2025年九年级中考数学二轮复习：思想方法之面积法训练（含答案）

2025年九年级中考数学二轮复习专题思想方法之面积法训练

一、选择题

1.如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,AB=5,A。是/BAC的平分线，

若点尸、0分别是A。和AC上的动点，则PC+尸。的最小值是()

20

A.4.8B.7C.—D.2.4

3

2.如图，在菱形ABC。中，AC=8,BD=6.E1是CD边上一动点，过点E分别作EP_LOC

于点REGLOD于点G,连接FG,则FG的最小值为()

A.2.4B.3C.4.8D.4

3.如图，在RtZ\ABC中，ZABC=90°,AB=4,BC=2,2。是边AC上的高.点E,F

分别在边AB,BC上(不与端点重合)，5.DELDF.设四边形。E2F的面积为

4.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD中间阴影部分是一个小正方形

EFGH,这样就组成一个“赵爽弦图”.若10,AE=8,则正方形E尸G8的面积为()

A.4B.8C.12D.16

第1题图第2题图第4题图

5.如图1,在边长为。的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b),把剩下部分沿图

1中的虚线剪开后重新拼成一个梯形(如图2),利用这两幅图形面积，可以验证的乘法

公式是()

A.(«-b)2=a2-2ab+lrB.(a+6)2=a2+2ab+b2

C.a(a+6)=a2+abD.(a+6)(a-b~)=a1-b1

4G3

6.如图’已知在△ABC中'点G是中线AH上一点，且购=i，

点。、E分别在边A3、AC上，。石经过点G.那么下列结论中，错误的是（）

A.如果AD=33O,那么。E〃3C

B.如果点E与点C重合，那么AZ）：BD=3：2

ABAC

C.而+瓦的和是一个定值

AE

D.茄+茄的和是一个定值

7.如图，点。、E分别是△ABC边2C、AC上一点，BD=2CD,AE=CE,连接A。、BE

交于点R若△ABC的面积为12,则△BDF与△AEP的面积之差SABDF-S”EF等于（）

A.1B.2C.3D.4

8.如图，直线AB经过原点。，点C在y轴上，。为线段AB上一动点，若4（2,m），B

（-3,71）,C（0,-2）,AB=8,则CD长度的最小值为（）

555

A-c--

B.82D.4

A

E

B■C

第6题图第8题图

9.如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线5。上一点，且BE=BC,尸为CE上任一

点，尸。，5。于点。，PRLBE于点R,贝IJPQ+PH的值是（)

12

AYB.-cWD.-

2223

4

-

10.如图，RtAABC中，ZACB=90°，/CAB=37°，AB=§,3BC=\,直线

MN经过点C,父边AB于点。，分别过点A,5作AFLMN,BE1MN,垂足分别为E,

F,设线段BE,Ab的长度分别为力，d2,若直线MN从与C8重合位置开始顺时针绕着

点C旋转，至与CA重合时停止，在旋转过程中，力+"2的最大值为（）

542

A.-B.1D.

333

第9题图

二、填空题

11.如图所示，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，设，=2,则这个正方形

的面积是.

图1图2

12.如图，△ABC中，AB=AC,AO_LBC于点。，OE平分NAOC,交AC与点E,EF1AB

于点尸，且交A。于点G,若AG=2,BC=12,贝UAF=.

13.如图，正方形ABCD边长为12,E为BC上一点、,CE=4.动点

P,。从£出发，分别向点8,C运动，且PE=2QE.若尸。和AQ

交于点F,连接BF,则BF的最小值为.

三、解答题

14.如图1,在平面直角坐标系中，A(m，0),C(小0),〃<0,点8在第一象限，ZABC

=90°,AB=BC,8c与y轴交于点。.

(1)若m=4,n=-2,则点B的坐标为；

(2)如图2,若根=a-2,”=4-a,连接并延长至点E,使得AE=2A。，当BE〃彳

轴时，求点A的坐标；

(3)如图3,过点C作的平行线交延长线于点M,过点M作y轴的垂线，垂足

为点N,CN交AM于点F.CD+CO=AB,请连接AN后，探究AN,OD,A。三条线

段的数量关系.

