2025年上海高考数学重点知识点归纳总结（复习）

上海高考必记核心知识点归纳总结（干货必备）

知识点概览

必备知识01集合与逻辑.........................................................................2

必备知识02不等式..............................................................................4

必备知识03函数的概念与性质...................................................................6

必备知识04塞指对函数.........................................................................7

必备知识05三角函数..........................................................................10

必备知识06函数的应用.........................................................................11

必备知识07平面向量及其应用..................................................................13

必备知识08复数...............................................................................16

必备知识09空间向量与立体几何................................................................17

必备知识10直线和圆..........................................................................20

必备知识11圆锥曲线...........................................................................27

必备知识12数列...............................................................................29

必备知识13导数...............................................................................30

必备知识14计数原理、排列组合、二项式定理...................................................32

必备知识15统计与概率........................................................................34

必记核心知识点

必备知识01集合与逻辑

知识点01集合的有关概念

(1)集合元素的三大特性：确定性、无序性、互异性.

(2)元素与集合的两种关系：属于，记为e；不属于，记为心

(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.区间法

一般区间的表示

设a,bGR,且规定如下:

定义名称符号数轴表示

闭区间11.

[j<\a<x<b}[a,b]ab

开区间(a,

{x\a<x<b]b)ab

[x\a<x<b]半开半闭区间[a,I工.

b)ab

{x\a<x<b}半开半闭区间(4,:1一

b]ab

特殊区间的表示

定义R{x\x>a}{x\x>a}[x\x<a]{x\x<a}

符号(-oo,+oo)[a,+oo)(a,+co)(-oo,a](—oo,a)

(4)五个特定的集合

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*或N+ZQR

知识点02集合间的基本关系

文字语言符号语言

相等集合A与集合B中的所有元素都相同A=B

集合间的子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素A^B

基本关系集合A中任意一个元素均为集合2中的元素，且集合B中

真子集AczB

至少有一个元素不是集合A中的元素

空当空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

知识点03集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集

若全集为U,则集合A的

符号表示AHB

补集为可

图形表示

AUBADB

集合表示{x\x^A,或工£3}{x\x^A,且入£3}{x\x^U,且x&A}

知识点04集合的运算性质

（l）AnA=A,An0=0,AHB=BnA.

（2）AUA=A,AU0=A,AUB=BUA.

（3）AA（A）=0,AU（不=U,A=A；

知识点05常用结论

（1）空集性质：①空集只有一个子集，即它的本身，0C0；

②空集是任何集合的子集（即0GA）；

空集是任何非空集合的真子集（若A#0,则0uA）.

（2）子集个数：若有限集A中有w个元素，

则A的子集有2〃个，真子集有2〃一1个，非空真子集有2"-2个.

（3）ACB-Q8；AUB=AOA3B.

（4）AUB=AC|B（5）AC\B=A\JB

知识点06充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p今q,则夕是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件p=>q且q力p

p是q的必要不充分条件p力q且q=p

p是q的充要条件pgq

p是q的既不充分也不必要条件p力q且q力p

知识点07充分、必要条件与集合的关系

设0,q成立的对象构成的集合分别为A,B.

（1）p是q的充分条件QAU8,p是q的充分不必要条件QAu8；

（2）p是q的必要条件Q8UA,0是q的必要不充分条件=8UA；

（3）p是q的充要条件oA=&

〈知识记忆小口诀》

集合平时很常用，数学概念有不同，理解集合并不难，三个要素是关键，元素确定和互异，还有无序要牢

记，空集不论空不空，总有子集在其中，集合用图很方便，子交并补很明显.

〈解题方法与技巧》

充要条件的两种判断方法

⑴定义法：根据ks进行判断.

(2)集合法：根据使0,g成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.

必备知识02不等式

知识点01等式与不等式的性质

1.两个实数比较大小的方法

(1)作差法<a—b=0oa=b,

a—b<G<=>a<b.

斤>1(a£R,/?>O)0a>b(〃£R,fc>0),

(2)作商法<*=loa=b(m/?W0),

*1(aGR,b>0)"bQGR'&>0).

2.等式的性质

(1)对称性：若〃=4则6=4.

(2)传递性:若a=b,b=c,则a=c.

(3)可加性:若a=b,贝!J〃+c=/?+c.

(4)可乘性：若a=b,则〃c=/?c；若a=b,c=d,则〃c=Z?d.

