2023-2024学年河南省洛阳市高二下学期4月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1河南省洛阳市2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题注意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写答题卡上.2.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知某次降雨过程中，洛阳市区降雨量（单位:与时间（单位:的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬时变化率）为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，则，则，所以在时的瞬时降雨强度为.故选：A.2.用0，1，2，3，4这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有（）A.48个 B.24个 C.18个 D.12个【答案】C【解析】根据题意，三位数的个位数字必须为1或3，有2种情况，百位数字不能为0，有3种情况，十位数字在剩下的3个数字任选1个，有3种情况，则共有种情况，即有18个符合题意的三位奇数．故选：C．3.函数的大致图象是（）A. B.C D.【答案】B【解析】函数的定义域为，当时，，当时，，故选项C错误，当时，，当时，，故选项A错误，且，，因，所以，故选项D错误.只有B中图象符合题意，故选：B.4.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为,所以.故选：D.5.已知函数，则（）A.10 B. C.12 D.14.【答案】B【解析】由题意可知，，则，解得：，所以，则.故选：B6.洛阳市牡丹文化节期间，5名志愿者准备到3个博物馆参加志愿服务，若每个博物馆至少接受1名志愿者，则不同的分配方案有（）A.90种 B.150种 C.240种 D.300种【答案】B【解析】将5名志愿者分为1，2，2，则有种分法，将5名志愿者分为1，1，3，则有种分法，则不同的分配方案有种.故选：B.7.已知奇函数及其导函数的定义域均为，若，则（）A. B.0 C. D.1【答案】C【解析】因为函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，所以，两边同时求导得：，即，又因为，两边同时求导得：，即，，即，所以，两式相减得：，所以为周期函数，4为最小正周期，在中，令，得,解得，所以．故选：C．8.已知，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】设当时，，则函数在上单调递增，当时，，则函数在上单调递减，则则，则则则则.故选：A.二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对于的展开式，下列说法正确的是（）A.展开式共有6项 B.展开式中的常数项是20C.展开式中各项系数之和为0 D.展开式中的二项式系数之和为64【答案】CD【解析】的二项展开式有7项，A错；的二项展开式的通项为令得，所以常数项为，B错；令得，所以展开式各项系数之和为0，C对；展开式的二项式系数之和为，D对.故选：CD.10.已知函数，则下列结论正确是（）A.是函数的极大值点B.的单调增区间是C.当时，直线与函数的图象有3个交点D.若函数在区间上，对为一个三角形的三边长，则称函数为“三角形函数”.已知函数在区间[0,1]上是“三角形函数”，则实数的取值范围为【答案】ABD【解析】因为，，所以，令，则，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以函数在处取极大值，故A正确；函数的单调递增区间为，，故B正确；当时，作出函数的图象，如图所示：由此可得：，，此进与函数只有两个交点，故C错误；因为函数在,上单调递增，所以，，又因为函数在区间,上是“三角形函数”，所以，且，解得，故D正确．故选：ABD．11.5名同学站成一横排照毕业照，下列说法正确的是（）A.甲不排在最中间，则不同的排法有72种B.甲乙不相邻，则不同的排法有72种C.甲乙必须相邻，且甲在乙的右边，则不同的排法有72种D.甲乙丙三人中有且仅有两人相邻，则不同的排法有72种【答案】BD【解析】对于A，甲不排在最中间，则不同的排法有中，故A错误；对于B，甲乙不相邻，则不同的排法有种，故B正确；对于C，甲乙必须相邻，且甲在乙的右边，则不同的排法有种，故C错误；对于D，甲乙丙三人中有且仅有两人相邻，则不同的排法有种，故D正确；故选：BD12.已知，则使恒成立的值可以是（）A. B.2 C.4 D.5【答案】ABC【解析】设，则，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，故，即，设，则当时在上单调递减，当时，在上单调递增，故当，故因为，所以，但显然等号无法同时取得，所以，即，又恒成立，所以．故选：ABC．三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在的展开式中，的系数为______.【答案】112【解析】的展开式中，通项公式，令，解得．含的项的系数是．故答案为：112．14.曲线在点处的切线方程是________.