15.已知点A(a,0),B(0,I),且(a+6)2+|Z?-4|=0.

(1)求直线AB的函数表达式；

(2)如图，已知直线y=-2x与直线AB相交于点C,点尸为直线CO上一动点，若有

S^ACO=3S^ACP,请求出点尸的坐标；

(3)点T为平面内一动点，连接T。，将线段T。绕点T旋转90°得到线段TQ.若点。

恰好落在直线上，且当OT取到最小值时，请求出点T的坐标.

16.如图1,四边形ABC。为正方形(四条边都相等，四个内角都是90°),平行于y

轴.

(1)如图1,已知2(-2,-3),正方形ABC。的边长为4,直接写出点A,C,。的

坐标；

1

(2)如图2,已知0),C(b,0),P(^a,m),点。从C出发，以每秒2个单位

长度的速度在线段上运动，运动时间为t秒，若仍-1|+(m+t-4)2=0.

①当f=l时，求△BP。的面积；

②当SABPQ=gS^BPC时,求f的值.

17.折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴

含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开

展了数学活动.

(1)操作判断：

在AD上选一点尸，沿BP折叠，使点A落在正方形内部的点M处，把纸片展平，过M

作E尸〃BC交AB、CD、BP于点E、F、N,连接尸M并延长交CO于点。，连接BQ,

如图①，当E为A2中点时，APMN是三角形.

(2)迁移探究：

如图②，若BE=5,且求正方形ABC£＞的边长.

(3)拓展应用：

MN1CO

如图③，若亚直接写出而的值为-----------------------

图②图③

18.如图1,在平面直角坐标系中，直线/：y=号乂+百与无轴、y轴分别交于点A和点8,

点尸(m,n)是直线/上的一个动点.

(1)求△AOB的面积；

(2)记点P到无轴的距离为到y轴的距离为PN,当PN=2V5PM时，求点P的

坐标；

(3)如图2,连接0P,过点尸作CP，。尸交y轴于点C,当点C在点B上方，且满足

BCwg时，直接写出根的取值范围.

19.如图，在平面直角坐标系中，点A(a,b),且a,6满足(a+12)2+|/?-9|=0,将线段

A。向右平移至线段BC,A与B对应，。与C对应，其中点8落在y轴正半轴上.

(1)求出点3、C的坐标；

(2)若NAOC+NCDO=180°,/CDO+/OCD=90°

①求证：BCLCD-,

②求点。的坐标.

20.【阅读理解】对一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式.例

如，由图1可以得到完全平方公式：（x+y）2=/+2xy+y2,这样的方法称为“面积法”.

【解决问题】

（1）如图2,利用上述“面积法”，可以得到数学等式：（a+6+c>=.

（2）利用（1）中所得到的等式，解决下面的问题：已知a+b+c=8,ab+bc+ac—lT.求

a2+Z>2+c2的值.

【应用迁移】如图3,△ABC中，AB=AC,点。为底边8C上任意一点，ON

±AC,CHLAB,垂足分别为N,H,连接AO.若0M=1.2,ON=2.5,利用上述“面

积法”，求C8的长.

图1图2图3

参考答案

一、选择题

题号12345678910

答案DAAADDBDAA

1.【解答］解：在A3上截取AE=AC=3,过点E作EQLAC于Q,交于P,

是/BAC的平分线，AE^AC,

；.C、E关于直线对称，

:.PC=PE,

PC+PQ=PE+PQ=EQ,

・：EQ_LAC,

:・EQ的长是PC+PQ的最小值，

在RtZkABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,AB=5,

11

SAABC=2^,BC=]x3x4=6,

VAE=AC=3,AB=5,

：.SAACE=|SAABC=媪

118„118

：.-AC-QE=—,即一x3•QE=——

2525

12

.,3=苦=2.4,

...PC+PQ的最小值是2.4,

故选：D.

