2025年内蒙古通辽市科左中旗九年级数学中考二模试卷

2025年九年级中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）

1.（3分）几种气体的液化温度（标准大气压）如表：

气体氯气（He）氢气（H）氮气（N）氧气（。）

液化温度（°C）-269-253-196-183

其中液化温度最低的气体是（）

A.氢气B.氢气C.氮气D.氧气

2.（3分）在一个扇形统计图中，有一扇形的面积占整个圆面积的20%,则这个扇形的圆心角为（）

A.15°B.36°C.54°D.72°

3.（3分）河堤横断面如图所示，堤高8C=7机，迎水坡A8的坡比为1：V3,则AC的长为（)

B

CA

A.14V2mB.21mC.14/MD.ly[3m

4.（3分）如图，小树AB在路灯。的照射下形成投影BC.若这棵树高树影2C=4〃z,树与路

灯的水平距离8P=5s,则路灯的高度。尸为（）

25

C.-mD.6m

4

5.（3分）深圳书城湾区域，高空俯瞰像两只眼睛,也被称为“湾区之眼”，是深圳新时代重大文化设施之

一，预计2025年6月启用.预计第一年进书城672万人次，进书城人次逐年增加，第三年进书城1050

万人次，若进书城人次的年平均增长率相同.设进书城人次的年平均增长率为无，则根据题意，可列方

程是()

A.672(1-%)2=1050B.1050(1-%)2=672

C.672(1+无)2=1050D.1050(1+x)2=672

6.（3分）下列命题中，错误的是（）

A.顺次连接菱形四边的中点所得到的四边形是矩形

B.反比例函数的图象是轴对称图形

C.线段的长度是2,点C是线段A8的黄金分割点且ACVBC,贝何C=—1+逐

D.对于任意的实数8,方程尤2+云-5=0有两个不相等的实数根

7.（3分）如图，宇树机器人小尸在三角形地块上进行走路测试，它从点A出发沿折线AB-2C-CA匀速

运动至点A后停止.设小P的运动路程为x,线段AP的长度为》图2是y与x的函数关系的大致图

象，其中点F为曲线DE的最低点，当小P运动到点C时，小P到线段AB的距离为（）

8.（3分）如图，已知A,8两点的坐标分别为（5,0）,（0,5）,点C,尸分别是直线x=-7和x轴上的

动点，CP=14,点。是线段C尸的中点，连接A。交y轴于点£,当aABE面积取得最小值时，sin/

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11

9.（3分）已知Q+6=4,ab=2,则一+丁=.

ab

10.（3分）我国古代数学专著《九章算术》中记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”

注释：宛田是指扇形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径.那么，这口宛田的面积是

平方步.

11.（3分）一元二次方程/+2日-左=0的两个根分别为XI,X2.若X1・X2=1,贝（JXl+%2=.

12.（3分）如图，Rt/XAOB中，ZA0B=90°,顶点A,B分别在反比例函数y=|（x>0）与y=—（（x

<0）的图象上，则/区4。=°.

13.（3分）如图，在菱形ABC。中，AB=AC=6,对角线AC,2。交于点。，E是BD上的一个动点，将

线段AE绕点A逆时针旋转到AF,且/EAF=/8A。，连接EF,DF,若△。跖是直角三角形，则8E

的长为_______________________

三、解答题（本大题共7小题，共61分）

X1丁2

14.（7分）【阅读理解】已知,=三，求一4；的值•

%2-12%4+1

%2_1

解：由已知可得xWO,则----=2,

:人—丁—上=X?2+—-L=（%--L-）+2=272+2=6,②

X乙X乙X

..1

・"1=6,

⑴第②步尤2+与=Q—导+2运用了_______公式；（A.平方差B.完全平方）

X"X

【类比探究】

（2）上题的解法叫做“侄擞法”，请你利用“侄擞法”解决下面的问题：

X1汽2

已知刀----7==，求F---厂7的值.

x2-x+l2x4+x2+l

15.（9分）百度推出了“文心一言”41聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”4/聊天机器人

（以下简称乙款）.有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取

20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：

A：60VxW70,B：70cxW80,C：80cxW90,D-.90<xW100),

下面给出了部分信息：

甲款评分数据中“满意”的数据：64,70,75,76,78,78,85,85,85,85,86,89,90,90,94,

95,98,98,99,100.

