2025年中考数学考点专练：四边形

四边形

专题讲练1四边形(一)一平行四边形性质与判定

考点一平行四边形的判定

【典例1】(2024武汉)如图,在平行四边形ABCD中，点E,F分别在边BC,AD上,AF=CE.

(1)求证:△ABE^ACDF;

(2)连接EF,请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是平行四边形.(不需要说明理由)

考点二菱形的判定

变式.如图，在平行四边形ABCD中，点E,F分别在BC,AD上,AC与EF相交于点O,且AO=CO.

⑴求证:△AOF^ACOE;

(2)连接AE,CF,请添加一个条件，使四边形AECF为菱形.(不需要说明理由)

考点三矩形的判定

【典例2】如图,E,F是平行四边形ABCD的对角线AC上两点,AF=CE.

(1)求证:4ADF^ACBE;

(2)连接BF,DE和BD,请添加一个条件：使得四边形BEDF为矩形.

变式.如图,AB〃DE,AB=DE,点C,F在AD上，且AC=FD,连接EC.BF.

(1)求证:4ABF^ADEC;F

(2)连接EF,BC,请添加一个条件，使四边形BCEF是矩形.(不需要说明理由)

专题讲练2四边形（二）一四边形与勾股定理＜45。角问题〉

考点一利用45。角构全等，结合勾股定理计算

【典例1】（2023.丽水）如图,在梯形ABCD中,AD〃B%/C=狞。,△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,点E在CD

上,AD=1,求CE的长.

C

变式.（2022・七一）如图在RtAABC中,/ABC=9（T,/DAC=2/ACB,/DCF=45o,DF_LAC交AC于点E,BF=2,AC

=13,则AB=

考点二结合半角模型、勾股列方程计算

【典例2】（2024.外校）如图，在四边形ABCD中,NBAD=9（r,/BCD=45o,NADB=乙CDB=60。,4c=3Vx则△

ABD的周长=.

变式.如图，在直角梯形ACME中，4ACM=LEMC=90。,4C=CM=6„B为CM的中点，Z.EAB=45。,EF

||CM交AB于点F,则EF的长为（）

A.4B.5C.—D.5.5

3

E

M

专题讲练3四边形（三）——赵爽弦图（1）

考点一弦图与乘法公式、勾股定理

【典例1】（2023扬州）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，

它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成（如图所示）,直角三角形的直角边长为a、b,斜边长为c.

（1）若b-a=4,c=20,则每个直角三角形的面积为;

/

/勾a

⑵若大正方形的面积为10，小正方形的面积为2,求（a+b）2的值./寒、

变式1.如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方

形的面积是5,直角三角形较长直角边为b,较短直角边为a,则ab的值是（）公、

变式2.大约公元222年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，变称“赵爽弦图”，

如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形ABCD,中空的部分是小正方形EFGH,连接EG,点O是EG的中点，

记正方形ABCD的面积为Si,正方形EFGH的面积为S2，若BG+CG=V5GO,,则高的值是_____._____

考点二拼成赵爽弦图

【典例2］已知有5个边长为1的正方形，排列如图所示，请把它分割后拼成一个大正方形.

变式1.若有10个边长为1的正方形，排列如图所示，把它分割后拼成一个大正方形.

变式2.（2024.洪山）如图，有5块正方形连在一起的钢板余料，要求分割成若干小块后能拼接成与原图形面积相

等的正方形，试给出两种分割方法.

丑丑

专题讲练4四边形（四）一赵爽弦图（2）

考点一结合弦图作垂线构手拉手全等

【典例】如图，四个全等的直角三角形拼成内外两个正方形，若AE=3BE,直线EG交AD于点M,交BC于

点N,求翳的值.

变式1.（2024.西安）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形拼接而成，连接HF交DE于点M若黑=1

AE2

求翳的值

A

考点二弦图与相似，三角函数

变式2.（2024研口模拟）如图，在正方形ABCD中,E,F分别在AB,BC边（含端点）上运动，满足AE=2BF,,正方形E

FGH的边HG所在直线交AD于I,交BC于J,记四边形AEHI的面积为S3的面积为S2ZBEF为a,用含

a的三角函数的式子表示餐的值是.

