2025年高考数学重点题型专项训练：三角函数与三角恒等变换（学生版+解析）

专题01三角函数与三角恒等变换

一、三角函数

1.如图，P,Q是以原点为圆心的单位圆上的两个动点，若它们同时从点力(1,0)出发，沿逆时针方向作匀角速

度运动，其角速度分别为单位：弧度/秒)，M为线段PQ的中点，记经过久秒后(其中0W久W6),/(%)=

36

\OM\

(I)求y=/(久)的函数解析式；

(II)将/(%)图象上的各点均向右平移2个单位长度，得到y=g(%)的图象，求函数g=g(%)的单调递减区

间.

2.设函数/(%)=4cosxsin(x一：)+V3,xER.

(I)当％W[0曰时,求函数/(%)的值域；

(II)已知函数y=/(%)的图象与直线：=1有交点，求相邻两个交点间的最短距离.

3.已知tana=且a是第三象限角，

(1)求sina的值；

(2)求sir^G+a)+sina•COS(TT—a)的值.

4.如图，某市准备在道路所的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段网C该曲线段是函

数y=4sin(3%+匀(4>0,3>0),X6[—4,0]时的图象，且图象的最高点为B(—1,2),赛道的中间部

分为长8千米的直线跑道8,且CD〃斯；赛道的后一部分是以。为圆心的一段圆弧。E.

⑴求3的值和的大小；

(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路斯上，一个顶点在半

径。。上，另外一个顶点P在圆弧。E上，求“矩形草坪”面积的最大值，并求此时P点的位置.

5.在△ABC中，内角B,C所对的边分别为a,hc.已知b+c=2a,3csinB=4asinC.

(I)求cosB的值;

(II)求sin卜B+的值.

6.已知函数/(%)=2cos2tox—1+2V3sino)xcosa)x(0<co<1),直线％=g是函数段)的图象的一条对称轴.

(1)求函数/(%)的单调递增区间;

(2)已知函数尸g(x)的图象是由>=/(%)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移半个单

位长度得到的，若g(2a+§=，，aE(0(),求sina的值.

7.已知函数f(%)=2sin(2a)x+-)+1.

6

⑴若/■(久1)</(%)<f(%2)，kl-^2lmin=p求/'(%)的对称中心;

(2)己知0<3<5,函数/(久)图象向右平移£个单位，得到函数g(x)的图象，x=g是g(x)的一个零点，若函

63

数0(%)在［皿九］(772,71€R且Hl<71)上恰好有10个零点，求71-TH的最小值；

(3)已知函数九(%)=acos(2x-7)-2a+3(a>0),在第(2)问条件下，若对任意%】G［。勺，存在&e［。勺，

644

使得似%1)=〃(犯)成立，求实数。的取值范围.

8.已知函数g(%)=sin(%-，)，/i(x)=cosx,从条件①/(%)=g(%),h(%)、条件②f(%)=g(%)+/i(%)这

两个条件中选择一个作为已知，求：

(1)/(%)的最小正周期；

⑵/(久)在区间［o,3上的最小值.

9.在AABC中，内角力，B,C所对的边分别为a,b,c,且cosB=2-2.

c2c

⑴求c；

⑵若c=2a,求sinB.

10.已知函数/(x)=sin(3%+R)(3>0,㈤<§,x=£是函数/(久)的对称轴，且/(x)在区间&引上单

调.

(1)从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得f(x)的解析式存在，并求出其解析式；

条件①：函数/(切的图象经过点4(01)；

条件②：&0)是f(%)的对称中心；

条件③：(工,0)是/(%)的对称中心.

(2)根据(1)中确定的/(%),求函数y=/(%)(%Ejo,])的值域.

11.已知向量五==(cos%,—1).

⑴当五〃]时,求cos?%—sin2%的值；

(2)设函数/(%)=2(5+B),隹已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a,b,c,若a=遮,b=2,sinB=

y,求/•(久)+4cos(24+匀(xG[o,外)的取值范围.

12.已知一<a<兀，tancr4

4

⑴求tana的值；

、_

⑵/c求pusi赤na+c忌osa的值;

(3)求Zsi/a-sinacosa—3cos2a.的值

13.已知函数/(%)=2sinx-sin

⑴求/(%)的单调递增区间；

(2)若对任意限外，都有士0)-?|4手，求实数t的取值范围.

14.已知函数f(%)=sin(2x+§+cos(2x+弓)-2sinxcosx.