乙款评分数据中C组包含的所有数据：84,86,87,87,87,88,90,90.

甲、乙款评分统计表：

设备平均数中位数众数

甲8685.5b

乙86a87

根据以上信息，解答下列问题：

(1)上述图表中a=,b—,in=.

(2)在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分.请通过计算，估计其中对甲、

乙两款聊天机器人非常满意(90<xW100)的用户总人数.

(3)DeepSeek(简称丙款)推出后引发广泛讨论.现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自

随机选择其中一款进行体验测评.请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率.

乙款聊天机器人的评分扇形统计图

Z^10%\30%\

m%

16.(7分)如图，四边形A8CD中，8。为对角线，ZADC=AABC,NA=NC.(1)证明：四边形ABC。

是平行四边形；

(2)已知请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDR顶点E,尸分别在边8C,AD±(保留作

图痕迹，不要求写作法).

17.(8分)春节期间，《哪吒2》热映，某文创公司设计了一款成本价为每卷4元的哪吒贴纸投放到市场，

公司以不低于成本价且不超过每卷7元的价格销售，当每卷售价为5元时，每天售出贴纸950卷；当每

卷售价为6元时，每天售出贴纸900卷，通过分析销售数据发现：每天销售贴纸的数量y（卷）与每卷

售价x（元）满足一次函数关系.

（1）请直接写出y与尤的函数关系式：；

（2）公司将该贴纸每卷售价定为多少元时，每天销售该贴纸的利润可达到1800元？

（3）当每卷售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？

18.（8分）如图，A8为。。的直径，C为54延长线上一点，。是。。的切线，。为切点，点尸在线段

上，连接。P交于点E,ZADC^ZAOF.

（1）求证：

19.（10分）【项目主题】合理设计，实用便民

【项目背景】为了提升交通安全，南山某城市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯.现需

要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计.某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动:

素材1图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似

地看成抛物线，其截面如图2所示.以地面

为x轴，以左侧墙面为y轴，建立平面直角

坐标系，则抛物线符合y=a（尤-4）

2+k.最高点A离地面8〃z,照明灯安装在y

轴右侧的C点，距y轴147”.

素材2为测量素材1的点C到地面的距离CG的长

度，小组参考《海岛算经》中的测量方法，

使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图

3所示.经测量，标杆H/=JK=L5/w（标杆

垂直于地面），两杆相距15步，从小退行

10步到M点，从JK退行15步到N点.（C、

H、M共线，C、人N共线）

素材3为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯

架，为每个车道增设指示灯.按要求，指示

灯需距离地面4.5m.如图2所示，灯架DiEi,

D2E2,D3E3,。4段均平行于y轴，Di,Di,

D3,。4共线，且所在直线平行于x轴，DiDi

=。2。3=。3。4=3.5机，的坐标为（2,

4.5）.为加强稳固性，还需在每个灯架上端

加装两个长度为1相的支架.记灯架和支架

总长/=。1F1+。2£12+。3£13+。4&+8.

图2图3

根据提供素材，完成下列问题:

（1）数学小组计算出CG的长度，具体如下:

解：设CG=s〃z,G/=f步,

"JHI//CG,

:.ACMGsAHMI,

s

(1),

1.5

又,：JK//CG,

:ACNGS&JNK,

s15+15+t

1.515

10+t15+15+t

1015

_1.5(t+10)_

s=~10-=

请补全上述求解过程中①②③所缺的内容;

（2）根据已知条件，求出抛物线的解析式（不需要写出x的取值范围）.

（3）求出素材3中/的值，并判断20//7长的材料能否完成灯架和支架的安装.

20.（12分）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶

点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项妙点”.

如图1,△ABC中，点。是8C边上一点，连接4。，AD1=BD-CD,则称点。是△ABC中8C边上

的“比中项妙点”.

