2025年中考数学复习：旋转模型

旋转模型

1如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A,B,C的距离分别为34,5,则4ABC的面积为（

C.18+25V3D.18+等

2如图，平面内三点A、B、C,AB=5,AC=3,以BC为对角线作正方形BDCE,连接AD,则AD的最大值是（

X.2V2B.4V2C.4D.8

3如图在矩形ABCD中，点E是AB的中点点F是BC的中点连接EF,G是EF的中点，连接DG.在4

BEF中.BE=2,ZBFE=30°,若将△BEF绕点B逆时针旋转，则在旋转的过程中，线段DG长的最大值是（）

X.V67B.2V17C.10D.12

4如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为2b，鱼、4,则正方形ABCD的

面积为.

5如图，在正方形ABCD外取一点E,连接DE,AE,CE,过点D作DE的垂线交AE于点P若］DE=DP=1

,PC=访下列结论：©AAPD^ACED;®AE±CE;③点C到直线DE的距离为V3;@S正方形ABCD=5+2

四,其中正确结论的序号为.

6如图，在Rt△ABC中，4CAB=90°,XC=2,NB=30。,将△2BC绕点A逆时针旋转120。得到△AB'C,若

P为CB上一动点，旋转后点P的对应点为点P',则线段PP长度的最小值是.

7如图，△ABC是等边三角形，点D为BC边上一点，BD=\DC=2,以点D为顶点作正方形DEFG,且D

E=BC,连接AE,AG.若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为.

8如图1,在RSABC中，ZABC=90°,AB=8,BC=6,D是AB上一点，且.AD=2,过点D作DE〃BC交A

C于E,将4ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置.则图2中差的值为________.

CE

9如图，已知点A(3,0),点B在y轴正半轴上，将线段AB绕点A顺时针旋转120。到线段AC,若点C的坐

标为(7,h),则仁

10如图，边长为8小的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC,将线段EC绕点C逆

时针旋转（60。得到FC,连接DF,则在点E运动过程中，DF的最小值是.

11如图，等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP、BP、CP,若AP=6,BP=8,CP=10,则SAABP+SABPC=

12如图，已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,NBAC=45。，点D在AC边上，将△ABD绕点A逆时针旋转45。

得到△ACD',且点D、D、B三点在同一条直线上，则乙钻。的度数是

13如图，等腰梯形ABCD中，AD\\BC,AD=AB=CD=2,AC=60°,根是直的中点将学习笔记：△MDC

绕点M旋转，当MD（即与AB交于一点E,MC（即ML）同时与AD交于一点F时点EF和点A构成△2EF

厕△AEF周长的最小值为.

14如图将力BCD绕点A逆时针旋转到ABC。的位置使点次落在BC上，夕L与CD交于点E.若AB=3

,BC=4,BB'=1,则CE的长为,

15在△ADE中，BA=BC,DA=DE.且/ABC=NADE=a,点E在△ABC的内部，连接EC,EB和B

D,并且.NACE+AABE=90°.

⑴如图①，当（a=60。时，线段BD与CE的数量关系为,线段EA,EB,EC的数量关系为:

⑵如图②，当（a=90。时，请写出线段EA,EB,EC的数量关系，并说明理由；

⑶在⑵的条件下，当点E在线段CD上时，若BC=2逐，请直接写出△BDE的面积.

16在RtAABC中,ZACB=90°,AB=5,BC=3,将△4BC绕点B顺时针旋转得到△ABC,其中点A,C的对

应点分别为点.A',C.

⑴如图1,当点A落在AC的延长线上时，求AA，的长；

⑵如图2,当点C落在AB的延长线上时，连接9,交AB于点M,求BM的长

⑶如图3,连接AA；CC,直线CC交AA,于点D,点E为AC的中点连接DE在旋转过程中，DE是否存在

最小值?若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由.

