2025年中考数学计算题型分类训练：求二次函数解析式（解析版）

求二次函数解析式

；X改&T式

I'―”一，,,二一…“J

二次函数的解析式

(1)三种解析式：

①一般式：y=ax2+bx+c；

②顶点式：y=a(x-h)2+k(aW0),其中二次函数的顶点坐标是(h,k);

③交点式：y=a(x-xi)(x-X2),其中xi,X2为抛物线与x轴交点的横坐标.

(2)待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程(组)；

解方程(组)，求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.

1.己知抛物线y-ax2-lax-3(a0)经过点A(-l,0).

(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标；

(2)若抛物线上有一动点尸(x,y),当-2烈2时，y的最大值是机，最小值是〃，求机-w的值；

【分析】(1)直接把A点坐标代入>=办2一2办-3中求出a,从而得到抛物线解析式，然后把一般式化为

顶点式得到抛物线的顶点坐标；

(2)根据题意得到尤的范围为-2都r2,再分别计算出x=2和x=-2所对应的函数值，则根据二次函数的

性质得到对应的y的范围，从而得到："、〃的值，然后计算机-”的值.

【解答】解：(1)把4-1,0)代入抛物线解析式得a+2a-3=0,

解得a=l>

解析式为y=x2—2x—3；

-y=x2-2x-3=(x-l)2-4,

顶点坐标为(1,-4)；

(2),点尸(x,y)到y轴的距离不大于2,

,-2轴2,

一彳=一2时，y-x2-2x-3-5；x=2时，y=x2-2x-3=-3；x=l时，y有最小值T,

.•.当-2烈2时，-4麴，5,

即〃=T,m=5,

m—n—5—(Y)=9.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题

目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.也考查了二次函数的性质.

2.在平面直角坐标系中，二次函数>=依2+法-1("0)，经过点8(1,4),C(-2,l).

(1)求二次函数的解析式；

(2)求此函数的顶点坐标；

(3)当-1麴k0时，求y的取值范围.

【分析】(1)把点B(l,4)和C(-2,l)代入二次函数y=依2+^;_l("0)得关于a,6的方程组，解方程组,

求出Q,Z?即可;

(2)根据二次函数的解析式，利用顶点公式，求出顶点坐标即可；

(3)求出％=0和％=1时的函数值，如何根据二次函数的最小值，求出y的取值范围即可.

【解答】解：(1)把点5(1,4)和以-2』)代入二次函数)=加+二-13n0)得：

[a+b-l=A

[4a-2b-l=l，

解得：仁，

.•.二次函数的解析式为：J=2X2+3X-1；

(1)•,•二次函数：>=2X2+3X-1,

a=2,b=3,c=—lJ

_b____3___3

2a2x24

4ac-t>2_4X2X(1)-32__17_

4a4x28

二次函数顶点坐标为：;

48

(3)•.,当x=-=Q时，y有最小值为一1三7，

当x=0时，y=2x02+3x0-l=-l；

当x=-l时，y=2x(-l)2+3x(-l)-l=-2；

.•.当一啜腺0时，y的取值范围为：一?强中-1.

【点评】本题主要考查了二次函数的性质和利用待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是熟练掌握利

用待定系数法求二次函数的解析式.

3.已知二次函数的图象经过A(4,0),3(0,-4),C(2,-4)三点，求这个函数的表达式.

【分析】用待定系数法可解得答案.

【解答】解：设函数的表达式为y=6i?+法+c,

把4(4,0),8(0,-4),C(2,Y)坐标代入得:

16〃+4。+c=0

vc=-4

4。+2b+c=-4

解得＜b=-\,

c=-4

，这个函数的表达式为y=^x2-x-4.

【点评】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法，能一次解方程组.

4.已知某二次函数图象经过(0,-3),(-3,0),(1,0)三点，求该二次函数的顶点坐标.

【分析】设二次函数解析式为y=^2+bx+c,然后将(0,-3),(-3,0),(1,0)三点代入解方程组即可.