图3

,于点。，则点。（填“是”或“不是”）△

ABC中AB边上的“比中项妙点”;

②如图2,AABC的顶点是4X4网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“比中项妙点”点M

的中点除外）.

（2）如图3,平行四边形A8CD中，点E为8c边上一点，连接。E交对角线AC于点孔点尸恰好是

△ACD中AC边上的“比中项妙点

①求证：点E也是中OE边上的“比中项妙点”；

BE1BE

②连接BF并延长交CD于点G,若点P是ABCG中BG边上的“比中项妙点”，且^=?求而的值.

2025年九年级中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案ADDBCCAB

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）

1.（3分）几种气体的液化温度（标准大气压）如表：

气体氯气（He）氢气（H）氮气（N）氧气（。）

液化温度（℃）-269-253-196-183

其中液化温度最低的气体是（）

A.氢气B.氢气C.氮气D.氧气

【分析】先将液化温度从低到高排序，然后找出最低温度.

【解答】解：：-269℃<-253℃<-196℃<-183℃,

，液化温度最低的气体是氧气.

故选：A.

【点评】本题考查了有理数比较大小，掌握比较有理数大小的方法是关键.

2.（3分）在一个扇形统计图中，有一扇形的面积占整个圆面积的20%,则这个扇形的圆心角为（）

A.15°B.36°C.54°D.72°

【分析】用360。乘以扇形的面积占整个圆面积的百分比即可得出答案.

【解答】解：这个扇形的圆心角为360°X20%=72°,

故选：D.

【点评】本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分

数量占总数的百分数.通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系.用整个圆的

面积表示总数（单位1）,用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数.

3.（3分）河堤横断面如图所示，堤高BC=7M,迎水坡AB的坡比为1：V3,则AC的长为（）

B

A.14V2mB.21mC.14〃zD.7V3m

【分析】根据坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比计算即可.

【解答】解：；迎水坡42的坡比为1：V3,

：.BC：AC=1：V3,

,:BC=7m,

故选：D.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度〃和水平宽度

/的比是解题的关键.

4.（3分）如图，小树AB在路灯。的照射下形成投影BC.若这棵树高A8=3s,树影3c=4加，树与路

灯的水平距离8尸=5加，则路灯的高度OP为()

涔

、'、7

I:落\

路灯PBC

92725

A.~mB.-mC.-mD.6m

244

OPPC

【分析】根据AB〃OP,得至iJZXABCs△。尸。，得到一二77,代入相关数据即可求解.

ABBC

【解答】解：-OPLPC,ABLPC,

J.AB//OP,

：.AABC^AOPC,

.OPPC

••=,

ABBC

AB=3m,BC=4m,BP—5m,

；・PC=BP+BC=9,

.OP9

••—―,

34

77

OP—w(m),

即路灯的高度OP为「如

4

故选：B.

【点评】本题考查了相似三角形的应用以及中心投影，熟练掌握相似三角形的判断和性质，是解决问题

的关键.

5.（3分）深圳书城湾区域，高空俯瞰像两只眼睛，也被称为“湾区之眼”，是深圳新时代重大文化设施之

一，预计2025年6月启用.预计第一年进书城672万人次，进书城人次逐年增加，第三年进书城1050

万人次，若进书城人次的年平均增长率相同.设进书城人次的年平均增长率为无，则根据题意，可列方

程是（）

A.672（1-尤）2=1050B.1050（1-%）2=672

C.672（1+无）2=1050D.1050（1+x）2=672

【分析】设进书城人次的月平均增长率为x,根据题意列出一元二次方程即可.

【解答】解：：第一年进书城672万人次，进书城人次逐年增加，第三年进书城1050万人次，

A672（1+x）2=1050,

故选：C.

【点评】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程.

6.（3分）下列命题中，错误的是（）

A.顺次连接菱形四边的中点所得到的四边形是矩形

B.反比例函数的图象是轴对称图形

C.线段的长度是2,点C是线段的黄金分割点且ACVBC,则4C=一1+遮

D.对于任意的实数乩方程/+云-5=0有两个不相等的实数根

【分析】利用矩形的判定方法、反比例函数的性质、黄金分割点的定义及一元二次方程根的判别式的知

识分别判断后即可确定正确的选项.

