<-)的部分图象如

图所示，则下列说法错误的是()

8/21

jr

A.函数/Xx)的最小正周期是兀，A=2,s=2,(p="

B.函数/'(x)的对称中心为(竺+J,O)#eZ

2o

C.函数/(X)的图像可由函数y=2COS2X的图像向右平移三个单位长度得到

D.函数f(x)的图像可由函数y=2cos2x的图像向右平移B7T个单位长度得到

6

【答案】BC

【分析】根据图象的最值、特殊点坐标、周期待定系数可求出解析式为y=2cos(21一三],

故A正确；B

项利用整体角求解对称中心可得；CD项，根据平移分别求解函数解析式与/(x)比较可得.

【详解】根据图象可得A=2,周期7=4(|^-e]=兀，

2兀

又切>0,则幻=于=2,所以/(x)=2cos(2%+0),

2cos]+e[=2,贝!]0+5=也，攵EZ,

解得°=也一因为|?|<]，则°=一三，

所以函数的解析式为y=2cos(2彳-5),

TT

A项，函数/(x)的最小正周期是兀，A=2,8=2,都正确，故A正确；

B项，由2x-壬=^+E#eZ,解得片型+期，kwZ.

32122

得函数/(X)的对称中心为底+净)，keZ,故B错误；

C项，由函数y=2cos2x的图像向右平移1个单位长度得到y=2cos

即y=2cos(2xT],并非函数y=2cos(2xf,故C错误；

9/21

D项，由函数y=2cos2x的图像向右平移2个单位长度得到y=2cos

6

即y=2cos(2x—,故D正确.

故选：BC.

10.(24-25高三上•山东济南・期末)已知函数的定义域为R,且满足/(x-y)=〃x)+〃y)+2»,则

()

A./(1)=-1

B."2)7

C.y=/(x)+f既是奇函数又是偶函数

2024

D.£/(/)=2024

4=1

【答案】ABC

【分析】根据赋值法可求解AB,根据赋值法可得g(x)=0,进而根据函数奇偶性的定义可判断C,由

f(x)=-x2,即可判断D.

【详解】令x=〉=0,得/(0)=0；令无=y=l,贝！］/(0)=2/(1)+2=0,得=A正确；

令无=y=2,则/(0)=2〃2)+8=0,得〃2)=T,B正确；

由于“x-y)+(x—y)2=/(彳)+f+/()0+/，

令g(x)=/(x)+尤2，贝Ug(x-y)=g(x)+g(y)，令x=y=。，得g(0)=0,令y=x,贝！jg(x)=。，所以

2024

g(x)=/(x)+x2既是奇函数又是偶函数，且〃X)=T2,则£/"•)22024,c正确D错误，

1=1

故选：ABC.

11.(2025•山西•一模)已知〃耳=，一一,其中。>0,且"1,x>0,若〃x)Z0恒成立，则()

A.a=eB.X=e是/(x)的极小值点

C.在(0,e)上单调递减D."力在(e,+8)上单调递增

【答案】ABD

【分析】由〃x)20可得出"2x",变形得出一2—,令g(x)="，其中x>0,利用导数分析函数g(x)

的单调性与极值，可判断A选项；利用导数分析函数7■(%)的单调性，可判断CD选项；利用函数极值点与

导数的关系可判断B选项.

【详解】对于A选项，由题优2尤"，x\na>a\nx,—,

ax

10/21

记g(x)=F，其中x>0,g,(x)=1

当0<x<e时，g'(x)>0；当x>e时，g'(x)<0,

故g(x)在区间(0,e)上单调递增，在区间(e,+e)上单调递减，

又g(a)2g⑺，故。=6,故A正确；

(婷

对于BCD选项，f(x)=ex-xe,贝！］广(x)=e-e尤e—=e，1一\

<e

当0<x<e-1时,〃(x)<0,即函数/?(%)在(0,e—1)上单调递减，

当x>e-1时，〃(力>0,即函数网力在(eT,+e)上单调递增，

又〃(0)=1,//(e)=/i(l)=0,

当0cxe1或x>e时，/,(x)>0；

当l<x<e时，/?(x)<0,r(x)<。，

故在(0,1)、(e,+。)上单调递增，在(l,e)上单调递减，

所以，x=e为函数/⑺的极小值点，且函数〃尤)在(0,e)上不单调，故BD正确C错误.

故选：ABD.

