二次函数的图象与性质导学案

课题：26.1二次函数学习目标：1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义；2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。学习重点：1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.2.能够表示简单变量之间的二次函数。学习难点：确定实际问题中二次函数的关系式。学习过程：一、知识准备：1.设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的，x叫做。2.我们已经学过的函数有：一次函数、反比例函数，其中的图像是直线，的图像是双曲线。我们得到它们图像的方法和步骤是：①；②；③。3.形如，（）的函数是一次函数，当时，它是函数，图像是经过的直线；形如，（）的函数是函数，它的表达式还可以写成：①、②二、提出问题（展示交流）：1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S与半径r之间的函数关系式是。2．用16m长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为。3．要给一个边长为x(m)的正方形实验室铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线价格为每米30元，如果其它费用为1000元，那么总费用y（元）与x（m）之间的函数关系式是。三、归纳提高（讨论归纳）：观察上述函数函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同？。一般地，形如，（，且）的函数为二次函数。其中是自变量，函数。注意：1、定义中只要求二次项系数a不为零（必须存在二次项），一次项系数b、常数项c可以为零。最简单形式的二次函数：例如，y＝-5x2+100x+60000和y=100x2+200x+100都是二次函数．我们以前学过的正方形面积A与边长a的关系，圆面积s与半径r的关系等也都是二次函数的例子．2、二次函数中自变量的取值范围是，你能说出上述三个问题中自变量的取值范围吗？四、例题精讲（小组讨论交流）：例1函数y=（m＋2）x＋2x－1是二次函数，则m=．点拨：从二次函数的定义出发:看二次项的系数和次数确定m的取值例2．下列函数中是二次函数的有（）①y=x＋；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④y=＋x．A．1个B．2个C．3个D．4个例3、写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．⑴圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；⑵某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息税，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；⑶菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系三角塘镇中学初三数学课课练第二十六章《二次函数》（一）1．下列函数中，二次函数是（）A．y=6x2＋1B．y=6x＋1C．y=＋1D．y=＋12．函数y=（m－n）x2＋mx＋n是二次函数的条件是（）A．m、n为常数，且m≠0 B．m、n为常数，且m≠nC．m、n为常数，且n≠0 D．m、n可以为任何常数3．半径为3的圆，如果半径增加2x，则面积S与x之间的函数表达式为（）AS=2π（x＋3）2B.S=9π＋xC.S=4πx2＋12x＋9DS=4πx2＋12πx＋9π4.下列函数关系中,满足二次函数关系的是()A.圆的周长与圆的半径之间的关系;B.在弹性限度内,弹簧的长度与所挂物体质量的关系;C.圆柱的高一定时,圆柱的体积与底面半径的关系;D.距离一定时,汽车行驶的速度与时间之间的关系.5.已知菱形的一条对角线长为a，另一条对角线为它的倍，用表达式表示出菱形的面积S与对角线a的关系_________．6.若一个边长为cm的无盖正方体形纸盒的表面积为cm，则，其中的取值范围是。7.一矩形的长是宽的1.6倍，则该矩形的面积与宽之间函数关系式：。8.如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，请写出绿地面积(㎡)与路宽(m)之间的函数关系式：。9.如图，用50m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积(㎡)与它与墙平行的边的长(m)之间的函数关系式：。10.已知函数是二次函数，求m的值．课题：二次函数的图象与性质（1）学习目标1.知识与技能会用描点法画出二次函数的图象，概括出图象的特点及函数的性质．2.过程和方法利用描点法作出y=x2的图象过程中，理解掌握二次函数y=x2的性质。3.情感和态度鼓励学生在探索规律的教程中从多个角度进行考虑，品尝成功的喜悦，激发学生应用数学的热情，培养学生主动探索，敢于实践，善于发现的科学精神，树立创新意识。一、自主学习:1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格中，AB长x(m)123456789BC长(m)12面积y(m2)482．x的值是否可以任意取?有限定范围吗?3．当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式，二、知识准备我们已经知道，一次函数，反比例函数的图象分别是、，那么二次函数的图象是什么呢？1.你能描述图象的形状吗？与同伴交流。2.图象与x轴有交点吗？如果有，交点的坐标是什么？3.当x<0时，y随着x的增大，y的值如何变化？当x>0时呢？4.当x取什么值时，y的值最小？5.