⑴求函数/(%)的最小正周期及对称轴方程；

⑵将函数y=/(%)的图象向左平移行个单位,再将所得图象上各点的纵坐标不变、横坐标伸长为原来的2倍,

得到函数y=g(%)的图象，求丫=9(%)在［0,27］上的单调递减区间.

15.已知函数/(%)=/?•(a+c),其中向量五=(sin%,—3cosx),b=(sin%,—cos%),c=(—cos%,sin%),xER.

⑴求/(%)的解析式及对称中心和单调减区间；

(2)不等式I/O)-爪|<3在xe］；,目上恒成立，求实数m的取值范围.

16.已知函数/1(x)=2sin2(x+：)+V2cos(%—(sin久—cosx).

⑴求函数/(久)的对称中心及最小正周期；

(2)若湖,求tan。的值.

17.已知函数f(x)=4sin(3x+(p~)+B(jl>0,a>>0,\<p\<彳)的部分图象如图所示.

(1)求函数/Xx)的解析式;

(2)将函数y="乃图象上所有的点向右平移一个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2

倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象.当xe[o,詈]时，方程g(x)-a=0恰有三个不相等的实数根,

xlfx2fx3(x1<%2<%3)，求实数a的取值范围以及久1+2%2+%3的值.

18.已知y=/(%)为奇函数，其中/(%)=cos(2x+0),06(0,兀).

⑴求函数y=/(%)的最小正周期和/(%)的表达式；

(2)若/停)=-|,aef求sin(a+§的值.

19.已知函数f(%)=4sin3%+0)Q4>0,3>0,0VRV：)同时满足下列四个条件中的三个：①/(一乡=。；

26

②/(0)=-1；③最大值为2；④最小正周期为兀

(1)给出函数/(%)的解析式，并说明理由；

(2)求函数f(x)的单调递减区间.

20.已知函数/'(X)=2sin(a)久+0)(3>0,|R[<])的部分图象如图所示.

(1)求/(久)的解析式，并求f(x)的单调递增区间；

⑵若对任意Xe[问，都有上⑺/(久-匀-1|w1,求实数t的取值范围.

二、三角恒等变换

21.已知函数/。)=等4.

sm(x+-)

(1)如果f(a)=I，试求sin2a的值；

⑵求函数/(%)的单调区间.

22.设/(%)=sin%+cosx(xGR).

⑴判断函数y=[/(%+§『的奇偶性，并写出最小正周期;

(2)求函数y=f(x)f(%-£)在[0,习上的最大值.

23.设函数f(x)=/Isintoxcoswx+cos2a>x(A>0,co>0),从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两

个作为已知，使得/(%)存在.

(1)求函数/0)的解析式；

⑵当XG[0,目，若函数9(久)=/(%)-TH恰有两个零点，求小的取值范围.

条件①：/1(%)-/(-X)；

条件②：/)的最小值为-点

条件③：“切的图象的相邻两个对称中心之间的距离为5

24.已知函数/(久)=2sinti)xcos^+2sin<p—4sin2^sin</?(a)>0,|<p|<兀)，其图象的一条对称轴与相邻对称

中心的横坐标相差3,从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中.①函数/(%)的图象向左平移g个

单位长度后得到的图象关于y轴对称且/(0)<0；②函数/(切的图象的一个对称中心为(卷,0)且fQ>0.

(1)求函数/(%)的解析式；

(2)将函数/(x)图象上所有点的横坐标变为原来的11〉0)倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，若函

数y=g(x)在区间［o局上恰有3个零点，求r的取值范围.

25.设函数/(x)=2sin2o)x+ZV^sinaxcostox的图象关于直线x=兀对称，其中3为常数且3eQ,1)

⑴求函数f(x)的解析式；

(2)在△ABC中,已知/'(4)=3,且B=2C,求cosAcosC的值.

26.已知扇形。48的半径为1,^AOB=全产是圆弧上一点(不与A,B重合)，过尸作PM1OA,PN10B,

M,N为垂足.

⑴若PM=2求PN的长；

(2)设乙40P=x,PM,PN的线段之和为y,求y的取值范围.

27.设函数/(x)=fsin23%+cos2O)x,其中0<3<2.

(1)若/(久)的最小正周期为兀，求/(久)的单调增区间；

⑵若函数/(£)图像在(0,手上存在对称轴，求3的取值范围.

28.在①函数y=/(x)的图像关于直线x=尹寸称；

②函数y=f(x)的图像关于点Pe,0)对称；

③函数y=f(x)的图像经过点Q(g,—2)；

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.

