2025年九年级中考数学三轮冲刺训练：一次函数的动态几何问题（含解析）

2025年九年级中考数学三轮冲刺训练一次函数的动态几何问题

一、选择题

1.如图，O。是以原点为圆心，鱼为半径的圆，点尸是直线y=-x+6上的一点，过点尸

作O。的一条切线尸。，。为切点，则切线长尸。的最小值为()

A.3B.4C.6-V2D.3企一1

2.如图，直线y=—看+6分别与x轴、y轴交于点A、B,点C在线段OA上，线段沿

8C翻折，点。落在A8边上的点。处.以下结论：

①AB=10；②直线BC的解析式为y=-2x+6；

…_2412

③点D(―,―)；

④若线段2C上存在一点P,使得以点P、0、C、。为顶点的四边形为菱形，则点尸的

9

横坐标是g,以上所有结论中正确的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.如图，已知直线MN：>=冬什2交无轴负半轴于点A,交y轴于点8,点C是x轴上的

一点，且OC=2,则的度数为()

A.45°或135°B.30°或150°C.60°或120°D.75°或165

第3题图

第1题图第2题图

4.如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的O。与无轴的正半轴交于点A,点3是。。

上一动点，点C为弦AB的中点，直线y=%-3与X轴、y轴分别交于点。、E,则点C

到直线DE的最小距离为()

343

A.1B.—C.—D.—

554

5.如图，直线人与无轴、y轴分别交于A(-2,0),B(0,6),直线/2经过点B且与x轴

负半轴交于点C,ZABC=45°.若线段上存在一点P,使AAB尸是以A为直角顶点

的等腰直角三角形，则尸点坐标为()

A.(8,2)B.(-6,2)C.(-8,2)D.(6,-2)

6.已知A点坐标为A(V2,0)点3在直线y=-x上运动，当线段A8最短时，8点坐标

()

A.(0,0)B.(/,一孝)

C.（1,-1）D.（—于，）

22

7.八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过尸点的一条直线/将这八个

正方形分成面积相等的两部分，则该直线/的解析式为（）

A.尸需式+^B.y=+*c.尸机+^D・

第4题图第5题图第7题图

168

8.已知直线h：y=kx+b与直线hy=-习:+机都经过C（—宁直线/1交y轴于点8

（0,4）,交工轴于点A,直线/2交y轴于点。,尸为y轴上任意一点，连接阴、PC,有

乂下涌法.

y-kx+bfx=-fX

①方程组1的解为《以；

y=+mo

zV-5

②△BCD为直角三角形；

③%ABD=6；

④当B4+PC的值最小时，点尸的坐标为（0,1）.

其中正确的说法是（）

A.①②③B,①②④C.①③④D.①②③④

9.已知平面上四点A（0,0）,B（10,0）,C（12,6）,D(2,6),直线>=g-3加+6将

四边形ABC。分成面积相等的两部分，则根的值为（)

11

A.-B.-1C.2D.-

3

4

10.在△ABC中，点。是△ABC的内心，连接。3、OC,过点。作E/〃BC分别

交AB、AC于点E、F,已知BC=a（。是常数），设△ABC的周长为》AAEFE/O\1

的周长为X,在下列图象中，大致表7云y与x之间的函数关系的是（）

,B-----------

K]-EL

A.0\XB.O十"Yc.cfF.oi'

二、解答题

11.如图1,直线y=-袅+8分别交无轴，y轴于点A,B,C为射线08上一点，把

沿直线AC翻折得到△ACD

(1)求点A,B的坐标.

(2)当点D在的内部时，连结0D并延长交48于点P.若AC=0P,求点P的

坐标.

(3)如图2,点M为的中点，当与坐标轴平行时，请直接写出0C的长.

12.如图，已知直线/1：y=-3x+6与x轴交于点A,与y轴交于点8,以线段AB为直角边

在第一象限内作等腰Rt^ABC,ZABC=9Q°,直线/2经过A,C两点.