图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴交流。三、学习内容在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？（1） （2）共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点．不同点：的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．注意点：在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．四、知识梳理(1)函数y=ax2的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是______。当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。图象的这些特点反映了函数的什么性质?当X<0时，函数值y随着x的增大而______，当X>O时，函数值y随X的增大而______；当X＝______时，函数值y=ax2(a>0)取得最小值，最小值y=______观察函数y＝-x2、y=-2x2的图象，试作出类似的概括，当a<O时，抛物线y＝ax2有些什么特点?它反映了当a<O时，函数y=ax2具有哪些性质?（2）二次函数y=ax2的图象的性质：①、图象——“抛物线”是轴对称图形；②、与x、y轴交点——（0，0）即原点；③、a的绝对值越大抛物线开口越大，a﹥0，开口向上，当x﹤0时，（对称轴左侧），y随x的增大而减小（y随x的减小而增大）；当x﹥0时，（对称轴右侧），y随x的增大而增大（y随x的减小而减小）.

a﹤0，开口向下，当x﹤0时，（对称轴左侧），y随x的增大而增大（y随x的减小而减小）当x﹥0时，（对称轴右侧），y随x的增大而减小（y随x的减小而增大）（2）今天我们通过观察收获不小，其实只要我们在日常生活中勤与观察，勤与思考，你会发现知识无处不在，美无处不在。三角塘镇中学初三数学课课练第二十六章《二次函数》（二）1．若二次函数y=ax2（a≠0），图象过点P（2，－8），则函数表达式为．2．函数y=x2的图象的对称轴为，与对称轴的交点为，是函数的顶点．3．点A（，b）是抛物线y=x2上的一点，则b=；点A关于y轴的对称点B是，它在函数上；点A关于原点的对称点C是，它在函数上．4．如图，A、B分别为y=x2上两点，且线段AB⊥y轴，若AB=6，则直线AB的表达式为（）A．y=3B．y=6C．y=9D．y=365.求直线y=x与抛物线y=x2的交点坐标．6.若a＞1，点（a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，判断y1、y2、y3的大小关系？7、画二次函数y=3x2的图象课题：二次函数的图象与性质（2）学习目标：1.知识与技能：会画出这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．2.过程和方法经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．3.情感和态度教学中为学生创造大量的操作，思考和交流的机会，培养了学生分析解决问题的能力以及识图能力。一、自主学习:1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝ax2与x＝______时，取最______值，其最______值是______。2．二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?二、合作与探究、展示:问题1：对于自主学习中的第2题，你将采取什么方法加以研究?问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗?问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?问题4：函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象有什么联系?问题5：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗?问题6：你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质吗?问题7：先在同一直角坐标系中画出函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别?问题8：你能说出函数y＝2x2－2的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，以及这个函数的性质吗?问题9：在同一直角坐标系中。函数y＝－eq\f(1,3)x2＋2图象与函数y＝－eq\f(1,3)x2的图象有什么关系?问题10：你能说出函数y＝－eq\f(1,3)x2＋2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?三、知识准备：同学们还记得一次函数与的图象的关系吗？你能由此推测二次函数与的图象之间的关系吗？，那么与的图象之间又有何关系？动手操作、探究：在同一平面内画出函数y=x2与y=x2-2的图象。比较它们的性质，你可以得到什么结论？四、巩固提高：动手画：在同一直角坐标系中，画出函数与的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线．回顾与反思抛物线和抛物线分别是由抛物线向上、向下平移一个单位得到的．探索如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？五、知识梳理1、函数与图像的关系。2、能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标、增减性。三角塘镇中学初三数学课课练第二十六章《二次函数》（三）1.