问题：已知函数/'(x)=2sin<oxcos</?+2coso)xsin</?(3>0,切<§最小正周期为无,

(1)求函数/(为的解析式；

(2)函数/(乃在，，上的最大值和最小值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

29.已知函数/(%)=2sin3xcos,+2sinw-dsiM等sin<p(6J>0,\(p\<TI),其图像的一条对称轴与相邻对

称中心的横坐标相差?，,从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中.

①函数的图像向左平移:个单位长度后得到的图像关于y轴对称且外0)<0；

②函数的图像的一个对称中心为仔,°)且/(£)>

(1)求函数/(久)的解析式；

(2)若关于尤的方程/(%)+|/(2x—9=27n有实根，求实数m的取值范围.

30.已知函数/(久)=[sin(o)x+cp)—V3cos(o)x+<p)]cos(a>x+<p)+曰(3>0,0<卬<为奇函数，且其图

象相邻两对称轴间的距离为泉

(1)求3和9；

(2)当久E［-看同时，记方程23/(%+=TH的根为第1，%2，%3(%1<%2V%3)，求772，：［上的范围.

31.已知函数/(%)=邛"_|_8⑸/%—COS2%).

tan2x—t'annx'"

⑴求函数f(%)的定义域；

(2)若xejo,?u求函数〃久)的单调区间.

32.在锐角△ABC中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,已知V5tanZtanC=tanA+tanC+遮.

⑴求角B的大小；

(2)求cosA+cosC的取值范围.

33.已知/(%)=sina)x—75cos3%,o)>0.

(1)若函数/(X)图象的两条相邻对称轴之间的距离为%求fg)的值；

⑵若函数f(x)的图象关于尊0)对称，且函数f(x)在［o,月上单调，求3的值.

34.已知函数/(X)=asinxcosx+cos(2x+：)，且

(1)求Q的值和/(%)的最小正周期；

⑵求/(%)在［0,兀］上的单调递增区间.

35.已知五=(sinx+cos%,2cos0),b=(2sin6，sin2%).

⑴若3=（—3,4）且x=%。e（0,兀）时，2与｝的夹角为钝角，求cos。的取值范围;

（2）若e=j,函数f（%）=d-b,求/（久）的最小值.

36.在A4BC中，48,C对应的边分别为a,6,c,且4,8〈泉且

2sinC+cos27l+cos2B=2

⑴求c；

（2）若a=b=2,BC上有一动点P（异于&C）,将△4BP沿AP折起使BP与CP夹角为：，求4B与平面4CP

4

所成角正弦值的范围.

37.已知函数f（%）=2V3sincoxcosa）x—2sin2tox+1（0<o）<2）.在下面两个条件中选择其中一个，完成下

面两个问题：

条件①：在/（%）图象上相邻的两个对称中心的距离为今

条件②：/（%）的一条对称轴为久=g

6

⑴求CO；

⑵将/（久）的图象向右平移：个单位（纵坐标不变），得到函数仪久）的图象，求函数g（x）在［冶身上的值域.

38.正弦信号是频率成分最为单一的信号，复杂的信号，例如电信号，都可以分解为许多频率不同、幅度

不等的正弦型信号的叠加.正弦信号的波形可以用数学上的正弦型函数来描述：UQ）=2sin（2兀咒+0）,其

中U（t）表示正弦信号的瞬时大小电压V（单位：V）是关于时间f（单位：s）的函数，而4>0表示正弦信号

的幅度，f是正弦信号的频率，相应的7=二为正弦信号的周期，s为正弦信号的初相.由于正弦信号是一种最

简单的信号，所以在电路系统设计中，科学家和工程师们经常以正弦信号作为信号源(输入信号)去研究

整个电路的工作机理.如图是一种典型的加法器电路图，图中的三角形图标是一个运算放大器，电路中有四

个电阻，电阻值分别为%,R2,R3,必(单位：匕⑴和彩⑴是两个输入信号，匕⑴表示的是输出信号，

根据加法器的工作原理，玲⑴与匕⑴和吟⑴的关系为：％(t)=(l+g-&%聚；广⑴例如当匕=R2=

R3=R4=111,输入信号匕(t)=sint,%(t)=cost时,输出信号：Vo(t)=(1+1sin；：;cost=sEt+C0Sf

匕⑺氏

手%(7)

R3

X

(1)若R1=R2=R3=R4=IQ，输入信号匕(t)=sint,V2(t)=cost,求的最大值;

⑵已知氏2=1。，R3=211,R4=3Q,输入信号匕(t)=sin(t+],V2(t)=cos(t+§.若匕⑴=Xsin(t+|)

(其中A>0),求R1；

⑶已知R3=IQ,R4=Id,0</?2</?!<111,且匕⑴=sint,%⑴=cos2t.若Vo(t)的最大值为I，求满

足条件的一组电阻值a,R2.