【解答】解：4、顺次连接菱形四边的中点所得到的四边形是矩形，正确，不符合题意；

8、反比例函数的图象是轴对称图形，正确，不符合题意；

C、线段A8的长度是2,点C是线段A8的黄金分割点且ACV8C,贝AC=3-V5,本选

项说法错误，符合题意.

D、对于任意的实数b,方程，+"-5=0的判别式=/+20>0,所以有两个不相等的实数根，本选项

说法正确，不符合题意；

故选：C.

【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真

假关键是要熟悉课本中的性质定理.

7.（3分）如图，宇树机器人小尸在三角形地块上进行走路测试，它从点A出发沿折线AB-BC-CA匀速

运动至点A后停止.设小P的运动路程为龙，线段AP的长度为y,图2是y与尤的函数关系的大致图

象，其中点F为曲线DE的最低点，当小P运动到点C时，小P到线段AB的距离为（）

【分析】从图2看，AB=10,AN=15-10=5=%8,CN=18-15=3,则BC=18-10=8,则/及IN

=30°,则NA8C=60°,即可求解.

【解答】解：作AN±BC于点N,作CH±AB于点H,

从图2看，AB=10,AN=15-10=5=%B,CN=18-15=3,则8C=18-10=8,

则NBAN=30°,则NABC=60°,

则尸COH=2C・sinB=8Xsin60°=4百，

即小P到线段AB的距离为4V3,

故选：A.

【点评】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是解题的关键.

8.（3分）如图，已知A,8两点的坐标分别为（5,0）,（0,5）,点C,尸分别是直线尤=-7和x轴上的

动点，CP=14,点。是线段CP的中点，连接AD交y轴于点E,当AABE面积取得最小值时，sin/

EAO的值是（）

34

A.-B.—C.一D.-

51247

【分析】如图，设直线x=-7交X轴于K.由题意KO=2CF=7,推出点。的运动轨迹是以K为圆心,

为半径的圆，推出当直线与OK相切时，△A8E的面积最小，即可解决问题.

【解答】解：如图，设直线尤=-7交x轴于K.由题意:尸=7,

・••点。的运动轨迹是以K为圆心，7为半径的圆,

・・・当直线A0与。K相切时，△A3E的面积最小,

〈A。是切线，点。是切点,

：.ADLKD,

•・・AK=12,DK=1,

：.smZEAO=^=-^.

故选：B.

【点评】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识，解

题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11

9.（3分）已知〃+。=4,ab=2,则一+-=2

ab

【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则运算，将已知等式代入计算即可求出值.

【解答】解：・・・〃+b=4,ab=2,

；・原式=喏=2,

故答案为：2

【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

10.（3分）我国古代数学专著《九章算术》中记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”

注释：宛田是指扇形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径.那么，这口宛田的面积是120

平方步.

【分析】利用扇形面积公式即可计算的解.

【解答】解：•••扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，

，这块田的面积S=*x30x8=120（平方步），

故答案为120.

【点评】本题是扇形面积公式的应用，考查了推理能力，是基础题.

11.（3分）一元二次方程天2+2日-%=0的两个根分别为XI,X2.若X1・X2=1,则Xl+X2=2.

【分析】根据根与系数的关系得到Xl+X2=-2k,尤1X2=-k=l,得出左=-1即可求解.

【解答】解：,一元二次方程工2+2日-%=0的两个根分别为XI,XI,

••Xi+x2~—2k,xix2^-k~~1>

:・k=-1

所以Xl+X2=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查了根与系数的关系：若XI，X2是一元二次方程OX2+ta+c=0（0）的两根时，+%2=

bc

,XiXo——.

a12a

12.（3分）如图，RtZ\A08中，ZAOB=90°,顶点A,8分别在反比例函数y=]（x>0）与丫=一（（X

【分析】根据反比例函数％值的几何意义解答即可.