【解答】解：设二次函数解析式为＞=0^+云+。，

由(0,-3),(-3,0),(1,0),

c=-3

贝乂9Q-3Z?+c=0,

a+b+c=0

a=1

解得：＜b=2,

c二-3

则解析式：y=xL+2x-3,

化为顶点式可得：＞=(X+1)2-4,

.•.顶点坐标

【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式、会将二次函数化为顶点式是解决问题的关键.

5.己知一个抛物线经过点(3,0),(-1,0)和(2,-6).

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴.

【分析】(1)用待定系数法求解即可；

(2)根据顶点坐标公式求解即可.

(解答］解：⑴设y=a{x-3)(x+1)，

将(2,-6)代入，贝1」。=2,

y=2(%-3)(x+1)=2x2-4.r-6,

cb14ac-b2

(2)x=---=1,y------=—8，

2a"4a

顶点坐标为(1，-8)；对称轴为直线x=l.

【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，以及二次函数的图象和性质，对于二次函数丁=依2+方尤+c(°,

b,c为常数，。*0),其对称轴是直线龙=-2,其顶点坐标是(-2,4-—62).

2a2a4a

6.已知一条抛物线的顶点坐标为(-2,T),且经过点(0,4),求抛物线的表达式.

【分析】根据顶点坐标设抛物线解析式为y=a(x+2)2-4,代入已知点坐标计算即可.

【解答】解：,抛物线的顶点坐标为(-2,7),

设抛物线表达式为y=a(x+2)2-4,

・抛物线经过点(0,4),

X各(0,4)代入y=a(x+2)--4,

得：4a—4=4,

..a—2,

y-2(尤+2)2—4.

【点评】本题考查二次函数函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握相关知识的灵

活运用.

7.二次函数图象的顶点为(-1,2),图象经过(0,1).

(1)求该二次函数的表达式；

(2)结合图象，直接写出当-2就Jr3时y的取值范围.

【分析】(1)设顶点式y=a(x+l)2+2,然后把已知点的坐标代入求出。即可；

(2)先利用(1)中的解析式计算出自变量为-2和3所对应的自变量的范围，再根据二次函数的性质得到

x=—l时，y有最大值2,然后结合图象求解.

【解答】解：(1)设抛物线解析式为y=a(x+iy+2,

把(0,1)代入得l=ax(0+l)2+2,

解得67=—1,

抛物线解析式为y=-(X+1)2+2；

(2)当x=—2,y=—(―2+1)~+2=1,

当x=3,y=-(3+l)2+2=-14,

而x=-l时，y有最大值2,

.-.-2gijc3时，-141^2.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题

目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.也考查了二次函数的性质和二次函数图

象上点的坐标特征.

8.根据下列条件，求二次函数的解析式.

(1)其图象经过(0,2),(-1,0),(2,0)三点；

(2)其图象顶点为(-1,4),且经过(2,-5).

【分析】(1)设出二次函数的一般式y=«x2+bx+c,再把点(-1,7),(1,1),(2,-5)代入求解即可；

(2)由顶点坐标(1,4)设出顶点式y=a(无-I)?+4,再把点(-2,-5)代入求解即可.

【解答】解：(1)设，=办2+云+°,

2=c

把点(0,2),(-1,0),(2,0)代入得：\o=a-b+c,

0=4。+2b+c

a=-1

解得<Z?=1,

c=2

二.二次函数的解析式为>=-炉+x+2；

(2)..顶点为(—1,4),

设y=Q(X+1)2+4,

又.过点(2,-5),

.・/(2+1)2+4=-5,

/.CL——1，

二次函数的解析式为y=-(x+l)2+4,即y=-jc-2x+3.

【点评】本题考查了求二次函数的解析式，根据条件设出合适的解析式是解题的关键.

9.已知二次函数y=f+6无+c的图象经过点A(l,-2)和5(0,-5).

(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标；

(2)当-2熟k3时，求y的取值范围.

【分析】(1)将点4(1,-2)和8(0,-5)代入y=/+6x+c解方程后化为顶点式即可；

(2)根据(1)中解析式确定对称轴，确定开口方向后，根据增减性即能确定范围.

