高中数学北师版第一章8《最小二乘估计》导学案

§8最小二乘估计1．了解最小二乘法的思想．2．能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．最小二乘法求线性回归直线方程y＝bx＋a时，使得样本数据的点到它的__________最小的方法叫做最小二乘法．其中a，b的值由以下公式给出：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝，,a＝.))a，b是线性回归方程的系数．线性回归分析涉及大量的计算，形成操作上的一个难点，可以利用计算机非常方便地作散点图、回归直线，并能求出回归直线方程．因此在学习过程中，要重视信息技术的应用．【做一做】已知某工厂在某年里每月生产产品的总成本y(万元)与该月产量x(万件)之间的回归直线方程为y＝0.974＋1.215x，计算x＝2时，总成本y的估计值为______．什么是最小二乘法？剖析：结合最小二乘法的发展过程和在实际生活中的应用来了解最小二乘法．最小二乘法的思想是通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配，是用最简单的方法求得一些绝对不可知的真值，而令误差平方之和为最小，是处理各种观测数据，测量方差的一种基本方法，是一种数学优化技术．在统计中，主要是利用最小二乘法求线性回归方程，这是最小二乘法思想的应用．最小二乘法不仅是数理统计中一种常用的方法，在工业技术和其他科学研究中也有广泛应用，比如洪水实时预报等等．题型一阅读理解题【例题1】假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料：x23456y2.23.85.56.57.0若由资料知，y与x线性相关．(1)求回归直线方程y＝bx＋a中a与b的值；(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？分析：先求出回归直线方程，若回归直线方程为y＝bx＋a，则在x＝x0处的估计值为y0＝bx0＋a.反思：知道x与y线性相关，就无需进行相关性检验，否则，应先进行相关性检验，若两个变量不具备相关关系，或者说，它们之间的线性相关关系不显著，即使求出回归直线方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的．题型二信息提炼题【例题2】某产品的原料中两种有效成分A和B的含量如下表所示：12345678910A(%)24152319161120161713B(%)67547264392258434634用x(%)表示A的含量，y(%)表示B的含量．(1)作出散点图；(2)y与x是否线性相关？若线性相关，求出回归直线方程(结果保留到小数点后4位小数)．分析：作出散点图，可判断y与x是否线性相关，如果线性相关，可用计算器求a，b的值．反思：求回归直线方程，通常是用计算器来完成的．在有的科学计算器中，可通过直接按键得出回归直线方程中的a，b.如果用一般的计算器进行计算，则要先列出相应的表格，有了表格中的相关数据，回归直线方程中的a，b就容易求出来了．题型三线性回归分析的应用【例题3】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)分析：(1)以产量为横坐标，以生产能耗对应的测量值为纵坐标在平面直角坐标系内画散点图；(2)应用计算公式求得线性相关系数b，a的值；(3)实际上就是求当x＝100时，对应的y的值．反思：求线性回归直线方程的步骤如下：①列表表示xi，yi，xiyi；②计算eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi；③代入公式计算b，a的值；④写出线性回归方程．可以利用线性回归方程进行预测变量的值．1某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是()．A．y＝－10x＋200B．y＝10x＋200C．y＝－10x－200D．y＝10x－2002下表是x与y之间的一组数据，则y关于x的回归直线必过点()．x0123y1357A．(2,2)B．(1.5,2)C．(1,2)D．(1.5,4)3对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程y＝a＋bx中，回归系数b()．A．小于0B．大于0C．等于0D．以上都有可能4给出下列说法：①回归方程适用于一切样本和总体；②回归方程一般都有局限性；③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；④回归方程得到的预测值是预测变量的精确值．其中正确的是________(将你认为正确的序号都填上)．5某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利润y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系见下表：x3456789y66697381899091已知：，，(1)求，；(2)画出散点图；(3)求纯利润y与每天销售件数x之间的回归直线方程．答案：基础知识·梳理距离的平方和eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)eq\x\to(y)－beq\x\to(x)【做一做】3.404由回归直线方程y＝0.974＋1.215x得，当x＝2时，总成本y的估计值为y＝0.974＋1.215×2＝3.404.典型例题·领悟【例题1】解：(1)列表：i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.0eq\x\to(x)＝4，eq\x\to(y)＝5eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xi2＝90，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi＝112.3其中，b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi－5\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(112.3－5×4×5,90－5×42)＝eq\f(12.3,10)＝1.23，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝5－1.23×4＝0.08.所以a＝0.08，b＝1.23.(2)回归直线方程为y＝1.23x＋0.08.当x＝10时，y＝1.23×10＋0.08＝12.38，即使用年限为10年时，维修费用约为12.38万元．【例题2】解：(1)散点图如图所示．(2)因为散点图中各点大致都分布在一条直线附近，所以y与x之间存在线性相关关系．经计算可得eq\x\to(x)＝17.4，eq\x\to(y)＝49.9，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝3182，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi＝9228，故b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi－10\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－10\x\to(x)2)＝eq\f(9228－10×17.4×49.9,3182－10×17.42)≈3.53238≈3.5324，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)≈49.9－3.53238×17.4≈－11.5634，所以所求回归直线方程为y＝3.5324x－11.5634.【例题3】解：(1)散点图如图所示．(2)由题意，得eq\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))xiyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，eq\x\to(x)＝eq\f(3＋4＋5＋6,4)＝4.5，eq\x\to(y)＝eq\f(2.5＋3＋4＋4.5,4)＝3.5，eq\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝32＋42＋52＋62＝86，∴b＝eq\f(66.5－4×4.5×3.5,86－4×4.52)＝eq\f(66.5－63,86－81)＝0.7，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝3.5－0.7×4.5＝0.35.故线性回归方程为y＝0.7x＋0.35.(3)根据回归方程可预测，现在生产100吨甲产品的生产能耗为0.7×100＋0.35＝70.35(吨标准煤)，故预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前减少了90－70.35＝19.65(吨标准煤)．随堂练习·巩固1．A∵商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，∴b＜0，排除选项B，D.又∵x＝0时，y＞0，∴答案为A.2．D回归直线方程必过中心点(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，即(1.5,4)，故选D.3．D4．②③样本或总体具有线性相关关系时，才可求回归方程，而且由回归方程得到的函数值是近似值，而非精确值，因此回归方程有一定的局限性．所以①④错．5．解：(1)eq\x\to(x)＝eq\f(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9,7)＝6(件)，eq\x\to(y)＝eq\f(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91,7)＝eq\f(559,7)≈79.86(元)．(2)散点图如下：(3)由散点图知，y与x有线性相关关系．设回归直线方程为y＝bx＋a.由eq\o(∑,\s\up6(7),\s\d