《导数在研究函数中的应用（第3课时）》教学设计

1/1第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用第三课时_习题课（税长江）一、教学目标1.核心素养通过学习导数在研究函数中的应用，提升运算求解、推理论证能力、体会丰富的数学思想.2.学习目标（1）学会观察统一结构，构造新函数（2）切线的条数问题与方程解的个数问题的相互转化（3）最值与不等式恒成立问题，不等式的证明问题的相互转化3.学习重点能够准确的通过构造新函数，获得不等关系，并且能够将不等关系转化为最值问题.4.学习难点通过观察结构，准确构造新函数，通过导数准确将不等式问题转化为最值问题.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务 任务1 反思总结：哪些问题能够最终转化为最值问题？任务2复习如何运用导数研究函数的极值和最值.2.预习自测1.函数f(x)＝x2－2lnx的单调减区间是()A.(0,1)B.(1，＋∞)C.(－∞，1)D.(－1,1)解：A2.函数f(x)＝x3＋3x2＋4x－a的极值点的个数是()A.2 B.1 C.0 D.由a确定解：C3.若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有最小值，则实数b的取值范围是()A.(0,1) B.(－∞，1)C.(0，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解：D（二）课堂设计1.知识回顾（1）函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点处的切线的斜率，相应地，切线方程为.（2）极值点和极值的概念：设函数在处的函数值比它在附近其他点的函数值都小，我们就把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值；函数在处的函数值比它在附近其他点的函数值都大，我们就把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值.（3）求函数在上的最大值与最小值的步骤：1.求函数在区间内的极值；2.将函数各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.2.问题探究问题探究一构造新函数重点、难点知识★▲ ●活动一看懂选项，各归各位例1.若0＜x1＜x2＜1，则（）A. B.C.D.【知识点：构造新函数，利用导数研究函数的单调性】详解：C令f(x)＝eq\f(ex,x)，则f′(x)＝eq\f(（ex）′·x－x′·ex,x2)＝eq\f(ex（x－1）,x2)，当0＜x＜1时，f′(x)＜0，即f(x)在(0，1)上单调递减，∵0＜x1＜x2＜1，∴f(x2)＜f(x1)，即eq\f(ex2,x2)＜eq\f(ex1,x1)，∴.点拨：要看出原函数的结构，题目选项是重要的提示，通过移项，使得，分居不等号两侧，构造结构，就可以清晰的看出所需研究的原函数的解析式，再进一步将不等式问题转化为通过导数研究单调性的问题.●活动二观察结构，逆向思考例2.已知函数f(x)满足，f(2)＝eq\f(e2,8)，则x>0时，f(x)（）A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值【知识点：构造新函数，利用导数研究函数的单调性】详解：D由题意知，令g(x)＝ex－2x2f(x)，则由得x＝2，当x＝2时，g(x)min＝e2－2×22×eq\f(e2,8)＝0.即g(x)≥0，则当x>0时，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，既无极大值也无极小值.点拨：此题如果将左边视作，原理上只需求的原函数即可，但构造难度过大，所以才逆向思考，构造g(x)＝ex－2x2f(x).问题探究二切线条数问题重点、难点知识★▲ ●活动一切线条数与根的个数 例3.已知f(x)＝x3－3x，过点A(1，m)(m≠－2)可作曲线y＝f(x)的三条切线，则m的取值范围是（）A.(－1,1)B.(－2,3)C.(－1，－2)D.(－3，－2)【知识点：问题转化思想，数形结合思想】详解：Df(x)＝x3－3x，∴f′(x)＝3x2－3.设切点为(x，y)，则切线的斜率k＝3x2－3＝eq\f(y－m,x－1)＝eq\f(x3－3x－m,x－1)，整理，得2x3－3x2＋m＋3＝0，由题意得方程2x3－3x2＋m＋3＝0有三个根.设g(x)＝2x3－3x2＋m＋3，则g′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1).令g′(x)＝0，得x＝0或x＝1.当x∈(－∞，0]时，g(x)为增函数；当x∈(0,1)时，g(x)为减函数；当x∈[1，＋∞)时，g(x)为增函数；则，解得－3＜m＜－2.点拨：解决切线问题，关键在于三个方程：，化简出的方程有几组解，切线便有几条，进一步将其转化为函数g(x)＝2x3－3x2＋m＋3的零点个数问题.问题探究三最值与不等式重点、难点知识★▲ ●活动一最值与恒成立例4.设函数f(x)＝eq\f(1,xlnx)(x>0且x≠1).（1）求函数f(x)的单调区间；（2）已知对任意x∈(0,1)成立，求实数a的取值范围.【知识点：利用导数求闭区间上函数的最值，最值与恒成立的转化】详解：（1）f′(x)＝－eq\f(lnx＋1,x2ln2x).若f′(x)＝0，则x＝eq\f(1,e).当f′(x)>0，即0<x<eq\f(1,e)时，f(x)为增函数；当f′(x)<0，即eq\f(1,e)<x<1或x>1时，f(x)为减函数.