【解答】解：⑴把点4(1,一2)和3(0,-5)代入产f+foc+c,

jl+b+c=-2

|c=-5

解得.•["=2,

[c=-5

故解析式为：y=x2+2x-5,

化为顶点式为：y=(x+l)2-6,

所以顶点：(-1,-6)；

(2)由(1)知：y=(x+l)2-6,

二对称轴为x=-l,

Q=1>0,

.,.当x=-l时，y取最小值为-6,

当x>-l时，y随尤的增大而增大，

当x<-1时，y随尤的增大而减小，

由于当3时，则x=3,y取最大值为：10,

所以：-6麴，10.

【点评】本题考查二次函数的图象和性质以及待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，细心就好.

10.已知抛物线的顶点为(1,5),且图象过点(2,7),求抛物线的解析式.

【分析】先设抛物线的解析式为：y=a(x-l)2+5,然后把点(2,7)代入>=〃(无-1)2+5,得关于。的方程,

求出a即可.

2

【解答】解：设抛物线的解析式为：y=a(X-l)+5,

把点(2,7)代入>=a(x-l)2+5得：

(2-1)%+5=7,

a+5=79

a=2,

，抛物线的解析式为：y=2(x-ir+5.

【点评】本题主要考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，解题关键是熟练掌握利用待定系数法求抛物

线的解析式.

11.已知二次函数丫=办2+云+3的图象经过点(-3,0),(2,-5).

(1)求该二次函数的表达式；

(2)求该二次函数的顶点坐标.

【分析】(1)将(-3,0)和(2,-5)代入函数解析式即可.

(2)由(1)中的解析式即可解决问题.

【解答】解：(1)将(-3,0)和(2,-5)代入函数解析式得，

9。―3b+3=0

4〃+2b+3=—5

所以二次函数的表达式为y=-f-2X+3.

(2)因为y=-d-2x+3=-(x+l)2+4,

所以该二次函数的顶点坐标为(-1,4).

【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式，熟知待定系数法是解题的关键.

12.二次函数>=办2+&+。图象的顶点是A(2,l),且经过点2(1,0),求此函数的解析式.

【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，知道二次函数的顶点式是解题的关键.

【解答】解：设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+l,

将8(1,0)代入y=a(x-2r+l得，0=a+l,

a——1，

函数解析式为、=-5-2)2+1,

所以该抛物线的函数解析式为y=-/+4x-3.

【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，知道二次函数的顶点式是解题的关键.

13.已知二次函数的图象的顶点坐标为(1,-6),且经过点(2,-8),求二次函数的解析式.

【分析】根据抛物线的顶点坐标设出，抛物线的解析式为：y=a(x-l)2-6,再把(2,-8)代入，求出。的值，

即可得出二次函数的解析式.

【解答】解：设抛物线的解析式为：>=a(x-l)2-6,

把(2,-8)代入解析式得a=-2,

则抛物线的解析式为：y=-2(x-l)2-6.

【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，在已知抛物线顶点坐标的情况下，通常用顶点

式设二次函数的解析式.

14.已知二次函数的图象顶点为知(2,-3),且经过点N(0,l).求这个二次函数的表达式.

【分析】设抛物线的顶点式，y=a(x-hy+k,由顶点为(2,-3),可得〃、％的值，再把(0,1)代入求出。即

可.

【解答】解：设抛物线的关系式为了=。(工-02+左，

由二次函数的图象的顶点为(2,-3),可得，h=2,k=-3,

：.抛物线的关系式为y=a(尤-2)2-3,

把(0,1)代入得，4a-3=1,

..CL—1,

这个二次函数的表达式为y=(x-2)2-3.

【点评】考查待定系数法求函数的关系式，可以根据已知条件，确定设抛物线的顶点式、交点式，还是一

般式.

15.已知抛物线的顶点为(1,-3),且与y轴交于点(0,1),求这个二次函数的解析式.

【分析】根据题意可设顶点式为y=a(无-讲-3,然后再进行求解即可.

【解答】解：设二次函数的解析式为y=a(x-l)2-3,则把点(0,1)代入得：

a—3=l,

.'.a=4,

.•.该二次函数的解析式为＞=4(x-l)2-3.

【点评】本题主要考查二次函数的解析式，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键.

16.已知二次函数的图象经过(-6,0),(2,0),(0,-6)三点.

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)求这个二次函数的顶点坐标.