抛物线y=－4x2－4的开口向，当x=时，y有最值，y=．2.当m=时，y=（m－1）x－3m是关于x的二次函数．3.抛物线y=－3x2上两点A（x，－27），B（2，y），则x=，y=．4.抛物线y=3x2与直线y=kx＋3的交点为（2，b），则k=，b=．5.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，且经过点（－1，－2），则抛物线的表达式为 ．6．在同一坐标系中，图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是（）A．y=x2 B．y=－x2 C．y=－2x2 D．y=－x27.抛物线，y=4x2，y=－2x2的图象，开口最大的是（）A．y=x2 B．y=4x2 C．y=－2x2 D．无法确定8.对于抛物线y=x2和y=－x2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（）A．两条抛物线关于x轴对称 B．两条抛物线关于原点对称C．两条抛物线关于y轴对称 D．两条抛物线的交点为原点9.二次函数y=ax2与一次函数y=ax＋a在同一坐标系中的图象大致为（）10.已知函数y=ax2的图象与直线y=－x＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第一象限内的交点相同，则a的值为（）A．4 B．2 C． D．11.已知直线y=－2x＋3与抛物线y=ax2相交于A、B两点，且A点坐标为（－3，m）．（1）求a、m的值；（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小；（4）求A、B两点及二次函数y=ax2的图象顶点构成的三角形的面积．课题：二次函数的图象与性质（3）学习目标1、经历探索二次函数y＝ax2＋k(a≠0)及y＝a(x+m)2(a≠0)的图象作法和性质的过程。2、能够理解函数y＝ax2＋k(a≠0)及y＝a(x+m)2(a≠0)与y＝ax2的图象的关系，了解a,m,k对二次函数图象的影响。3、能正确说出函数y＝ax2＋k,y＝a(x+m)2的图象的开口方向，顶点坐标和对称轴。4．通过比较抛物线与同的相互关系，培养学生观察、分析、总结的能力;一、知识准备1．什么是二次函数？2．我们已研究过了什么样的二次函数？3．形如的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？我们已经了解到，函数的图象，可以由函数的图象上下平移所得，那么函数的图象，是否也可以由函数平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？二、自主学习:1．在同一直角坐标系内，画出二次函数y＝－eq\f(1,2)x2，y＝－eq\f(1,2)x2－1的图象，并回答：(1)两条抛物线的位置关系。(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。(3)说出它们所具有的公共性质。2．二次函数y＝2(x－1)2的图象与二次函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系?三、合作与探究、展示:问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题?问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2与y＝2(x－1)2的图象吗?问题3：现在你能回答前面提出的问题吗?问题4：你可以由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x－1)2的性质吗?问题5：你能在同一直角坐标系中画出函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2的图象，并比较它们的联系和区别吗?问题6；你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x＋1)2的性质吗?问题7：在同一直角坐标系中，函数y＝－eq\f(1,3)(x＋2)2图象与函数y＝－eq\f(1,3)x2的图象有何关系?问题8：你能说出函数y＝－eq\f(1,3)(x＋2)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?问题9：你能得到函数y＝eq\f(1,3)(x＋2)2的性质吗?三、学习内容1、在平面直角坐标系中，并画出函数的图象。2、比较它与函数的图象之间的关系。结论：（1）抛物线y=a(x+m)2(a≠0)与抛物线y＝ax2(a≠0)的形状一样，只是位置不同，因此抛物线y=a(x+m)2可通过平移抛物线y＝ax2(a≠0)得到。当m＞0时，把抛物线y＝ax2(a≠0)向左平移|m|个单位得到抛物线y=a(x+m)2，当m<0时，把抛物线y＝ax2(a≠0)向右平移|m|个单位得到抛物线y=a(x+m)2（2）抛物线y=a(x+m)2(a≠0)的顶点坐标是(－m,0)，对称轴是直线x＝－m，当a＞0时，若x＝－m，当a＞0时，若x＝－m，y有最小值0，当a＜0时，若a＝－m，y有最大值0四、知识梳理本节课教学了二次函数与的图象的画法，主要内容如下。填写下表：表一：抛物线开口方向对称轴顶点坐标

表二：抛物线开口方向对称轴顶点坐标