【答案】【解析】由，得．，又，曲线在点,处的切线方程是．故答案为：．15.已知正四棱锥，从底面四个顶点A，B，C，D和四条侧棱中点共8个点中任选4个作为三棱锥的顶点，可得三棱锥________个.（用数字作答）【答案】58【解析】如图所示：在正四棱锥中，分别是侧棱的中点，于是有，而是正方形，所以有，因此有，因为一对平行线确定唯一的一个平面，当时，此时一共确定平面的个数为，当时，此时一共确定平面的个数为，当时，可以确定2个平面，其中平面均被计算了两次，所以共四点共面的情况共有个，一共8个点，任取四个点，一共有种情形，所以可得三棱锥个，故答案为：16.已知函数，直线，若满足点在直线上方的正整数恰有一个，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】函数的定义域为全体正实数，，设，所以函数在时，单调递减，而，当时，单调递减，当时，单调递增，显然，当时，，当时，，由，因此该直线必过定点，函数和直线的图象如下图所示：满足点在直线上方的正整数恰有一个，则有，故答案为：四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）计算:;（2）.解:（1），18.已知斜率为1的直线与曲线相切.（1）求直线的方程;（2）若直线分别交曲线和于M，N两点，求的面积的最大值.（其中0为坐标原点）解：（1）设切点为，因为，所以切线的斜率，解得，此时，即切点为，所以切线的方程为，即（2）因为分别交曲线和于点M，N，所以.因为，则，所以.此时的面积，，令，得，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减所以当时，有最大值且.19.已知的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等.（1）求展开式的通项公式和中间一项;（2）设，求.解：（1）因为，所以，解得所以的展开式的通项，令，展开式的中间一项为.（2）因为，所以所以的展开式的通项，令，令则.20.已知函数.（1）当时，求的单调区间;（2）讨论函数在区间内的零点的个数.解：（1）当时，，令，得或；令，得或;令，得或;则函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）由，得设函数，讨论函数在区间内的零点个数等价于研究函数与直线在区间内的交点的个数，由知，当时，在上单调递减;当时，在上单调递增.当时，在区间内取最小值.又，且当时，，综上，当时，函数与直线在区间内无交点，函数在区间内无零点;当或时，函数与直线在区间内有一个交点，函数在区间内有一个零点，当时，函数函数与直线在区间内有2个交点.21.已知.（1）当时，求函数的最值;（2）若，求实数的取值范围.解：（1）由，得.令，解得.当时，在上单调递减，当时，在上单调递增.当时，有极小值，即最小值.又综上，当时，有最大值，最大值为0，当时，有最小值，最小值为.（2）当时，.即当时，.令函数.则当时，.故.即下证时，恒成立.设，则，①当时，设，，由知，即在上单调递增，且，故在上,故在上单调递减.即.②当时，由知.即在上单调递增，即.此时由得.综上，实数的取值范围是.22.给定函数.（1）判断函数的单调性，并求出函数的极值;（2）证明:当时，.解：（1）函数的定义域为..令，解得.当变化时，的变化情况如下表负0正单调递减极小值单调递增在区间上单调递减，在区间上单调递增，当时，有极小值.（2）要证明当时，，即证明当时，.令函数.则.当时，.设函数.则，故在上单调递增.又所以存在唯一的使得.且.当时，单调递减，当时，单调递增，所以设函数则即在单调递增.所以原不等式得证.河南省洛阳市2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题注意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写答题卡上.2.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知某次降雨过程中，洛阳市区降雨量（单位:与时间（单位:的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬时变化率）为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，则，则，所以在时的瞬时降雨强度为.故选：A.2.用0，1，2，3，4这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中奇数共有（）A.48个 B.24个 C.18个 D.12个【答案】C【解析】根据题意，三位数的个位数字必须为1或3，有2种情况，百位数字不能为0，有3种情况，十位数字在剩下的3个数字任选1个，有3种情况，则共有种情况，即有18个符合题意的三位奇数．故选：C．3.函数的大致图象是（）A. B.C D.【答案】B【解析】函数的定义域为，当时，，当时，，故选项C错误，当时，，当时，，故选项A错误，且，，因，所以，故选项D错误.只有B中图象符合题意，故选：B.4.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为,所以.故选：D.5.已知函数，则（）A.10 B. C.12 D.14.【答案】B【解析】由题意可知，，则，解得：，所以，则.故选：B6.