2.【解答】解：连接。E,

:四边形是菱形，

11

C.ACLBD,0D=^D=3,0C=jAC=4,

由勾股定理得CD=VOD2+OC2=V32+42=5,

又TEFLOC,EG.LOD,

・・・四边形。尸EG为矩形，

：.GF=OE,

当OELCZ)时，OE值最小，

此时，SAOCD=0D=*:D・OE,

.八？OC-OD4x30/

■■OE=-CD-^—^2A'

.,.PG的最小值为2.4.

故选：A.

3.【解答】解：过。作DXLAB于X,如图:

VZABC=90°,AB=4,BC=2,

：.AC=7AB2+BC2=2V5,

是边AC上的高，

.八八AB-BC4x24V5

.•但^^=南=丁

/.CD=<BC2-BD2=竽，AD=AC-CD=等

AD-BD二半斐

：.DH=

AB

118411R164

S/\ADE=眇E・DH=尹x[=/，S/\BDE=^BE・DH=(4-x)xE=~^—尹;

•：NBDE=90°-ZBDF=ZCDF,ZDBE=90°-ZCBD=ZC,

:.丛BDEs丛CDF,

2A/5

.S^CDF_(CD)2-)2.

S^BDEBD

5

.i16441

••S^CDF—~^S/\BDE—

5=耳―/'

14

•'•y=S^ABC-SAADE-S^CDF=x2X4一尹-

随x的增大而减小，且y与x的函数图象为线段(不含端点)，

观察各选项图象可知，A符合题意；

故选：A.

4.【解答】解：直角三角形较短的直角边为V102—82=6,

所以，正方形EFGH的面积=10X10-8X6+2X4=100-96=4.

故选：A.

5.【解答】解：图1阴影部分的面积等于a2-序,

1

图2梯形的面积是一(2Q+26)(a-Z?)=(〃+Z?)(a-b)

2

根据两者阴影部分面积相等，可知Q+6)(a-b)=«2-b1

比较各选项，只有。符合题意

故选：D.

AE

6.【解答］解：设—=m,­=71,S/\ADG=S\,S/\AEG=S1,S^ABC=2S.

ABAC

1i

•.•根据三角形面积公式：-〃/z=5〃bsinC.

22

S1AGsinZ-DAG3s?^AE-AGsinZ-EAG3

=q=-m,=i=~nf

S^ABH---ABAHsin^BAH---4SLACH-AC-AHsin^CAH---4

1

•；BH=CH=^BC.

••S/^ABH=S/\ACH=/\ABC=S•

.S1+S2S—QE_3

(m+n).

-sS~4

S"DE^ADAEsin^DAE

--------1---------------=mn.

2S-ABACsinZ.BAC

2

m+n118

----=即一+_=

mn3mn3

114

当AD=35。，-=-=又因NZME=N8AC,则ZADE=ZABC.

mn3

J.DE//BC,选项A正确.

当点E与点C重合，"=1,则"z=W，即AD：AB=3：5.

：.AD：BD=3：2,选项5正确.

t一ABAC118」.A

由于——+——=-+-=选项C正确.

ADAEmn3

ADAEQ,

而+TZ=m+n=^mn,不是定值，选项D错误，符合题意.

ABAC3

故选：D.

7.【解答】解：,"△ABC=*BC・/?BC=%U/UC=12,

11

SAABC=2(BD+CD)・hBC=2(AE+CE)*/ZAC=12,

•；AE=CE=±AC，S4AEB=%E・/IAC,S丛BCE=±EC*/IAC,

••S/\AEB=S/^CEB=1S44BC=1X12=6,

BPS^AEF+SMBF=6@,

同理：・：BD=2CD,BD+CD=BC,

21

BD=QBC,SAABD=]BD・hBC,

.22

••S/\ABD='^SABC—wX128,

BPS^BDF+S^ABF=8@,

①一②得：SABDF-SAEF=(SABDF+S^ABF)-(SAAEF^SAABF)=8-6=2,

故选：B.

8.【解答］解：如图：分别过点A、3作y轴的垂线，垂足分别为点E、点R设AABC

的边A5上的高为工,

VA(2,m),B(-3,n),C(0,-2).