【分析】(1)利用待定系数法求得即可；

(2)把(1)中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到二次函数图象的顶点坐标.

【解答】解：(1)设二次函数的解析式为y=a(x-2)(尤+6)(430),

・图象过点(0,-6),

—12tz=―6,

，二次函数的解析式为y=：(x+6)(x-2)；

(2)y=g(x+6)(尤-2)=；f+2元一6=<(x+2)-8,

抛物线的顶点坐标为(-2,-8).

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题

目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选

择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶

点式来求解；当已知抛物线与无轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.也考查了二次函数的

性质.

17.已知抛物线>=2/+bx+c过点(1,3)和(0,4),求该抛物线的解析式.

【分析】将(0,4),(1,3)代入y=2/+云+。求得6,c的值，得到此函数的解析式.

【解答】解：-抛物线y=2x2+fec+c过点(1,3)和(0,4),

J2+6+c=3

[c=4

解得

[c=4

所以，该二次函数的解析式为y=2尤2-3x+4.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，得到两个关于6、c的方程是解题的关键，也是本题的

难点.

18.(1)解方程：/+2n=0.

(2)已知二次函数图象的顶点坐标为(-1,3),且经过点(0,2),求该二次函数的解析式.

【分析】(1)利用因式分解法解即可；

(2)利用待定系数法即可求出该二次函数的解析式.

【解答】解：(1)分解因式，得x(x+2)=0,

;.x=0,或x+2=0,

解得占=0,x,=—2；

(2)设抛物线的解析式为y=a(x+l)2+3,

将(0,2)代入得：2=a(0+1),+3,

解得o=-1,

抛物线的解析式为y=-(尤+1)?+3(或一尤2—2x+2).

【点评】本题考查因式分解法解一元二次方程，待定系数法求二次函数解析式，掌握一元二次方程的解法,

待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键.

19.已知二次函数y=-无2+Zzx+c.

(1)当6=4,c=3时，

①求该函数图象的顶点坐标；

②当-掇Ik3时，求y的取值范围；

(2)当时，y的最大值为2；当x>0时，y的最大值为3,求二次函数的表达式.

【分析】(1)先把解析式进行配方，再求顶点；

(2)根据函数的增减性求解；

(3)根据函数的图象和系数的关系，结合图象求解.

【解答】解：(1)①：b=4,c=3时，

y=-x?+4.x+3——(无-2)~+7,

顶点坐标为(2,7).

②:3中含有顶点(2,7),

.•.当x=2时，y有最大值7,

-2-(-1)>3-2,

.•.当x=—l时，y有最小值为：-2,

.•.当-1麴上3时，-2麴，7.

(2)%,0时，y的最大值为2；x>0时，y的最大值为3,

.•.抛物线的对称轴x=g在y轴的右侧，

:.b>0,

・抛物线开口向下，用,0时，y的最大值为2,

.,.c=2,

又4x(-l)xc、2=

4x(-1)

:.b=±2,

b>0,

:.b=2.

二次函数的表达式为>=-尤2+2尤+2.

【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握数形结合思想是解题的关键.

20.已知抛物线的顶点是(1,-3),与y轴交于点(0,-1),求该抛物线的解析式.

【分析】先设该抛物线的解析式为：y=a(x-l)2-3,然后把点(0,-1)代入函数解析式，求出。值即可.

【解答】解：设该抛物线的解析式为：y=a(x-1),-3,

把点(0,-1)代入y=q(xT)2-3得：

(0-1)2«-3=-1,

CL—3=-1,

4=2,

.•.该抛物线的解析式为：>=2(x-l)2-3.

【点评】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是熟练掌握利用待定系数法求二

次函数的解析式.

21.如图,已知抛物线>=/+云+。经过4-1,0)5(3,0)两点.

(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标；

(2)当—3<x<2时.，求y的取值范围.

【分析】(1)将A(T,0)8(3,0)两点代入y=d+6无+c求出6、c即可;

(2)根据函数图象，结合-3<x<2,写出函数值取值范围即可.