洛阳市牡丹文化节期间，5名志愿者准备到3个博物馆参加志愿服务，若每个博物馆至少接受1名志愿者，则不同的分配方案有（）A.90种 B.150种 C.240种 D.300种【答案】B【解析】将5名志愿者分为1，2，2，则有种分法，将5名志愿者分为1，1，3，则有种分法，则不同的分配方案有种.故选：B.7.已知奇函数及其导函数的定义域均为，若，则（）A. B.0 C. D.1【答案】C【解析】因为函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，所以，两边同时求导得：，即，又因为，两边同时求导得：，即，，即，所以，两式相减得：，所以为周期函数，4为最小正周期，在中，令，得,解得，所以．故选：C．8.已知，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】设当时，，则函数在上单调递增，当时，，则函数在上单调递减，则则，则则则则.故选：A.二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对于的展开式，下列说法正确的是（）A.展开式共有6项 B.展开式中的常数项是20C.展开式中各项系数之和为0 D.展开式中的二项式系数之和为64【答案】CD【解析】的二项展开式有7项，A错；的二项展开式的通项为令得，所以常数项为，B错；令得，所以展开式各项系数之和为0，C对；展开式的二项式系数之和为，D对.故选：CD.10.已知函数，则下列结论正确是（）A.是函数的极大值点B.的单调增区间是C.当时，直线与函数的图象有3个交点D.若函数在区间上，对为一个三角形的三边长，则称函数为“三角形函数”.已知函数在区间[0,1]上是“三角形函数”，则实数的取值范围为【答案】ABD【解析】因为，，所以，令，则，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以函数在处取极大值，故A正确；函数的单调递增区间为，，故B正确；当时，作出函数的图象，如图所示：由此可得：，，此进与函数只有两个交点，故C错误；因为函数在,上单调递增，所以，，又因为函数在区间,上是“三角形函数”，所以，且，解得，故D正确．故选：ABD．11.5名同学站成一横排照毕业照，下列说法正确的是（）A.甲不排在最中间，则不同的排法有72种B.甲乙不相邻，则不同的排法有72种C.甲乙必须相邻，且甲在乙的右边，则不同的排法有72种D.甲乙丙三人中有且仅有两人相邻，则不同的排法有72种【答案】BD【解析】对于A，甲不排在最中间，则不同的排法有中，故A错误；对于B，甲乙不相邻，则不同的排法有种，故B正确；对于C，甲乙必须相邻，且甲在乙的右边，则不同的排法有种，故C错误；对于D，甲乙丙三人中有且仅有两人相邻，则不同的排法有种，故D正确；故选：BD12.已知，则使恒成立的值可以是（）A. B.2 C.4 D.5【答案】ABC【解析】设，则，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，故，即，设，则当时在上单调递减，当时，在上单调递增，故当，故因为，所以，但显然等号无法同时取得，所以，即，又恒成立，所以．故选：ABC．三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在的展开式中，的系数为______.【答案】112【解析】的展开式中，通项公式，令，解得．含的项的系数是．故答案为：112．14.曲线在点处的切线方程是________.【答案】【解析】由，得．，又，曲线在点,处的切线方程是．故答案为：．15.已知正四棱锥，从底面四个顶点A，B，C，D和四条侧棱中点共8个点中任选4个作为三棱锥的顶点，可得三棱锥________个.（用数字作答）【答案】58【解析】如图所示：在正四棱锥中，分别是侧棱的中点，于是有，而是正方形，所以有，因此有，因为一对平行线确定唯一的一个平面，当时，此时一共确定平面的个数为，当时，此时一共确定平面的个数为，当时，可以确定2个平面，其中平面均被计算了两次，所以共四点共面的情况共有个，一共8个点，任取四个点，一共有种情形，所以可得三棱锥个，故答案为：16.已知函数，直线，若满足点在直线上方的正整数恰有一个，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】函数的定义域为全体正实数，，设，所以函数在时，单调递减，而，当时，单调递减，当时，单调递增，显然，当时，，当时，，由，因此该直线必过定点，函数和直线的图象如下图所示：满足点在直线上方的正整数恰有一个，则有，故答案为：四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）计算:;（2）.解:（1），18.已知斜率为1的直线与曲线相切.（1）求直线的方程;（2）若直线分别交曲线和于M，N两点，求的面积的最大值.（其中0为坐标原点）解：（1）设切点为，因为，所以切线的斜率，解得，此时，即切点为，所以切线的方程为，即（2）因为分别交曲线和于点M，N，所以.因为，则，所以.此时的面积，，令，得，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减所以当时，有最大值且.19.已知的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等.（1）求展开式的通项公式和中间一项;（2）设，求.解：（1）因为，所以，解得所以的展开式的通项