【解答】解：如图，作BGLx轴，垂足为G,48,无轴，垂足为H,

：.ZGOB=ZOAHf

：.ABGO^AOHA,

.S△BG。_OB2

S△O/MOA2'

:顶点A,2分别在反比例函数y=|(x>0)与y=—[(x<0)的图象上,

.".SABGO—3,SAOHA—1,

tanXBAO=册=V3,

：.ZBAO^60°,

故答案为：60°.

【点评】本题考查了反比例函数左值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键.

13.（3分）如图，在菱形A8CZ）中，AB=AC=6,对角线AC,8。交于点O,E是8。上的一个动点，将

线段AE绕点A逆时针旋转到AF,且连接ERDF,若△。斯是直角三角形，则8E

的长为2V3^（4V3.

【分析】根据菱形的性质得到A2=BC，AC±BD,推出△ABC是等边三角形，得到NABC=60°,Z

BAD=120°,求得BD=6®/A8E=NAO8=3（r,根据旋转的性质得到AE=AF,根据全等三角

形的性质得到8石=。/，NADF=NABE=30°,得到/即尸是定值，若△。跖是直角三角形，分两种

1Q

情况，①当/斯。=90°时，DE=2DF=2BE,②当NDEF=90°时，DE=^DF=BE,则制E=

6V3,

于是得到结论.

【解答】解：・・•四边形A8C。是菱形，

：.AB=BC,ACLBD,

9

：AB=ACf

：.AB=BC=AC,

则△ABC是等边三角形，

ZABC=60°,ZBAD=120°,

AZABD=30°,

VAB=6,

：.AO=3,

:.BD=6®ZABE=ZADB=30°,

•・•将线段AE绕点A逆时针旋转到AF,

：.AE=AF,

•：/EAF=/BAD,AB=ADf

：.AABE^AADF(SAS),

；・BE=DF,ZADF=ZABE=30°,

ZEDF=60°,

・・・NEDb是定值，

若△。斯是直角三角形，分两种情况，

①当NEfZ)=90°时，DE=2DF=2BE,

则BD=3BE=6聒.

:.BE=2®

11

②当/OEF=90°时，DE=jDF=^BE,

则BD=|B£=6V3,

:.BE=4g

综上所述，BE的长为或4百.

故答案为：2次或4b.

【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，熟练掌

握各知识点是解题的关键.

三、解答题（本大题共7小题，共61分）

X1汽2

14.（7分）【阅读理解】已知〒二二：;,求丁二的值.

x2-l2%4+1

%2_1

解：由已知可得则----=2,

X

%2-1X21

­=X—-=2.①

XXXx

%4+112

>>_212

—Av,+—=(「)+2=2+2=6,②

X2X2

X21

%4+16

(1)第②步f+J（无一［）2+2运用了B公式;（A.平方差艮完全平方）

XL

【类比探究】

（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题:

X1光2

已知亦二?求审期的值.

【分析】（1）根据完全平方公式进行解答即可;

（2）根据题题中给出的例子进行计算即可.

【解答】解：（1）第②步/++2运用了完全平方公式,

故答案为：B；

x1

⑵=?

・・xWO,

x2-x+l1

=2,即1+兄=2,

x

：.x+X-=3,

%4+%2+1

X2

尤+1+当

X乙

(x+"l

=32-1

=8,

.%21

**%4+%2+18

【点评】本题考查的是分式的化简求值，完全平方公式，熟知分式混合运算的法则是解题的关键.

15.（9分）百度推出了“文心一言”A/聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”A/聊天机器人

（以下简称乙款）.有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取

20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用尤表示，分为四个等级：

A：60cxW70,B-.70cx《80,C：80VxW90,D：90〈尤（100）,

下面给出了部分信息：

甲款评分数据中“满意”的数据：64,70,75,76,78,78,85,85,85,85,86,89,90,90,94,

95,98,98,99,100.

乙款评分数据中C组包含的所有数据：84,86,87,87,87,88,90,90.

甲、乙款评分统计表：

设备平均数中位数众数

甲8685.5b

乙86a87

根据以上信息，解答下列问题：

（1）上述图表中a=86.5,b—85,m—20.

（2）在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分.请通过计算，估计其中对甲、

乙两款聊天机器人非常满意（90〈尤W100）的用户总人数.