(1)则A点的坐标为,B点的坐标为;

(2)求直线/2的函数表达式；

(3)点P是线段AC上的一点(不与A、C重合)，试探究△BPC能否成为以2尸为直角

边的等腰直角三角形？若能，请直接写出点尸的坐标，若不能，请说明理由.

备用图

13.如图，函数y=-x+2的图象与无轴，y轴分别相交于点。，C,直线经过点A(-2,

0)和点2(0,6),直线A3,相交于点M.

(1)求点M的坐标；

(2)点N在直线上，使得SABMN=2SAAMC,求N点的坐标；

(3)在直线C。上是否存在点P,使得8,M,尸三点构成的三角形与△AMC全等，若

存在求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

14.如图，四边形0ABe是平行四边形，其中点A的坐标是(10,0),点。的坐标是(0,

0),点C的坐标是(4,6).

(1)请求出点B的坐标；

(2)已知点。是线段上一个动点，若三角形04。是等腰三角形，请求出所有符合

要求的点。的坐标；

(3)已知直线：y=fcc+b恰好将回。48c分成面积相等的两部分，请求出左与b之间满足

的关系式.

15.如图，直线A：y=x+2与无轴交于点A,直线/2：y=kx+b(k、b为常数,且左#0)与

x轴交于点8(4,0),直线八与及交于点C)2,目).

(1)求点C的坐标及直线/2的函数表达式；

(2)若点。是线段BC上一个动点，点。的横坐标是机，△ADB的面积是S,请求出S

与根之间的函数关系式；

(3)在y轴上是否存在点P,使得P2+PC的值最小？若存在，求出点尸的坐标及这个

最小值；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题

题号123456718910

答案BDDCCBABBC

1.【解答】解：在直线F-x+6上，

.,.设尸坐标为(m,6-机)，

连接OQ,OP,由P。为圆。的切线，得到PQ±OQ,

在Rt^O尸。中，根据勾股定理得：。尸=尸。2+。。2,

P(^—rrT+(6-m)2-2=2,后-12〃z+34=2(m-3)2+16,

则当机=3时，切线长PQ的最小值为4.

故选：B.

2.【解答］解：:,直线y=-*x+6分别与x、y轴交于点A、B,

.•.点A(8,0),点8(0,6),

：.OA=S,0B=6,

：.AB=VOB2+OA2=464+36=10,故①正确；

:线段OB沿BC翻折，点。落在AB边上的点。处,

：.OB=BD=6,OC=CD,ZBOC=ZBDC=90°,

：.AD=AB-BD=4,

'SAC^^AEr+CD2,

：.(8-OC)2=16+OC2,

/.OC=3,

...点C(3,0),

设直线BC解析式为：y=kx+6,

：.Q=3k+6,

:・k=-2,

・,・直线3c解析式为：y=-2x+6,故②正确；

如图，过点。作。AC于H,

9：CD=OC=3,

・・・CA=5,

911

：S^ACD=^ACXDH=^CDXADf

：.DH=争=12

I?,123

当ty=m时，==--x+6,

354

._24

,・工一号'

2412

・••点£)(—,—),故③正确；

・・•线段8C上存在一点P,使得以点P、0、。、。为顶点的四边形为菱形，且OC=CQ,

：.PD//OC,PD=OC=3,

12

・••点P纵坐标为w，

2412

，・•点D(―,—),

-912

，・•点P(g,W),

9

・・・点尸横坐标为g,故④正确，

故选：D.

3.【解答】解：：直线MN：y=*x+2交x轴负半轴于点A,交y轴于点B,

令y=0,贝！J0=争+2,解得x=-2V3,

AA(-2V3,0),

令I=0,则y=2,

：.B(0,2),

：.AB=J(2圾2+22=%

：.AB=2OBf

VZAOB=90°,

ZMAO=30°,

ZABO=60°,ZMBO=120°.