17【问题解决】一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1,点P是正方形ABCD内一点，PA=1,PB=

2,PC=3.你能求出/APB的度数吗？

小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：

思路一：将^BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP'A,连接PP,求出/APB的度数；

思路二：将小APB绕点B顺时针旋转90°,得到△CP'B,连接PP',求出/APB的度数

请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程.

【类比探究】如图2,若点P是正方形ABCD外一点，PA=3,PB=1,PC=VH球/APB的度数.

18已知.△AOB和△MON都是等腰直角三角形＜OM=ON)/AOB=乙MON=90".

(1)如图1:连AM,BN,求证：i^AOM=^BON;

⑵若将△MON绕点O顺时针旋转，

①如图2,当点N恰好在AB边上时，求证：BN2+AN2=2ON2;

②当点A,M,N在同一条直线上时，若。8=4,ON=3,请直接写出线段BN的长.

19如图1,若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG=CE.AG^CE.

(1)当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG=CE是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说

明理由；

(2)当正方形GFED绕D旋转到如图3的位置时，延长CE交AG于H,交AD于M.

①求证：XG0CH;

②当AD=8,DG=2应时，求CH的长.

20已知在△4BC中，。为BC边的中点，连接AO,将△40C绕点O顺时针方向旋转(旋转角为钝角)，得到

AEOF,连接AE,CF.

⑴如图1,当NBAC=90。且AB=AC时厕AE与CF满足的数量关系是;

(2)如图2,当ABAC=90。且AB#：AC时，⑴中的结论是否仍然成立?若成立，请写出证明过程；若不成立，

请说明理由.

⑶如图3,延长AO到点D,使OD=OA,连接DE,当AO=CF=5,BC=6时，求DE的长.

21在4ABC中，AB=AC,D是边BC上一动点，连接AD,将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得/DAE

+ZBAC=180°.

⑴如图1,当NBAC=90。时,连接BE,交AC于点F.若BE平分/ABC,BD=2,求AF的长;

⑵如图2,连接BE,取BE的中点G,连接AG.猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接DG,CE,若NBAC=120。，当BD>CD,/AEC=150。时，请直接写出力萨的值.

CE

22在△4BC中,AB=AC,ACDE中,CE=CD(CE>CA),BC=CD,3=a,Z.ACB+乙ECD=180。，，点B,

C,E不共线，点P为直线DE上一点，且PB=PD.

⑴如图1,点D在线段BC延长线上，则.Z.ECD=_.^ABP=_.(用含a的代数式表示)；

(2)如图2,点A,E在直线BC同侧，求证：BP平分Z71BC;

(3)若乙ABC=60。,BC=V3+1,将图3中的△CDE绕点C按顺时针方向旋转，当BPXDE时,直线PC交B

D于点G,点M是PD中点请直接写出GM的长.

图D

1图2图3

D

23已知AABC=60。,点F在直线BC上，以AF为边作等边三角形AFE,过点E作EDmAB于点D.请解答下

列问题：

(1)如图①，求证：AB+BF=2BD;

(2)如图②、图③，线段AB,BF,BD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需要证明.

24如图1,在AABC中，ZC=90°,ZABC=30°,AC=1,D为△ABC内部的一动点(不在边上),连接BD,将

线段BD绕点D逆时针旋转(60。,，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60。，，使点A到达点E

的位置，连接AD,CD,AE,AF,BF,EF.

(1)求证：△BDA^ABFE;

(2)①CD+DF+FE的最小值为;

②当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD〃:BF.

(3)如图2,M,N,P分别是DF,AF,AE的中点连接MP,NP,在点D运动的过程中，请判断/MPN的大小是

否为定值.若是，求出其度数；若不是，请说明理由.

25如图，在^ABC中,AB=AC.^BAC=a(0。<a<180"),,过点A作射线AM交射线BC于点D,将AM

绕点A逆时针旋转a得到AN,过点C作CF〃AM交直线AN于点F,在AM上取点E,使NAEB=/ACB.