所以f(x)的单调增区间为(0，eq\f(1,e))，单调减区间为[eq\f(1,e)，1)和(1，＋∞).（2）在两边取对数，得eq\f(1,x)ln2>alnx.由于0<x<1，所以eq\f(a,ln2)>eq\f(1,xlnx).①由（1）知：当x∈(0,1)时，.为使①式对所有x∈(0,1)成立，当且仅当eq\f(a,ln2)>－e，即a>－eln2.点拨：恒成立的本质就是对最值的要求，将恒成立问题转化为最值是常见解题思路，注意充分运用第一问的结论，避免重复运算. ●活动二恒成立与证明例5.设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R（1）求f(x)的单调区间与极值；（2）求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.【知识点：利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，最值与不等式的转化】详解：（1）由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，知f′(x)＝ex－2，x∈R令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减2(1－ln2＋a)单调递增故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝2(1－ln2＋a).（2）证明：设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增.于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0).而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0.即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.点拨：导数的解答题，一定要注意充分运用前一问的结论，前一问会对第二问起到提示思路，提供构造方案或者简化运算的作用.3.课堂总结【知识梳理】(1)学会观察统一结构，构造新函数，再借助导数研究新函数 (2)切线的条数问题除了可以结合图像外，还可借助解方程这样的代数方法 (3)不等式的证明问题终究可以转化为最值问题 【重难点突破】(1)构造新函数关键抓住条件和选项，选项是最好的提示.(2)最值本身就是恒成立的不等关系，所以不等式的恒成立与不等式的证明本质上均可转化为最值问题.4.随堂检测1.已知函数，其中.（1）求函数f(x)的单调区间； （2）设g(x)＝xlnx－x2f(x)，求g(x)在区间[1，e]上的最大值.(其中e为自然对数的底数)【知识点：利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值】解：（1）的定义域为，且，故在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上，f′(x)<0；在区间(0,2)上，f′(x)>0.所以f(x)的单调递减区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间是(0,2).（2）g(x)＝xlnx－a(x－1)，则g'(x)＝lnx＋1－a.令g′(x)＝0，得.=1\*GB3①当，即0<a≤1时，在区间[1，e]上，g(x)为递增函数，所以g(x)最大值g(e)＝e＋a－ae.=2\*GB3②当，即a≥2时，在区间[1，e]上，g(x)为递减函数，所以g(x)最大值为g(1)＝0.=3\*GB3③当，即1<a<2时，在上单调递减，在上单调递增，于是g(x)的最大值为g(e)和g(1)中较大者.由g(e)－g(1)＝a＋e－ae>0，解得a<eq\f(e,e－1)，所以当1<a<eq\f(e,e－1)时，g(x)最大值为g(e)＝e＋a－ae，eq\f(e,e－1)≤a<2时，g(x)最大值为g(1)＝0.综上所述，当0<a<eq\f(e,e－1)时，g(x)的最大值为g(e)＝e＋a－ae，当a≥eq\f(e,e－1)时，g(x)的最大值为g(1)＝0.（三）课后作业基础型自主突破1.设f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是（）A.(a，b)B.(a，c)C.(b，c)D.(a＋b，c)【知识点：函数在某点取得极值的条件】解：A2.已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝__________.【知识点：数形结合，函数的零点】解：－2或23.已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝_______.【知识点：利用导数求闭区间上函数的最值】解：324.已知函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是________.【知识点：利用导数求闭区间上函数的最值】解：(0,1)5.函数f(x)＝x(x－m)2在x＝1处取得极小值，则实数m＝________.【知识点：函数在某点取得极值的条件】解：16.已知函数f(x)的定义域为R，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的解集为()A.(－3，－2)∪(2,3)B.(－eq\r(2)，eq\r(2))C.(2,3)D.(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)【知识点：数形结合思想，函数的单调性与导数的关系】解：A能力型师生共研7.