三角塘镇中学初三数学课课练第二十六章《二次函数》（四）1．画图填空：抛物线的开口，对称轴是，顶点坐标是，它可以看作是由抛物线向平移个单位得到的．2.对于抛物线，当x时，函数值y随x的增大而减小；当x时，函数值y随x的增大而增大；当x时，函数取得最值，最值y=．3.函数y＝x2－3是由y＝x2向_____平移_____单位得到的。4.函数y＝x2＋1是由y＝x2－2向_____平移_____单位得到的。5.函数y＝EQ\F(1,3)x2－4是由y＝EQ\F(1,3)x2＋5向_____平移_____单位得到的。6.函数y＝(x－3)2是由y＝x2向_____平移_____单位得到的。7.（1）二次函数y=2（x+5）2的图像是，开口，对称轴是，当x=时，y有最值，是.（2）二次函数y=-3（x-4）2的图像是由抛物线y=-3x2向平移个单位得到的；开口，对称轴是，当x=时，y有最值，是（3）将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后得到函数的图像，其对称轴是，顶点是，当x时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小。8.已知抛物线y＝x2上有一点A，A的横坐标为－1，过A点作AB∥x轴，交抛物线于另一点B，求△AOB的面积。课题：二次函数的图象与性质（4）学习目标知识与技能：1．掌握把抛物线平移至+k的规律；2．会画出+k这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．过程和方法：经历探索二次函数平移至+k的过程，进一步获得+k图象与性质。情感和态度：教学中为学生创造大量的操作，思考和交流的机会，培养了学生分析解决问题的能力以及识图能力。一、自主学习:1．函数y=2x2＋1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?2．函数y=2(x－1)2的图象与函数y=2x2的．图象有什么关系?3．函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2(x－1)2图象有什么关系?y=2(x－1)2＋1有哪些性质?二、合作与探究、展示:问题1找到函数y=2(x－1)2＋1与函数y=2(x－1)2、y=2x2图象的关系问题2：你能发现函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?做一做问题3你能再画出函数y=2(x－1)2－2的图象，并将它与函数y=2(x－1)2的图象作比较吗?问题4你能说出函数y=－eq\f(1,3)(x－1)2＋2的图象与函数y=－eq\f(1,3)x2的图象的关系，由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?抛物线开口方向对称轴顶点坐标y=2x2y=2x2-1y=2(x－1)2y=2(x－1)2＋1三、学习内容二次函数图象的变化规律：左加右减，上加下减例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．，，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．解（1）列表：略（2）描点：（3）连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示．观察：它们的开口方向都向，对称轴分别为、、，顶点坐标分别为、、．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．探索你能说出函数+k（a、h、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？四、知识梳理1、二次函数的图象的变化规律：二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数+k中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．2、二次函数+k的开口方向，对称轴，顶点坐标三角塘镇中学初三数学课课练第二十六章《二次函数》（五）1、抛物线的开口，顶点坐标是，对称轴是；当x＝时，y有最值为；在对称轴左侧，即当x时，y随x的增大而，在对称轴右侧，即当x时，y随x的增大而.2、二次函数的图象可由的图象（）A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到3.抛物线开口，顶点坐标是，对称轴是，当x＝时，y有最值为。4.函数的图象可由函数的图象沿x轴向平移个单位，再沿y轴向平移个单位得到。5.若把函数的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式为。6.把二次函数y=x2－4x+5化成y=(x—h)2+k的形式：y=。7.一条抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，对称轴和抛物线相同，且顶点纵坐标为0，求此抛物线的解析式.8.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．，，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．课题：二次函数的图象与性质(5)一、学习目标知识与技能：1．能通过配方把二次函数化成+k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标。2．会利用对称性画出二次函数的图象．过程和方法：经历探索二次函数图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．情感和态度：教学中为学生创造大量的操作，思考和交流的机会，鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑，激发学生学习数学的热情，培养学生主动探索，敢于探索，敢干实践，善于发现的科学精神以及合作精神，树立创新意识。