39.如图是函数/0：)=5也(3乂+0)(3>0,0<0<；)的部分图象，已知荏•尼=2.

⑴求3；

(2)若”2)—/6)=—日,求经

40.4V3sinx•cosx+4；③8cos2%—4sin(2%+看)-2这三个条件中任

选一个，补充在下面问题中并解答.

问题：已知函数/(X)=.

(1)求函数的最小正周期及单调递减区间；

(2)在△ABC中，内角A,2,C所对的边分别为a,b,c,S为△ABC的面积.若/(x)在x=4处有最小值—a,求

△ABC面积的最大值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

专题01三角函数与三角恒等变换

一\三角函数

1.如图，P,Q是以原点为圆心的单位圆上的两个动点，若它们同时从点4(1,0)出发，沿逆时针方向作匀角速

度运动，其角速度分别为单位：弧度/秒)，M为线段PQ的中点，记经过久秒后(其中0W久W6),f(x)=

\OM\

(I)求y=/(X)的函数解析式；

(II)将/(%)图象上的各点均向右平移2个单位长度，得到y=g(久)的图象，求函数g=g(x)的单调递减区

间.

【分析】(I)依题意可知/POA=gx,ZQOA-ZMOQ=3x~ex_从而求得了(无)=|OM=cos

ZMOQ的解析式；

(II)依题意可知g(x)=cos(2<x<8),由刍:一，32析+兀，求得x的范围，可得函数y=g

(x)在［2,8］上的单调递减区间.

【详解】解：(I)依题意可知/尸。4=白，

'：\OP\=\OQ\=1,：.\OM\=|OQ・cosZMOQ=cosZMOQ,

/MOQ=.*./(x)=|OM|=cosm(0<JS6),

21212

即f(x)=cos台，(0<x<6).

(II)依题意可知g(x)=cosSG-2)=cos(为一^)(2<x<8),

12126

由2析式三x—mM2E+兀，得24k+2勺合24攵+14,

126

14/60

故函数y=g(x)在[2,8]上的单调递减区间为[2,8].

【点睛】本题主要考查直角三角形中的边角关系，余弦函数的单调性，考查转化能力与计算能力，属于基

础题.

2.设函数f(x)=4cosxsin(x-p+V3,xER.

(I)当x€[0,学时,求函数f(x)的值域；

(II)已知函数y=/(x)的图象与直线：=1有交点，求相邻两个交点间的最短距离.

【答案】(I)[-73.2](IDf

【详解】试题分析：(I)先根据两角差正弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数f(x)=

2sin(2x-豺再根据基本三角函数性质求其值域；(II)先根据方程解出交点坐标，再根据交点间距离求最小

值

试题解析：(I)解：因为/(乂)=4«)5^(，由1万一—^(：05万)+力

=isinXCOSX-27^COS,X+I/3

=Stt>-虚心。才二为

=2sin(2x-p,

因为0<X<2>

所以一产2x一产学，

所以—y<sin(2x—p<1>

即一百<f(x)<2,

其中当x=|^时，/(X)取到最大值2；当x=0时，/(X)取到最小值_石，

所以函数f(x)的值域为[一J》4.

(II)依题意，得2sin(2x—；)=1,sin(2x-p=1,

所以2x-+2kn或2x—n=如+2kir,

所以x=：+kii或x=得+kn(kEZ),

15/60

所以函数y=f(x)的图象与直线J=1的两个相邻交点间的最短距离为，

考点：两角差正弦公式、二倍角公式、配角公式，三角函数性质

3.已知tana=5且a是第三象限角，

(1)求sina的值；

(2)求sin2G+a)+sina-cos(兀-a)的值.

【答案】⑴一渔;(2)|.

55

【解析】(1)由同角三角函数的关系可得2sina=cosa,结合siMa+cos2a=1,a是第三象限角可得sina,

cosa的值；

(2)利用诱导公式将原式化简，代入sina,cosa的值可得答案.

