2025年辽宁省沈阳市某中学九年级中考零模数学试卷（含答案）

2025年九年级模拟检测

数学试卷

（本试卷共23小题满分120分考试时长：120分钟）

注意事项：所有试题必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效

一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的）

1.在0,1,-1,兀中最小的实数是（）

A.0B.-1C.1D.兀

2.下列计算正确的是（）

A.a+a-a1B.7«—3a=4

C.2a-3a—6a2D.（—a）+（—a）=a

3.如图，在矩形/BCD中，对角线NC与HD相交于点。，过点C作交48的延长

线于点£,下列结论不一定正确的是（）

C.A4CE是等腰三角形D.BC=3AE

4.下列命题中，正确的是（）

A.两点之间，线段最短B.菱形的对角线相等

C.正五边形的外角和为720。D.直角三角形是轴对称图形

5.用配方法解方程/+2x-l=0,下列配方正确的是（）

A.（x+1）2=1B.（x+1）2=2C.（x-l）*D.（x-1）2=1

6.某展览大厅有2个入口和2个出口，其示意图如图所示，参观者可从任意一个入口进入,

参观结束后可从任意一个出口离开.小明从入口1进入并从出口A离开的概率是（）

试卷第1页，共8页

出口A出口B

展览大厅

入口1入口2

1111

A.-B.-C.-D.一

2346

7.如图，若AOABs^ocD,OA;OC=3:2,△048与A。。的面积分别是国与S2,周

长分别是G与则下列说法正确的是（）

8.在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线/。平分/A4c的是（）

R

A.①②B.①③C.②③D.只有①

9.如图，四边形48CD是菱形，对角线NC、AD交于点。，DEJ.AB于点、E,尸是线段

的中点，连接。尸.若CM=4,0F=|,则DE的长为（）

试卷第2页，共8页

1224

AB.—D.——

-155

10.已知抛物线>=办2+bx+c上部分点的横坐标X与纵坐标》的对应值如下表:

X-10123

y3n-1m3

①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线x=l;@m=n.④图象不经过第三象限;

⑤抛物线在y轴右侧的部分是上升的.上述结论中正确的是（）

A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

11.因式分解：3a2-18a+27=.

12.为积极响应国家“双减政策”，某学校2023年第三季度平均每周作业时长为500分钟，经

过2023年第四季度和2024年第一季度两次整改后，平均每周作业时长为320分钟.设每季

度平均每周作业时长的下降率为〃Z,则可列方程为.

13.如图，四边形/BCD是。。的内接四边形，若四边形ON3C为菱形，则//DC的度数

是

14.如图，A/BC的顶点A,8在双曲线>=8上，顶点C在y轴上，8c边与双曲线交于

X

点、D,若BD=3CD,△4BC的面积为50,贝蜂的值为.

15.如图，△4BC为等腰三角形，=4C=5,8C=8,以为斜边作RtAADB,ZADB=90°,

试卷第3页，共8页

tan45D=1,连接CD,交4B于点、E,则8E=

2-------

三、解答题(本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理

过程)

16.(1)计算：(乃-3)°+(-；1X4-|73-2|-

(2)先化简，再求值：=十二二-(2。-1),其中。=3.

a-1a-1

17.深圳某校为了提升学生体质，丰富体育活动，计划购买若干个排球、足球，已知每个足

球比排球贵20元.花费2800元购买的排球数量比花费4000元购买的足球数量少5个，其中，

排球单价不低于100元.

(1)求排球、足球的单价各为多少？

(2)若排球、足球共买60个，购买足球的个数不低于排球个数的:不高于排球个数的;，张

老师带了8500元，请你判断张老师带的钱够不够，如果不够，最少还差多少元.

18.据了解，“，大连”体育场地一键预约平台是市政府打造“民生幸福标杆”城市过程中，推

动的惠民利民重要举措，在满足市民健身需求、激发全民健身热情、促进体育消费等方面具

有重大意义.按照符合条件的学校体育场馆和社会体育场馆“应接尽接”原则，“，大连”体育

场馆一键预约平台实现了“让想运动的人找到场地，已有的体育场地得到有效利用“小明爸爸

决定在周六上午预约一所学校的操场锻炼身体，现有8两所学校适合，小明收集了这两

所学校过去10周周六上午的预约人数：

试卷第4页，共8页

预约人数

（1）补充表格

学平均小于30人的

众数中位数方差

校数频率

A48.3①一490.175.01

B48.425②—③一349.64

（2）若小明爸爸健身时需要更好的场所，则他应该预约哪所学校？请说明你的理由.

