专题14 二次函数综合题（解答题24题中考压轴题）（原卷版）

专题14二次函数综合题（解答题24题，中考压轴题）（原卷版）题目精选自：2023、2024年上海名校及一二模真题，包含二次函数综合题20道。一、解答题1．（2024上·上海长宁·九年级统考期末）已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，直线经过点与点．(1)求抛物线的表达式；(2)点在线段下方的抛物线上，过点作的平行线交线段于点，交轴于点．①如果两点关于抛物线的对称轴对称，联结，当时，求的正切值；②如果，求点的坐标．2．（2023·上海宝山·统考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点、，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．(1)求二次函数的解析式和顶点D的坐标；(2)连接，试判断与是否相似，并说明理由；(3)将抛物线平移，使新抛物线的顶点E落在线段上，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点F，连接，如果四边形的面积为3，求新抛物线的解析式．3．（2024·上海普陀·统考一模）综合实践九年级第一学期教材第2页结合教材图形给出新定义对于下图中的三个四边形，通常可以说，缩小四边形，得到四边形；放大四边形，得到四边形．

图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．图中，四边形和四边形都与四边形形状相同．我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似形．如图，对于两个多边形，如果它们的对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例，那么这两个多边形就是位似多边形，这个点就是位似中心．(1)填空：在上图中位似中心是点________；________多边形是特殊的________多边形．（填“位似”或“相似”）(2)在平面直角坐标系中（如下图），二次函数的图像与x轴交于点A，点B是此函数图像上一点（点A、B均不与点O重合），已知点B的横坐标与纵坐标相等，以点O为位似中心，相似比为，将缩小，得到它的位似．

①画出，并求经过O、、三点的抛物线的表达式；②直线与二次函数的图像交于点M，与①中的抛物线交于点N，请判断和是否为位似三角形，并根据新定义说明理由．4．（2024上·上海徐汇·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，第二象限的点在抛物线上，点到两坐标轴的距离都是．(1)求该抛物线的表达式；(2)将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位后，所得新抛物线与轴交于点和点，已知，且，与轴负半轴交于点．①求的值；②设直线与上述新抛物线的对称轴的交点为，点是直线上位于点下方的一点，分别连接、，如果，求点的坐标．5．（2023上·上海嘉定·九年级统考期末）定义：对于抛物线（、、是常数，），若，则称该抛物线是黄金抛物线，已知平面直角坐标系，抛物线是黄金抛物线，与轴交于点，顶点为．(1)求此黄金抛物线的表达式及点坐标；(2)点在这个黄金抛物线上．①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求的正弦值．②在射线上是否存在点，使以点、、所组成的三角形与相似，且相似比不为1．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2024上·上海宝山·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，将抛物线平移，使平移后的抛物线仍经过原点O，新抛物线的顶点为M（点M在第四象限），对称轴与抛物线交于点N，且．(1)求平移后抛物线的表达式；(2)如果点N平移后的对应点是点P，判断以点O、M、N、P为顶点的四边形的形状，并说明理由；(3)抛物线上的点A平移后的对应点是点B，，垂足为点C，如果是等腰三角形，求点A的坐标．7．（2024上·上海静安·九年级统考期末）在平面直角坐标系中（如图），已知点、、、在同一个二次函数的图像上．

(1)请从中选择适当的点坐标，求二次函数解析式；(2)如果射线平分，交轴于点，①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段的点处，求此时抛物线顶点的坐标；②如果点在射线上，当与相似时，请求点的坐标．8．（2024上·上海浦东新·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、点，顶点为点C，抛物线M的对称轴交x轴于点D．(1)求抛物线M的表达式和点C的坐标；(2)点P在x轴上，当与相似时，求点P坐标；(3)将抛物线M向下平移个单位，得到抛物线N，抛物线N的顶点为点E，再把点C绕点E顺时针旋转得到点F．当点F在抛物线N上时，求t的值．9．（2024上·上海崇明·九年级统考期末）已知在直角坐标平面中，抛物线经过点三点．

备用图(1)求该抛物线的表达式；(2)点D是点C关于抛物线对称轴对称的点，连接，将抛物线向下平移个单位后，点D落在点E处，过B、E两点的直线与线段交于点F．①如果，求的值；②如果与相似，求m的值．10．（2024上·上海青浦·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点和点，与轴交于点．

(1)求、的值和点的坐标；(2)点为抛物线上一点（不与点重合），当时，求点的坐标；(3)在（）的条件下，平移该抛物线，使其顶点在射线上，设平移后的抛物线的顶点为点，当与相似时，求平移后的抛物线的表达式．11．（2024上·上海松江·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，抛物线的图像经过原点、点，此抛物线的对称轴与x轴交于点C，顶点为B．(1)求抛物线的对称轴；(2)如果该抛物线与x轴负半轴的交点为D，且的正切值为2，求a的值；(3)将这条抛物线平移，平移后，原抛物线上的点A、B分别对应新抛物线上的点E、P．联结，如果点P在y轴上，轴，且，求新抛物线的表达式．12．（2024上·上海奉贤·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关于直线的镜像抛物线．(1)如图，已知抛物线顶点为A．①求该抛物线关于y轴的镜像抛物线的表达式；②已知该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为B，如果（是锐角），求m的值．(2)已知抛物线的顶点为C，它的一条镜像抛物线的顶点为D，这两条抛物线的交点为．如果是直角三角形，求该抛物线的表达式．13．（2023·上海徐汇·统考二模）如图，已知抛物线经过点，与x轴交于点B、．(1)求抛物线的顶点M的坐标；(2)点E在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将沿直线BE翻折，如果点C的对应点F恰好落在抛物线的对称轴上，求点E的坐标；(3)点P在抛物线的对称轴上，点Q是抛物线上位于第四象限内的点，当为等边三角形时，求直线的表达式．14．（2023·上海奉贤·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C．

(1)求该抛物线的表达式和对称轴；(2)连接，D为x轴上方抛物线上一点（与点C不重合），如果的面积与的面积相等，求点D的坐标；(3)设点，点E在抛物线的对称轴上（点E在顶点上方），当，且时，求点E的坐标．15．（2023·上海嘉定·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与一次函数（为常数）交于两点，其中点坐标为．（1）求点坐标；（2）点为直线上方抛物线上一点连接，当时，求点的坐标；（3）将抛物线（为常数）沿射线平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为抛物线的顶点，点为轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使得以点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．16．（2023·上海杨浦·统考一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，且．(1)求抛物线的表达式；(2)点是线段上一点，如果，求点的坐标；(3)在第（2）小题的条件下，将该抛物线向左平移，点平移至点处，过点作直线，垂足为点，如果，求平移后抛物线的表达式．17．（2023·上海虹口·统考一模）如图，在平面直角坐标系中．已知抛物线经过点，与y轴交于点C，连接交该抛物线的对称轴于点．(1)求m的值和点E的坐标；(2)点M是抛物线的对称