.*.AE=2,BF=3,OC=2；

设三角形ABC中AB边上的高为x,

由SAABC=SAAOC+SABOC,

111

得一xABXx^4X2X2+4x2X3,

222

解得：ABXx=10f

VAB=8,

••X—~T9

当CDLAB时，CD有最小值为无，

，CD长度的最小值为

4

故选：D.

9.【解答]解：如图，

连接AC,PB,AC交BD于O,

:四边形ABC。是正方形，

：.AC1BD,AC=&BC=&,

OC=%C=孝，

*.*S^BCE=SABPC+S^BPE,

111

：.-BE・OC=^BE・PR+^BC-PQ,

222y

VBC=BE,

：.BE・OC=BE・PR+BE*PQ,

/2

:・PR+PQ=OC=节,

故选：A.

10.【角用答】解：SMBC=S^BCD+S^ACD,

1ii

：.-ACXBC=4xCDXBE+^xCDXAF,

222

4

X1=CD(di+d2),

3

・・・CD取最小值时，力+"2取最大值，

当时，CD取最小值，

4Y

此时CD=空等1xl

-5-

3

445

---

353

故选：A.

二、填空题

H.【解答】解：由题意得：b(〃+2b)=(a+b)2,

整理得：c^+ab-庐=0,

•：a=2,

；.4+2b-d=。，

.,.b—V5+1或1—V5(舍去)，

...正方形的面积是(2+V5+1)2=]4+6遥.

故答案为：14+6V5.

12.【解答]解：如图，连接BG,

E平分/AOC,

：.NEDC=NEDG,

'：AB^AC,AD±BC,

工NBAD=/CAD,BD=CD=^BC=6,ZCAD+ZC=90°,

VEF±AB,

：.ZBAD+ZAGF=90°,

又「NAGF=NDGE,

：.ZDGE=ZC,

在△DG石和△OCE1中，

BDC

ZDGE=乙C

Z.EDG=Z.EDC,

DE=DE

J.ADGE^ADCE(A4S),

：.DG=CD=6,

：.AD=AG+DG=2+6=8,

在RtAABD中,AB=VXD2+BD2=V82+62=10,

：SAABG=%B・GF=^AG'BD,

.厂厂AG-BD2x66

'•GF=R-=B=3

在RtAAGF中，AF=yjAG2-GF2=J22-(1)2=

一〜，8

故答案为：—.

13.【解答］解：如图，连接AC、BD交于点O,连接EO,

当点尸、。两点与点E重合时，尸在点E处，当尸运动到点3处，点。运动到点。处,

此时尸在O处，所以点尸运动轨迹就是EO线段上，

当5/_LEO时，3尸有最小值.

延长EO交AZ）于点M,连接过〃作MK_LBC于点K,作BN工EO于点、N,

9

：0A=0C,ZMAO=ZECO,ZAOM=ZCOE9

：.AAOM^ACOE(ASA),

：.CE=AM=4f

・・・KE=BE-BK=4,

•：EM=yjMK2+KE2=4“U,

11

SNME=5EM・BN,

解得BN=玉普,

即BF最小值为竺”.

12V10

故答案为:

5

三、解答题

14.【解答】解：（1）过点B作AC的垂线，垂足为G.

,：ZABC^9Q°,AB=BC,则△ABC是等腰直角三角形.

.•.AG=CG=BG=竿==3.

.".XB=XA-AG=4-3=1,yB=BG=3.

...点B的坐标（1,3）.

故答案为：（1,3）.

（2）根据题意可知，BE//AC,。为AE中点.

设BE与y轴交于点H.

COCDAD

由平行线分线段成比例可得,=—=1,C0=-xcyBH=XB.

BHBDDE

XA+Xr1

••XB~~-xc=A2"=L

•\XA=XB+CXB-xc)=3.

故点A坐标为(3,0).

(3)如图，连接BN,

根据题意N8CA=45°,NCOD=90°,

.♦.△C。。是等腰直角三角形，即CO=O£>.

CD+CO=CD+OD=AB.

；AB=BC=CD+BD,

：.OD=BD.

又YOKM,BD±AB,

平分NA4C.