【点睛】思路点睛：利用导数求函数极值的步骤如下：

(1)求函数“X)的定义域；

(2)求导；

(3)解方程(&)=0,当尸(&)=0；

(4)列表，分析函数的单调性，求极值：

①如果在飞附近的左侧/'(x)<0,右侧/'(x)>0,那么/伉)是极小值；

②如果在与附近的左侧尸(x)>0,右侧/'(无)<0,那么/小)是极大值.

三、填空题

12.(2025•四川内江•一模)若函数〃到=彳注-8次为奇函数，则实数相的值为一.

【答案】2

【分析】根据函数是定义在R上的奇函数，应用/(。)=。计算求参.

【详解】函数〃x)=:管-cosx为定义在R上的奇函数,

11/21

所以〃。）=笨?-所以”"

故答案为：2.

13.（243高三上•浙江绍兴•期中）已知实数、＞°，y＞。，匕+《=】,则x+2y的最小值是--------.

【答案】2&

【分析】表示x+2y=（x+l）+2（y+l）-3,再利用1的代换解出最小值即可.

【详解】由题意可得x+2y=[（x+l）+2（y+l）-3]-3

x+12（y+l）五1.生±1）=2忘,

=1+——+-^—^+2-3>2

y+1x+1y+1x+1

x+1_2（y+l）

当且仅当y+]"I时,即犬=&,丫=正时，等号成立,

2

—+—=i

x+1y+1

则尤+2y的最小值是2VL

故答案为：2也

22

14.（2025•辽宁・模拟预测）已知椭圆C:=+2=1（。＞6＞0）的右焦点为EKN为C上两个不同的点,

ab

MF+NF=2OF（。为坐标原点），MF-NF^^3-S=OF2,则C的离心率为_____.

3A△MNNFi-2|1।|-------

【答案】述

5

【分析】设片为C的左焦点，连接码,科，由MF+NF=2OF，可知四边形片加网为平行四边形，根据

已知条件结合平面向量数量积和三角形面积公式化简求得1回/加次=石，所以NMEV=60。,在MFtF中，

由余弦定理结合板.诋=/1||。_可_|2求解即可.

【详解】如图，

设K为C的左焦点，连接班,NK，

由MF+NF=2OF,可知四边形尸为平行四边形,

12/21

由MF-NF=S^MNF，得|AfF||^F|cosZMF^=x||MF|-^NF^smZMFN,

整理得tan/MWV=g,所以NM/W=60。，AFMFX=120°.

设|7WF；|=?n,\MF\=n,\OF\=c,

在“百厂中，由余弦定理得4c?=加2+/_2帆〃cosl20。，即/+"+加几=4(?①,

又加+〃=2〃②，所以由①②得如7=4",

因为AmNF='c2,所以加〃.cos60°=L，，即/=4〃，

22

所以e2=[=络，，所以e=¥.

a5b55

故答案为：撞.

5

♦>--------------B组•能力强化----------O

（模式：4+2+1满分：37分限时：25分钟）

一、单选题

1.（2024•北京海淀•三模）已知直线/：依-y+1-左=0和圆O:x2+y2=r2（r>0）,则“厂=也”是“存在唯一

左使得直线/与。相切”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先由r=应，点到直线距离公式列出方程，求出此时/=-1,充分性成立；求出/：履->+1-左=0

所过定点，再由存在唯一k使得直线1与。相切”，得到厂=1或定点在圆上，得到方程，求出相应的答案，

必要性不成立.

【详解】一拒时，/:履->+1-左=。到O：尤2+y=2的距离为^^=血,

故1-2左+左2=2+2/,解得左=-1,

满足存在唯一k使得直线I与。相切”，充分性成立,

/:—y+—=0经过定点

若r=l,eO:x2+y2=l,若/=0,此时直线/：y=l,

直线/:y=l与：。相切，另一条切线斜率不存在，

故满足存在唯一k使得直线1与。相切”，

当”（1,1）在0:，+丁=/（厂>0）上，满足存在唯一k使得直线1与：。相切,

故/=1+1=2，

又厂>0，解得厂=0，必要性不成立,

13/21

故”=0”是“存在唯一k使得直线1与。相切”的充分不必要条件.

故选：A

2.(23-24高三下•湖南•阶段练习)己知。€(0,鼻，3cos(«+/?)=cosacosj3,则tan(a+0的最小值

是()

A.2A/3B.2行C.2A/6D.2击

【答案】C

【分析】由两角和的余弦展开式化简可得tanatan6的值，再由两角和的正切展开式、基本不等式可得答案.