(1)当AM与线段BC相交时，

①如图1,当a=60。时，线段AE,CE和CF之间的数量关系为.

②如图2,当a=90。时，写出线段AE,CE和CF之间的数量关系，并说明理由.

⑵当tana=$48=5时，若△CDE是直角三角形，直接写出AF的长.

1解：MABC为等边三角形,.BA=BC,可将△BPC绕点B逆时针旋转60。得ABEA,连EP,且延长BP,

作4FI3BP于点F.如图，

.♦.△BPE为等边三角形,...PE=PB=4,/BPE=60o在AAEP中,AAE=5,AP=3,PE=4,；.AE2=PE2+PA2,

：.AAPE为直角三角形,且.^APE=90°,

ZAPB=90°+60°=150°.；./APF=30°,

222

.•.在RtAAPF中，AF=^AP=1,PF=~AP=•.在RtAABF中，AB=BF+AF=(4+|V^f+

(I?=25+128则△ABC的面积是=-(25+128)=9+竽.故选：A.

2解：如图，WABDA绕点D顺时针旋转90。得到ACDM,由旋转不变性可知：AB=CM=5,DA=DM,ZADM

=90。，.•.△ADM是等腰直角三角形，；.AD=¥2M,...当AM的值最大时，AD的值最大，；AMWAC+CM,.”乂现

；.AM的最大值为8,；.AD的最大值为4V2.故选:B.

3解：连接BG,ABEF中，BE=2,ZBFE=30°,EF=2BE=4,BF=WBE=2b,：G是EF的中点，•••BG

==2,；.G在。B上，且半径为2,

.•.当G在DB的延长线上时，DG最大，

VBE=2,BF=28，点E是AB的中点，点F是BC（的中点，；.AB=4,BC=4V3

BD=7AB2+BC2=8,

，DG的最大值为8+2=10,故选：C.

4解：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90。得到△CBM,连接PM,•••.BP=BM=版/PBM=90。,

PM=V2PB=2,PC=4,PA=CM=2①

.\PC2=CM2+PM2,ZPMC=90°,

•••乙BPM=乙BMP=45°,4CMB=AAPB=135°,

:./APB+/BPM=180。，A,P,M共线，连接AC,在RtAAMC中，AM=AP+PM=2+2V3,CM=2百

22

AC2=AP2+CM2=（2+2V3）+（2V3）=28+8百

:•正方形ABCD的面积为|XC2=14+4V3.

5.解：①：DP_LDE,；.NPDE=90。.

；./PDC+/CDE=90。，：在正方形ABCD中,ZADC=ZADP+ZPDC=90°,AD=CD,AZCDE=ZADP.

AD=CD

SAAPD和^CED中，｛乙4DP=LCDE

PD=DE

A△APDCED（SAS）,故①正确：

②：AAPD^ACED,ZAPD=ZCED,

又：NAPD=ZPDE+ZDEP,ZCED=ZCEA+ZDEP,

ZPDE=ZCEA=90°.即AE±CE,故②正确;

③过点C作CF,DE的延长线于点F,如图,

VDE=DP,ZPDE=90°,AZDPE=ZDEP=45°.

又•；NCEA=90°,.\ZCEF=ZFCE=45°.

DP=DE=1,.-.PE=>JDP2+DE2=V2.

CE=VPC2-PE2=2,.-.CF=EF=^-CE=VI即点C到直线DE的距离为VX故③错误；

@•••CF=EF=V2,DE=1,在RtACDF中，CD2=CF2+DF2=(V2)2+(1++3+2V2=5+2<2,

s=5+2夜，故④正确.

形ABCD

综上所述，正确结论的序号为①②④，故答案为：①②④.

6解：...将△ABC绕点A顺时针旋转12(T,.・.NPAP=120。，AP=AP,.;△APP是顶角为120。的等腰三角形，

PP'=V3PX,当PA最小时，PP有最小值。即当PAXBC时,PA有最小值，即PP有最小值，此时,PA=W

PC==V3,

线段PP长度的最小值=V3xV3=3,

239解连接AD,在ADE中，AE>DE-AD.