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设实数使得对恒成立，求的最大值.【知识点：利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值】解：（1）由于，，则，于是，，所以切线方程为y=2x.（2），，x∈(0，1)，[，x∈(0，1)当k∈[0，2]，t′(x)≥0，函数t(x)单调递增，t(x)>t(0)=0显然成立.当k>2时，令t′(x)=0得x04=kx(0，x0)x0(x0，1)t′(x)0+t(x)↘极小值↗于是t(x0)<t(0)=0，显然不成立.当k<0时，显然k不取最大值.综上可知，k的最大值为2.8.已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax＋b(a，b∈R)在x＝2处取得极小值－eq\f(4,3).（1）求f(x)的单调递增区间；（2）若f(x)≤m2＋m＋eq\f(10,3)在[－4,3]上恒成立，求实数m的取值范围.【知识点：利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值】解：（1）f′(x)＝x2＋a，由f′(2)＝0，得a＝－4；再由f(2)＝－eq\f(4,3)，得b＝4.所以f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋4，f′(x)＝x2－4，令f′(x)＝x2－4＞0，得x＞2或x＜－2.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞).（2）由（1）知：的极大值为，极小值为，又f(－4)＝－eq\f(4,3)，f(3)＝1，所以函数f(x)在[－4,3]上的最大值为eq\f(28,3).要使f(x)≤m2＋m＋eq\f(10,3)在[－4,3]上恒成立，只需m2＋m＋eq\f(10,3)≥eq\f(28,3)，解得m≥2或m≤－3.所以实数m的取值范围是(－∞，－3]∪[2，＋∞).探究型多维突破9.已知函数f(x)＝ax＋xlnx的图象在点x＝e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.（1）求实数a的值；（2）若k∈Z，且k＜eq\f(f（x）,x－1)对任意x＞1恒成立，求k的最大值.【知识点：导数的几何意义，利用导数求闭区间上函数的最值】解：(1)因为f(x)＝ax＋xlnx，所以f′(x)＝a＋lnx＋1.由题知：f′(e)＝3，即a＋lne＋1＝3，所以a＝1.(2)由(1)知，f(x)＝x＋xlnx，又k＜eq\f(f（x）,x－1)＝eq\f(x＋xlnx,x－1)对任意x＞1恒成立，令g(x)＝eq\f(x＋xlnx,x－1)，则g′(x)＝eq\f(x－lnx－2,（x－1）2)，令h(x)＝x－lnx－2(x＞1)，则h′(x)＝1－eq\f(1,x)＝eq\f(x－1,x)＞0，所以函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增.因为h(3)＝1－ln3＜0，h(4)＝2－2ln2＞0，所以方程h(x)＝0在(1，＋∞)上存在唯一实根x0，且满足x0∈(3，4).当1＜x＜x0时，h(x)＜0，即g′(x)＜0；当x＞x0时，h(x)＞0，即g′(x)＞0.所以函数g(x)＝eq\f(x＋xlnx,x－1)在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以[g(x)]min＝g(x0)＝eq\f(x0（1＋lnx0）,x0－1)＝eq\f(x0（1＋x0－2）,x0－1)＝x0，所以k＜[g(x)]min＝x0∈(3，4)，故整数k的最大值是3.10.已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋bx，且.（1）试用含a的代数式表示b；（2）求f(x)的单调区间.【知识点：利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值】解：（1）依题意，得f′(x)＝x2＋2ax＋b，由f′(－1)＝0，得1－2a＋b＝0.∴b＝2a（2）由（1），得f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋(2a－1)x.故f′(x)＝x2＋2ax＋2a－1＝(x＋1)(x＋2a－1).令f′(x)＝0，则x＝－1或x＝1－①当a>1时，1－2a<－当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，1－2a(1－2a，－(－1，＋∞)f′(x)＋－＋f(x)单调递增单调递减单调递增由此得，函数f(x)的单调增区间为(－∞，1－2a)和(－1，＋∞)，单调减区间为(1－2a，－②当a＝1时，1－2a＝－1，此时f′(x)≥0恒成立，且仅在x＝－1处f′(x)＝0，故函数f(x)的单调增区间为R③当a<1时，1－2a>－1，同理可得：函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(1－2a，＋单调减区间(－1，1－2a)综上：当a>1时，函数f(x)的单调增区间为(－∞，1－2a)和(－1，＋∞)，单调减区间为(1－2a，－当a＝1时，函数f(x)的单调增区间为R；当a<1时，函数f(x)的单调增区间为(－∞，－1)和(1－2a，＋∞)，单调减区间为(－1,1－2a自助餐1.