由MN±y轴可得MN//AC,则ZAMN；根据MC//AB可得ZAMC,

：./AMN=ZAMC^ZCAM,即AM也是NCAfN的平分线.

由于DN和CD是点D到NCMN两边的距离，则CD=DN.

在△COD和△A«。中，CZ)=N，NCDO=NNDB,OD=BD,则△COD之△N8ZXSAS).

:./NBD=/COD=90°,

:./NBD+NDBA=18O°,即ABN三点共线.

四边形ACMN是平行四边形

由NAA/C=NCAM可得AC=CM,故四边形ACMN是菱形.

线段CN和AM互相垂直平分.

易得△AON是等腰直角三角形，AO=NO.

在△CNO和△DA。中，AO=NO,/CON=/DOA=90°,DO=CO,则△CNO0ZkZM。

(SAS),

：.AD=NC.

"：SMCD=|AOOD=^AD-CF,AC=AN,CF=

：.AN-OD^AD-^AD=^AD2,即ALTAIAN'OD.

故AN,OD,A。三条线段的数量关系为A£)2=2AN・OD

15.【解答】解:(I)(67+6)2+|fe-4|=0,

a+6=0fb-4=0,

解得a=-6,Z?=4,

・・・A(-6,0),B(0,4),

设直线AB的函数表达式为y=kx+b,

•(—6k+b=0

**th=4

解得｝卜=3,

3=4

直线AB的函数表达式为k|x+4；

y=-2x3

(2)由7多+4得*=-2,

7=3

3

C(-2»3),

1

S^ACO=2x6X3=9,

•SAACO=3SAACP，

当尸在AC下方时，如图:

••S/^APO=S/\ACO-S/\ACP=9-3=6,

1

A-x6Xyp=6,

解得yp=2,

在y=-2x中，令y=2得x=-l,

：.P(-1,2)；

当尸在AC上方时，如图：

1

同理可得X6X/=12,

解得yp=4,

在y=-2%中，令y=4得x=-2,

：.P(-2,4)；

综上所述，P的坐标为(-1,2)或(-2,4)；

(3)当丁在0C右侧时，过T作MN_Lx轴于过。作QN_LMN于N,如图:

:将线段TO绕点T旋转90°得到线段TQ,

070=90°,QT=OT,

.-.△ero是等腰直角三角形，

：.OT=^OQ,

.•.当。。最小时,OT最小，

此时OQ_LAB,

\"AB=yj0A2+0B2=2V13,

.八八0A-0B4x612713

2

由A(-6,0),B(0,4)知直线AB解析式为产jx+4,

、2

设Q(机，-m+4),

.I242-一、212闻

..Im2+(2m+4)2=_]3,

解得m=—爸

7436

:'Q(一石石)，

:将线段TO绕点T旋转90°得到线段TQ,

.•.NQTO=90°,QT=OT,

：.ZQTN=90°-ZOTM=ZTOM,

：NN=/M=90°,

：./\QNT^/\TMO(A4S),

:.QN=TM,NT=OM,

z24

TX

up---J-q

设

5(\贝n1

TA6L3

‘Jn3-

vqp

--一-

13-

65

p---

得1

解3

-3o

-

q1-

3

63W

•T--\

「1

：317；

13L3

当T在0C左侧时，同理可得T(一驾，—),

1313

一630QQ6

的坐标为(一，一)或T(一.，一)•

13131313

16.【解答】解：(1)・・,四边形A3CD是边长为4的正方形，

：.AB=BC=CD=AD=4,ABLBC,AB//CD,

,：B(-2,-3),

・'•A(-2,-3+4),C(-2+4,-3),D(-2+4,-3+4),

即A(-2,1),C(2,-3),D(2,1)；

答：点A,C,。的坐标分别为A(-2,1),C(2,-3),D(2,1).