VDE和AD都是固定值，如下图，当点E在DA延长线上时，AE=DE-AD,此时AE最小.

过点A作AMXBC于M,•BD=1DC=2,

；.DC=4,；.BC=BD+DC=2+4=6,

AABC是等边三角形，，AB=AC=BC=6,

•••AM1BC,：.BM=-BC=-x6=3,

22’

.*.DM=BM-BD=3-2=1,在RtAABM中，AM=<AB2-BM2=3百，当点E在DA延长线上时，AE=DE-A

D.此时AE取最小值，

在RtAADM中"D=yjDM2+AM2=2中,

.•.在RtAADG中，AG=y/AD2+DG2=8;

故答案为：8.

7.解：：NABC=90。，AB=8,BC=6,

AC=7AB2+BC2=V82+62=10.

AnAF

VDE/7BC,.".AADE^AABC,

ABAC

•.•将△ADE绕A点顺时针旋转到图2的位置，

ZDAB=ZEAC,A△ADBs^AEC,...\=*=)=.故答案为：!

8.解：WAAOB绕点A顺时针旋转120度，得到三角形ACD,延长DC交x轴于点E,

在直角三角形ADE中，ADAE=60。,

/.ZDEA=30°,贝！］AE=2AD=2OA=6,

过点C作CFLx轴于点F,则CF=h,AF=7-3=4,

EF=6-4=2,

在直角三角形CEF中，ZCEF=30°,

9解：如图，连接BF,由旋转可得，CE=FC,ZECF=60°,^.^△ABC是等边三角形，.^.AC=BC,/ACB=60。，.^./A

CE=ZBCF,

AC=BC

在4ACE和4BCF中，亿4CE=乙BCF,

CE=CF

：.AACE^ABCF(SAS),AZCBF=ZCAE,

:边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，，ZCAE=30°,BD=4V3

ZCBF=30°,即点F的运动轨迹为直线BF,

当DF_LBF时.DF最短，DH即为所求,此时，OH==|X4V3=2V3,DF的最小值是28，故答案为

10.解：如图，将ABPC绕点B逆时针旋转60。后得△APB,连接PP,根据旋转的性质可知，旋转角NPBP=

ZCAB=60°,BP=BP,.,.△BPP为等边三角形,；.BP=BP=8=PP;由旋转的性质可知，AP'=PC=10,^ABPP'

中,PP=8,AP=6,由勾股定理的逆定理得,△APP是直角三角形，

,,,SMBP+S"PC-$加/彩APRP=SABPB+^LAPP=%BP?+-XPP'XAP=24+168.

故答案为：24+16V3.

11.解：：将△ABD绕点A逆时针旋转45。得到△ACD,NBAC=/CAD'=45。，AD=AD',

ZAD'D=67.5°,ZD'AB=90°AZABD=22.5°

故答案为：22.5°

245.解：连接AM,过点D作DPJ_BC于点P,过点A作AQLBC于点Q,即AQ〃DP,：AD〃BC,.•.四边

形ADPQ是平行四边形，；.AD=QP=AB=CD,

VZC=ZB=60°,.,.ZBAQ=ZCDP=30°,.*.CP=BQ=得48=1,即BC=l+l+2=4,：点M是BC的中点,；.BM

=2=AD,...四边形ABMD是平行四边形，

VZC=60°,.,.ZCDP=30°,VCD=2,.\CP=1,

.,•由勾股定理得：DP=V3,

连接AM,；AB=AD,.•.平行四边形ABMD是菱形,△MAB,AMAD和△MCD,是等边三角形，ZBMA=Z

BME+ZAME=60°,ZEMF=ZAMF+ZAME=60°,

/.ZBME=ZAMF,

Z-B=Z.FAM

在^BME与工AMF中，｛BM=AM,BME=

乙BME=Z.AMF

△AMF(ASA),.*.BE=AF,ME=MF,AE+AF=AE+BE=AB,VZEMF=ZDMC=60°,故AEMF是等边三角形，EF=

MF,：MF的最小值为点M到AD的距离等于DP的长，即是百，即EF的最小值是b，4AEF的周长=AE+A

F+EF=AB+EF,AAEF的周长的最小值为2+故答案为：2+V3.