（3）OeepSe水（简称丙款）推出后引发广泛讨论.现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自

随机选择其中一款进行体验测评.请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率.

乙款聊天机器人的评分扇形统计图

【分析】（1）根据众数、中位数及百分比的概念逐一求解即可；

（2）总人数分别乘以。组人数所占比例，再相加即可得出答案；

（3）画树状图展示所有等可能的结果数，再找出两人都选择同款聊天机器人的结果数，然后根据概率

公式求解.

【解答】解：（1）二.甲款评分数据中“满意”的数据中85出现的次数最多，

.,•众数6=85,

乙款软件A、8组人数和为20义(10%+30%)=8(人)，

乙款软件的中位数为第10、11个数据的平均数，而这2个数据分别为86、87,

中位数。=落变=86.5,

20-8-8

乙款软件评分在D组人数所占百分比为-------xl00%=20%,即加=20,

20

故答案为：86.5、85、20；

P

(2)280x^+300X20%=172(名)，

答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意(90〈尤W100)的用户总人数为172名;

(3)画树状图为：

开始

共有9种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为3种，

31

所以两人都选择同款聊天机器人的概率为3=--

【点评】本题考查列表法与树状图法，扇形统计图，中位数、众数以及样本估计总体，理解中位数、众

数的意义，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的前提.

16.(7分)如图，四边形A8C。中，3。为对角线，ZADC=ZABC,NA=NC.(1)证明：四边形A8CD

是平行四边形；

(2)已知请用无刻度的直尺和圆规作菱形8EDR顶点E,尸分别在边8C,AD±(保留作

(2)作的垂直平分线即可.

【解答】(1)证明：,/ZADC=ZABC,NA=NC且/AOC+/A8C+/A+NC=360°,

.•.NAOC+NA=180°,ZC+ZADC=180°,

J.AD//BC,AB//CD,

/.四边形ABCD是平行四边形;

(2)解：如图所示：菱形3即尸即为所求

【点评】本题考查了复杂作图，掌握菱形的判定定理和平行四边形方判定定理是解题的关键.

17.(8分)春节期间，《哪吒2》热映，某文创公司设计了一款成本价为每卷4元的哪吒贴纸投放到市场，

公司以不低于成本价且不超过每卷7元的价格销售，当每卷售价为5元时，每天售出贴纸950卷；当每

卷售价为6元时，每天售出贴纸900卷，通过分析销售数据发现：每天销售贴纸的数量y(卷)与每卷

售价无(元)满足一次函数关系.

(1)请直接写出y与x的函数关系式：y=-50x+1200(4OW7)；

(2)公司将该贴纸每卷售价定为多少元时，每天销售该贴纸的利润可达到1800元？

(3)当每卷售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？

【分析】(1)确定函数关系式：用两点法求一次函数>=依+6,代入已知条件求上和6.

(2)求利润达到1800元时的售价：利用利润公式W=(x-4)y,代入y的表达式，令W=1800,解

方程求X.

(3)求最大利润及对应的售价：将利润公式化为二次函数，求顶点坐标，即最大利润及对应的售价.

【解答】解：(1)根据题意设>=丘+6,当每卷售价为5元时，每天售出大米950卷；当每卷售价为6

元时，每天售出900卷，

rji||f5fc+b=950

人i6/c+b=900'

解得：c:就

则y与X的函数关系式；y=-50x+1200(4W尤W7),

故答案为：y=-50x+1200(4WxW7)；

(2)定价为x元，每卷利润(尤-4)元，

由⑴知销售量为y=-50x+1200(44W7),

贝ij(x-4)(-50.X+1200)=1800,

解得：XI=22(舍去)，垃=6,

公司将该贴纸每卷售价定为6元时，每天销售该贴纸的利润可达到1800元；

(3)设利润为W元，根据题意可得：W=(%-4)(-50.r+1200),

即W=-50?+1400x-4800=-50(尤-14)2+5000,

'：a=-50<0,对称轴为x=14,

.•.当x<14时，W随尤的增大而增大，

又：4WxW7,

：.x=7时，MT最大值=-50(7-14)2+5000=2550(元)，

当每卷售价定为多少7时，每天获利最大，最大利润为2550元.