19.根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种

蔬菜的销售利润必（千元）与进货量x（吨）之间的函数弘的图象如图①所示，乙种

蔬菜的销售利润外（千元）与进货量x（吨）之间的函数%="?+版的图象如图②所示.

（1）分别求出外、力与X之间的函数关系式；

（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为/吨.

①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和平（千元）与/（吨）之间的函数关系式.并求当

这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？

②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？

20.拉杆箱是外出旅行常用工具.某种拉杆箱如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形

BCDE,8c的长度为60cm,两节可调节的拉杆长度相等，且与2C在同一条直线上.如图

1,当拉杆伸出一节（AB）时，AC与地面夹角ZACG=53°；如图2,当拉杆伸出两节（AM,MB）

试卷第5页，共8页

时，NC与地面夹角//CG=37。，已知两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同.求每

节拉杆的长度.

4

（参考数据：sin53°®—,sin37°»

图1图2

21.如图，△4BC中，AB=472，。为中点，NBAC=ZBCD,cosZADC=—,QO

4

是A/CO的外接圆.

(2)求8C的长和。。的半径.

22.如图①，在四边形4BC。中，ZABC=ZDCB,E为BC上一点、,S.DE//AB,过点3

作3尸〃/。交DE的延长线于点尸，连接CF,CF=BF.

(2)如图②，连接。3交4E于点G.

①若NG=DC,求证：BC平分NDBF；

CF

②若DB〃CF,求力;的值.

BD

23.在综合实践课上，数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“T”形尺，并用它对

二次函数图象的相关性质进行研究.把“T”形尺按图1摆放，水平宽N8的中点为C,图象

的顶点为。，测得N2为加厘米时，CD为"厘米.

试卷第6页，共8页

(1)探究小组先对＞=/的图象进行多次测量，测得加与“的部分数据如表:

m023456

n012.2546.259

描点：以表中各组对应值为点的坐标，在图2的直角坐标系内描出相应的点.连线：用光滑

的曲线顺次连接各点.猜想："与加的关系式是；

【验证】

(2)探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的九与加也存在类似的

关系式，并针对二次函数y=(。＞0)的情况进行了推理验证.请你补全下表

试卷第7页，共8页

A'U'

AB'=AB=m,C'O=CD=n,C'B'=----=一m,标加〃个单位得到点B的坐标，所

22

以点3的坐标为；

所以点夕的坐标为；将点夕的坐标代入

将点3的坐标代入

y=,得到"与m的关系式是_______________.

y=a(x-h)2+k,得到〃与加的关

系式是.

【应用】

(3)已知IIx轴且=4,两个二次函数y=2(x-〃y+左和>=a(x-〃y+"(a>0)

的图象都经过A,3两点.当两个函数图象的顶点之间的距离为10时，求。的值.

试卷第8页，共8页

1.B

【分析】本题主要考查了实数的大小比较.根据正数〉0〉负数，负数绝对值大的反而小，

即可比较.

【详解】解：V-1<0<1<,

・•・最小的实数是-1,

故选：B.

2.C

【分析】本题考查了单项式乘以单项式、合并同类项、单项式除以单项式，根据单项式乘以

单项式、合并同类项、单项式除以单项式的运算法则逐项判断即可，熟练掌握运算法则是解

此题的关键.

【详解】解：A.a+a=2a,故该选项不正确，不符合题意；

B.7a-3a=4a,故该选项不正确，不符合题意；

C.2a-3a=6a2,故该选项正确，符合题意；

D.(-4丫+(-4『=-4,故该选项不正确，不符合题意；

故选：C.

3.D

【分析】由矩形形的性质可得=BO=DO=；BD,通过证明四边形DBEC是平线

四边形，可彳导CE=BD=AC,得出。2=是等腰三角形，即可求解.

【详解】解：•••四边形/BCD是矩形，

AC=BD,BO-DO-—BD,

2

vCE//BD,DCHBE,

.•・四边形D8EC是平行四边形，

：.CE=BD=AC,AB=BE=CD,

.-.OB=~CE,

2

・•・△/CE是等腰三角形，

故选：D.

【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握矩形的对角线相等是解题

的关键.

答案第1页，共20页

4.A

【分析】本题考查了命题与定理的知识，多边形外角性质，菱形性质及轴对称图形的特点,

解题的关键是掌握这些基础知识点.