12解:由旋转可知,/：6人8，=/口人/八8，=人8=3人》=人口=4,；.ABAB'^>ADAD',

AB:BB'=AD:DD'=3:1,ZAD'D=ZAB'B=AD'D=ZB=ZAB'B,AZAD'C'=ZAD'D,即点D',D,C'在同

一条直线上，・•.DC，=3—；|,

又/C'=NECB',ZDEC'=ZB'EC,

/.△CEB'^ACED,AB'E:DE=CE:C'E=B'C:DC,即B'E:DE=CE:CE=3:|设CE=x,B'E=y,x:(4

-y)=y;(3-%)=3：I，.,.x=》故答案为：I

ooo

13.解：(1)：BA=BC,DA=DE,且/ABC=/ADE=60。，.'.△ABC,△ADE者口是等边三角形，

；.AD=AE,AB=AC,ZDAE=ZBAC=60°,

ZDAB=ZEAC,.,.△DAB^AEAC(SAS),

.\BD=EC,ZABD=ZACE,

,/ZACE+ZABE=90°,AZABD+ZABE=90°,

.­.乙DBE=90°,DE2=BD2+BE2,

VEAA=DE,BD=EC,：.EA2=BE2+EC?.故答案为BD=EC,EA2=EB2+EC2.

(2)结论：EA2=EC2+2叱.理由：如图②中,VBA=BC,DA=DE.且.^ABC=^ADE=90。,••.△ABC,AAD

E都是等腰直角三角形，•••ZDAE=ZBAC=45°,ADAB=・.噂=£*=噌♦•噂=.必DAB-A

AtNAC/NACAL

EAC,假=箓=V2,ZACE=ZABD,VZACE+ZABE=90°,.\ZABD+ZABE=90°,AZDBE=90°,：.DE2=B

D2+BE2,•••EA=42DE,BD=y£C,•••^EA2=^EC2+BE2,.-.EA2=EC2+2BE2.

(3)如图，：ZAED=45°,D,E,C共线,

/.ZAEC=135°,VAADB^AAEC,

/.ZADB=ZAEC=135°,

VZADE=ZDBE=90°,/.ZBDE=ZBED=45°,

BD=BE,：.DE=V2BD,vEC=aBD,

；.AD=DE=EC,设AD=DE=EC=x,

在RtAABC中，•••4B=BC=2小，:.AC=2V10,

在RtAADC中，；AD2+DC2=AC2,x2+4x2=40,

x=2V负木艮已舍),AD=DE=2Vx

BD=BE=2,•1.SABDE=|X2X2=2.

13.解：(1),/ZACB=90°,AB=5,BC=3,

AC=y/AB2-BC2=4,Z.ACB=90°,A48c绕点B

顺时针旋转得到4A1BC,点A，落在AC的延长线上,

ZA'CB=90°,A'B=AB=5,

RtAA'BC中,A'C=7A'B2-BC?=4,

/.AA'=AC+A'C=8;

(2)过C作CE〃AB交AB于E,过C作CD±AB于D,如图2:；AABC绕点B顺时针旋转得到AA'BC,

AZA'BC=ZABC,BC=BC=3,：CE〃A'B,；.NA'BC=NCEB,；.NCEB=/ABC,；.CE=BC=3,RtAABC中，

S^ABC=~AC-BC=-AB-CD,AC=4,BC=3,AB=5,.•>CD=Rt△CED中，DE=VCE2-CD2=

22AB55

同理BD=l，.-.BE=DE+BD=9,CE=BC+BE=3+?=伺,:CE\\A'B,翳=的...等=BM审

5b55CECco—11

（3）DE存在最小值，最小值是1,理由如下：如图3左，连接A'C,则DE是4A'AC的中位线，，DE=赵匕当

A'C最小时，DE有最小值.

