正弦定理课件-高一下学期数学人教B版

9.1.1正弦定理1.了解正弦定理的推导过程.2.掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.（重点、难点）4.在直角三角形ABC中,C=900,则

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复习回顾1.角的关系：2.边的关系：3.边角关系：ACBCBA你还记得三角形的哪些边、角关系？两边之和大于第三边，两边之差小于第三边大角对大边，大边对大角；小角对小边，小边对小角；等边对等角5.三角形的分类：6.三角形外接圆：与三角形各顶点都相交的圆。三角形外接圆圆心是

三边垂直平分线交点复习回顾7.三角形全等条件（1）边角边：两边及其夹角对应相百等,这两个三角形全等.简写成（S.A.S）（2）角边角：两角及其度夹边对应相等,这两个三角形全等.简写成（A.S.A）（3）角角边：两角及其一角所对的边对应相等,这两个三角形全等.简写成：（A.A.S）（4）边边边：三条边分别对应相等,这两个三角形答全等.简写成：（S.S.S）（5）直角边斜边：斜边和其中的一条直角边分别对应相等,这两个三角形全等.简写成：（H.L）复习回顾情境与问题

在现代生活中，得益于科技的发展.距离的测量能借助红外测距仪、激光测距仪等工具直接完成.不过，在这些工具没有出现以前.你知道人们是怎样间接获得两点间的距离的吗？为了方便，将△ABC3个内角A，B,C所对的边分别记为a，b，c.如图所示.若想知道河对岸的一点A与岸边—点H之间的距离，而且已经测量出了BC的长，也想办法得到了∠ABC与∠ACB的大小，你能借助这3个量，求出AB的长吗？b

c在这样的约定下，情境中的问题可以转化为：已知a，B，C，如何求c.(1)如图所示，已知△ABC中,“a=5,b=3,C=,你能求出这个三角形的面积吗？(2)一般地，在△ABC中,如何根据a,b与C的值,求出这个三角形的面积？解:(1)如图所示,在中△ABC中,过点A作BC边上的高AD,

在Rt△ADC中,由正弦的定义可知AD=bsinC,ABCb

D想一想:

因此所求三角形的面积为(2)一般地，在△ABC中,如何根据a,b与C的值,求出这个三角形的面积？解:当C为锐角时，在Rt△ADC中,由正弦的定义可知AD=bsinC,则

当C为钝角时,如图,仍设△ABC的BC边上的为AD，则当C为直角时，sinC=sin900=1，仍有ABCb

DABCabD1.三角形面积公式在△ABC中,用上述方法，可以推导出以下公式：①已知b，c与A的值,则②已知a，c与B的值,则一般地，记△ABC的面积为S，则知识归纳2.正弦定理由此三角形面积公式可得这就是正弦定理：在三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等。可知如图作△ABC外接圆，R为△ABC外接圆半径CD为外接圆O的直径，连接BD，则∠A=∠DABCabcOD用三角形外接圆法推导正弦定理（R为△ABC外接圆半径）从而证得直径所对的圆周角是直角，即∠CBD为直角正弦定理及其变形在∆ABC中，角A，B，C，所对应的边分别为a，b，c，三角形外接圆半径为R，正弦定理：变形：CAaBbc左右分别相加做比值适用于任何三角形例1已知△ABC中，B=75°,C=60°,a=10,求c.解：由已知可得A=180°BC=180°75°60°=45°.由正向定理可知所以注意:在一个三角形中，已知两个角与一条边，就可求这个三角形的另外一个角，然后由正弦定理可求出该三角形其他的两条边.这与初中所学的三角形全等的判定定理AAS（或ASA）一致.把三角形3个角与3条边都称为三角形的元素。已知三角形的若干元素求其他元素称为解三角形。题型1：已知两角和任一边，求其他两边和其余一角．例2：解：注意：根据以上解答可知.右图中的(1)(2)都满足例2的条件.事实上，这与我们初屮所学的SSA不能作为:角形全等的判定定理一致.题型2：已知两边和其中一边的对角，求另一边和其余两角.BACCBA(1)(2)例3：解：题型3：已知两边和其中一边的对角，求另一边和其余两角.例4：解：题型4：已知两边和其中一边的对角，求另一边和其余两角.

例2、例3、例4都是两边及一边的对角，此时三角形形状不确定，所以解的个数不确定.题中最终有几个解是由已知条件所确定的，明确所求角的范围是解题的关键.方法归纳探究三角形解的个数的确定因素1.画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。①若无交点，则无解；②若有一个交点，则有一个解；③若有两个交点，则有两个解；④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。2.公式法：运用正弦定理进行求解。①a＝bsinA，△＝0，则一个解；②a＞bsinA，△＞0，则两个解；③a＜bsinA，△＜0，则无解。A为锐角图形关系解的个数0121A为钝角或直角图形关系解的个数0011练一练：1.下列关于△ABC的说法正确的是（）A.若a＝7，b＝14，A＝30°，则B有两解

B.若a＝30，b＝25，A＝150°，则B只有一解C.若a＝6，b＝9，A＝45°，则B有两解

D.若b＝9，c＝10，B＝60°，则C无解B

解析：例5：证明：代入角化边解：由正弦定理可知因此因此，∆ABC为等腰三角形或直角三角形。边化角代入练一练：2.1．利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2．利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．

注意：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．知识归纳利用正弦定理判断三角形形状的两种方法：例6：如图所示，在∆ABC中，已知的角分线AD与边BC相交于点D，求证：证明：如图，设则由题意可知在∆ABD和∆ADC中，分别应用正弦定理，可得两式相除即可得内角平分线定