【解答】解：(1).抛物线>=/+6尤+。经过4-1,0)、3(3,0)两点,

\—b+c=0b=-2

,解得

9+3b+c=0c=-3

抛物线解析式为y=--2x-3,

y=x2-2x-3^(x-l)2-4,

顶点坐标为(1,-4)；

(2)•,y=(x-l)2-4,

抛物线开口向上，对称轴为x=l,

.一.当x<l时，y随x的增大而减小，当x>l时，y随x的增大而增大，

当x=-3时，函数值y=12,

当l<x<2时，当x=3时，y有最大值为0,当x=l时，y有最小值为Y,

.,.当一3<x<2时，-4„y<12.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，

综合性较强，难度适中.

22.已知二次函数图象经过点A(l,0),S(-3,0),C(0,-3).

(1)求该二次函数的表达式.

(2)求该抛物线顶点坐标.

【分析】(1)设二次函数的表达式为：y=ax2+bx+c(a^0),然后把A,B,C三点坐标代入表达式，得

到一个三元一次方程组，求出加b,c的值即可；

(2)把(1)中所求函数表达式化成顶点式，从而求出顶点坐标.

【解答】解：(1)设二次函数的表达式为：y=ax2+bx+c(a^0),

把A(l,0),8(-3,0),<?(0,-3)代入〉=。/+次+。(。力0)得：

a+b+c=0

<9〃一3b+c=0,

c=-3

a=1

解之得：<b=2,

c二一3

，该二次函数的表达式为：y=d+2x-3；

(2)y=f+2x-3,

y=x?+2尤+1—4,

y=(无+1)2-4,

.•.二次函数的顶点坐标为

【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是熟练掌握利用待定系数法求二次

函数的解析式.

23.若二次函数>=52+法一3的图象经过(-1,0)和(3,0)两点，求此二次函数的表达式，并指出其顶点坐标

和对称轴.

【分析】利用待定系数法求二次函数的解析式，把点(-1,0)和(3,0)代入解析式，得出关于“，b的二元一次

方程组，求出a,b的值，得出二次函数的解析式，化成顶点式，即可求出顶点坐标和对称轴.

【解答】解：.二次函数了=尔+6尤-3的图象经过(-1,0)和(3,0)两点，

(a-b-3=0

"[9a+3b-3=0,

解得a=l>6=—2,

二二次函数的表达式为y=f-2x-3=(x-l)2-4,顶点坐标为(1,-4),对称轴为x=l.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析，抛物线的顶点坐标和对称轴.熟练掌握待定系数法和

配犯法是解本题的关键.

24.已知，二次函数图象经过点(2,0),(0,4),(-2,0),求二次函数的解析式.

【分析】设二次函数的解析式为>=0^+云+°(。/0),用待定系数法求解即可.

【解答】解：设二次函数的解析式为y=«?+6x+c(aw0),

4a+2b+c=0

把(2,0),(0,4),(—2,0)代入解析式得：1=4,

4a—2b+c=0

a=-1

解得<Z?=0,

c=4

，二次函数的解析式为y=-x2+4.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数解析式的三种形式解题的关键.

25.如图，抛物线分别经过点A(-2,0),8(3,0),C(l,6).

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)求当y>4时，自变量》的取值范围.

【分析】(1)设交点式y=a(尤+2)(x-3),然后把C点坐标代入其。即可；

(2)结合函数图象，写出抛物线在直线y=4上方所对应的自变量的范围即可.

【解答】解：(1)设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-3),

把C(l,6)代入得6=aX3x(-2),解得a=-l,

所以抛物线的解析式为y=-(x+2)(x-3),

即y——x2+x+6；

(2)把y=4代入>=-/+x+6得，4=-炉+尤+6,

解得无=2或x=-1,

二.交点为(2,4),(-1,4),

抛物线y=-f+x+6开口向下，

.•.当y>4时，自变量x的取值范围为

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=«?+6x+c(a,b,c是常数，a*0)与x轴的

交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质.

26.二次函数图象的顶点坐标是(3,5),且抛物线经过点A(l,3).

(1)求此抛物线的解析式；

(2)写出它的开口方向，对称轴、最值.

【分析】(1)设顶点式y=a(尤-3y+5,然后把A点坐标代入求出。即可得到抛物线的解析式;

(2)根据(1)中解析式，由函数的性质得出结论.