二、知识准备1、填空(1)x2＋6x＋___________=(x＋________)2 (2)x2－EQ\F(9,2)x＋____＝(x－_______)2(3)x2＋4x＋9＝(x＋2)2＋____________ (4)x2－5x＋8＝(x－EQ\F(5,2))2＋________2、填表抛物线开口方向顶点坐标对称轴最值y＝－3(x－2)2＋1y＝－3(x－3)2－2y＝－EQ\F(1,2)(x－4)2＋5y＝EQ\F(1,6)(x+3)2－4探索活动活动一：探索二次函数y＝a(x+m)2+k的图象与性质活动二：探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质由配方得y=ax2＋bx＋c＝由此可知，二次函数y=ax2＋bx＋c的图象是抛物线，它的顶点坐标是(),对称轴是过顶点且与y轴平行的直线(当b=0时，对称轴是y轴)三、学习内容例1．通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．解因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）．由对称性列表：x…-2-101234……-1006860-10…描点、连线，如图26．2．7所示．回顾与反思（1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，．（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．例2．已知抛物线的顶点在坐标轴上，求的值．分析：顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0．四、知识梳理1、能通过配方法确定二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向，顶点坐标和对称轴。2、理解二次函数的性质，了解函数图象的变换，并能解决有关问题。三角塘镇中学初三数学课课练第二十六章《二次函数》（六）1.抛物线y=－2x2＋6x－1的顶点坐标为，对称轴为．2.如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2＋bx＋c的大致图象为（）3.抛物线y=2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为 ．4.函数y=ax2＋bx＋c和y=ax＋b在同一坐标系中如图所示，则正确的是（）5.抛物线的顶点是，则=，c=。6.心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系y=－0．1x2＋2．6x＋43（0≤x≤30）．y值越大，表示接受能力越强．（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐渐降低？（2）第10分时，学生的接受能力是多少？（3）第几分时，学生的接受能力最强？26.3二次函数与一元二次方程（1）学习目标:1、体会二次函数与方程之间的联系。理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根。2、理解一元二次方程的根就是二次函数y=h（h是实数）图象交点的横坐标．学习重点:本节重点把握二次函数图象与x轴（或y=h）交点的个数与一元二次方程的根的关系．关键是理解二次函数y=ax2＋bx＋c图象与x轴交点，即y=0，时ax2＋bx＋c=0，从而转化为方程的根，再应用根的判别式，求根公式判断，求解即可，学习难点:应用一元二次方程根的判别式，及求根公式，来对二次函数及其图象进行进一步的理解．此点一定要结合二次函数的图象加以记忆．学习方法:讨论探索法。学习过程:一、课前预习：在同一坐标系中画出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象并回答下列问题：(1)每个图象与x轴有几个交点？(2)一元二次方程?x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证：一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?(3)比较二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有什么关系?二、学生观察、讨论交流1、观察二次函数y=x2-2x-3的图像你能确定方程x2-2x-3=0的根吗？（二次函数y=x2-2x-3的图像与x轴的交点坐标分别是(,)和（，）由此可知，当x=-1时，y=0即x2-2x-3=0也就是说x=-1是一元二次方程xyxyO-4-3-2-11234-4-3-2-112342、观察二次函数y=x2-6x-9的图象说出一元二次方程x2-6x-9=0的根情况3、观察二次函数y=x2-2x+3的图象说出一元二次方程x2-2x+3=0的根情况xyxyO-11234567-4-3-2-11234xyO-11234567-4-3-2-11234三、讨论归纳新知：1、二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有如下关系：①二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点（x1,0）(x2，0)时一元二次方程ax2+bx+c=0就有两个不相等的实数根x1和x2②二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有且只有一个公共点（x1,0）时一元二次方程ax2+bx+c=0就有两个相等的实数根x1=x2③二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴没有公共点时一元二次方程ax2+bx+c=0就有没有实数根；反之根据一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况，可以知道二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴位置关系2．你能利用a、b、c之间的某种关系判断二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴何时有两个交点、一个交点，何时没有交点？