•:B(0,2),OC=2,

：.OB=OC,

：.ZCBO=45°,

如图，分两种情况考虑：

①当点。在x轴正半轴上时，

ZCiBO=45°,

AZMBCi=120°-45°=75°；

②当点。在x轴负半轴上时，

ZMBC2=nO°+45°=165°.

故选：D.

4.【解答】解：连接OC,如图，

•・•点。为弦A3的中点，

・•.OC±AB.

：.ZACO=90°,

・••点C在以。4为直径的圆上(点0、A除外)，

以。4为直径作。尸，过尸点作直线后于交。尸于M、N,

2

当％=0时，y=卒-3=-3,贝!]E(0,-3),

3

当y=0时，-x-3=0,

4

解得尤=4,则。(4,0),

：.OD=4,

：.DE=432+42=5,

：O。的半径为2,

.1.A(2,0),

：.P(1,0),

OP=1,

：.PD=OD-0P=3,

■:NPDH=NEDO,ZPHD=ZEOD=90°,

J.ADPH^ADEO,

:・PH：OE=DP：DE,

即PH：3=3：5,

解得PH=I，

；・MH=PH+T=W，NH=PH-1=1.

4

点C到直线DE的最小距离为g.

故选：C.

5.【解答］解：过A作AP_LAB交3c于P,过P作PM_LAC,如图:

VA(-2,0),B(0,6),

：.BO=6,AO=2,

:△AB尸是以A为直角顶点的等腰直角三危形,

C.AP^AB,ZPAB=90°,

；./BAO=90°-ZPAM^ZMPA,

VZPMA=90°^ZBOA,

：.AABO^/\PAM(AAS),

：.AM^BO^6,MP=AO=2,

；.OM=8,

：.P（-8,2）.

故选：C.

6.【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：

当时，AB最短，此时过B作轴，交x轴于点D,

由直线尸-x为第二、四象限的角平分线，得到4102=45。，

VA（V2,0）,即。4=/，ZABO=90°,

.•.△AOB为等腰直角三角形，

OD=AD,即BD为RtAAOB斜边上的中线,

：.BD=孝，

又,ZBDO^90°,

...△02。为等腰直角三角形，

：.OD=BD=^f,

：8在第四象限，

.•.8的坐标为（f,—孝），

故选：B.

7.【解答】解：直线/和八个正方形的最上面交点为P,过尸作PBLOB于2,过尸作

PC_LOC于C,

•.•正方形的边长为1,

：・0B=3,

・・,经过P点的一条直线,将这八个正方形分成面积相等的两部分,

・••三角形ABP面积是8+2+1=5,

1

2

：.AB=2.5,

：.0A=3-2.5=0.5,

由此可知直线/经过(0,0.5),(4,3)

设直线方程为＞=丘+6,则

解得｛I

直线/解析式为y=|x+

故选：A.

8.【解答】解：①二•直线/i：y=fcv+Z?与直线/2：y=—]+机都经过。(―-),

y=kx+b'6

x=~5

・・・方程组•的解为•

y=-b+m8

3=百

故①正确，符合题意;

②把2(0,4),C1)代入直线/1：y=kx+b,可得I-〃，解得产=彳

55(5=一耳化+匕3=4

，直线Zi：y=2x+4,

1

又•.•直线fo：y=一尹+加，

・•・直线/1与直线/2互相垂直，即NBCD=90°,

・・・△BCD为直角三角形，

故②正确，符合题意；

③把C(―-)代入直线/2：y=—^x+m,可得m=l,

>=一习+1中，令x=0,则y=l,

：.D(0,1),

：.BD=4-1=3,

在直线/i：y=2x+4中，令y=0,贝！Jx=-2,

.,.A(-2,0),

：.AO=2,

1

:・SAABD=2x3X2=3,

故③错误，不符合题意；

④点A关于y轴对称的点为A(2,0),

由点CA'的坐标得，直线CA'的表达式为：k一枭1,

令X=0,贝!Jy=l,

・••当B4+尸C的值最小时，点尸的坐标为(0,1),

故④正确，符合题意；

故选：B.