专题讲练5四边形（五）——赵爽弦图（3）

考点一赵爽弦图与相似

【典例】（2024.江汉模拟）如图，在RtAABC中,/ACB=90。,以其三边为边向外作正方形，连接CF,过点G作GM

，CF于点M过点B作BJLGM于点J,过点A作AKLBJ于点K,交CF于点L得正方形JKLM.若AB=<SKL,CH

=2或，则CE的长是____________

考点二越爽弦图与方程组

变式1.（2024.江岸模拟）在认识了勾股定理的赵爽弦图后，一位同学尝试将5个全等的小正方形嵌入长方形AB

CD内部，其中点M,N,P,Q分别在长方形的边AB,BC,CD和AD上，若AB=7,BC=8,则小正方形的边长为—

变式2.（2024.湖北模拟）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，

设直角三角形较长直角边为a,较短直角边长为b,若（（a-6）2=4,大正方形的面积为20,现用一个半径为r的圆

形纸片将阴影部分完全覆盖，贝IIr的最小值是（）

.3c5

A.-yJ5B.-c

22->盛有

专题讲练6四边形（六）一赵爽弦图（4）

考点一三角函数+勾股定理+赵爽弦图

【典例1】（2023•杭州）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.

如图，在由四个全等的直角三角形(△DAE,AABF,ABCG,ACDH)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形

ABCD中,NABF>NBAF,连接BE.设/BAF=a,NBEF=[3,若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为l:n,tana=t

an?。,则n=()

A.5B.4C.3D.2

变式.(2023・乐山)我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直

角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形面积为25，小正方形面积为1,则sin9=()

1

A.|B.|C.4D.

5

考点二三角函数+全等+相似

【典例2]如图，用4个全等的直角三角形拼成内外两个正方形，直线EG交AB于点M,交CD于点N,BM=

3AM,则tanG的值为.

AD

BC

变式如图，用8个全等的RtAABC(AOBC)分别拼成如图1和图2中的两个正方形，中间的两个小正方形的

面积分别记为Si和S2,且$2=3Si„则tanA的值为.

图1图2

专题讲练7四边形（七）——最值问题

考点一取中点求最值

【典例1】（2021.武汉四调）如图，已知正方形ABCD边长为1,P为正方形ABCD的边BC上一动点,AE、AD

关于AP对称，连接CE,点G为EC的中点，若P点从B点运动至C点，则G点运动的路径长为.

变式如图正方形ABCD,点E在直线BC上，连接AE,DE求差的最小值.

考点二拼接求和求最值

【典例2］如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边AB上一点，过C作CFXDE交AD于F,连接CE,则

CE+CF的最小值为.

变式.（2021中考改）如图,/ACB=90>AC=BC=l点D在AB上点E在AC上,BD=AE,求CD+BE最小值.

考点三“将军饮马”图求最值

【典例3］如图.菱形ABCD中,AD=4,NA=6（r,E为AD的中点,F为AB上一动点,将线段EF绕点E逆时针旋

转60。得EG,连接BG,CG,则BG+CG最小值为（）

A.3V3B.2V7C.4V3D.2+2V3

AFB

变式.（2022.山东）如图,正方形ABCD的边长为3,点E,F分别是BC,CD边上的动点，并且满足BE=CF,则AE+AF

的最小值为（）

A.6B.3V2C.3V5D.3+3V2

专题讲练8四边形（八）一菱形〈角度计算）

考点一从正方形到菱形

【典例】（2023・武汉涧题提出:如图1,E是菱形ABCD边BC上一点,△AEF是等腰三角形,AE=EF,NAEF=NA

BC=a（a>90°）,AF交CD于点G,探究NGCF与a的数量关系.