3.不等式的性质

(1)对称性：〃>/?=/?<〃；

(2)传递性:a>b,b>c=>a>c；

⑶可加性：Q>/?=〃+C>Z?+C；a>b,c>d=>〃+c>Z?+d；

(4)可乘性：a>b,c>O=>ac>bc；a>b,c<0^ac<bc；a>b>0,c>d>O=^ac>bd；

(5)可乘方：a>b>O=4〃>〃(〃£N,n^l)；

(6)可开方：〃〉/?>0=>,〉或(几£N,〃22).

知识点02均值不等式及其应用

1.均值不等式：四w号

(1)均值不等式成立的条件：心0,b20.

(2)等号成立的条件：当且仅当。=6时取等号.

(3)其中审称为正数°,6的算术平均数，标称为正数a,b的几何平均数.

2.两个重要的不等式

22

(l)a+b^2ab(afZ?£R),当且仅当a=Z?时取等号.

2

(2)次?4日^^)(〃，Z?£R),当且仅当。=Z?时取等号.

3.利用均值不等式求最值

已知>20，贝!！

⑴如果积孙是定值p,那么当且仅当％=y时，x+y有最小值是入「(简记：积定和最小).

(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当时，町有最大值是?简记：和定积最大).

知识点03从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式

1.一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式.

2.三个“二次”间的关系

判别式力=/一J>0J=0J<0

二次函数

lha

y=ax2+bx+c

(a>0)的图象

一元二次方程有两相等实根处=%

有两相异实根为，2

z

ax+bx-\-c=0b没有实数根

X2(X1<X2)~~2a

3>0)的根

a^+bx+cX)

｛小>」2

R

(〃>0)的解集或入〈阳)

af+bx+cVO

{j^Xl<X<X2}00

(〃>0)的解集

3.(x—«)(x—Z?)>0或(%—〃)(%—/?)<0型不等式的解集

解集

不等式

a<ba=ba>b

(x-a)-(x—Z?)>0{x\x<a或x>b}{x|x不。}{x\x<b或x>a]

（X—6Z）-（X—Z?）<0{x\a<x<b}0{x\b<x<a}

4.分式不等式与整式不等式

(1)磊>0(<0).)时)>0(<0).

(2)据'O(WO)对尤卜g(x)20(W0)且g(x)W0.

必备知识03函数的概念与性质

知识点01函数的概念

设46是两个非空数集，如果按照确定的法则,，对/中的任意数X,都有唯一确定的数y与它对应，那

么就称fz4f8为从集合A到集合8的一个函数，记作y=f(x),x^A.

知识点02函数的定义域、值域

⑴函数y=f(x)自变量取值的范围(数集⑷叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合｛y|y=f(x),

x^A｝叫做这个函数的值域.

(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数.

知识点03函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

知识点04分段函数

⑴在函数的定义域内，对于自变量X的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数.

(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.

知识点05函数的单调性

⑴单调函数的定义

增函数减函数

设函数尸Hx)的定义域为4区间店如果取区间〃中任意两个值

Xi,X2,改变量AX=X2—XI>0,则当

定义

Ay=f(x2)—f(不)>0时,就称函△y=f(xj—F(xi)<0时，就称函数y

数y=(x)在区间〃上是增函数=f(x)在区间〃上是减函数

y,尸⑺

图象描/■)小)

~O\~~~^2X

述

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

(2)如果一个函数在某个区间〃上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间〃上具有单调性，区间〃

称为单调区间.

知识点06函数的最值

前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数〃满足

(1)对于任意xe/,都有(3)对于任意都有/*5)2%

条件

(2)存在刘e/,使得/'(加二〃(4)存在xo£I,使得AAO)=M

结论〃为最大值〃为最小值

知识点07函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

设函数y=f(X)的定义域为〃如果对〃内的任意一个X,都

奇函数关于原点对称

有一£金〃，且/1(—X)=—/1(*),则这个函数叫做奇函数

设函数y=g(x)的定义域为〃如果对2内的任意一个x,都

偶函数关于y轴对称

有一且g(—x)=g(x),则这个函数叫做偶函数

知识点08函数的周期性

⑴周期函数：对于函数尸f(x),如果存在一个非零常数北使得当X取定义域内的任何值时，都有『(X

+7)=F(x),那么就称函数尸/<x)为周期函数，称？为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)

的最小正周期.

必备知识04寨指对函数

知识点01幕函数

(1)暴函数的定义

一般地，函数y=K叫做暴函数，其中x是自变量，a是常数.