【详解】由3cos(a+/)=3cosacos万一3sinsin，=cosacos(3,

得2cos0cos尸=3sinasin分,

2

因为a,4,所以tanatan/?=§,且tana〉0,tan/7>0,

tan(&+')=:皿。+tanJ_3^tan«+tan)>3-2Jtanatan/3=2A/6,

当且仅当tana=tan£=，取等号.

故选：C.

3.(2025・辽宁・模拟预测)如图，正方形4与G2的边长为1,取正方形各边的四等分点4，员,。2，。2,得到

第2个正方形4层。2。2,再取正方形4层G3各边的四等分点A，员,。3，。3，得到第3个正方形4员。3。3，

依此方法一直进行下去，若从第％个正方形开始它的面积小于第1个正方形面积的贝心=()(参考

数据：lg2=0.3)

A.8B.9C.10D.11

【答案】C

【分析】易知正方形的边长成等比数列，其公比为典，设第〃个正方形的面积为％,得到

)求得为

="wN2,再由为求解.

14/21

【详解】由已知得正方形的边长成等比数列，第二个正方形的边长为乎,

所以其公比为乎.

设第〃个正方形的面积为%,则a=（（«>2）,

%I4J8、

当〃=1时,

所以

oJU

即…尚=5==8.5,

所以”>9.5,所以左=10.

故选：C.

4.（2025•四川德阳•二模）在三棱锥尸-45c中，平面2钻，平面ABC,.尸AB为等腰三角形，且NAPB=120,

AB=273,AC=4,ABAC=90,则三棱锥尸一ABC外接球的表面积为（）

A.32兀B.64兀C.80TID.128兀

【答案】A

【分析】取的中点E,BC的中点D,连接DE,设三棱锥P-ABC的外接球的球心为。，过。作。尸，PE

交PE延长线于点产，然后根据已知数据在RtAOP尸中可求出三棱锥尸-ABC的外接球的半径，从而可求

出外接球的表面积.

【详解】如图取AB的中点E,BC的中点。，连接。E,则。E=；AC=2,

因为皿为等腰三角形，所以PELAB,

因为平面尸AB_L平面ABC,平面PABc平面ABC=AB,PEu平面

所以PEL平面ABC,

因为£>Eu平面ABC,所以PELDE,

因为VABC为直角三角形，且NBAC=90,所以。为VABC的外心，

设三棱锥P-ABC的外接球的球心为。，则OD，平面ABC,

所以PEIIOD,

在等腰一RIB中，ZAPB=120,AB=26,

贝!J8E=AE=g,/PBE=30,二RW的外心在夕卜，

15/21

所以尸E=BEtan30=73x^-=l,

3

在VABC中，AB=2y[3,AC=4,ABAC=90,则3C=痴^+.〉=疝五=24,

所以即=占

设三棱锥尸-ABC的外接球的半径为R,则ODAM-BD?=在-7，

过。作O产，PE交PE延长线于点尸，则如=跖，OF=DE

在RtAOP产中，OP2=OF2+PF-,贝！J

R。=2。+Q+尿二5）。，解得R2=8,

所以三棱锥尸-ABC的外接球的表面积为4无&=32元.

故选:A.

二、多选题

5.（24-25高三上•安徽•阶段练习）样本数据为,马，三，匕，三,毛的平均数是"方差是S2,极差为R，则下列

判断正确的是（）

A.若元=1,则〃+/?%,〃+/?%2，。+人比3，〃+人工4，〃+6%5，〃+人火6的平均数为1+〃

B.若/=0,贝|〃+/?%,〃+6%2,1+〃彳3，〃+6%4，〃+人尤5,1+6冗6的方差为0

C.若再,2尤2,3。,4尤4,5尤5,6尤6的极差是用1则R＞R

D.若占＜当＜演＜匕＜当＜无6,则这组数据的第75百分位数是玉产

【答案】AB

【分析】由平均数以及方差的性质即可判断AB,结合极差的定义，举出反例，即可判断C,由百分位数的

计算公式，即可判断D.

