2025年中考数学复习：特殊平行四边形的性质与判定（含答案）

第20讲特殊平行四边形的性质与判定

典例精练

［例1］（2023随州）如图矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE〃AC,CE〃BD.

（1）求证:四边形OCED是菱形；

⑵若BC=3,DC=2,求四边形OCED的面积.

【例2］如图，点A,F,C,D在同一条直线上，点B,E分别在直线AD的两侧，且AB=DE,/A=/D,

AF=DC.

⑴求证：四边形BCEF是平行四边形；

(2)若NABC=90o,AB=4,BC=3,当AF=时,四边形BCEF是菱形.

【例3】（2024贵州）如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AD\\BC,^ABC=90。,有下列条件:

①AB〃CD,②AD=BC.

⑴请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形；

⑵在⑴的条件下，若.AB=3,AC=5,,求四边形ABCD的面积.

针对训练

1.（2024武汉）小美同学按如下步骤作四边形ABCD:①画NMAN；②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，

分别交AM,AN于点B,D；③分别以点B,D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C;④连接BC,CD,BD.

若NA=44。,则/CBD的大小是（）

2.（2024成都）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是（）

A.AB=ADB.AC±BDC.AC=BDD.ZACB=ZACD

3.（2024吉林）如图,在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-4,0）,点C的坐标为（0,2）.以OAQC为边作矩形OABC,

若将矩形OABC绕点。顺时针旋转90。,得到矩形OABC,则点B，的坐标为（）

A.（-4,-2）B.（42）C.（2,4）D.（4,2）

4.（2024四川）如图在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E在DC上把△ADE沿AE折叠点D恰好落在边BC上

的点F处，则cosZCEF的值为（）

5.（2024上海）已知四边形ABCD为矩形，过A,C作对角线BD的垂线，过B,D作对角线AC的垂线，如果以四条

垂线为边拼成一个四边形，那这个四边形为（）

A.菱形B.矩形C.直角梯形D.等腰梯形

6.（2024广西）如图,两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°,则重合部分构成的四

边形ABCD的周长为cm.

7如图，在RtAABC中,NACB=9(T,AC=3,BC=4,D是AB上一动点，过点D作DE_LAC于点E,DF±BC于点F,

连接EF,则线段EF的最小值是（）

A.2.5B.2.4C.2.2D.2

8.如图，正方开?ABCD的边长为4,G是边BC上一点且BG=3,连接AG,过点D作DELAG于点E,作BF〃DE交

AG于点F,则EF的长为（）

A.-B.-C.-D.-

5555

9.如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（3,4）,则顶点A的坐标

为（）

A.(-4,2)B.(-V3-4)C.(-2,4)D.(-4>V3)

第10题图

10.（2024缓化）如图,四边形ABCD是菱开/CD=5,BD=8,AE，BC于点E,则AE的长是（）

AA.—24B.6C.485D.12

5

11.如图矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=6,BC=8过点O作OELAC,交AD于点E,过点E作EF±B

D,垂足为F,则OE+EF的值为.

12.（2024山东）将一张矩形纸片（四边形ABCD）按如图所示的方式对折，使点C落在AB上的点C处,折痕为M

N,点D落在点D处,CD交AD于点E.若BM=3,BC=4,AC=3,则DN=.

第12题图

13.（2024重庆）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD的延长线上一点，连接A

E,AF,AM平分NEAF交CD于点M.若BE=DF=1,则DM的长度为（）

A.2B.V5C.V6D.y

14.（2024广西）如图在边长为5的正方形ABCD中,E,F,G,H分别为各边的中点，连接AG,BH,CE,DF,交点分别为

M,N,P,Q,那么四边形MNPQ的面积为（）

A.lB.2C.5D.10

15.（2024天津）如图,正方形ABCD的边长为3夜,对角线AC,BD相交于点O,点E在CA的延长线上,OE=5,连接

DE.

⑴线段AE的长为;

⑵若F为DE的中点，则线段AF的长为.

16.（2024包头）如图,在菱形ABCD中，^ABC=60°,AB=6,,AC是一条对角线，E是AC上一点，过点E作

EFiaaB,垂足为F,连接DE.若CE=4F,求DE的长.

17.如图在菱形ABCD中.对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点，连接OE.过点C作CF||BD交OE的延长

线于点F,连接DF.求证：

(1)AODE=AFCE-,

(2)四边形OCFD是矩形.

18.(2024呼伦贝尔)如图,在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB=连接BF,点。为BF的中点,AO

的延长线交边BC于点E,连接EF.

⑴求证:四边形ABEF是菱形；

⑵若平行四边形ABCD的周长为22,CE=I,ABAD=120。,求AE的长.

FD

BEC

19.如图矩形EFGH的顶点E,G分别在菱形ABCD的边AD,BC上，顶点F,H在菱形ABCD的对角线BD上.

_AED

⑴求证:BG=DE-,//万

⑵若E为AD的中点，FH=2,,求菱形ABCD的周长./

BGC

第20讲特殊平行四边形的性质与判定

典例精练

【例1】(2023随州)如图矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE〃AC,CE〃BD.

⑴求证:四边形OCED是菱形；

⑵若BC=3,DC=2,求四边形OCED的面积.

解：(1)证明:^•^DE〃AC,CE〃BD,.^.四边形OCED是平行四边形.

又在矩形ABCD中,OC=OD,.•.口OCED是菱形.

⑵由题意狷S矩形ABCD=BCCD=6.

13

SAC。=zx6=1S四潮交CED=2sAecD=3.

［例2］如图，点A,F,C,D在同一条直线上，点B,E分别在直线AD的两侧，且AB=DE,NA=/D,AF=DC.