四、例题讲解例1、已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为 ．例2、抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于点A（－3，0），对称轴为x=－1，顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线表达式．三角塘镇中学初三数学课课练第二十六章《二次函数》（七）1．抛物线y=a（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为2．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m= ．3．已知抛物线y=ax2＋bx＋c的系数有a－b＋c=0，则这条抛物线经过点 ．4．二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围 ．5．抛物线y=3x2＋5x与两坐标轴交点的个数为（）A．3个 B．2个 C．1个 D．无6.若a＞0，b＞0，c＞0，b2－4ac＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c经过 象限．7.抛物线y=x2－2x-8的顶点坐标是 __与x轴的交点坐标是________.8.抛物线y=3x2＋mx＋4与x轴只有一个交点，则m= ．9.在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足y=－x2＋10x．（1）经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？（2）经过多长时间，炮弹落在地上爆炸？10.已知抛物线y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．（1）求m的取值范围；（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；11．已知二次函数y=x2＋mx＋m－2．求证：无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点．26.4二次函数的运用（1）学习目标:体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．学习重点:本节重点是应用二次函数解决实际问题中的最值．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．实际问题的最值，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，也是中考中经常出现的一种题型．学习难点:本节难点在于能正确理解题意，找准数量关系．这就需要同学们在平时解答此类问题时，在平时生活中注意观察和积累，使自己具备丰富的生活和数学知识才会正确分析，正确解题．学习过程：一、自主学习:1．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。(1)y＝6x2＋12x；(2)y＝－4x2＋8x－102.以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少?出示例题，学生自主探究、交流某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划增加承租x（100≤x≤150）亩，预计，原种植的360亩水稻今年每亩可收益440元，新增地今年每亩的收益为（440-2x）元，试问，该种粮大户今年要增加承租多少亩水稻，才能使总收益最大？最大收益是多少？1、分析讨论，找出关系2、正确写出函数关系式y=440×360+(440-2x)x3、质疑问难，达成共识二、分组做一做1、某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?2、某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.⑴利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.⑵利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.?⑶增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?三、学习方法归纳1、根据实际问题中的数量关系，提炼为二次函数的数学问题；2、根据二次函数关系，求出最大值或最小值；3、考查所得到的值是否符合实际问题的意义，明晰结论。三角塘镇中学初三数学课课练第二十六章《二次函数》（八）1．关于二次函数y=ax2＋bx＋c的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c＞0且函数图象开口向下时，方程ax2＋bx＋c=0必有两个不等实根；③当a＜0，函数的图象最高点的纵坐标是；④当b=0时，函数的图象关于y轴对称．其中正确命题的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？3.某商场经营一批进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：x35911y181462（1）在所给的直角坐标系甲中：①根据表中提供的数据描出实数对（x，y）的对应点；②猜测并确定日销售量y件与日销售单价x元之间的函数表达式，并画出图象．（2）设经营此商品的日销售利润（不考虑其他因素）为P元，根据日销售规律：①试求出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数表达式，并求出日销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？