【详解】解：(1)由tana=4，可得tana=1^=a即2sina=cosa,

(.__V5

可得｛.=；osa由a是第三象限角，可得1smec—,

ism"a+cosa=1I

(cosa=——2V—5

故sina的值为—?；

(2)sin2偿+a)+sina-cos(ir—a)=cos2a—sina•cosa,

代入sina=cosa=一2的值，

55

可得原式=:_l=l.

【点睛】本题主要考查同角三角函数关系式的应用及诱导公式，注意运算的准确性，属于基础题型.

4.如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段F8C该曲线段是函

数y=4sin(s+•(4>0,3>0),x£[-4,0]时的图象，且图象的最高点为B(-L2),赛道的中间部

分为长曰千米的直线跑道。，且C。〃斯；赛道的后一部分是以。为圆心的一段圆弧。E.

16/60

⑴求3的值和的大小；

(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形OQE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半

径。。上，另外一个顶点P在圆弧。E上，求“矩形草坪”面积的最大值，并求此时P点的位置.

【答案】(1)3=也ZDOE==(2)Smax=372-3;

【分析】(1)依题意，得A=21=3,根据周期公式T=空可得3,把B的坐标代入结合已知可得平，从而可求

4(0

ND0E的大小

(2)由(1)可知0D=0P,矩形草坪的面积S关于。的函数，有结合正弦函数的性质可求S取得最

大值

【详解】⑴由条件可得A=2,三=3,"=§二3=》二曲线段FBC的解析式为y=2singx+与)，

当x=0时，y=0C=V5,又CD=V5,NC0D=：,ND0E=-

J44

(2)由(1),可知0D=B，又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P在弧DE上，

故OP=V6，设NPOE=0,0<0<p“矩形草坪”的面积为S=V6sin9(V6cose-V6sin0)=6(sin0cos0-

sin20)=6Qsin20+|cos20—|^=3V2sin(29+：)-3

o<0<，故当2。+：=3时,o=，时,S取得最大值Smax=3/-3,

止匕时Xp=V6cos^,yp=V6sin^

故面积最大值为：Smax=3鱼-3，P点坐标为(J246+20小2&一2⑸

2'2

【点睛】本题主要考查了实际问题中，由丫=人5皿(3乂+少)的部分图象确定函数的解析式，常规步骤为：由

函数的最值确定A的值，由函数所过的特殊点确定周期T,利用周期公式求3,再把函数所给的点(一般用

最值点)的坐标代入求6从而求出函数的解析式；还考查了实际问题中的最值的求解，解题关键是要把实

17/60

际问题转化为数学问题来求解

5.在中，内角A,B,C所对的边分别为见仇c.已知b+c=2Q,3csinB=4asinC.

(I)求cosB的值;

(II)求sin(2B+看)的值.

【答案】(I)—：；

4

【分析】(I)由题意结合正弦定理得到a,b,c的比例关系，然后利用余弦定理可得cosB的值

(H)利用二倍角公式首先求得sin2B,cos2B的值，然后利用两角和的正弦公式可得sin(2B+罪的值.

【详解】(I)在△ABC中，由正弦定理」，=一一得bsinC=csinB,

sinBsmC

又由3csinB=4asinC,得3bsinC=4asinC,即3b=4a.

又因为b+c=2a,得到b=?a,c=|a.

o416

由余弦定理可得COSB=a*5=a+解产

2ac2,a-a

3

（11）由（1何得sinB=V1—cos2B=—,

4

从而sin2B=2sinBcosB=一季cos2B=cos2B-sin2B=一看

故sin（2B+=）=sin2Bcos=+cos2Bsin”一手xf—"|=3V5+7

16’

【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正

弦定理、余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.

6.已知函数/(x)=2COS2<DX-1+2-\/3sina)xcos<7)x(0<3<1),直线x=g是函数危)的图象的一条对称轴.

(1)求函数式无)的单调递增区间；

(2)已知函数产g(x)的图象是由y=/(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移等个单

位长度得到的，若g(2a+；)=，，a6(0,；),求sina的值.

【答案】⑴[-y+2kir,|+2kTr],keZ；(2)"整

【解析】(1)首先化简函数f(x)=2sin(23x+9,再根据x=5是函数的一条对称轴，代入求3,再求函数

的单调递增区间；⑵先根据函数图象变换得到g(x)=2cos1x,并代入g(2a+》.后，得cos(a+?)=|,

18/60

再利用角的变换求sina的值.