⑴求证：四边形BCEF是平行四边形；

(2)若NABC=9(T,AB=4,BC=3,当AF=(时,四边形BCEF是菱形.

解:⑴证明:•；AF=DC,；.AF+FC=DC+FC,即AC=DF.

在小ABC和4DEF中产=黑+葭R

/ID—Ue,

：.AABC^ADEF(SAS).

BC=EF,ZACB=ZDFE.ABC//EF.

四边形BCEF是平行四边形.

【例3】(2024贵州)如图.四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AD〃:BC,NABC=90。,有下列条件:

①AB〃CD,②AD=BC.

(1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形；

⑵在⑴的条件下，若AB=3,AC=5,求四边形ABCD的面积.

解:⑴选择①.

证明:；AB〃CD,AD〃BC,；.四边形ABCD是平行四边形.

又：NABC=90。,.••四边形ABCD是矩形.

选择②.

证明:；AD=BC,AD〃BC,；.四边形ABCD是平行四边形.

又：NABC=90。,...四边形ABCD是矩形.

(2)/.ABC=90",BC=ylAC2-AB2=V52-32=4.

.♦.矩形ABCD的面积是3x4=12.

针对训练

1.(2024武汉)小美同学按如下步骤作四边形ABCD:①画/MAN；②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，

分别交AM,AN于点B,D；③分别以点B,D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C;④连接BC,CD,B

D.若NA=44。,则NCBD的大小是(C)

2.(2024成都)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是(C)

A.AB=ADB.AC±BDC.AC=BDD.ZACB=ZACD

3.(2024吉林)如图,在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-4,0),点C的坐标为(0,2).以OA,OC为边作矩形OABC,

若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90。,得到矩形OABC,则点B，的坐标为(C)

A.(-4,-2)B.(-4,2)C.(2,4)D.(4,2)

4.(2024四J11)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E在DC上把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在边BC上的

点F处厕cosZCEF的值为(A)

A±BC.三D.三

4£344

5.(2024上海)已知四边形ABCD为矩形，过A,C作对角线BD的垂线，过B,D作对角线AC的垂线，如果以四条

垂线为边拼成一个四边形，那这个四边形为(A)

A.菱形B.矩形C.直角梯形D.等腰梯形

6.(2024广西)如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°,则重合部分构成的四

边形ABCD的周长为8V3cm.

第6题图

7.如图，在RtAABC中,/ACB=9(T,AC=3,BC=4,D是AB上一动点，过点D作DE_LAC于点E,DF±BC于点F,

连接EF,则线段EF的最小值是(B)

A.2.5B.2.4C.2.2D.2

8.如图，正方形ABCD的边长为4,G是边BC上一点，且BG=3,连接AG,过点D作DE,AG于点E,作BF〃DE交

AG于点F,则EF的长为(C)

A.-B.-C.-D.-

5555

9.如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为(3,4),则顶点A的坐标

为(C)

A.(-4,2)B.(-V3>4)C.(-2,4)D.(-4-V3)

10.(2024缓化)如图,四边形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,AE，BC于点E,则AE的长是(A)

A.〜

24

11.如图矩形ABCD的对角第隹BD交于点O,AB=6,BC至过点O作OE,AC,赛处存点E,过点E作EF±B

D,垂足为F,则OE+EF的值为_葺

12.(2024山东)将一张矩形纸片(四边形ABCD)按如图所示的方式对折，使点C落在AB上的点C处,折痕为M

N,点D落在点D处,CD交AD于点E.若BM=3,BC'=4,AC=3,则DN=|.

13.(2024重庆)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD的延长线上一点，连接AE,AF,

AM平分NEAF交CD于点M.若BE=DF=1厕DM的长度为(D)

A.2B.V5C.V6D.y

14.(2024广西)如图，在边长为5的正方形ABCD中,E,F,G,H分别为各边的中点，连接AG,BH,CE,DF,交点分别为

M,N,P,Q,那么四边形MNPQ的面积为(C)

A.lB.2C.5D.10

15.(2024天津)如图,正方形ABCD的边长为3a,,对角线AC,BD相交于点O,点E在CA的延长线上,OE=5,连

接DE.

⑴线段AE的长为2:

(2)若F为DE的中点厕线段AF的长.手

16.(2024包头)如图,在菱形ABCD中，N71BC=600,AB=6,AC是一条对角线，E是AC上一点，过点E作E

FLAB,垂足为F,连接DE.若CE=2F,求DE的长

解:过D作DH_LAC于H.

,在菱形ABCD中,/ABC=6(F,AB=6,

.\AB=BC=CD=AD,ZADC=ZABC=60°.

AABC,AACD都是等边三角形.

ZEXF=60°,4C=AB=6,AH=CH=|4C=3.

•.•EF±AB,.*.ZAEF=30°,.\AE=2AF.

又•；CE=AF,；.AE=2CE,

/.CE=2,；.HE=CH-CE=1.

在RtACDH中，DH2=CD2-CH2=27,

•••DE=VDH2+HE2=2V7.

17如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点，连接OE过点C作CF//BD交OE的延

长线于点F,连接DF.求证:

(1)AODE^AFCE;

(2)四边形OCFD是矩形.

证明：(1)；E是CD的中点,；.DE=CE.

VCF/7OD,.'.ZODE=ZFCE.

在4ODE和^FCE中｛fR23ODE=AFCE(ASA).

△DEO=Z.Chr,'/

(2)VAODE^AFCE,/.OD=CF.

CF〃BD,...四边形OCFD是平行四边形.

••,四边形ABCD^g^AACXBD..,.ZCOD=90°.

四边形OCFD是矩形.

18.（2024呼伦贝尔）如图,在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，AB=2F,连接BF,点。为