试问日销售利润P是否存在最小值？若有，试求出；若无，请说明理由．②在给定的直角坐标系乙中，画出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数图象的简图，观察图象，写出x与P的取值范围．26.4二次函数的应用（2）学习目标:掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．学习重点:本节的重点是应用二次函数解决图形有关的最值问题，这是本书惟一的一种类型，也是二次函数综合题目中常见的一种类型．在二次函数的应用中占有重要的地位，是经常考查的题型，根据图形中的线段之间的关系，与二次函数结合，可解决此类问题．学习难点:由图中找到二次函数表达式是本节的难点，它常用的有三角形相似，对应线段成比例，面积公式等，应用这些等式往往可以找到二次函数的表达式．学习过程：一、自学自研课本问题1分析：根据制作要求，半圆形窗框的直径应与的相等，由于窗框的总长度已确定，所以矩形窗框的高也随而确定，因此，要解决该窗透光面积最大的问题，应建立窗户的透光面积与之间的函数关系，然后根据求出展示成果：请两名同学写出关系式评价：指出解决问题的关键二、做一做如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.(1)设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?三、知识梳理找到函数关系式的方法。1、利用几何图形的有关性质，探索量与量之间的关系，确定函数关系；2、注意自变量的取值范围；3、检查实际意义的准确性。四、课堂训练三角塘镇中学初三数学课课练第二十六章《二次函数》（九）1、如图⑴，在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，四边形CFDE为矩形，其中CF、CE在两直角边上，设矩形的一边CF=xcm．当x取何值时，矩形ECFD的面积最大？最大是多少？如图⑵，在Rt△ABC中，作一个长方形DEGF，其中FG边在斜边上，AC=3cm，BC=4cm，那么长方形OEGF的面积最大是多少？如图⑶，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上．G、F分别在AB、AC边上，BC=5cm，S△ABC为30cm2，AH为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形的最大面积．2、甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为，羽毛球飞行的水平距离（米）与其距地面高度（米）之间的关系式为．如图，已知球网距原点5米，乙（用线段表示）扣球的最大高度为米，设乙的起跳点的横坐标为，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则的h/米s/米POACDBh/米s/米POACDB6.4二次函数的应用（3）学习目标:了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．学习重点:是应用二次函数解决实际问题中的最值．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．实际问题的最值，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，也是中考中经常出现的一种题型．学习难点:本节难点在于能正确理解题意，找准数量关系．建立直角坐标系。学习过程：自主学习，相互探究课本27页的问题21、本课时将探索由形（函数图像）到数（函数关系式）的实际问题，这里的“形”是由运动产生的，一旦运动停止，“形”便消失，确定这些隐性的函数关系式，并进行有效调控，可以使实际问题获得理想的解决。2、根据D点的几何性，确定其坐标；3、给出符合实际的解释。二、分组做一做1、在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足y=－x2＋10x．（1）经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？（2）经过多长时间，炮弹落在地上爆炸？2、如图所示,桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.(1)如果不计其它因素,那么水池的半径至少要多少m,才能使喷出的水流不致落到池外？(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池的半径为3.5m,要使水流不落到池外,此时水流的最大高度应达到多少m(精确到0.1m)？三、收获与学法归纳1、探索问题解决的总体思路和方案；2、合理的建立平面直角坐标系；将抛物线形的事物数学化；3、根据平面坐标系中的图像特征，探求抛物线的解析式；4、对求得的结果要进行科学的取舍。三角塘镇中学初三数学课课练第二十六章《二次函数》（十）1.某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m，装货宽度为2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．2.一个涵洞成抛物线形，它的截面如图现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m．这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1m？回顾与思考（2课时）知识目标：1、了解二次函数解析式的三种表示方法；2、抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴以及抛物线与对称轴的交点坐标等;3、一元二次方程与抛物线的结合与应用。4、利用二次函数解决实际问题。复习过程：一、知识梳理1、二次函数的概念及一般形式。2、填表