【详解】(1)f(x)=cos2a)x+V3sin2a)x=2sin(2a)x+,

当x=3时，3X字+E=?+kn,keZ,得3=工+史,kez,

336222

v0<0)<1,•,•3=匕

2

即f(x)=2sinfx+-),令一5+2kli<x+^<^+2kn,

\6/262

解得：—亨+2kirWxW；+2kit,keZ,

函数的单调递增区间是卜当+2kTt,=+2kir],k£Z；

(2)g(x)=2sin[i(x+y)+^]=2cos|x,

g(2a+=)=2cos(a+=f，得cos(a+3)=I，

5\o/5

a+sin(a+5=Jl-cos2(a+L

sina=sin[(a+：)一弓=sin(a+cos§—cos(a+sin

4V3314V3-3

=—x---------x—=------------

525210

【点睛】方法点睛:本题考查函数的图象变换，以及y=Asin@x+cp)的性质，属于中档题型,y=Asin(x+(p)

的横坐标伸长（或缩短）到原来的（倍，得到函数的解析式是y=Asin（u）x+5），若丫=Asinoox向右（或左）

平移（P（cp>0）个单位，得到函数的解析式是y=Asin［a）（x-叩）］或丫=Asin［（n（x+叩）］.

7.已知函数f(%)=2sin(23%+m)+l.

6

⑴若“久1）</（久2），出一％21min=务求f。）的对称中心;

（2）己知0<3<5,函数图象向右平移彦个单位，得到函数仪》）的图象，久是以切的一个零点，若函

数g（久）在（m,neRS.m<n）上恰好有10个零点，求n—m的最小值；

（3）已知函数九⑶=acos（2x—乡—2a+3（a>。），在第（2）问条件下，若对任意的G［。,耳，存在冷6［。为，

使得/1（X1）=9（丫2）成立，求实数a的取值范围.

【答案】⑴（一/+：，1）（keZ）或（含-y,l）（kez）；

⑵野；

19/60

(3)(。哥

【分析】(1)由f(xjWf(x)Wf(X2),|X1—X2lmin=方可求得函数f(x)的最小正周期，进而确定参数3的值,

再由整体代换即可求得对称中心；(2)由三角函数的平移变换求得g(X)的解析式，再由零点的定义确定参数

3的值，结合图象可得n-m的最小值；(3)将所给条件转化为h(x)和g(x)的值域的包含关系，即可求得参

数a的取值范围.

【详解】⑴•.•3)=25皿23乂+勺+1的最小正周期为丁=黑，

。|Zu)|

又〈fai)<f(x)<f(x2),ixi-x2imin=3.・.f(x)的最小正周期是兀，

故=加二口，解得)

T|23|u=±l,

当co=1时，f(x)=2sin(2x+匹)+1,由2X+21=kn(kGZ)=>x=——+—(kGZ),f(x)的对称中心为

\6/6122

(―-kez)；

当0)=—1时，f(x)=2sinf—2x+匹)+1,由一2x+-=kir(kGZ)x=———(kGZ),f(x)的对称中心为

\6/6122

fc-y，i)(kez)；

综上所述，f(x)的对称中心为(—有+与,1)(k6Z)或(含—浮,1)(kGZ).

(2)・・,函数f(x)图象向右平移5个单位，得到函数g(x)的图象，

g(x)=2sin(2o)x+2-昇)+1•

又・・・x=:是g(x)的一个零点，

g(p=2sin传3+1一；(n)+l=0,即sin(如+1)

.・・匹3+匹=力+21<冗或匹3+匹=山+21<71,kGZ,

366366

解得3=3+6k(k6Z)或3=5+6k(kGZ),

由0VO)<5可得0)=3

g(x)=2sin(6x—普)+1,最小正周期T=*

令g(x)=0,贝！Jsin(6x—1

20/60

即6x—1=-1+2ki兀或6x—1=_1+2k2mkez,解得x="+^x=等,k1(k2GZ；

若函数g(x)在[m,n](m,neR且m<n)上恰好有10个零点，故4T<n-m<6T

要使n-m最小，须m、n恰好为g(x)的零点，故(n-m)min=4X；+§=臂.

(3)由(2)知g(x)=2sin(6x-?j+1,对任意x[e[0,,存在x?e[0,,使得九(x[)=g3)成立，则

{y|y=h(x)}c{y|y=g(x)}'

当X2G[0,单时，6x—譬€卜普,N，sin(6x—%)e[-l,l],g(x2)e[-1,3]-

当Xie[0,苧时,2x-/Hq],cos卜x-£)em(xje[-|a+3,-a+3],

fa>0

由{y|y=h(x)}U{y[y=g(x)}可得卜第+32-1,解得ae(0,1].

