2025年中考数学复习：对角互补模型

对角互补模型

1如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向形外作△ABD,使NADB=120。，再以点C为旋转中心把△CBD旋

转到△CAE，则下列结论：①D、A、E三点共线；②DC平分/BDA;③/E=/BAC;④DC=DB+DA.其中正确的

有()

C

A.4个B.3个C.2个D.1个

2如图,正方形ABCD,点P是对角线AC上一点，连接BP,过P作PQ^BP,PQ交CD于Q,连接BQ交AC

于G,若2P=V2,Q为CD中点，则下列结论：

©ZPBC=ZPQD;②BP=PQ;③/BPC=NBQC;④正方形ABCD的面积是16;其中正确结论的个数是()

A.4B.3C.2D.1

3已知△ABC中，AC=BC,ZC=120°，点D为AB边的中点，ZEDF=60°,DE、DF分另［］交AC、BC于E、F

点.

(1)如图1,若EF〃AB.求证：DE=DF.

(2)如图2,若EF与AB不平行.则问题⑴的结论是否成立?说明理由.

4定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形.

理解：⑴如图1,点A,B,C在。。上，乙48c的平分线交。。于点D,连接AD,CD.求证：四边形ABCD是

等补四边形;

探究：(2)如图2,在等补四边形ABCD中AB=AD,,连接AC,AC是否平分N8CD?请说明理由.

运用：(3攻口图3,在等补四边形ABCD中AB=4。其外角.4EAD的平分线交CD的延长线于点F,(CD

=10,AF=5,求DF的长.

5如图，点P(3zn_1，_2m+4)在第一象限的角平分线OC上,4P团BP,点A在x轴正半轴上，点B在y轴

正半轴上.

(1)求点P的坐标.

⑵当乙4PB绕点P旋转时，

@0A+OB的值是否发生变化?若变化，求出其变化范围；若不变,求出这个定值.

②请求出(。炉+。炉的最小值.

6(1)如图①，等边△ABC的边长为6,则该等边三角形的外接圆半径长为.

⑵如图②，在△ABC中,ABAC=120°,AB=AC=8,点D、E、F分别在边BC、AB和AC上，乙EDF=60",,

若点D为BC边的中点，AE=求AF的长度.

o

(3)如图③，在△ABC中，.NB4C=12(r,BC=10百，等边△DEF的三个顶点分别在边BC、AB、AC上该等

边三角形的面积是否存在最大值，如果存在,求出面积最大值，如果不存在，说明理由.

7定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形.

(1)概念理解：在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，你认为属于奇异四边形的有

⑵性质探究：

①如图1,四边形ABCD是奇异四边形，AB=AD,求证：CA平分/BCD;

②如图2,四边形ABCD是奇异四边形，AB=AD,ZBCD=2a,试说明:

BC+CD

cosa=----------

2AC

(3)性质应用：

如图3,四边形ABCD是奇异四边形，四条边中仅有BC=CD,且四边形ABCD的周长为6+2V10,ZBXC=4

5°MC=3鱼,求奇异四边形ABCD的面积.

区定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形.

(1)概念理解：

①在互补四边形ABCD中，ZA与/C是一组对角，若/.B-.ZC:ZD=2:3:4,则乙4=_。;

②如图1,在△ABC中，点D,E分别在边AB,BC上，且BE・BC=AB・BD,求证:四边形ADEC是互补四边形.

(2)探究发现：如图2,在等腰△ABE中，AE=BE,点C,D分别在边BE,AE±,AD=BC,四边形CEDH是互补

9如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB=4,BC=6.若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩

形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动.

(1)当/OAD=30。时，求点C的坐标;

⑵设AD的中点为M,连接OM、MC,当四边形OMCD的面积为争寸，求0A的长；

(3)当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值.并求此时cos/OAD的值.

1.解：如图，①设Nl=x度，则/2=(60-x)o,/DBC=(x+60)°,故/4=(x+60)°,

Z2+Z3+Z4=60-x+60+x+60=180°,

，D、A、E三点共线；故①正确；

C

②••,△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60。得到AACE,；.CD=CE,ZDCE=60°,，Z\CDE为等边三角形，

ZE=60°,AZBDC=ZE=60°,

ZCDA=120°-60°=60°,

；.DC平分/BDA;故②正确；

@VZBAC=60°,ZE=60°，，/E=/BAC.故③正确；

④由旋转可知AE=BD,又；/DAE=180。，

DE=AE+AD.:ACDE为等边三角形，

.,.DC=DB+BA.故④正确；故选：A.