问题探究：

⑴先将问题特殊化，如图2,当a=90。时，直接写出/GCF的大小；

⑵再探究一般情形，如图1,求/GCF与a的数量关系.

考点二从菱形到等腰三角形

变式.（2022•福建）已知△ABC=△DEC,AB=AC,AB>BC.

⑴如图1,CB平分乙4CO,求证：四边形ABDC是菱形；

(2)如图2,将⑴中的ACDE绕点C逆时针旋转(旋转角小于NB4C),BC,DE的延长线相交于点F,用等式表示.

N4CE与MFC之间的数量关系，并证明；

⑶如图3,将(1)中的ACDE绕点C顺时针旋转(旋转角小于乙4BC),若NBAD=乙BCD,求乙的度数.

四边形

专题讲练1四边形(一)——平行四边形性质与判定

【典例1】⑴证明：；四边形ABCD是平行四边形，

；.AB=CD,BC=AD,/B=ND,

又；AF=CE,；.DF=BE,

/.AABE^ACDF(SAS);

(2)添加与线段有关的条件:AB〃EF(或AF=BE).

变式.(1)证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

AD〃BC,；.ZFAO=ZECO.

又VOA=OC,ZAOF=ZCOE,

△AOF^ACOE(ASA);

(2)EF±AC或AF=AE或AC平分NFAE等(答案不唯一).

【典例2】⑴证明：：在平行四边形ABCD中,AD〃BC,AD=BC,；.ZDAF=ZBCE,

又AF=CE,△ADFgACBE(SAS).

(2)BD=EF

变式.(1)证明:：AB〃DE,；.ZA=ZD,

,/AC=DF,AC-CF=DF-CF,

即AF=DC,

AB=DE,

在^ABF与^DEC中，｛"=ZD,

AF=DC,

.,.△ABF^ADEC(SAS);

(2)添力口/FBC=90。,四边形BCEF是矩形.

专题讲练2四边形(二)一四边形与勾股定理＜45。角问题〉

【典例1］解作于N,M,延长ME交BC于点F,

AABN"EAM,BN=AM,AN=EM,设DM=a,

BN=a+1,a+1=a+EFnEF=1,.*.CE=V2.

变式.5

解作CG±BC交AD的延长线于G,作AM_LCG交CG于M,则CM=MG,易证△DCF丝△DCG(AAS),；.CG=C

F=2AB,设.AB=x,x2+(2%+2)2=13?/=5(负值舍),AB=5.

【典例2】6

解：过点C向△ABD三边所在直线作垂线交直线AB,AD,BD垂足分别为点E,F,M易知CE=CM=CF,由全等

知BE=BM,DM=DF,

/.AABD周长=2AE=6.

变式.B

解:过点A作ANLAE交直线MC于点N,过点A作AGLEM交直线ME于点G,连接BE,

△ACN^△AGE,CN=EG,AE=AN,

.,.△AEB^AANB,

BE=BN=BC+EG,

设EG=x,BE=3+x,

(3+x)2=32+(6-x)2,

.•.x=2,；.EF=BE=5.

专题讲练3四边形(三)一赵爽弦图(1)

【典例1】解：⑴由题意得(a2+b2=202b-a-4,--.^ab-96;

⑵由题意得

2ab=8,(a+b~)2=18.

变式I-B

解：a2+b2=17,(b—ci)2=5,ab=6.

变式2.7-

4

解：设OG=鱼,CG=x,

•••%+2+%=V5xy/2,

2%+2=V10,

BC2=/+(%+2)2

=%2+%2+4%+4

=2(x2+2%)+4=7,

,,——.