(2)：7a+2+\b-1|+(TTI+t—4)2=0,

.*.47+2=0,且b-l=0,m+t-4=0,

'.a--2,b=l,m=4-t,

：.B(-2,0),C(1,0),P(-1,4-r),

：.0B=2,OC=L

：.BC=OBWC=3,

即正方形的边长为3,D(1,3),

①当£=1时，m=3,CQ=2t=2,

：.P(-1,3),Q(1,2),

J点尸在AD上，如图3,连接尸C,

图3

111

・•・SZ\BPQ=SZ\BCP+SAQCP-SZ\BCQ=]X3X3+2X2X|-1一1|一2、3乂2=3.5；

答：尸。的面积为3.5.

②由①得：P(-1,4-力，

CQ=2t,

2

•:S/\BPQ=SABPC+SAQCP-S/\BCQ=qS^BPC,

1

:・£4BCP+S4QCP-SABCQ=Q9

1111

BP-X-X3X(4-0+Jx2rX|-1-i|-AX3X2z=0,

4

解得u-

3

24

即当S^BpQUqS^BPC时，，的值为

。D

24

答：当SABPQ=《S"PC时，/的值为丁

17•【解答】解：(1)・・,四边形ABC。为正方形，

ZA=90°,AD//BC,

根据折叠的性质可得，NAPB=/MPB,ZA=ZBMP=90°,

,:EF〃BC,

：.EF//AD,

：.ZAPN=NPNM,

：.NMPN=/PNM,

:.MN=MP,

YE为AB的中点，EN//AP,

为3尸的中点，PN-BP,

1

:,MN=^BP,

:,PN=MN=MP,

△PMN为等边三角形；

故答案为：等边；

(2),・,四边形ABC。为正方形，

：.AB=BC=CD.ZA=ZC=90°,

根据折叠的性质可得，AB=BM,ZA=ZBMP=90°,

:・BM=BC,ZBMQ=ZC=90°,

,：BQ=BQ9

：.RtABMQ^RtABCQ(HL),

：.MQ=CQ,

■:EF〃BC,

・••四边形防C尸为矩形，

：.BE=CF=5,BC=EF,NMFQ=NBEM=90°,

AZFMQ+ZFQM=90°,

'：ZBMQ=90°,

ZFMQ+ZEMB=90°,

：.ZFQM=ZEMB,

:・AMFQs丛BEM,

.MFFQ

,•BE-EM"

；・BE・FQ=MF・EM,

'：ME9MF=10,

；・BE/FQ=\b,

：.5FQ=1Q,即尸。=2,

・•・CQ=CF-FQ=5-2=3,

：.MQ=CQ=3,

在RtAMFQ中，MF=JMQ2-FQ2=V32-22=V5,

:.ME=1^o=25

:.EF=ME+MF=2V5+逐=3层,

:.BC=EF=3V5,即正方形48。的边长为3强；

(3)设.MN=a,

••-fc+^MN1

•石c=一，

BCn

:・BC=〃.MN=na,

:・PA=PM=MN=a,PD=(n-1)a,

设CQ=xf则DQ=na-x,

,**S四边形A3MP+S四边形5CQM+S4P£)Q=S正方形ABC。,

2s△A3P+2s△BCQ+S△尸OQ=S正方形ABC。,

1112

，2x•na+2x]?ia•%+2(TI—l)a•(na—%)=(na),

整理得:na+nx+x=n2a,

.71—1

X——rrr,YLCL,

n+1

.「八n—1

・・CQ=―丁•na,

上n+1

n-i

・•丝=h7rm=3

*BCnan+1

TL—1

故答案为：--

n+1

18.【解答】解：(1)在中，令x=0得y=W,令y=0得x=-3,

.1.A(-3,0),B(0,V3),

；Q=3,OB=V3,

••SAAOB=x3xv3——■2~；

，，,3V3

AA(9B的面积为—^―；

(2)；点P(m,n)是直线/上的一个动点，

V3厂

.".PCm,—

3

,/点P到x轴的距离为PM,到y轴的距离为PN,

V3厂

：.PM=\—m+V3\,PN^\m\,

,:PN=2有PM,

r-V3厂

\m\=2\3x|—m+v3|,

LV3t—„t—V3

.*.m=2v3X(—m+y3)或m=-2百X(—m+y3),

33

解得m=-6或m—-2,

：.P