2025中考数学重难点复习专练：几何最值问题综合训练（含答案解析）

重难点06几何最值问题综合训练

明考情・知方向

中考数学中《几何最值问题》部分主要考向分为五类:

一、将军饮马类最值

二、动点辅助圆类最值

三、四点共圆类最值

四、瓜豆原理类最值

五、胡不归类最值

几何最值问题虽然在中考数学中经常考察的是将军饮马类和辅助圆类，剩余几种虽然不经常考察，但

是考到的时候难度都比较大，所以也需要理解并掌握不同类型的几何最值问题的处理办法，这样到考到的

时候才能有捷径应对。

重难点题型解读

❶将军饮马类最值

❷动点辅助圆类最值

O几何最值问题

❹瓜豆原理类最值

0胡不归类最值

考向一：将军饮马类最值

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个■位AN,之后再对称连接

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八

1.（2024•江苏苏州・一模）如图，已知抛物线y=-产+「刀+q的对称轴为％=一3,过其顶点M的一条直线

y=kx+b与该抛物线的另一个交点为N（-1,1）,要在坐标轴上找一点P,使得APMN的周长最小，则点

P的坐标为（）

A.（0,2）B.C.（0,2）或（一表0）D.（0彳）或（一2,0）

2.（2023•山东枣庄•模拟预测）如图所示，正方形4BCD的面积为12,△ABE是等边三角形，点E在正方形

ABCDfy,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）

A.4V3B.2遮C.V6D.V3

3.（2021•青海•中考真题）如图，正方形4BCD的边长为8,M在DC上，且£W=2,N是AC上一动点,则DN+MN

的最小值为

4.（2023,广东广州•一模）如图，已知梯形4BCD,AD\\BC,AD=DC=4,BC=8,点N在BC上，CN=2,E

是AB中点，在AC上找一点M使EM+MN的值最小，此时其最小值等于

AD

BNC

5.（2022・四川眉山•一模）如图，矩形ABC。中，AB=4,BC=8,E为CD的中点，点尸、。为上两个

动点（点。在点尸的右边）.①若连结AP、PE,则PE+A尸的最小值为；②连结QE,若尸。=

3,当CQ=时，四边形APQE的周长最小.

考向二：动点辅助圆类最值

动点运动轨迹为辅助圆的三种类型：

定义法一一若一动点到定点的距离恒等于固定长，则该点的运动轨迹为以定点为圆心，定长为半径

的圆（或圆弧）

二.定边对直角

模型原理：直径所对的圆周角是直角

思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为直角，则直角顶点运动轨迹是以该定边为直径的圆（或圆

弧）

三.定边对定角

模型原理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等

思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为定角，则该定角顶点运动轨迹是以该定角为圆

周角，该定边为弦的圆（或圆弧）

1.（2022•山东泰安・中考真题）如图，四边形为矩形，AB=3,BC=4.点尸是线段BC上一动点，点

M为线段4P上一点.^ADM=/.BAP,贝IjBM的最小值为（）

A.5B.12C.V13-|D.V13-2

25

2.（2022•广东梅州•一模）如图，在R/AABC和RthADE^,^BAC=ADAE=90°,AC=AD=3,AB=AE=5.连

接BD,CE,将斯。E绕点A旋转一周，在旋转的过程中当NDBA最大时，MCE的面积为（）.

A.6B.6V2C.9D.9企

3.（2022・山东济南•一模）正方形ABC。中，AB=4,点E、尸分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF,

DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角zW/G使得0AHG=9O。，连接则8H的最小

值为（）

A.2V5-2B.2V5+2C.V10-V2D.V10+V2

4.（2023•安徽•一模）如图，在矩形48CD中，4B=8,4。=4,点E是矩形4BCD内部一动点，且NBEC=90°,

点尸是边上一动点，连接PO、PE,贝IJPD+PE的最小值为（）

/PB

\/1

/\/1

/X

A.8B.4V5C.10D.4V5-2

5.（2022・福建厦门•一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=：x一3分别与尤轴、y轴相交于点A、B,

4

点E、尸分别是正方形OACD的边OD、AC上的动点，且DE=/4F,过原点。作。H1EF,垂足为”,

连接”A、HB,则△从4B面积的最大值为（）

I1c

口13+5V2

A.6+5V2B.12C.6+3V2

*2

6.（2022・山东济南•一模）如图，在矩形4BCD中，AB=6,BC=8,点、E、F分别是边48、BC上的动点,

且EF=4,点G是EF的中点，AG.CG,则四边形4GCD面积的最小值为

7.（2025•陕西•模拟预测）如图，在菱形2BCD中，AB=6,zX=60°,点E,F分别在边4B和4D上，且EF=4.当

△4EF的面积最大时，ACEF的面积为.