【详解】对于A,由原数据百，%2，%，，4，，5，%的平均数元=1,

可得新数据。+6%，。+6%，。+6尤3，。+6匕，。+6%，。+6尤6的平均数为4+6；=。+。，

故A正确；

对于B,由原数据为，X?，X3，工4，，5，“6的方差是1=0,

可得新数据。+如,。+如，。+如,。+如,。+如,。+如的方差为62s2=0,

故B正确；

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对于C,若样本数据为-10,-4,-3,-2,-1,0,则其极差为R=10,

此时数据工］,2工2,3工3,445%,6%为-10,-8,-9,-8,-5,0,则其极差R=10,

即尺=",故C错误；

对于D,由6义75%=4.5,所以数据的第75百分位数是4，故D错误；

故选：AB

6.(24-25高三上.山东济南.期末)已知函数与其导函数g(x)的定义域均为R,且/(x+1)为奇函数,

g(x)+g(l-x)=4,贝!|()

A./(%)+/(2-x)=0B.g(x)+g(x+l)=。

C.g(-3)+g(-4)=4D./(x)-/(l-x)=4x

【答案】AC

【分析】A.由〃龙+1)为奇函数判断；BC.由+l)+/(x+l)=。求导判断；D.由g(x)+g(l-x)=4还原

原函数判断.

【详解】解：因为〃x+1)为奇函数，所以x+l)+〃x+l)=0,所以/(x)+/(2r)=0,A正确;

由A可知，求导数，g(x)-g(2r)=0,所以g(x)关于直线x=l对称，

又g(x)+g(l-x)=4,所以g(2-x)+g(l—x)=4,即g(x)+g(x+l)=4,故B错误，C正确

因为8(彳)+8(1-彳)=4,所以"(无)一〃1-同］=8(%)+8(1一尤)=4,

所以/(x)-/(lr)=4x+c，D错误.

故选：AC

三、填空题

7.(24-25高三上•广西•期中)已知函数/'(尤)=a+1)1,过点凶(1,力可作2条与曲线口=〃尤)相切的直线,

则实数f的取值范围是.

【答案】［0,2e)0卜

【分析】求出切线方程为yTa+l)e"=(a+2)e"(x-a),代入点M的坐标化简可得f=(3-6封，设

g⑷=(3-/并，依题意，直线y=t与g(a)=(3-02)e"的图象有两个交点，利用导数研究函数g(。)的性质,

进而作出草图，结合图象即可得解.

【详解】r(x)=(x+2)e)设切点为(a,(a+l)e“)，

则切线方程为y-(。+De"=(a+2)e"(x-a),

将点M(1J)代入切线方程得，f-(a+l)e"=(a+2)(l-a)e",化简得”(3-/)e。，

设g(o)=(3-a2)ea,贝！］g'(a)=-2aea+(3-a2)e"=-(a2+2a-3)efl=-{a+3)(a-l)efl,

17/21

令g'(a)>0,解得一3<。<1,令g'(a)<0,解得。<-3或。>1,

；.g⑷在(1,+◎上单调递减,在上单调递增,且g(-3)=f,g⑴

作出函数g(a)的大致图象如下图所示，

由图象可知，要使直线、=/与g(a)=(3-/)e。的图象有两个交点，贝

故答案为：［0,2e)口卜

【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义，分别写出两曲线的切线方程，让两切线方程的系数相等，得到

方程组，消去一个变量后，问题转化为方程的根的个数问题，构造函数，利用导数研究其性质，作出图象，

数形结合求解即可.

♦>--------------C组.高分突破------------<>

(模式：1+1+1满分：16分限时：15分钟)

一、单选题

22

1.(2025•辽宁•模拟预测)已知A为双曲线C:\-%=l(a>0,b>0)的右顶点，尸为C上一点，尸关于，轴

的对称点为Q,AP1AQ,NAPQ=60。，△AP。的面积为66，则C的焦距为()

A.y/3B.76C.2/D.2A/6

【答案】D

【分析】先设P(工,%),再根据平行得出斜率，进而应用面积计算得a=6，最后点在双曲线上得出A=a,

计算得出2c即可.

【详解】因为4尸。=60。，所以点P在C的右支上，由对称性设P在第一象限，

设Xo>0,y0>0,则。(-%,%),由A尸_LA。，ZAP。=60。，

18/21

所以S^APQ=/x2/o%=%0yo=2A/^Q2=66，所以6=3,即〃=有,

因为p(%%)在C的右支上，所以(2疗(A)

/b2

所以加=/=3,

设C的半焦距为。(。＞0),贝般2=〃+/=6,即‘=而，所以焦距为2#.

故选:D.

二、多选题

2.(2025・四川内江•一模)函数/(x)=2xlnx+加-x,则下列说法正确的是()

A.当a＞0时，在(0,+oo)上是增函数

B.当。=2时，/(x)在x=l处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为|

C./(x)在(0,+e)上为减函数，则

D.当。＜0时，尸(x)=/(x)+ox有且只有一个零点，则

【答案】BD

【分析】根据导数正负得出单调区间判断A,应