【详解】解：A、两点之间，线段最短，正确，是真命题，符合题意；

B、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，选项错误，是假命题，不符合题意；

C、正五边形的外角和为360。，选项错误，是假命题，不符合题意；

D、直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，选项错误，是假

命题，不符合题意；

故选：A.

5.B

【分析】把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1,然后把方程左边写成完全平方的形

式即可.

【详解】解：由原方程移项，得f+2x=l,

等式的两边同时加上#X2+2X+12=1+12,

配方，得(x+l)2=2.

故选：B.

【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成(X+m)2=〃的形式,

再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.

6.C

【详解】解：画树状图得：

开始

12

ABAB

所有等可能的情况有4种，其中从入口1进入并从出口N离开的情况有1种，则尸=；.

故选：C.

【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之

比.

7.A

【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质判断即可，熟练掌握相似三

答案第2页，共20页

角形的性质定理是解题的关键.

【详解】解：•：AOABSAOCD,OA:OC=3:2,

=故A正确；

■■■^=7-故B错误；

••黑总故C错误;

AB3山口

••-^^=3，故D错底；

故选：A.

8.B

【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是理解作法、掌

握角平分线的定义.利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可.在图①中，利用基本

作图可判断AD平分/A4C；在图③中，利用作法得=AMAN,可证明

△AFM沿AAEN,有乙4MD="ND,可得ME=NF,进一步证明2/XA©尸，得

DM=DN,继而可证明得NMAD=NNAD,得到40是28/C的平分线;

在图②中，利用基本作图得到。点为BC的中点，则/。为8c边上的中线.

【详解】在图①中，利用基本作图可判断平分/"C；

在图③中，利用作法得NE=4F,AM=AN,

在AAFM和AAEN中，

AE=AF

<NBAC=NBAC,

AM=AN

AAFM名AAEN(SAS),

ZAMD=ZAND,

;AM-AE=AN-AF

:.ME=NF

答案第3页，共20页

在4MDE和xNDF中

AAMD=ZAND

<ZMDE=ZNDF,

ME=NF

：.AMDEANDF〈AAS）,

DM=DN,

♦；AD=AD,AM=AN,

：.AADMAADN（SSS）,

ZMAD=ZNAD,

.•.40是N8/C的平分线；

在图②中，利用基本作图得到。点为BC的中点，则/。为2c边上的中线.

则①③可得出射线/。平分NB/C.

故选：B.

9.D

【分析】此题重点考查菱形的性质、勾股定理，由菱形的性质得

AC1BD,OA=OC,OD=OB,则乙4。。=90。，因为F是线段AD的中点，求出。0长,

然后根据S菱畛^=5DE=；x8x6,求出。E长即可.

【详解】解：,•・四边形/BCD是菱形，对角线NC、BD交于点0,

.-.AC1BD,OA=OC,OD=OB,

ZAOD=90°,

・••b是线段4D的中点，OF=?

:.OF=-AD=-,

22

AB=AD=5,

04=4,

AC=2OA=8,=一CM，=552-42=3,

BD—2OD=6,

vS菱形Ms=5DE=-X8X6,

答案第4页，共20页

故选：D.

10.C

【分析】本题考查二次函数的图象和性质.根据抛物线的顶点坐标是(1,T),有最小值，判

断①；根据抛物线的对称轴是直线x=F-14-上3=1,判断②；根据x=o与X=2对称，判断

③；利用待定系数法求得抛物线的解析式，得到图象过原点，对称轴在原点右则，判断④;

抛物线在直线x=l右侧的部分是上升的，判断⑤.

【详解】解：由表格可知，抛物线的顶点坐标是(L-1),有最小值，

...抛物线了=办2+1+。的开口向上，故①错误；

抛物线的对称轴是直线》=—尸=1,故②正确；

当x=0或x=2时，y的值相等，

故加=",故③正确；

•••抛物线的顶点坐标是0，T)，

设抛物线的解析式为＞=,

将(3,3)代入得3=43-1)2一1,

解得“=1,

••・抛物线的解析式为T=(X-1)2-1,

当x=0时，y=(JC-1)2-1=0,

二图象过原点，

・•・对称轴为直线x=l,

・••图象不过第三象限，故④正确；

••・抛物线的开口向上，对称轴为直线x=l,

••・抛物线在直线x=l右侧的部分是上升的.故⑤不正确.

,正确的有②③④.

故选：C.

11.3(a-3)2

答案第5页，共20页

【分析】此题考查了提公因式及公式法分解因式.先提取公因式再运用完全平方公式分解因

式即可.

【详解】解：3/-18。+27

=3（a-3）2.