考向三：四点共圆类最值

对角互补的四边形必有四点共圆，即辅助圆产生

模型原理：圆内接四边形对角互补

1.（2022・贵州遵义・中考真题）探究与实践

"善思"小组开展"探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续

利用上述结论进行探究.

提出问题：

如图1,在线段4C同侧有两点B,D,连接4D,AB,BC,CD,如果NB=ND,那么4B,C,D四点

在同一个圆上.

图1

探究展示：

如图2,作经过点4C,。的。0,在劣弧4C上取一点E（不与4C重合），连接则乙4EC+ND=180°

（依据1）

D,

O

E

图

2•••乙B=乙D

/.AEC+NB=180°

.••点a,B,C,E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）

.,点B,。在点4C,£■所确定的。。上（依据2）

•••点A,B,C,E四点在同一个圆上

⑴反思归纳：上述探究过程中的"依据1"、"依据2"分别是指什么？

依据1：;依据2：______________.

（2）图3,在四边形4BCD中，zl=Z2,43=45。，贝吐4的度数为

⑶拓展探究：如图4,已知AABC是等腰三角形，4B=4C,点。在BC上（不与BC的中点重合），连接

4D.作点C关于4D的对称点E,连接EB并延长交4D的延长线于F,连接4E,DE.

①求证：A,D,B,E四点共圆；

②若4B=2夜，ADSF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由.

2.（2024•陕西宝鸡•二模）【问题提出】

（1）如图1,在RtAABC中，Z.BAC=90°,AB=2,AC=3,点。是4B的中点，以点。为圆心，。4为

半径向4B上方作半圆O,点尸为半圆。上一点，连接CP,则线段CP的最小值为；

【问题探究】

（2）如图2,在等边AABC中，AC=2,点尸为A48C内一点，连接PA、PB、PC,/.PAB=/.PCA,

求线段BP长度的最小值；

【问题解决】

（3）如图3,某小区有四栋楼，刚好围成正方形ABCD,其边长4B=1000米，现计划在小区内部（正

方形4BCD内）修建一个游泳馆E,满足B栋楼到A栋楼之间的距离与B栋楼到游泳馆E之间的距离相

等（即BE=B4）,过点£作EG于点G,在RtA8EG的内心厂处修建一个健身房，使得D栋楼的

居民到健身房尸的距离。F最小，请问。尸是否存在最小值？若存在，请求出DF的最小值；若不存在，

请说明理由.

考向四：瓜豆原理类最值

0O◎图

瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的

轨迹相同.（古人云：种瓜得瓜，种豆得豆."种"圆得圆，"种"线得线，谓之"瓜豆原理".）

常考模型

模型一t运动轨迹为圆弧

如图，尸是圆。上一个动点，4为定点，连接仍0为4尸中点.

考虑：当点尸在圆。上运动时，0点轨迹是一个圆

连接40,取4。中点必则〃点即为0点轨迹圆圆心，半径幽是神一半，任意时刻，均有AAMQsAAOP,

QM-.P0=AQ:AI^\:2.

模型二：运动轨迹为线段

如图，尸是直线■上一动点，连接仍取/尸中点Q,当点尸在初上运动时，0点轨迹是一条

直线。

方法：分别过40向初作垂线，垂足分别为旅N,在运动过程中，因为/田2力0,所以©V始

终为朋的一半，即。点到死的距离是定值，故0点轨迹是一条直线.

【模型总结】

必要条件：

①两动一定；②动点与定点的连线夹角是定角；③动点到定点的距离比值是定值.

做题方法：第一步：找主动点的轨迹；第二步：找从动点与主动点的关系；

第三步：找主动点的起点和终点；第四步：通过相似确定从动点的轨迹，

第五步：根据轨迹确定点线、点圆最值.

1.（2023・四川•中考模拟）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=16,BC=12,点P在以

A3为直径的半圆上运动，由点3运动到点A,连接CP,点〃是CP的中点，则点M经过的

路径长为.

2.（2023.山东.中考模拟）如图，已知点A是第一象限内的一个定点，若点P是以。为圆心，2

个单位长为半径的圆上的一个动点，连接AP,以AP为边向AP右侧作等边三角形AP3.当

点P在O。上运动一周时，点3运动的路径长是.

考向五：胡不归类最值

0。混

胡不归模型解决步骤：

模型具体化：如图，已知两定点A、B,在定直线BC上找一点P,使从B走道P,再从P走到A的总

时间最小；

解决步骤：•F.