如图3右，当A运动到BC延长线上时，A'C有最小值是AB-BC=5-3=2,DE的最小值是1

14解：（问题解决）思路一：如图1,将ABPC绕点B逆时针旋转90。，得至IUBP'A,连接PP,

.♦.△ABP'之Z\CBP,.•.NPBP'=90°,BP'=BP=2,AP'=CP=3,在RtAPBP'中,BP=BP=2,；.NBPP'=45°，根据勾股定

理得，PP'=&BP=2V2,

•••AP=1,AP2+PP'2=1+8=9,AP'2=32=9,

...AP2+PP'2=AP'2,.♦.△APP'是直角三角形，且/APP'=90°ZAPB=ZAPP'+ZBPP'=90o+45o=135o;

（思路探究）如图2,将^BPC绕点B逆时针旋转90。，得到△BP'A,连接PP',AAABP'^ACBP,

.•./PBP'=90。，BP'=BP=1,AP'=CP=VTT在RSPBP'中，BP=BP=1,NBPP'=45。，根据勾股定理彳导，PP'=

V2BP=VX；AP=3,

AP2+PP'2=9+2=11,

____o

•••AP'2=(VTl)=11,.-.AP2+PP'2=AP'2,

:.△APP是直角三角形，且NAPP=90。，

•••乙APB=乙APP'-乙BPP'=90°-45°=45°.

15(1)证明：如图中，：/AOB=/MON=90o,；./AOM=/BON,

VAO=BO,OM=ON,/.AAOM^ABONCSAS).

⑵①证明：如图2中，连接AM.

同法可证△A0M丝ZXBON,；.AM=BN,ZOAM=ZB=45°,VZOAB=ZB=45°,/.ZMAN=ZOAM+乙OAB

=90°,MN2=AN2+AM2,-.-AMON是等腰直角三角形，MN2=2ON2,NB2+AN2=2ON2.

②如图1中，设OA交BN于J,过点O作OHLMN于H.

VAAOM^ABON,AAM=BN,ZOAM=ZOBN,

VZAJN=ZBJO,/.ZANJ=ZJOB=90°,

VOM=ON=3,ZMON=90°,OH±MN,

.：MN=3V2,MH=HN=OH=^,

•••阳='OA?一惭二手,

工BN=AM=MH+AH=『.

如图2中，同法可证AM=BN='宇.

16(1)解：AG=CE,证明如下:

:四边形ABCD,四边形EFGD是正方形，；.DA=DC,DG=DE,ZADC=ZGDE=90°,ZGDA=ZEDC,AA

DG^ACDE(SAS),.\AG=CE.

(2)①证明：VAADG^ACDE,ZGAM=ZECD,VZAMH=ZCMD,AZAHN=ZMDC=90°,.'.AG±CH.

②解：如图3,连接GE交AD于点N,连接AE,V四边形EFGD是正方形,DG=2V2,GE±DF,GE=DF=4,

；.GN=NE=ND=NF=2,：AD=8,

/.AN=AD-ND=8-2=6,

AG=y/AN2+NG2=2V10,CE=HG=2V10,

1•,SMGE=IXGEXAN=IxAGxHE

|x4x6=|x2V10xHE,HE=甯

:.CH=CE+HE=2V10+噂=

17.®:(1)结论：AE=CF.理由:

VAB=AC,ZBAC=90°,OC=OB,.,.OA=OC=OB,AO±BC,VZAOC=ZEOF=90°,ZAOE=ZCOF,,.,0A=

OC,OE=OF,

AAAOE^ACOF(SAS),.\AE=CF.