故答案为：3（a-3）2.

12.500（1-加『=320

【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用，设每季度平均每周作业时长的下降率为小,

分别表示出2023年第四季度和2024年第一季度平均每周作业时长，由此列得方程.

【详解】解：设每季度平均每周作业时长的下降率为加，根据题意得，

500（1-m）2=320,

故答案为：500。-加y=320.

13.60°

【分析】根据菱形的性质得到z/10C=〃12C,根据圆周角定理得到■乙4OC,根据

圆内接四边形的性质得到乙4OC+乙43c=180。，计算即可.

【详解】解：•••四边形O/BC为菱形，

：./.AOC=/-ABC,

由圆周角定理得：乙乙4OC,

•.•四边形48CD为。。的内接四边形，

.••乙4OC+zABC=180。，

.•.A4r>C+2A4£>C=180°,解得：AADC=6Q°,

故答案为：60°.

【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质，掌握圆内接四边形

的对角互补是解题的关键.

14.-10

【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，坐标与几何长度之间的转化是解题的关

键.

答案第6页，共20页

设8卜则《一国,一；1设C(0,%)，则℃=一乂，求出国乂=一50,根据

Y4k、

BD=3CD,求出。小一，再根据直线3。的斜率即可求得结果.

(4x"

【详解】解：设8[再,V[,贝|]/[-再,-七.

IxiJIxiJ

设C(O,yJ,则。。=一乂，

S4ABe=S“oc+S&BOC=~OC-2xx=一再M=-50,

再必=-50,

•・・BD=3CD,

(4x"

4k

Ar_y----弘

那么直线2c的比例系数可表示为再一或三——，

x土

14

国五

4

变形得3国必=15人.

又占必=一50,

k=-10.

80

15.—

17

【分析】先求解/。=囱，BD=2y[5,如图，过A作4/1_8C于M,过。作。尸，4B于

F,过C作CGL48于G,求解。尸=丝侬=2,BF=4,/尸=5-4=1,证明

AB

BM=CM=4,求解/初=行『=3，CG=.C，M=言进一步求解

AnJ

712

FG=AF+AG=l+-=—,证明⑨底ESACGE,再利用相似三角形的性质解答即可.

答案第7页，共20页

【详解】解：•・・/4OB=90。，tanZ^SD=1,

AD:BD:AB=1:2:旧,

•・•AB=5,

・・・AD=5BD=275,

如图，过A作于〃，过。作。尸_L/B于尸，过。作CG_L4B于G,

//=5—4=1,

vAB=AC=5,BC=S,AMLBC,

・•.BM=CM=4,AM=V52-42=3，

BCAM24

712

：.FG=AF+AG=l+-=—,

55

vZDFE=ZCGE=90°,ZDEF=ACEG,

・•・ADFESKGE,

EFDF_2_5

^~EG~~CG~^_~V2,

T

:・EF=HFG=N

1717

17QQ

;.BE=BF+EF=4+—=—

1717

on

故答案为：—

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的性质，锐角三角函数的应用，相似三

角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.

16.(1)15+6(2)-a+1,-2

答案第8页，共20页

【分析】本题考查了分式化简求值，零次累，乘方、化简绝对值，正确掌握相关性质内容是

解题的关键.

(1)先运算零次累、乘方、化简绝对值，再运算乘法以及去括号，最后运算加减，即可作

答.

(2)先整理原式=二;1再运算除法，然后运算加减，得F+1,最后把。=3

a-\a-\

代入计算，即可作答.

【详解】解：(1)()一3)°+X4-|V3-2[

=1+4x4-(2-9

=1+16-2+。

=15+73.

(2+1

⑵

4_1

aa+\

-(2«-1)

q—1(Q—+

—Ci—2a+1

=—a+1,

Q=3,

—ci+1=—3+1=—2.

17.(1)排球的单价为140元，足球的单价为160元；

(2)张老师带的钱不够，最少还差200元.

【分析】(1)设排球的单价为x元，则足球的单价为(x+20)元，根据题意列出方程即可求

解；

(2)设学校购买加个足球，则购买(60-加)个排球，根据题意列出不等式组，求出机的取

值范围，设费用为川元，再求出卬与加的一次函数关系，最后根据一次函数的性质即可解

答；

答案第9页，共20页

本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意正确列出分式方程和一次函数解析

式是解题的关键.