2解：；四边形ABCD是正方形，.../BCQ=90o,：PQ_LPB,；./BPQ=90o,；./BPQ+/BCQ=180。，；.B、C、Q、

P四点共圆，•..NPBC=NPQD,/BPC=/BQC,.•.①正确；③正确；

•••四边形ABCD是正方形，ZBCP=ZPCQ=45°,

/.BP=PQ,.•.②正确；

过P作PELAB于E,PF_LDC于F,则E、P、F三点共线，二•四边形ABCD是正方形，/PAE=45。，4PA

E是等腰直角三角形，；.PE=£=掾=1

在ABEP和APFQ中.易证ABEPg/\PFQ(ASA),；.PE=FQ=1,；.DQ=1+1=2,；Q为CD中点,；.DC=2DQ=4,

正方形ABCD的面积是4x4=16,.•.④正确；故选A.

3解：(1)VEF/7AB..,.ZFEC=ZA=30°,ZEFC=ZB=30°；.EC=CF.又；AC=BC,/.AE=BF,又是AB

中点..•.DB=AD；.Z\ADEdBDF.；.DE=DF

⑵如图，连接CD,VAABC是等腰三角形，点D为AB边的中点，，ZACD=ZBCD,

在线段AC上取点F,使(CF'=CF,连接F'D,

CD=CD

在仆CDF-^ACDF'中，｛/FCD=AF'CD

CF=CF'

」.△CDF经△CDF'(SAS),/.ZCFD=ZCF'D,在四边形CEDF中,ZACB=120°,ZEDF=60°,

.,.ZCED+ZCFD=180°,.".ZCED+ZCFD=180°,

VZCED+ZF'ED=180°,Z.ZEF'D=ZF'ED,

；.DE=DF,VDF=DF,•,.DE=DF.

方法2(初三)：•.♦/ACB=120。，ZEDF=60°

.*.AEDF四点共圆，：/EAD=/FAD(三线合一)

，DE=DF

4解：(1)证明：；四边形ABCD为圆内接四边形,，/A+/C=180。，ZABC+ZADC=180°,

；BD平分/ABC,；.NABD=/CBD,；.AD=CD,

四边形ABCD是等补四边形；

(2)AC平分/BCD,理由如下：

如图2,过点A分别作AEJ_BC于点E,AF垂直CD的延长线于点F,贝叱AEB=/AFD=90。，

・•,四边形ABCD是等补四边形，.•./B+NADC=180。,又/ADC+/ADF=180。，；.NB=/ADF,；AB=AD,

AABE^AADF(AAS),;.AE=AF,

...AC是/BCF的平分线，即AC平分/BCD;

(3)如图3,连接AC,•.•四边形ABCD是等补四边形，

.•.ZBAD+ZBCD=180°,又/BAD+/EAD=180°,

NEAD=/BCD,VAF平分/EAD,

^FAD=^EAD,由(2)知，AC平分/BCD,

ZFCA=|ZBCD,.\ZFCA=ZFAD,XZAFC=ZDFA,/.AACF^ADAF,=^1,gp京=竺詈DF

=5\/2—5.

5.解：⑴•.•点P(3m-1,-2m+4)在第一象限的角平分线OC上，；.3m-l=-2m+4,

；.P(2,2);

(2)①不变.过点P作PM_Ly轴于M,PN_LOA于N.

,/ZPMO=ZPNO=ZMON=90°,PM=PN=2,

四边形QMPN是正方形，，ZMPN=90°=ZAPB,

-•.ZMPB=ZNPA.

乙MPB=乙NPA

在^PMB和小PNA中，[PM=PN,

乙PMB=乙PNA

.'.△PMB^APNA(ASA),；.BM=AN,

OB+OA=OM-BM+ON+AN=2OM=4,

②连接AB,•.•/AOB=90°,；.OA2+OB2=AB2,

•••ABPA=90",AB2=PA2+PB2=2PA2,

OA2+OB2=2PA2,当PA最小时，。弟+。炉也最小根据垂线段最短原理，PA最小值为2,

OA2+。炉的最小值为8.

303.解：（1）如图1,作BC、AC的垂直平分线，交△ABC的内部于一点O，。即为等边三角形的外接圆的圆

心，贝U乙OBD=30°,DB=DC=|sc=3,

在RtAOBD中，。。=,=亲=WOB=2OD=2但.•.等边三角形的外接圆半径长为2痘.