(2)结论成立.理由：：NBAC=90。，OC=OB,

OA=OC=OB,：ZAOC=ZEOF,ZAOE=ZCOF,

VOA=OC,OE=OF,.•.△AOE^ACOF(SAS),

；.AE=CF.

(3)由旋转的性质可知OE=OA,•••OA=OD,

.*.OE=OA=OD=5,Z.ZAED=90°,

".,OA=OE.OC=OF.ZAOE=ZCOF,/.—=OEOF,

'''04'

AOE〜△COF,—=—,

CFOC

■：CF=CM=5,.-.-=AE=—,

533

•••DE=VXD2-AE2=

3

18解⑴如图1,过点F作FQLBC于Q,

；BE平分/ABC,ZBAC=90°,；.FA=FQ,

VAB=AC,.\ZABC=ZACB=45°,.\FQ=博uF,

VZBAC+ZDAE=180°,ZDAE=ZBAC=90°,

/.ZBAD=ZCAE,由旋转知，AD=AE,

AABD^AACE(SAS),

.\BD=CE=2,ZABD=ZACE=45°,

ZBCE=90°,.,.ZCBF+ZBEC=90°,

BE平分/ABC,ZABF=ZCBF,

AZABF+ZBEC=90°,ZBAC=90°,

/ABF+NAFB=90。，

ZAFB=ZBEC,ZAFB=ZCFE,/.ZBEC=ZCFE,：.CF=CE=2,：..AF=FQ=,F=V2;

图1图2

⑵力G=|CD,理由：如图2,延长BA至点M，使AM=AB,连接EM,:・G是BE的中点

BAC+ZDAE=ZBAC+ZCAM=180°,

ZDAE=ZCAM,.\ZDAC=ZEAM,VAB=AM,AB=AC,；.AC=AM,•?AD=AE,AADC丝AAEM(SAS)

,/.CD=EM,.*.AG=|CD;

*

o

图3

⑶如图3,连接DE,AD与BE的交点记作点N,

VZBAC+ZDAE=180°,ZBAC=120°,

：.ZDAE=60°,VAD=AE,AADE是等边三角形，

AE=DE,ZADE=ZAED=60°,VZAEC=150°,

AZDEC=ZAEC-ZAED=90°，在△ABC中,AB=AC,ZBAC=120°,ZACB=ZABC=30°,

VZAEC=150°,・・・NABC+NAEC=180。，

・••点A,B,C,E四点共圆，・・・NBEC=NBAC=120。，

AZBED=ZBEC-ZDEC=30°,

：.ZDNE=180°-ZBED-ZADE=90°,

・「AE=DE,「.AN=DN,「.BE是AD的垂直平分线，

AAG=DG,BA=BD=AC,

••・乙ABE=乙DBE=-/.ABC=15°,

2

AZACE=ZABE=15°,：.ZDCE=45°,

ZDEC=90°,・•・ZEDC=45°=ZDCE,

二•DE二CE,・・・AD=DE,

设AG=a,见|DG=a,由⑵知，AG=\CD,

：.CD=2AG=2a,■.CE=DE=*D=V2cz,

AD=V2a,DN==彳a,

过点D作DH_LAC于H,RtzxDHC中，ZACB=30°,CD=2a,.,.DH=a,根据勾股定理得，CH=V3a,SRtAAH

D中，根据勾股定理得，AH=VXD2-DW2=a,；.AC=AH+CH=a+V3a,

Dp.BD-DGQ.+yf3CL-CL

••DD—CLiv3a,,,—十—■

CEV2a2

19(1)W：VCE=CD,/.ZD=ZE=a,AZECD=180^-2a,AZECB=ZE+ZD=2a,

VAB=AC,.\ZABC=ZACB=2a,:PB=PD,

...NPBD=ND=a,.•.NABP=NABC-/PBD=a,故答案为：180°-2a,a.