【解答】解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x-3)2+5,

将A(l,3)代入上式得3=°(1-3)2+5,

解得°=」，

2

抛物线的解析式为y=-3(尤-3)2+5；

(2)y=-1(x-3)2+5,

抛物线开口向下，对称轴为直线x=3,当x=3时函数的最大值为5.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题

目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.

27.在平面直角坐标系xQy中，抛物线y=d+依+6过点A(-2,0),3(-1,3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)求抛物线的顶点C的坐标.

【分析】(1)将点3，C的坐标代入解析式得出关于。，6的方程组，解之可得；

(2)将抛物线解析式配方成顶点式得出点C的坐标，再根据两点间的距离公式求出=io,oc2=10,

BC2=20,从而依据勾股定理逆定理求解可得.

【解答】解：⑴•抛物线y=f+办+6经过点A(_2,0),8(—1,3),

14-2。+力=0

[1-〃+Z?=-3

解得"，

/.y=x2+6%+8.

(2)y=+6x+8=(x+3)~—1,

顶点C坐标为(-3,-1),

【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是根据题意灵活设出函数解析式，并

熟练掌握二次函数的性质与勾股定理逆定理.

28.已知抛物线了=尤2+乐+。经过4-1,0)、8(3,0)两点.

(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；

(2)当尤为何值时，y随尤的增大而增大？

(3)当0<x<3时，求y的取值范围.

【分析】(1)把人(-1,0)、3(3,0)代入解析式，由待定系数法即可求解;

(2)根据函数的性质即可求解；

(3)根据对称轴在0~3之间，求出对应的y的值，结合函数图象即可求解.

l-b+c=0

【解答】解：(1)把4-1,0)、<8(3,0)代入〉=尤2+法+。得

9+3Z?+c=0

所以抛物线解析式为y=V-2尤一3=(无-1)2-4,

顶点的坐标为(1,-4)；

(2)由(1)知，抛物线的对称轴为直线x=l,抛物线开口向上，

.•.当x>l时，y随x的增大而增大；

(3)・抛物线的对称轴为直线x=l,

:•当x=T时，力.=-4，

当x=0时，y=-3；

当x=3时，y=0,

.•.当0<x<3时，y的取值范围是-4,,”0.

【点评】此题主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，掌握待定系数法是解本题的关键.

29.已知二次函数图象的顶点为(1,2),与y轴的交点为(0,3).求该二次函数的解析式.

【分析】由于已知顶点坐标，则可设顶点式y=a(x-l)2+2,然后把(0,3)代入求出。的值即可得到抛物线

解析式.

【解答】解：设抛物线解析式为了=。5-1)2+2,

把(0,3)代入得3=。(0-1)2+2,

解得a=l,

y=(x—1)-+2=—2x+3.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题

目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选

择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶

点式来求解；当已知抛物线与X轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.

30.已知抛物线y=f-6x+c经过点A(-l,0),5(3,0),求抛物线的解析式.

【分析】利用待定系数法即可求解.

【解答】解：将A(-LO),3(3,0)代入y=f一版+c得：

O=l+Z?+cb=2

,解得:

0=9-3/?+c

二抛物线的解析式为：y=x2-2x-3.

【点评】本题考查了待定系数法，熟练掌握其待定系数法求函数解析是解题的关键.

31.二次函数的图象经过点4-2,0),8(3,0),C(l,6).

(1)求二次函数解析式；

(2)求当y>4时，自变量x的取值范围.

【分析】(1)设交点式y=a(x+2)(x-3),然后把C点坐标代入其。即可；

(2)结合函数图象，写出抛物线在直线y=4上方所对应的自变量的范围即可.

【解答】解：(1)设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-3),

把C(l,6)代入得6=ax3x(—2),解得a=—1,

所以抛物线的解析式为y=-(x+2)(尤-3),

即y=-x2+x+6；

(2)把y=4代入y=-f+%+6得，4=-x2+x+6,

解得x=2或x=-1,

交点为(2,4),(-1,4),

■抛物线？=-炉+%+6开口向下，

.一.当y>4时，自变量x的取值范围为

y

八

7JT

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数>=52+云+c(“，b,c是常数，awO)与x轴的

交点坐标问题转化为解关于尤的一元二次方程.也考查了二次函数的性质.