(2)常见的五种事函数的图象

(3)哥函数的性质

①哥函数在(0,+8)上都有定义；

②当a>0时，哥函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上单调递增;

③当a<0时，募函数的图象都过点(1,1),且在(0,+8)上单调递减；

④当a为奇数时，>=产为奇函数；当a为偶数时，为偶函数.

知识点02指数函数

1.指数幕的运算性质

aras=ar+s；(。了=。“；(aby=arbr(a>0,b>0,r,sGR).

2.指数函数及其性质

(1)概念：一般地，函数y=^(a>0,且叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.

(2)指数函数的图象与性质

a>l0<a<l

y=a'\

图象(0,1)二

二

定义域R

值域(0,+°°)

过定点(0,1),即x=0时，y=l

当x>0时，y>l；当x<0时，y>l；

性质

当％<0时，0<y<l当x>0时，0<y<l

增函数减函数

知识点03对数函数

1.对数的概念

一般地，如果〃=N(a>0,且aWl),那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logJV,其中a叫做对数的

底数，N叫做真数.

以10为底的对数叫做常用对数，记作IgN.

以e为底的对数叫做自然对数，记作InN.

2.对数的性质与运算性质

⑴对数的性质：logj=0,logaa=l,a°SaN=N(a>0,且N>0).

(2)对数的运算性质

如果a>0,且aWl,M>0,N>Q,那么：

①log“(MV)=log〃M+log“N；

M

②log萌■=lOgaM—lOgaN；

③logJVT=n\ogaM(〃eR).

(3)对数换底公式：108/=警为>0,且a=l；b>Q；c>0,且CTM).

lOgc'U

3.对数函数的图象与性质

4.反函数

指数函数y=〃（a>0,且a=l）与对数函数y=loga尤（a>0,且aWl）互为反函数，它们的图象关于直线y=x对

必备知识05三角函数与解三角形

知识点01三角函数的运算

1.同角关系：sin2(x+cos2a=l,=tan兀，Z£Z).

LU5CA

2.诱导公式：在竽+a,左GZ的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.

知识点02三角恒等变换

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

⑴sin(a±份=sinotcos傩cosotsin£；

(2)cos(a±A)=cosacos夕干sinasin§；

tan。±tan£

(3)tan(a±^)—

1+tanatanp

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(l)sin2a=2sinacosa；

(2)cos2a=cos?。一sin2a=2cos2a—1=1-2sin2a；

c-2tana

(3)tan2a=~;~~~.

1—tanza

知识点03正弦定理、余弦定理及综合应用

1.正弦定理：在AABC中，急=磊=帚〒=2R(R为△ABC的外接圆半径).

.cibc

变形：〃=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,sinA=丞,sinB=忝,sinC=或,a：b：c=sinA:sin

BIsinC等.

2.余弦定理：在△A5C中，=/?2+c2—2Z?ccosA.

82+，一次

变形："十°2一"2=2"cosA,cos4=2bc

3.三角形的面积公式：S=^absinC=^acsinB=^bcsinA,

」(□国圆5

1.三角恒等变换的“4大策略”

(1)常值代换：特别是“1”的代换，I=sin20+cos20=tan45。等.

(2)项的拆分与角的配凑：如sin2ot+2cos2a=(sin2a+cos2ot)+cos2a,。=(仪一夕)+£等.

(3)降暴与升暴：正用二倍角公式升累，逆用二倍角公式降累.

(4)弦、切互化：一般是切化弦.

2.解三角形中常见的求最值与范围问题的解题策略

(1)利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将与他相互转化求最值范围.

(2)利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简；利用三角函数的性质求最值、范围.

3.解三角形实际问题的步骤

［分析H理解题意，分析已知与未知，画出示意图)

必备知识06函数的应用

知识点01函数的零点与方程的解

(1)函数零点的概念

对于一般函数我们把使兀0=0的实数x叫做函数y=/a)的零点.

(2)函数零点与方程实数解的关系

方程於)=0有实数解㈡函数y=/U)有零点㈡函数＞=於)的图象与x轴有公共点.

(3)函数零点存在定理

如果函数y=/(x)在区间m，切上的图象是一条连续不断的曲线，且有八4求力＜0,那么，函数＞=兀0在区间(a,

6)内至少有一个零点，即存在cd(a,b),使得_/(c)=0,这个c也就是方程式x)=0的解.