S24

【典例2】略变式1.略变式2.略

专题讲练4四边形(四)一赵爽弦图(2)

【典例】解:过点C作CHLCG,交MN延长线于点H,连接BH,

.,.△CBH^ACDG,

；.BH_LCH,BH〃CG,

BN_BH_BE_1

CN-CG~CG-3’

变式1.解：延长DE交CB的延长线于点N,

△ADE^ABNE,

设AH=1,AE=2,

3_2

BN-1,

3

・•・BN=-

2，f

又•.•△DHMs/^NFM,

HM_2_4

"MF-3.5-7'

变式2.4cos2a—1

解:延长AD,EH交于点P,

:四边形ABCD,EFGH是正方形，

.,.△AEP^ABFE,

ppAF

■：AE=2BF,：.-=-=2,

即EP=2EF,

/.EH=HP=EF=FG,

.♦.△IPH义△JFG(ASA),

•••cosa=4PAP=EPcosa,

设EF=a,EP=2a,

/.AP=2acosa,

VAAEP^AHIP,

.S“EP_(AP\2

"SAHIP_1初，

.S1+S2_(2acosa、2

"S2~\a7'

S-t+S2.7S-1.7y

•••------=4cosa,•••—=4cosa—1.

S2S2

专题讲练5四边形(五)——赵爽弦图(3)

【典例】V10+V2

解:设CF交AB于点P,过C作CNLAB于点N,设正方形JKLM边长为m,

AAFL^AFGM(AAS),Z.AL=FM,

设AL=FM=x^UFL=FM+ML=x+m,

在RtAAFL中，AL2+FL2=AF2,

x2+(x+m)2=(V5m)2,

解得x=m或x=-2m（舍去）,

；.AL=FM=m,FL=2m,

；.AP=BP,即P为AB中点

■.■^CB=^,.：CP=AP=BP=^,

'.,△CPN^AFPA,

CN=m,PN=-2m,

.■.AN=AP+PN=^m,

・•.tan^BAC=—CNm_2_2

AN叵与i-V5+1-AC'

XC=V5+1,C£=V10+V2.

故答案为：V10+V2.

变式1.V5

解：将每个小正方形按照如图所示分成四个全等的直角三角形和一个正方形,

设每个直角三角形的较大的直角边为x,较小的直角边为y,

./3z+y=7,

VAB=7,BC=8,"\^+2y=&.

解得c：l

...小正方形的边长为：V22+I2=Vs.

故答案为：V5

变式2.B

22

区r.a+b=20,.,c

解：｛r,„1a=4,b=2,

a—b=2,

；.D为AC中点，故圆心。在AC,AB垂直平分线交点，取AB的中点M作OMLAB交BD于点O,连接CO,

VAOBM^AABD,

.OB_BA

''BM~BD'

BM-BA2V5xV55

OB=----------=-------------=-

BD42

5

•••T

2

专题讲练6四边形(六)一赵爽弦图(4)

【典例1]C

解：设EF=1,BF=x,tana=,tanfi=x,-^——x2x2+x=l,n=(x+l)2+x2=2x2+2x+1=3.

-vJ-11v4-1

变式.A

解：设直角三角形短直角边为X,长直角边为x+l,x2+(x+1)2=52,%=3或x=-4(舍)，sine=

【典例2】1

解:过点A作AKLAE交直线MN于点K,

AK〃BG,AMAK^>△MBG,

AK_1

,•=1■

BG3

又AAED^ACGB之ABFA,

・・・AK=AE二BF,BG=AF,

・land=—

••BF=3.

变式.亨

解:设AC=l,BC=x,

22

则Sj=（1-X'）,S2=1+x,

1+%2=3（1-久）2,X=2卢或X=巴卢（舍），

tanA=

2

专题讲练7四边形（七）一最值问题

【典例1臣

4

解:连接AC,取AC中点O,连接OG厕0G==九点G运动路径是以拱]半径，圆心角为90。的弧长，路径

长为-x2TTx-=

424

变式.解作DH_LDE交AB于H,取DH的中点O,连接AO,EO,易证△DCE之△DAH,，DE=DH=2OA=2OD；

ZODE=90°,.\OE=V2DE,VOA+OEAE,.---DE+—DE>AE,：.—>—空的最小值为—.

22AE2AE2

【典例2】V5

解:延长DA到点H,使AH=DA,连接EH易证△CDF0ZkDAE且△HAE,；.CF=DE=EH,则