32.已知二次函数y=x2+Z的图象经过点(-2,3),求二次函数的解析式.

【分析】用待定系数法求出函数解析式即可.

【解答】解：把点(-2,3)代入y=f+左得:3=(-2)2+k,

解得：k=—l>

二次函数的解析式为y=W-i.

【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出左的值.

33.已知二次函数y=依?+c的图象经过点(2,3)和(-1,-3).

(1)求此二次函数的解析式.

(2)x取何值时，y随x的增大而减小？

【分析】⑴将点(2,3)和(-1,-3)坐标代入即可解决问题.

(2)根据(1)中所得二次函数的增减性即可解决问题.

【解答】解(1)由题知，

将点(2,3)和(-1,-3)坐标代入函数解析式得，

卜〃+c=3

|。+c=—3

a=2

解得

所以二次函数的解析式为y=2尤2一5.

(2)因为二次函数y=2元2-5的图象开口向上,

且对称轴为直线x=0,

所以当x<0时，y随x的增大而减小.

【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质，熟知待定系数法及二次函数的

图象和性质是解题的关键.

34.在平面直角坐标系xOy中，二次函数>=尤2-2"四+5机的图象经过点(1,-2).

(1)求二次函数的表达式；

(2)求二次函数图象的对称轴.

【分析】(1)把点(1,-2)代入函数关系式进行计算即可；

(2)根据对称轴公式进行计算即可.

【解答】解：(1),二次函数>=无2-2,加+5加的图象经过点(1,-2),

2=1—2m+5m,

解得m=—l.

二.二次函数的表达式为y=x2+2x-5；

(2)a=1,b=2,

…la2x1'

二次函数图象的对称轴直线为：x=—1.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特

征，准确熟练地进行计算是解题的关键.

35.已知：二次函数y=/一座+加+1的图象经过(0,5)

(1)求此二次函数的表达式；

(2)用配方法将其化为》=〃(％-")2+左的形式.

【分析】(1)把已知点的坐标代入y—如+机+i中求出租的值，从而得到抛物线解析式；

(2)利用配方法把一般式配成顶点式.

【解答】解：(1)把(0,5)代入y=/一如+用+1得根+1=5,

解得m=4，

所以二次函数解析式为了=%2一4%+5；

(2)丫=尤2-4工+5=>=%2-4无+4+1=(无一2)2+1.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题

目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.

36.已知二次函数>=办2+笈-3的图象经过4(1,0),B(2,5).

(1)求此二次函数的表达式；

(2)画出该函数图象；

(3)结合图象，写出当-2<x<2时，y的取值范围.

【分析】(1)把点A、3的坐标代入〉=。｛+法-3得到关于。、6的方程组，然后解方程组即可；

(2)先确定抛物线与坐标轴的交点坐标和顶点坐标，然后利用描点法画出二次函数的图象；

(3)由于当x=-2,y=-3；x-2,y=5,由于x=-l时，y有最小值T,从而可确定当-2<x<2时,

y的取值范围.

【解答】解：(1)把4(1,0),3(2,5)分另1」代入丁=。/+法一3得/‘+"13二°,

4。+28一3=5

.•.此二次函数的表达式为y=炉+2尤一3；

(2)当x=0时，了=丁+2彳-3=-3,则抛物线与y轴的交点坐标为(0,-3),

当y=0时，尤2+2了_3=0,解得占=-3,x2=l,则抛物线与x轴的交点坐标为(一3,0),(1,0),

:y=龙？+2尤一3=(x+1)?—4,

抛物线的顶点坐标为(-1,-4),

如图,

y

而x=-l时，y有最小值T,

所以当-2<x<2时，y的取值范围为T,y<5.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题

目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.也考查了二次函数的性质.

37.抛物线y=a(x+〃y的对称轴是直线x=-2,且过点(1,-3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)求抛物线的顶点坐标.

【分析】(1)由对称轴可求得〃的值，再把(1,-3)代入可求得a的值，再求抛物线的解析式;

(2)由顶点式可求得抛物线的顶点坐标.

【解答】解：(1)