9.【解答］解：如图，VA(0,0),B(10,0),C(12,6),D(2,6),

：.AB=10-0=10,CD=12-2=10,

又点C、D的纵坐标相同，

：.AB//CD^AB=CDf

・・・四边形ABCD是平行四边形，

7124-2=6,6+2=3,

・••对角线交点尸的坐标是(6,3),

•・•直线y=jwc-3m+6将四边形ABCD分成面积相等的两部分,

「・直线y=mx-3m+6经过点P,

6m-3m+6=3,

解得m=-1.

故选：B.

10•【解答】解：如图，

•・•点。是△ABC的内心,

・・・N1=N2,

又,：EF//BC,

・・・N3=N2,

・・・N1=N3,

：・EO=EB,

同理可得尸0=尸。，

9：x=AE+E0+F0+AF,

y—AE+BE+AF+FC+BC,

.'•y=x+a,(x>a)f

即y是x的一次函数，

所以C选项正确.

故选：C.

二、解答题

11.【解答］解：对于y=-q%+8,当x=0时，y=8,

当y=0时，-qx+8=0,

解得：x=5,

...点A的坐标(5,0),点B的坐标为(0,8)；

(2)过点P作PELy轴于点E,如图1所示：

.•.NAOC=/OEP=90°,

设点C的坐标为(0,a),

OC—a,

・・,点。在AABO的内部，点B的坐标为（0,8）,

.".0<4/<8,

由翻折的性质得：AC是线段。。的垂直平分线，

：.AC±OD,

：.ZAOD+ZOAC=90°,

又,.・NR9P+NAOZ）=90°,

：.ZOAC=ZEOP.