(2)证明：如图2中，连接BD.；CB=CD,PB=PD,

；./CBD=/CDB,ZPBD=ZPDB,

ZPBC=ZPDC=a,*/ZABC=2a,

ZABP=ZPBC=a,；.PB平分NABC.

A

E

EA

⑶解：分两种情况讨论，①.如图3-1,VBPXPD,BP=PD,「•△PBD是等月要直角三角形，VCB=CD,PB=PD,

.,.PG垂直平分线段BD,・・.BG=DG,,.,PM=MD,・・・GM是△PBM的中位线，・•.GM=

VZABC=ZACB=60°,

・•・乙ECD=180°-60°=120。公ACB是等边三角形，

VCE=CD,.\ZCDE=30o,

AZPBC=ZPDC=30°,：.ZBHC=90°,

CH=-BC=—=V3CH=—,

222

•••ZCPD=乙CPH=45",PH=HC=—,

2

PB=BH+PH=y/3+2,GM=等.

②.如图3-2中，同法可证GM=|PB.VZPBC=30°,ZGPB=ZPBC+ZPCB=45°,

/.ZPCB=ZPCD=15°,

•••乙HCE=120°-15°-15°=90°,

•••乙E=30。,CE=CB=皆+1,CH=,=1+苧，

HB=BC—CH=PH=-BH=—

323

PB=V3PH=1,.-.GM=^PB=］综上所述,GM的长为等或|

255.(1)证明：如图①中，连接BE,在BC的延长线上截取BT,使得BT=BA,连接AT.

"?BA=BT,/ABT=60。，/.△ABT是等边三角形「「△ABT,△AEF是等边三角形，；.AT=AB,AF=AE,ZTAB

=ZFAE=60°,.\ZTAF=ZBAE,

ATAB

在4ATF与4ABENO尸△中,ABE(SAS),ATF=BE,ZATB=ZABE=60°,

AF=AE

VED1AB,AZDEB=30°,/.BD=|BE,

.\TF=2BD,VBT=AB,AAB+BF=2BD.

(2)①如图②，结论：AB-BF=2BD.

理由：连接BE,在BC的延长线上截取BT，使得BT=BA,连接AT.：AABT,△AEF是等边三角形，

；.AT=AB,AF=AE,ZTAB=ZFAE=60°,

ZTAF=ZBAE,

在△ATF与△ABE中,(4)HEF=6ABEAATF^A

ABE(SAS),；.TF=BE,ZATF=ZABE=60°,

ZEBD=60°，:EDJ_AB,；./DEB=30。,

BD=^BE,：.TF=2BD,

VBT=AB,.\AB=2BD,AB-BF=2BD.

②如图③，结论：BF-AB=2BD.理由：连接BE,在BC上截取BT,使得BT=BA,连接AT.

「△ABT,AAEF是等边三角形，.,.AT=AB,AF=AE,

/.ZTAF=ZBAE,在△ATF与^ABE中，

AT=AB

^TAF=乙BAE,：.4ATF=△ABE(SAS),

；.TF=BE,ZATF=ZABE=120°,AZEBD=60°

VEDXAB,.'.ZDEB=30°,.\BD=|BE,

；.TF=2BD,VBT=AB,/.BF-AB=2BD

21解：(1)证明：VZDBF=ZABE=60°,.\ZDBF-ZABF=ZABE-ZABF,NABD=/EBF,在△BDA与△BF

BD=BF

E中，｛/.ABD=/-EBF：.ABDA^ABFE(SAS);

AB=BE

(2)①•••两点之间，线段最短，即C、D、F、E共线时CD+DF+FE最小，CD+DF+FE最小值为CE,

VZACB=90°,ZABC=30°,AC=1,；.AB=2,

；.BC=V3,VZCBE=ZABC+ZABE=90°,

CE=^BC2+BE2=V7,故答案为：V7;

E

②如图1：证明：VBD=BF,ZDBF=60°,

4BDF为等边三角形.即/BFD=60。，VC.D、F、E共线时CD+DF+FE