【点评】本题考查二次函数的应用，一元二次方程的应用，根据实际问题列一次函数关系式，解题的关

键是根据题意列出方程组.

18.(8分)如图，A8为。。的直径，C为54延长线上一点，C。是。。的切线，。为切点，点尸在线段

。上，连接。尸交于点E,ZADC=ZAOF.

(1)求证：OFLAD-,

(2)若sinC=g,BD=14,求EF的长.

【分析】(1)连接OD,根据8是。。的切线，。是切点，得到NODC=90°,即NOZM+/AE»C=

90°,再用已知条件NAQC=/AOF,可求得/。即=90°,BPOFLAD.

(2)由sinC=|,ZOZ)C=90°,可得丝=士设0。=2羽再将OC,AC,CD都用含x的代数式表

50C5

示出来，利用求A0的长，再利用△OEFS2X8DA,可求出所的长.

【解答】(1)证明：如图，连接0。.

〈CO是。。的切线，。是切点，

：.ZODC=90°,即NOQA+NAZ)C=90°.

ZADC=ZAOF,

：.ZODA+ZAOF=90°,

：.ZOED=90°,BPOFLAD.

(2)解：VsinC=j,ZODC=90°,

.OD_2

**OC-5,

设OD=2x,则OC=5x,

22

：.AC=OC-OA=3xfCD=>JOC-OD=后x,

VOFLAD,BD_LAD,

OF//BD,

：.ZAOF=ZABD.

・・・ZADC=ZAOF,

：.ZADC=ZABD.

u:zc=zc,

：.AACDsADCB,

ACADr3%AD

—=----，即j—=----,

CDBDV21x14

解得AD=2VM.

OFLAD,

：.DE=^AD=V21.

VZADC=AABD,ZDEF=ZADB=90°,

:.△DEFs^BDA,

EFDEEFV21

--=---，n即n-;==---

ADBD2V2114

解得EF=3,

的长为3.

【点评】本题主要考查了与圆的切线的性质及解直角三角形的相关知识，掌握切线的性质，角度的转化,

正弦的定义，相似三角形的判定与性质是解题的关键.解答本题第（2）问需要有一定的推理能力.

19.（10分）【项目主题】合理设计，实用便民

【项目背景】为了提升交通安全，南山某城市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯.现需

要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计.某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动:

素材1图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似

地看成抛物线，其截面如图2所示.以地面

为x轴，以左侧墙面为y轴，建立平面直角

坐标系，则抛物线48符合y=a（尤-4）

-+k.最高点4离地面8加，照明灯安装在y

轴右侧的C点，距y轴14九

素材2为测量素材1的点C到地面的距离CG的长

度，小组参考《海岛算经》中的测量方法，

使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图

3所示.经测量，标杆H/=JK=L5机（标杆

垂直于地面），两杆相距15步，从小退行

10步到〃点，从JK退行15步到N点.（C、

H、M共线，C、人N共线）

素材3为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯

架，为每个车道增设指示灯.按要求，指示

灯需距离地面4.5m.如图2所示,灯架DiEi,

D2E2,D3E3,O4E4均平行于y轴，D\,。2,

03,共线，且所在直线平行于X轴，D1D2

=。2。3=。3。4=3.5机，的坐标为（2,

4.5）.为加强稳固性，还需在每个灯架上端

加装两个长度为1根的支架.记灯架和支架

总长/=。1囱+。2及+。3&+。4&+8.

图2图3

根据提供素材，完成下列问题:

(1)数学小组计算出CG的长度，具体如下:

解：设CG=SM,G/」步,

,:HI〃CG,

:.ACMGs丛HMI,

st+10

(1),

1.510

又・・,JK〃CG,

：.ACNGsAJNK,

s15+15+t

1.515

10+t15+15+t

1015

_1.5(计10)_

30s6③.

10

请补全上述求解过程中①②③所缺的内容;

(2)根据已知条件，求出抛物线A3的解析式(不需要写出x的取值范围).

(3)求出素材3中/的值，并判