(-a+3W3

故实数a的取值范围为(0寻

【点睛】本题第(3)小问为不等式的恒成立问题，解决方法如下：

一般地，已知函数y=f(x),x€[a,b],y=g(x),xe[c,d]

(1)若VX1G[a,b],Vx26[c,d],总有f(X。<g(X2)成立,故f(x)max<g(x2)min；

(2)若2X1G[a,b],3X2G[c,d],有f(xj<g(X2)成立,故f(x)max<g(x2)max；

(3)若G[a,b],3X2e[c,d],有f(xj<g(X2)成立，故f(x)min<g(x2)max；

(4)若VX1€[a,b],3X2e[c,d],有f(xj=g(%2)，则f(%)的值域是g(%)值域的子集.

8.已知函数g(%)=sin(%-*)，h(x)=cosx,从条件①/(')=g(%)•h(x)、条件②/(%)=g(x)+何久)这

两个条件中选择一个作为已知，求：

(1)/(%)的最小正周期；

⑵/⑶在区间[o,当上的最小值.

【答案】(1)选条件①TT；选条件②271

(2)选条件①—点选条件②]

【分析】选条件①：f(x)=g(x)-h(x)；

(1)利用两角和与差的正弦公式化简可得f(x)=fsin(2x-=)-p

Z64

由周期公式可得答案;

21/60

(2)根据x的范围求得sin(2x-£)的范围可得答案;

选条件②：f(x)=g(x)+h(x).

(1)利用两角和与差的正弦公式化简可得f(x)=sin(x+J,

由周期公式可得答案；

(2)根据x的范围求得sin(x+。的范围可得答案.

【详解】(1)选条件①：f(x)=g(x)-h(x)；

(1)f(x)=sin(x—cosx=gsinx—|cosx)cosx=ysinxcosx-jcos2x

V3111+cos2x

=--x-sin2x--x-------------

2222

V311

=——sin2x--cos2x--

444

所以f(x)的最小正周期是71.

选条件②:f(x)=g(x)+h(x).

f(x)=sin(x—/)+cosx=sinx-|cosx)+cosx

V31

=--sinx+-cosx

22

=sin(x+*

所以f(x)最小正周期是2n.

(2)选条件①：f(x)=g(x)-h(x)；

因为

所以-"2x—督，

当2x_[=_g即x=0时,f(x)有最小值-3

ooZ

选条件②：f(x)=g(x)+h(x).

因为0<x<p

22/60

所以衿+罟，

所以3in(x+力L

当x+合也即x=0时，f(x)有最小值也

9.在AABC中，内角力，B,C所对的边分别为a,b,c,且cosB=q—2.

c2c

⑴求c；

⑵若c=2a,求sinB.

【答案】(%

【分析】(1)首先利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；

(2)利用正弦定理将边化角即可得到sinA,再根据同角三角函数的基本关系求出cosA,最后根据sinB=

sin(A+C)利用两角和的正弦公式计算可得；

【详解】(1)解：因为COSB=2—B,

c2c

即2ccosB=2a—b,由正弦定理可得2sinCcosB=2sinA—sinB,

又sinA=sin[ir—(B+C)]=sin(B+C),

即2sinCcosB=2sin(B+C)—sinB,

所以2sinCcosB=2sinBcosC+2cosBsinC-sinB,

即2sinBcosC=sinB,因为sinB>0,所以cosC=5又CE(0,ir),所以C=；

(2)解：因为c=2a,所以sinA=」sinC=工x3=

2224

因为c>a,所以cosA=V1—sin2A=—,

4

所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=—x+—X—=厚

'/42428

10.已知函数/(x)=Sin(3%+0)(3>0,|如<；),久建是函数/'(x)的对称轴，且/■(%)在区间&寻)上单

调.

(1)从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得f(x)的解析式存在，并求出其解析式；

条件①：函数f(x)的图象经过点“0,3；

23/60

条件②：&0)是/⑺的对称中心；

条件③：,0)是f(x)的对称中心.

(2)根据(1)中确定的f(X),求函数y=f(%)(久e的值域.

【答案】⑴f(x)=sin(2x+£)

O

⑵卜刊

【分析】(1)根据题意得到0<3<2和5*3+隼=1^+5(1<€2),

再根据选择的条件得到第三个方程，分析方程组即可求解；

(2)先求出2x+1所在的范围，再根据图像求出函数值域即可.