知识点02二分法

对于在区间团，切上图象连续不断且五。求》)＜0的函数＞=/(无)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二,

使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

【常用结论

1.若连续不断的函数次x)是定义域上的单调函数，则五尤)至多有一个零点.

2.连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.

知识点03三种函数模型的性质

y=ax(a>l)y=logR4>l)y=^(n>0)

在(0,+8)

单调递增单调递增单调递增

上的增减性

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

随X的增大逐渐表现随龙的增大逐渐表现为随n值的变化而各有

图象的变化

为与y轴平行与X轴平行不同

知识点04常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型fix）=ax+b（a,b为常数，〃W0）

二次函数模型f（x）=ax2-\-bx-\-c{a,b,c为常数，〃W0）

k

反比例函数模型fi,x）=~+b（k,b为常数，左/0）

指数函数模型危）=/?〃+C（Q,b,c为常数，〃>0且bWO）

对数函数模型fix）=Mogflx+c（a,b,c为常数，〃>0且Z?WO）

幕函数模型f（x）=axa+b（a,b,a为常数，aWO）

1.判断函数零点个数的方法

(1)利用函数零点存在定理判断.

(2)代数法：求方程犬x)=0的实数根.

(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y=Kx)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两

个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性.

2.利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法

利用零点存在定理构建不等式确定参

直接法

I—数的取值范围

I分离奏教法T将参数分离，转化成求函数的值域问题|

先对解析式变形，在同一平面直角坐标系

数形结合法1

I中作出函数的图象，然后数形结合求解

必备知识07平面向量及其应用

知识点01向量的有关概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模.

(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.

(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线.

(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.

知识点02向量的线性运算

向量运算定义法则(或几何意义)超'—舁A-A-律Z-H

巴

a交换律：〃+5=8+〃；

加法求两个向量和的运算三角形法则

结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

平行四边形法则

求。与万的相反向量一

减法a—b=a+(—b)

万的和的运算a

三角形法则

|Afl|=|2||a|,当2>0时，几

。与。的方向相同；X(|lCl)=(AjLl)Cl;

求实数力与向量。的积

数乘当A<0时，几〃与a的方(2+〃)a=4a+〃_a；

的运算

向相反；^(a+b)=Xa+Xb

当2=0时，44=0

知识点03两个向量共线定理

向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数人使得la.

知识点04平面向量基本定理

如果ei，e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量有且只有一对实数九,

几2，使〃=%1幻+22。2.

其中，不共线的向量ei,以叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

知识点05平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设。=(X1，yi),b=(X2,y2)，则

a+b=(xi+x2f》+丁2)，a—b=(xi—X29为一”)，

4yi),\a\=yjxi+yi.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；

②设A(X1，.),B(X2,>2)，则A8=(%2—X1，力一yi),

22

|AB|=yl(x2—xi)+(y2—yi).

知识点06平面向量共线的坐标表示

设Q=(X1，%),8=。2，>2)，其中力WO,a//—X2y1=0.

知识点07向量的夹角

(1)定义：已知两个非零向量a和"作近=a,OB=b,则NAOB就是向量a与入的夹角.

(2)范围：设。是向量。与方的夹角，则0°W^(180°.

(3)共线与垂直：若6=0°,则。与8同向；若0=180。，贝Ua与万反向；若6=90°,则a与％垂直.

知识点08平面向量的数量积

定义设两个非零向量〃，力的夹角为仇则⑷|四・cos夕叫做a与力的数量积，记作〃协

|a|cos«叫做向量“在分方向上的投影，

投影

|臼cos夕叫做向量％在a方向上的投影

几何意义数量积ab等于a的长度⑷与b在a的方向上的投影版|cos夕的乘积

知识点09向量数量积的运算律

(X)a-b=b-a.

Q)3i)・b=Ma・b)=a&b).

(3X4+b)・c=〃・c+〃c

知识点10平面向量数量积的有关结论

已知非零向量〃=8,%),b=(X2,>2)，@与b的夹角为。.

结论几何表示坐标表示

模\a\=y/~a^a|a|=q屑+必

oA-1.V+YIV2

na-b2

夹角COS〃一I||.ICS

HI网°产南W

a±b的充

a,b=biy2=0

要条件

知识点11平面向量与解三角形的综合应用

(1)解决平面向量与三角函数的交汇问题，关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角

函数中的有关问题解决.

(2)还应熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、

正、余弦定理等知识.