【详解】（1）解：设排球的单价为X元，则足球的单价为（尤+20）元,

40002800匚

依题意得,-------=5

x+20x

解得再=80（不符合题意，舍去），X2=140,

经检验，x=140是原方程的解，且符合题意，

x+20=160,

答：排球的单价为140元，足球的单价为160元;

（2）解：设学校购买加个足球，则购买（60-⑹个排球,

m>y（60—m）

依题意得,

m<^-（60—m）

解得15VmV20,

设费用为W元,

由题意得，w=160/n+140（60-w）=20w+8400,

20>0,

•••可随加的增大而增大,

当加=15时，w的值最小，/小值=20x15+8400=8700,

•■•8700>8500,8700-8500=200,

二张老师带的钱不够，最少还差200元，

答：张老师带的钱不够，最少还差200元.

18.⑴见解析

（2）小明爸爸应该预约学校理由见解析

【分析】本题考查了求中位数，众数和频率，利用方差判断稳定性，解题的关键是熟练掌握

相关的定义.

（1）根据中位数，众数和频率的确定方法，进行求解即可；

（2）根据方差判断稳定性，进行判断即可.

【详解】（1）解：①N学校中出现次数最多的是45,故众数为45；

答案第10页，共20页

②8学校中的10个数据从小到大进行排序，排在中间两位的数据为45,51,故中位数为:

1x（45+51）=48；

③2学校小于30人的频率是3+10=0.3,

填表如下:

学平均众中位小于30人的频

方差

校数数数率

A48.345490.175.01

B48.425480.3349.64

(2)解：小明爸爸应该预约学校理由如下：

学校/的方差小，预约人数相对稳定，大概率会有位置更好的场地进行锻炼.

19.(1)%=0.6x,%=-0-2X2+2.2X；(2)①W=-O22+16+6,当乙种蔬菜进货4吨,

甲种蔬菜进货6吨，利润之和最大，最大9200元；②乙种蔬菜进货量为2吨到6吨范围内

【分析】(1)分别设一次函数解析式与二次函数解析式的一般式，再利用待定系数法求解即

可；

(2)①根据《=弘+%,利用配方法求得二次函数的最值即可解题；

②令①中W28.4千元，解析式化为一般式，求得与x轴的两个交点，结合二次函数图象与

性质解题，从中选择符合题意的范围即可.

【详解】(1)由题意得，设弘=依

5k=3

k=0.6

必=0.6x,

根据题意得,设%=。/+云+。，由图知，抛物线经过点(0,。)、(1,2)、(5,6),代入得，

c=0

<a+b+c=2

25a+5b+c=6

答案第11页，共20页

a=—0.2

6=2.2

c=0

'2=-0.2工2+2.2x；

(2)①设乙种蔬菜的进货量为7吨，

=0.6(10-)+(-0.2-+22)

=—0.21+1.6/+6

=-0.2(?-4)2+9.2

当，=4,利润之和最大

%大=9200(元)

答：当乙种蔬菜进货4吨，甲种蔬菜进货6吨，利润之和最大，最大9200元.

②w=必+%=—0.2/+1.6/+6

当WN8.4时,即-0.2/2+16+648.4,

-0.2厂+1.67—2.420

令-0.2r+1&-2.4=0

Z2-8/-12=0

2)(7-6)=0

K0

--1

Z2

3

-4

-5

答：乙种蔬菜进货量为2吨到6吨范围内.

答案第12页，共20页

【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合、二次函数与一元二次方程综合，涉及一次函

数解析式、二次函数解析式、配方法求最值、二次函数与X轴的交点，一元二次方程等知识,

是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键.

20.每节拉杆长30cm

【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用.设每节拉杆长为xcm,则图1中/8=xcm,

/C=(x+60)cm,图2中/B=2xcm,/C=(2x+60)cm,在图1中，过点A作/尸_LCG

4

于点尸，利用三角函数可得％尸=《'+48；在图2中，过点A作于点利用三

角函数可得/*=gx+36,结合两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同，可得关于x的

方程并求解，即可获得答案.

【详解】解：设每节拉杆长为xcm,则图1中N3=xcm,4C=(x+60)cm,

图2中48=2xcm,/C=(2x+60)cm,

在图1中，过点A作Nb_LCG于点尸，

图1

在RtZUCF中，ZAFC=90°,

Ap

sin乙4c尸二——,

AC

4

/.AF=ACxsinZACF=-x+48f

在图2中，过点A作于点H,

图2

在RM/C“中，ZAHC=90°,

sinZACH=­,

AC

/.AH=ACxsinZACH=^x+36f

答案第13页，共20页

AF=AH,

46

」.一x+48=—x+36,

55

解得：x=30.