【详解】⑴因为f(x)在区间圆空)上单调,所以建学T=3

因为T=奇，且3>0,解得0<3<2；又因为X=]是函数f(x)的对称轴，

所以—X3+0=kuH—(kGZ)；

62

若选条件①：因为函数f(x)的图象经过点A(0,£),所以simp=%

因为即所以<P=，所以三X①+三=1<兀+3即3=6k+2(kEZ),

ZOODoZ

当k=0时，3=2,满足题意，故f(x)=sin(2x+J).

o

若选条件②：因为管,0)是f(x)的对称中心，所以3+隼=mn(meZ),

-x(jL)+cp=kn+-

0<a)<2\此方程无解，故条件②无法解出满足题意得函数解析式.

{；xco+<p=mn

若条件③：因为僖,0)是f(x)的对称中心，所以,X3+(P=mn(mEZ),

俏X3+(p=kn+]

所以[O<oo<2，解得1cp=:所以f(x)=sin(2x+)

13=26

/(石5n'xo)+cp=mn

(2)由(1)知，f(x)=sin(2x+)

所以y=f(x)(xe[0(D等价于f(x)=sin(2x+=),xe[o,=],

24/60

所以2x+mE,所以sin(2x+B)E1]，

6LooJoL2J

即函数丫=£仪)&£„)的值域为：卜31|.

11.已知向量五=(sin%,3),3=(cos%,—1).

(1)当五〃B时，求cos?%-sin2%的值；

(2)设函数/(%)=2(五+3)不，已知在中，内角A、B、C的对边分别为Q,b,c,若a=W,b=2,sinB=

y,求/。)+4cos(24+匀(xe[o,])的取值范围.

【答案】⑴|

⑵偿-1，夜-4

【分析】⑴蛇〃R可得tanx=V，化简cos2x_in2x可得cNx-sin2x=^，再代值计算即可,

(2)由题意利用向量的数量积运算和三角函数恒等变换公式化简可得f(x)=&sin(2x+》+|,再利用正

弦定理可求得A=%从而可得f(x)+4cos(2A+J)=V2sin(2x+^)-1,由xe[o,]，得2x+te日，

詈],再利用正弦函数的性质可求得其范围

【详解】(1)因为W=(sinx，B，6=(cosx,—1),a//b.

3O

所以处所以tanx=一“

COSX4’

erpi2.n2c•COS"X-ZSinXCOSXl-2tanx

所以cos"x—sinzx=cosx—2sinxcosx=———-------——

sinzx+coszxl+tan2x

l+2x3j

8

1+05

(2)因为W=(sinx,|),b=(cosx,-1),

所以五+b=(sinx+cosx,—}),

所以f(x)=2(a+b)-b=2[cosx(sinx+cosx)+

1

=zsinxcosx+2cos7x+-

3

=sin2x+cos2x+-

25/60

=V2sin^2x+：）+1’

在^ABC中，a=V3,b=2,sinB=

所以由正弦定理得号=白，总=备，得sinA=S

sinAsinBsina-y2

因为a<b,所以角A为锐角，所以A=?,

所以f(x)+4cos(2A+9

3/ITTlx

+=+4cos（2x—+—）

2V46/

=V2sin（2x+=）-i,

因为xe[o,所以2x+：e[：,詈I，

所以sin詈<sin（2x+：）<sin],

rrnA1_,.11TI./2n,u\TTn,TTITV6-V2

K为sm——=sin——F-）=si.n—2cos-+cos—2si.n-=-----，

12\34734344

所以胃Wsin（2x+：）<1,

所以与1<应sin（2x+^）<y/2,

所以军-|<V2sin（2x+-I<V2-I，

所以期）+485国+匀仪€[0,1）的取值范围为他—1,夜—之

12.已知"<a<_,|<z+--=

4兀iantana3

（1）求tana的值;

小、qsina+cosa

（2）求引斯的值;

⑶求29n2a--3s2a.的值

dill5111LUrWnz

【答案】⑴一!

⑵w

（3）-y

26/60

1-1n

【分析】⑴根据tana+品:一三可得3tan2a+l°tana+3=0,解方程并结合角的范围求得tana；

(2)利用弦化切，将陋事化为詈=，可得答案;

sina-cosatana-1

(3)利用1=sin2a+cos?。,将24112a-sinacosa-3cos2a化为编：°月孑一°；3必,继而化为^

15111sin2a+cos2a