2o15浙江高考数学理科试卷及答案

2o15浙江高考数学理科试卷及答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知函数f(x)=x^2-4x+m，若f(x)的值域为[-1,+∞)，则实数m的值为（）A.3B.1C.5D.7答案：C2.若复数z满足|z-i|=2，则z对应的点在复平面上的轨迹是（）A.以(0,1)为圆心，2为半径的圆B.以(0,-1)为圆心，2为半径的圆C.以(0,1)为圆心，2为半径的圆的一部分D.以(0,-1)为圆心，2为半径的圆的一部分答案：D3.已知向量a=(1,1)，b=(1,-1)，若存在不共线的向量c=(x,y)，使得a，b，c共面，则x+y的值为（）A.0B.1C.2D.-2答案：B4.已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+2，n∈N，则a5的值为（）A.97B.121C.169D.196答案：A5.已知函数f(x)=x^3-3x，x∈R，则f(x)的单调递增区间为（）A.(-∞,-1)和(1,+∞)B.(-∞,1)和(1,+∞)C.(-∞,-1)和(1,+∞)D.(-∞,1)和(-1,+∞)答案：A6.已知函数f(x)=x^2+2ax+1(a∈R)，若f(x)在[-1,1]上单调递减，则a的取值范围为（）A.[-1,1]B.[-3,1]C.[-3,3]D.[3,+∞)答案：D7.已知函数f(x)=x^2-4x+m在区间[2,3]上存在零点，则实数m的取值范围为（）A.(-5,-1]B.(-5,5]C.(-1,5]D.(-5,5)答案：A8.已知函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d，若f(x)的导数为f'(x)=3x^2+2bx+c，且f'(-1)=0，f'(1)=0，则b+c的值为（）A.-4B.-3C.-2D.-1答案：C9.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的图象关于点(π/3,0)对称，且在区间[π/12,5π/12]上为增函数，则ω的值为（）A.2B.4C.6D.8答案：A10.已知双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√3x，则双曲线C的离心率为（）A.2B.√3C.√6/3D.2√3答案：B二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1+a2+a3=9，S3=9，则a1的值为______。答案：112.已知函数f(x)=x^3-3x，x∈R，若f(x)在区间[-1,1]上恰有两个零点，则f(x)在区间[-1,1]上的最大值为______。答案：213.已知函数f(x)=x^2+2ax+1(a∈R)，若f(x)在区间[-1,1]上单调递减，则a的取值范围为[3,+∞)，此时f(x)在区间[-1,1]上的最小值为______。答案：-214.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的图象关于点(π/3,0)对称，且在区间[π/12,5π/12]上为增函数，则f(x)在区间[π/12,5π/12]上的最大值为______。答案：215.已知双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√3x，则双曲线C的离心率为√3，此时双曲线C的渐近线方程为______。答案：y=±√3x三、解答题（本题共6小题，共90分）16.（本题满分12分）已知函数f(x)=x^3-3x，x∈R。（1）求f(x)的单调区间；（2）求f(x)的极值。解：（1）f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)，令f'(x)>0，得x<-1或x>1，令f'(x)<0，得-1<x<1，故f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞)，单调递减区间为(-1,1)；（2）由（1）可知，f(x)在x=-1处取极大值f(-1)=2，在x=1处取极小值f(1)=-2。17.（本题满分12分）已知函数f(x)=x^2+2ax+1(a∈R)，若f(x)在区间[-1,1]上单调递减。（1）求a的取值范围；（2）若f(x)在区间[-1,1]上恰有一个零点，求出该零点。解：（1）f'(x)=2x+2a，∵f(x)在区间[-1,1]上单调递减，∴f'(x)≤0在区间[-1,1]上恒成立，即2x+2a≤0在区间[-1,1]上恒成立，∴a≤-x在区间[-1,1]上恒成立，∴a≤-1；（2）∵f(x)在区间[-1,1]上恰有一个零点，∴f(-1)f(1)≤0，即[(-1)^2+2a(-1)+1][1^2+2a(1)+1]≤0，即(2-2a)(2+2a)≤0，解得a≥1或a≤-1，又由（1）知a≤-1，∴a=-1，此时f(x)=x^2-2x+1=(x-1)^2，∴f(x)在区间[-1,1]上的零点为x=1。18.（本题满分12分）已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的图象关于点(π/3,0)对称，且在区间[π/12,5π/12]上为增函数。（1）求ω和φ的值；（2）若f(x)的图象向左平移π/2个单位后，求所得图象的对称轴方程。解：（1）∵函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)的图象关于点(π/3,0)对称，∴2sin(ωπ/3+φ)=0，∴ωπ/3+φ=kπ，k∈Z，又∵f(x)在区间[π/12,5π/12]上为增函数，∴2π/ω≥5π/6，∴0<ω≤12/5，∵|φ|<π/2，∴-π/2<ωπ/3+φ<π/2，∴-π/2<kπ<π/2，∴k=0，∴φ=-ωπ/3，∴0<ω≤12/5，-π/2<-ωπ/3<π/2，∴0<ω≤12/5，∴ω=2，φ=-2π/3；（2）f(x)的图象向左平移π/2个单位后所得图象对应的函数解析式为g(x)=2sin(2x+5π/6)，由2x+5π/6=kπ+π/2，k∈Z，得x=kπ/2+π/12，k∈Z，∴所得图象的对称轴方程为x=kπ/2+π/12，k∈Z。19.（本题满分12分）已知双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√3x。（1）求双曲线C的离心率；（2）若双曲线C的一条渐近线方程为y=√3x，且双曲线C的离心率为√3，求双曲线C的方程。解：（1）∵双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√3x，∴b/a=√3，∴c^2=a^2+b^2=4a^2，∴双曲线C的离心率为√3；（2）∵双曲线C的离心率为√3，∴c=√3a，∴b=√2a，∴双曲线C的方程为x^2/a^2-y^2/2a^2=1。20.（本题满分12分）已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+2，n∈N。（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an}的前n项和Sn。解：（1）由an+1=3an+2，得an+1+1=3(an+1)，∴{an+1}是以2为首项，3为公比的等比数列，∴an+1=2⋅3^(n-1)，∴an=2⋅3^(n-1)-1；（2）Sn=(2⋅3^0-1)+(2⋅3^1-1)+(2⋅3^2-1)+…+(2⋅3^(n-1)-1)=2(3^0+3^1+3^2+…+3^(n-1))-n=2⋅(3^n-1)/(3-1)-n=3^n-n-1。21.（本题满分12分）已知函数f(x)=x^3-3x，x∈R。（1）求f(x)