答：每节拉杆长30cm.

21.(1)见解析

(2)5C=4,OO的半径为勺自

7

【分析】(1)连接OC并延长交。。于点M,连接MD,证明OCJ_8C,即可得证；

(2)易证4cs△5CZ),得到二求出5。的长；过点力作ZELC。，垂足为E,

BDBC

连接。。，并延长交O。于R连接4月，在中，通过解直角三角形得到。石=1,

AE=布,由ABNCSABCD得到笑=名=设CD=X,则/。=后，CE=x-l,在

Rt“CE中，根据勾股定理构造方程，求得8=2,=2五，由N4FC=ZADC得到

sinZAFC=sinZADC,根据正弦的定义即可求解.

【详解】(1)证明：连接OC并延长交OO于点"，连接也，

则：NM=NA,ZCDM=90°,

.-.ZAf+ZMCD=90°,

•••ABAC=/BCD,

.-.ZAf=/BCD,

；.NBCD+/MCD=90。,

・•.ZOCB=90°,

・•・OCLBC,

・・・OC是oo的半径，

・•.BC是O。的切线；

(2)解：♦:/BAC=/BCD,/B=/B,

:ABACS^BCD.

答案第14页，共20页

BC

——,BP5C2=ABBD

BDBC

-：AB=472,。为N5中点,

;.BD=AD=-AB=1y[?.,

2

：・BC?=AB-BD=46x26=\6,

BC=4.

过点/作/ELCD,垂足为£,连接C。，并延长交。。于R连接/厂,

又•：AD=2亚,

：.DE=\.

.,.在RtAAED中，AE=ylAD2-DE2=77.

ABACSABCD,

上理也

CDBC

设CD=x,贝。。=缶，CE=CD-DE=x-l.

•.•在Rt^ACE中，AC2=CE-+AE2,

（缶了=（尤一I）2+（正了，即/+2x—8=0,

解得XI=2,x2=-4（舍去）.

CD=2,AC=242.

■AC=AC'

ZAFC=ZADC.

•；CF为。。的直径,

ZCAF=90°.

sinZAFC=—=sinZCDA=—=—

CFAD4

eg即。。的半径为舞

【点睛】本题考查切线的判定，相似三角形的判定及性质，解直角三角形，圆周角定理.构

答案第15页，共20页

造适当的辅助线是解题的关键.

22.(1)见解析

(2)①见解析；②=1

【分析】(1)先证。E=CD,再证四边形的D是平行四边形，则

AD=BF,AADE=ZABF,然后证/4B尸=。尸，则/NOE=/FCD,由£4S即可得出结

论；

(2)①连接CG,先证四边形4GCD是平行四边形，得CG〃4D,CG=4D,再证四边形

■CG是平行四边形，然后证平行四边形BFCG是菱形，即可得出结论；

r)pprCFCFFF

②先证得一=一,进而证△BO£s2\c①，得—=—=一,贝|

DFBEBDBEDE

黑=黑，然后求出空二心二1,即可得出结论.

DFDEDE2

【详解】(1)证明：•・・£>£〃/

:./DEC=/ABC,

•・•ZABC=/DCB,

/.ZDEC=NDCB,

DE=CD,

•：DE//AB.BF//AD,

・•・四边形ABFD是平行四边形，

AD=BF,ZADE=ZABF,

CF=BF,

ZFBC=NFCB,AD=CF,

NABC+NFBC=ZDCB+ZFCB,

即/ABF=ZDCF,

NADE=ZFCD,

在△4DE和△/C。中，

AD=FC

</ADE=ZFCD,

DE=CD

：AADE=AFCD(SAS).

(2)解：①证明：如图，连接CG,

答案第16页，共20页

A

D

由（1）得：AADEmAFCD,

ZDEA=ZCDF

AE//CD,

AG=DC,

••・四边形ZGC。是平行四边形，

...CG//ADCG=AD,

AD=BF,AD〃BF,

CG//BF,CG=BF,

・•・四边形BFCG是平行四边形，

CF=BF,

・•・平行四边形是菱形，

・•・BC平分/DBF；

②解：由（1）可知，AADE名AFCD,

/.NAED=NFDC,

•・•DE//AB,

ZBAE=NAED,ZABE=NDEC,

/./BAE=NEDC,

:△ABEs^DEC,

.DEEC

,•商一定’

,DEEC

一而一拓’

由（1）可知，四边形5ASG是平行四边形,

/.BD〃FC,

:ABDEsACFE,

答案第