技I巧

1.五个特殊向量

(1)要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|=0.

(2)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同.

(3)任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量.

(4)与向量。平行的单位向量有两个，即向量言和一言.

2.五个常用结论

(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量,

即启2+启3+A/4H-----H4昼4=特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量.

(2)若P为线段A8的中点，。为平面内任意一点，则5>=々而+而).

(3)若A,B,C是平面内不共线的三点，则启+港+走=0今？为AABC的重心.

A

(4)在△ABC中，AD,BE,b分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC

的重心，则有如下结论：

①原+宓+沆=0；

1—*■—►

②AG=w(AB+AC)；

③丽斗由+亦，Gb=1(AB+AO.

(5)若应=力协+〃沆(九4为常数)，则A,B,C三点共线的充要条件是％+〃=1.

3.基底需要的关注三点

(1)基底的，02必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底.

(2)基底给定，同一向量的分解形式唯一.

,、，,丸1=//1,

(3)如果对于一组基底C1，&，有。=九3+/12。2=〃1«1+〃2«2，则可以得到｛_

LA2=偿.

4.共线向量定理应关注的两点

(1)若Q=(xi，yD，8=(%2，、2)，则Q〃8的充要条件不能表示成3=乎，因为X2，丁2有可能等于①应表

“2yi

示为尤1y21％2丫1=0.

(2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定.

5.两个结论

(1)已知P为线段的中点，若4(尤1，力)，B(X2,竺)，则尸点坐标为。空，也要).

(2)已知△ABC的顶点A(xi，力),8(X2，”)，C(X3，y3)，则AABC的重心G的坐标为日士黄齿，”土半土耳.

6.两个向量a,Z>的夹角为锐角协>0且a,万不共线；

两个向量a,》的夹角为钝角今。3<0且a,方不共线.

7.平面向量数量积运算的常用公式

(l)(a+M)(a—万)=层一12

(2)(。+b)2=a2+2ab+b2.

(3)(。-b¥=a2—2ab+b2.

必备知识08复数

知识点01复数的有关概念

⑴复数的定义

形如。+历(a,6GR)的数叫做复数，其中实部是小虚部是从

(2)复数的分类

'实数(6=0),

复数z=a+bi(a,6GR)<虚数(“°)［］纯非虚纯数虚(数a=(0*,o6,Wk00),).

(3)复数相等

且Z?=d(〃，b,c,d£R).

(4)共辆复数

〃+历与c+di共辗Oa=c且/?=—"(〃，b,c,d£R).

⑸复数的模

向量OZ的模叫做复数Z=Q+历的模，记作|z|或|〃+列，即|z|=|〃+历|=r=yl咳+庐(厂=0,a,/?£R).

知识点02复数的几何意义

⑴复数z=〃+0i(对应)复平面内的点Z(a,b)(a,/?£R).

一,一*对应一

(2)复数z=a+0i(a,/?eR)------"平面向量OZ.

知识点03复数的运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则

设zi=a+Z?i,Z2=c+di(〃，b,c,d£R),贝U

①力口法：zi+z2=(〃+bi)+(c+di)=(〃+c)+3+d)i;

②减法：zi-Z2=(〃+"i)—(c+di)=(〃—c)+(/?-d)i；

③乘法：zi•Z2=(a+bi)-(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i；

z-N”、，zia-\-bi(”+bi)(c—di)ac-\-bd,bc-ad,,

④除法：五=』=(c+公)(Ldl)+百产十+d学0)-

⑵复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何Zl，Z2,Z3^C,有Zi+z2=Z2+zi，(Z1+Z2)+Z3=Zi+(Z2+Z3).

1.三个易误点

(1)两个虚数不能比较大小.

(2)利用复数相等a+%i=c+di列方程时，注意a,b,c,dGR的前提条件.

(3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如，若zi，z2ec,zHzHO,

就不能推出Zl=Z2=0；/〈O在复数范围内有可能成立.

2.复数代数运算中常用的三个结论

在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度.

,1+i1-i

(l)(l±i)2=±2i；—~=i；T—7=-i.

1—i1+i

(2)—b+ai=i(a+bi).

(3)i4"=l,j4"+l=i,j4.+2=_],j4.+3=_j,i4〃+i4〃+l+i4"+2+i4"+3=0,〃GN*

必备知识09空间向量与立体几何

知识点01空间几何体的侧面展开图

(D圆柱的侧面展开图是矩形.