在和△良）尸中，

Z-OEP=/-AOC=90°

（EOP=Z.OAC,

AC=OP

：./\OAC^/\EOP（AAS）,

OC=EP=a,

...点尸的横坐标为“，

•.•点P在直线y=—耳汽+8上，

・•・点尸的坐标为（a,—|。+8）,

OP—］小+（—5d+8尸，

..,点A的坐标（5,0）,

.'.AC=Va2+52=Va2+25,

VAC=OP,

・\Jq2+（―+8）2=Va2+25,

整理得：（一|。+8）2=25,

一5a+8=±5,

由一3。+8=5,解得：ci=

由—3a+8=—5,解得：。=舞>8,不合题意，舍去；

当。=时，一卷。+8=5,

・•・点尸的坐标为卷，5）；

（3）当与坐标轴平行时，有以下两种情况，

（i）当MD平行x轴时，又有两种情况：

①当点C在线段OB上时，设“。交y轴于点T,过点A作AK±MD于点K,

如图2所示：

设OC=〃，

•・,点A的坐标（5,0）,点3的坐标为（0,8）,点M为A5的中点，

：.0A=5,05=8,点M的坐标为(2.5,4),

VZAKT=ZKT0=ZAOT=90°,

・•・四边形O4KT为矩形，

・・・0T=AK=4,TK=0A=5,

：.TC=0T-0C=4-a,

由翻折的性质得：DA=OA=5,DC=0C=a,

在RtAADK中，由勾股定理得：DK=>JAD2-AK2=V52-42=3,

：.DT=TK-DK=5-3=2,

在中，TC=4-a,

由勾股定理得：DC2=TC2^-D12,

/.a2=(4-〃)2+22,

解得：4=2.5,

此时0c的长为2.5；

②当点。在03的延长线上时，设交y轴于点T,过点A作AKLMO于

点K,如图3所示：

设0C=m

同①得：0T=AK=4,TK=0A=5,DA=0A=5fDC=OC=a,

：.TC=0C-OT=a-4,

在RtAAZ)^中，由勾股定理得：DK=y/AD2-AK2=V52-42=3,

・・・TD=TK+DK=5+3=8,

在RtZkTCD中，由勾股定理得：DC2=TC2+TD2,

a2=(q-4)2+82,

解得：tz—10,

此时OC的长为10；

(ii)当轴时，此时只有一种情况，即点。在线段OB上，

过点。作。尸，y轴于点P,过点A作AQLOP,交尸。的延长线于点。，如

图4所示：

设0C=〃，

同①得：OP=AQ,PQ=OA=5,DA=OA=5fDC=0C=a,

•・,点M是A5的中点，MZ)〃y轴，

1

：.DP=DQ=方尸。=2.5,

在中，由勾股定理得：AQ=y/AD2-DQ2=.-2.5?=孚,

tAo

・・・。尸=AQ=号,

：.PC=OP-OC=^--a,

在Rt△尸CO中，由勾股定理得：DC1=DP2+PC1,

.*.a2=2.52+-。尸，

解得：a=3

5V3

此时OC的长为十

综上所述：OC的长为2.5或10或手.

12.【解答】解：(1)在A：y=-3x+6中，

令x=0,则y=6,所以点5坐标为(0,6)；

令y=0,则x=2,所以点A坐标为(2,0).

所以点A、B坐标分别是(2,0)和(0,6)；

故答案为:(2,0)；(0,6)；

(2)如图，过点C向y轴作垂线，E为垂足.

由条件可知AB=BC.

VZCBE+ZABO=180°-90°=90°,ZABO+ZBAO^90°,

:./CBE=NBAO.

在△C8E和△BAO中，NCBE=NBAO,NBEC=/AOB,BC=AB.

.♦.△CBE当ABAO(A4S).

EC=BO=yB=6，BE=OA=XA=2.

.\OE=6+2=8.

故点C坐标为(6,8).

设/2函数表达式为y=fcc+b,把A、C两点坐标代入得：

[0=2k+b

18=6/c+b

:•直线12的函数表达式为y=2x-4；

(3)设点尸的坐标为(m,2m-4),假设以5尸为直角边的△3PC是等腰直角三角形,

如图.过点。作％轴的垂线，垂足为。，过尸作x轴的平行线交y轴于点交8于

点N,

在尸和△尸?(中,

NBMP=(PNC

乙MPB=Z.NCP,

PC=PB

尸也△PNC(AA5),

:・BM=PN,MP=CN,

'：BM=6-(2m-4)=10-2m,

PN=6-m,MP=m,CN=8-(2m-4)=12-2m.

:・由尸Af=CN,m=12-2m,m=4,

此时BM=PN=2,相适合题意.

此时尸(4,4).

13.【解答】解：(1)设直线A5解析式为把A(-2,0),B(0,6)代入得:

(—2k+h=0

U=6，

・,・直线AB解析式为y=3x+6,

解得｛;二丁，

：.M(-1,3)；

(2)如图：

在y=-x+2中，令％=0得y=2,令y=0得x=2,

：.C(0,2),D(2,0),

：.AD=2-(-2)=4,5c=6-2=4,

111

••S/\AMC=S/\AMD-S^ACD=X4X3-X4X2=2,Sz\5CM=2x4XI-1|=2,

SZ\BMN=2S“MC=4,

当N在AB左侧时，SABCN=SABCM+SABMN=2+4=6,

1

x4*(-XN)=6,

2

解得晒=-3,

在y=-x+2中，令x=-3得y=5,

:・N(-3,5)；

当N在AB右侧时，SABCN=SABMN-SABCM=4-2=2,

1

X4・XN'=2,

2

解得晒*=1,

在y=-x+2中，令％=1得y=1,

:.N(1,1)；

综上所述，N的坐标为(-3,5)或(1,1)；

(3)直线CD上存在点P,使得5,M,尸三点构成的三角形与△AMC全等，理由如下:

VA(-2,0),B(0,6),M(-1,3),

：.AM=V10,BM=V10,

：.AM=BM,

VB,M,尸三点构成的三角形与△AMC全等，NAMC=NB