BDC

图2

⑵如图2,连接AD,过点D作DM_LBA于点M,DN_LAC于点N,则NDMA=NDNA=NDNF=90。,：AB=A

C,点D是BC的中点，

ADMA=乙DNA

AD^BC,/.DAM=乙DAN=-x120°=60°,ADM和AADN中，｛N£MM=乙DAN,

AD=AD

.二△ADM也△ADN(AAS),；.AM=AN,DM=DN,在四边形AMDN中，ZMDN=360°-120°-90°-90°=60°,V

ZEDF=60°,ANMDN=NEDF,即NEDN+/NDF=NEDN+NMDE,ZNDF=ZMDE,

一4DME=4DNF

在△MDE和小NDF中，｛MD=ND,

乙MDE=乙NDF

：.AMDE^ANDF(ASA),.\ME=ZNF,

AE+AF=AM-ME+AN+NF=2AM,

VZBAC=120°,AB=AC=8,/.ZB=ZC=30°,

在R3ABD中，AD=^AB,

在RtAAMD中，AM=^AD,

11

.・.AM=-x-AB=2=AN,

22

I

••・ME=AM-^AB=1=NF,，AF=2+1=3.

(3)如图3,过点D作DGJ_AB于点G,GH_LAC于点H,由(2)可得：△DEG会△DFH,△ADG之ADH,・♦.D

G=DH,ZDAG=ZDAH=60°,

••SMEF=手。尸2,且由几何关系可得DF<AD,

AAD取得最大值时,SADEF取得最大值，作△ABC的外接圆。O,连接OB、OC,贝此BOC=120。，

VBC=10V3,.\OB=OC=10,

过点O作OQLBC交。。于M、N,垂足为Q,则OQ=5,MN平分BC弧，BNM=CN弧,连接DN,A、D、N

共线,

由几何关系可得：DN+AD<MN,

.\AD<MN-DN,

,/ND>QN,当DN最小时，AD存在最大值，

•••当AN为直径时,AD存在最大值,AD最大=5,

ASADEF最大=—X52=—.

44

6解：（1）根据奇异四边形的定义可知：正方形是奇异四边形，故答案为正方形.

⑵①如图1过点A作AM_LCB于M,AN±CD于N.,VZABC+ZD=180°,ZABM+ZABC=180°,

.•.ZABM=ZD,VZAMB=ZAND=90°,AB=AD,

AAAMB^AAND,AAM=AN,

：AM_LCB于M,AN_LCD于N,，CA平分/BCD.

4D

m图3

②由①可知：=三乙

^ACDBCD=a,"CN=CD-DN=CD-BM=CD(CM-BC)=CD-(CN-BC),ACN=

CD+BC

2，

CAz-nuTi1iCNBC+CD

在RSACN中，cosa=女=24c.

(3)如图3中，由(2)可知：cos45。=殁券，，AD+AB=2ACx^-=6,•・.四边形ABCD的周长为6+2同,・•・

BC=CD=V10,7ABAC=^DAC=45",

，NDAB=90。，：四边形是奇异四边形，

.\ZBCD=90°,VAD+AB=6,

•••(AD+AB)2=AD2+2AD-AB+AB2=36,

AD2+AB2=BD2=BC2+CD2=20,AD-AB=8,

一11

y/=SAADB+SXBDC=~~'A。•ABH—,CD,BC=9.

四777边形7rABCDRADB22

7.(1)①解：•・•四边形ABCD是互补四边形,NA与NC是一组对角，・•・乙C=180。—乙4

VZB:ZC:ND=2:3:4,

79

zB=jzC=-(180°-z4),

44

zD=-zC=-(180°-z/1),

,/ZA+ZB+ZC+ZD=360°,

.­.ZX+|(180°-ZX)+(180°-ZX)+|(180"—NA)=360°,；.ZA=90°.故答案为：90;

②证明：BE・BC=AB•BD,；.—=吧，又：ZB=ZB,；.ABDE^ABCA,；.ZBED=ZA,

ABBC

：.ZA+ZCED=ZBED+ZCED=180°,

・・・四边形ADEC是互补四边形；

AE=BE

(2)证明：TAE=BE,AD=BC,AED=EC,^AEAC和^EBD中，｛4E=乙E,

EC=ED

：.AEAC^AEBD(SAS),・・・NEBD=NEAC,

VAE=BE,AZEAB=ZEBA,AZABD=ZBAC,

四边形CEDH是互补四