已知函数y＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是（）A.(2,3)B.(3，＋∞)C.(2，＋∞)D.(－∞，3)【知识点：函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的单调性】解：B由f′(2)＝0可得：，于是2.设f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋5x＋6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a的取值范围为()A.[－eq\r(5)，＋∞)B.(－∞，－3]C.(－∞，－3]∪[－eq\r(5)，＋∞)D.[－eq\r(5)，eq\r(5)]【知识点利用导数研究函数的单调性】解：C3.若a>2，则方程eq\f(1,3)x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰好有()A.0个根 B.1个根C.2个根 D.3个根【知识点：数形结合思想，利用导数研究函数的单调性】解：B4.若函数f(x)＝x2＋ax＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是增函数，则a的取值范围是（）A.[－1,0]B.[－1，＋∞)C.[0,3]D.[3，＋∞)【知识点：利用导数研究函数的单调性】解：Df′(x)＝2x＋a－eq\f(1,x2)，因为函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是增函数，所以f′(x)≥0在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上恒成立，即a≥eq\f(1,x2)－2x在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上恒成立，设g(x)＝eq\f(1,x2)－2x，g′(x)＝－eq\f(2,x3)－2，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))时，g′(x)<0，故g(x)max＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝3，所以a≥3.5.函数f(x)＝eq\f(1,2)ex(sinx＋cosx)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的值域为()A. B.C. D.【知识点：三角函数中的恒等变换应用，利用导数求闭区间上函数的最值】解：A6.若函数f(x)＝eq\f(x,x2＋a)(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为eq\f(\r(3),3)，则a的值为()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\r(3) C.eq\r(3)＋1 D.eq\r(3)－1【知识点：利用导数求闭区间上函数的最值】解：D7.函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是________【知识点：函数在某点取得极值的条件】解：(eq\f(\r(2),2)，＋∞)求导可知在x＝a处取f(x有极小值，在x＝－a处取极大值.由题意得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3－3a3＋a<0，,－a3＋3a3＋a>0，,a>0，))解得a>eq\f(\r(2),2).8.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则____________.【知识点：利用导数研究函数的极值，函数在某点取得极值的条件】解：由于函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，由此解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝3，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－11.))而当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝3))时，函数在x＝1处无极值，故舍去.∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16.∴f(2)＝18.9.已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a<b<c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.现给出如下结论：①f(0)f(1)>0；②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0；④f(0)f(3)<0.其中正确结论的序号是_______.【知识点：利用导数研究函数的单调性】解：②③求导可知：f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数.又a<b<c，f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.于是，又，从而②③正确.10.函数（为常数，是自然对数的底数）.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.【知