(2)圆锥的侧面展开图是扇形.

(3)圆台的侧面展开图是扇环.

知识点02旋转体的侧面积和表面积

(1)5圆柱侧=2兀〃，S圆柱表=2兀4—+/)(r为底面半径，I为母线长).

(2)5圆锥侧=兀/7，S圆锥表=兀4厂+/)(厂为底面半径，/为母线长).

(3)5球表=4兀MR为球的半径).

知识点03空间几何体的体积公式

(1)丫柱=s/?(s为底面面积，刀为高).

(2吗=轲(5为底面面积，%为高).

(3)入4s上+小上£下+S下)〃(S上,S下分别为上、下底面面积，〃为高).

4

(4»球=于R3(R为球的半径).

知识点04求空间多面体的外接球半径的常用方法

(1)补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求

解；

(2)定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则

球心一定在垂线上，再根据到其他顶点的距离也是半径，列关系式求解即可.

知识点05判断空间直线、平面位置关系的常用方法

(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题.

(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型观察线、面的位置关系，并结合有关定理进

行判断.

知识点06平行关系及垂直关系的转化

面面平行的判定

面面平行的性质

面面垂直的判定

面面垂直的性质

知识点07异面直线所成的角

设异面直线/,根的方向向量分别为〃=(〃i，ci),b=(a2,bi，ci),异面直线/与根的夹角为夕

则⑴6»e(o,I；

(2)cos9=|cos〈〃，b〉|=|U|

\a\a2~\~b\b2~\~c\c^

，鬲+房+小/〃：+庆+琢

用向量法求异面直线所成的角的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系.

(2)用坐标表示两异面直线的方向向量.

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.

(4)注意两异面直线所成角的范围是(0,手，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对

值.

知识点08直线与平面所成的角

TT

设直线/的方向向量为“，平面a的法向量为“，直线/与平面a所成的角为仇贝+；(2)sin0=

,,、.

|cos"〉一|\a而-n\「

7r

(1)线面角0与直线的方向向量。和平面的法向量”所成的角〈a,加的关系是〈a,加+6=5或〈a,加

—0=与所以应用向量法求的是线面角的正弦值，而不是余弦值.

(2)利用方程思想求法向量，计算易出错，要认真细心.

知识点09平面与平面所成的角

设平面a,£的法向量分别为“，V,平面a与平面£的夹角为仇贝IJ(1)6G［0,5)；(2)cos6»=|cos〈小v)\

\u-v\

一1”|研

7T

平面与平面夹角的取值范围是［o，两向量夹角的取值范围是［0，兀］，两平面的夹角与其对应的两法向

量的夹角不一定相等，而是相等或互补.

知识点10空间距离

⑴点到直线的距离

直线/的单位方向向量为"，A是直线/上的任一点，尸为直线/外一点，设成="，则点尸到直线/的距离

d=7a2_(a-u)2.

(2)点到平面的距离

平面a的法向量为〃，A是平面a内任一点，尸为平面a外一点，则点尸到平面a的距离为d=岑占.

(3)求点到平面的距离有两种方法，一是利用空间向量点到平面的距离公式，二是利用等体积法.

(4)求直线到平面的距离的前提是直线与平面平行.求直线到平面的距离可转化成直线上任一点到平面的距

离.

1.求解空间几何体的外接球问题的策略

(1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径.

(2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元

素的关系)，达到空间问题平面化的目的.

(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

2.求解空间几何体的内切球问题的策略

空间几何题的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截面中求半

径；二是利用等体积法直接求内切球的半径.

3.解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法

(1)几何法：根据平面的性质进行判定.

(2)定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定或用代数法进行计算.

(3)特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除.

4.在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小卜角的范围等问题，常用的解题思路

(1)直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值.

(2)函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最

值.

5.作几何体截面的方法

(1)利用平行直线找截面.

(2)利用相交直线找截面.

6.找交线的方法

(1)线面交点法：各棱线与截平面的交点.

(2)面面交点法：各棱面与截平面的交线.

必备知识10直线和圆

知识点01直线的倾斜角

L倾斜角的定义

(1)当直线/与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线/向上的方向之间所成的角。叫做直

线，的倾斜角.

(2)当直线/与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

2.直线的倾斜角。的取值范围为0°Wa<180°.

知识点02直线的斜率

1.斜率的定义：把一条直线的倾斜角。的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母"表示，即

k—tma.

2.斜率的计算公式:

定义

斜率的定义式