由系数k•PB确定分割线为PB

PA在分割线一侧，在分割线PB另一侧依定点B构a角，使sina=k,a角另

一边为BD

过点P作PQ1BD,转化kPB=PQ

过定点A作AH±BD,转化（PA+k•PB）min=AH,再依“勾股法”求AH的长即可。

1.（2023•安徽黄山•模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=^%2一日》—旧的图象与x轴交

于点A,C两点，与y轴交于点3,对称轴与x轴交于点。，若P为y轴上的一个动点,连接PD,贝!j|PB+PD

的最小值为（）

2.（22-23九年级上•四川乐山・期末）如图，在△ABC中，^BAC=90°,ZB=60°,AB=4,若D是BC边上的

动点，则2AD+DC的最小值是（）

A.6B.8C.10D.12

3.(2022•辽宁鞍山•二模)如图，在平面直角坐标系中,二次函数y=-/+bx+3的图像与x轴交于A、C

两点，与无轴交于点C(3,0),若P是x轴上一动点,点。的坐标为连接尸。，则&PD+PC的

最小值是()

A.4B.2+2V21+1^

4.(2022・四川成都•模拟预测)抛物线y=a/+.+百分别交x轴于点4(1,0),B(—3,0),交y轴于点C,

抛物线的对称轴与x轴相交于点D,点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且MN1AC.

⑴求抛物线的表达式;

(2)线段MN,NC在数量上有何关系，请写出你的理由；

⑶在M,N移动的过程中，OM+//C是否有最小值，如果有，请写出理由.

5.(2022•广东惠州一模)如图1,抛物线y=a/+必一4与％轴交于4g两点，与y轴交于点c,其中点4的

坐标为(-1,0),抛物线的对称轴是直线x=|.

图1图2

⑴求抛物线的解析式；

⑵若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形4BPC的面积为16,若存在，求出

点P的坐标若不存在，请说明理由；

⑶如图2,过点B作交抛物线的对称轴于点F,以点C为圆心，2为半径作。C,点Q为OC上的

一个动点，求号BQ+FQ的最小值.

限时提升练

（建议用时：35分钟）

1.（2022・四川南充•一模）如图，矩形中，BC=12,点尸是边AD上一动点（不与端点重合），点、E

与点A关于BP对称，线段。E最小为8,则AB的长为.

2.（2022•内蒙古鄂尔多斯•中考真题）如图，在S42c中，AB=AC=4,13cA2=30。，ADSBC,垂足为DP

为线段A。上的一动点，连接尸8、PC.则B4+2P8的最小值为.

3.（2020•江苏常州•一模）如图，在0。中，点A、点B在。。上，^AOB=90°,OA=6,点C在OA上,

且。C=2AC,点。是。B的中点，点M是劣弧AB上的动点，贝北”+2DM的最小值为

4.（2022・湖南湘潭•模拟预测）如图，菱形草地4BCD中，沿对角线修建60米和80米两条道路04c<8。），

M、N分别是草地边BC、CD的中点，在线段8。上有一个流动饮水点P,若要使PM+PN的距离最短,

则最短距离是一米.

C

5.（2022•山东枣庄•二模）如图，点尸是乙4OB内任意一点，OP=3cm,点M和点N分别是射线02和射线

0B上的动点，AA0B=30°,则APMN周长的最小值是.

6.（2022•湖北黄石•中考真题）如图，等边AABC中，=10,点E为高AD上的一动点，以BE为边作等边

△BEF,连接DF,CF,贝此BCF=,FB+FD的最小值为.

7.（2022・广东汕头•一模）如图，在0ABC中，0C=90°,AC=8,AB=10,D是AC上一点，且CO=3,E

是BC边上一点，将BDCE沿DE折叠，使点C落在点尸处，连接BF,则B尸的最小值为.

A

8.（2021•广东珠海,一模）如图，在矩形4BCD中，AB=2,BC=3,E是矩形内部的一个动点，且4E1BE,

则线段CE的最小值为.

9.（2023•广西柳州•二模）已知抛物线y=ax2+bx+c（a*0）过点4（1,0）,B（3,0）两点，与y轴交于点C,

⑴求抛物线的解析式及顶点。的坐标；

（2）点P为抛物线上位于直线BC下方的一动点，当APBC面积最大时，求点P的坐标；

⑶若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+fCQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存

在，请说明理由.

重难点06几何最值问题综合训练

明考情・知方向

中考数学中《几何最值问题》部分主要考向分为五类:

一、将军饮马类最值

二、动点辅助圆类最值

三、四点共圆类最值

四、瓜豆原理类最值

五、胡不归类最值

几何最值问题虽然在中考数学中经常考察的是将军饮马类和辅助圆类，剩余几种虽然不经常考察，但

是考到的时候难度都比较大，所以也需要理解并掌握不同类型的几何最值问题的处理办法，这样到考到的

时候才能有捷径应对。

重难点题型解读

❶将军饮马类最值

❷动点辅助圆类最值

O几何最值问题

❹瓜豆原理类最值

0胡不归类最值

考向一：将军饮马类最值

普通PA・/>〃6■分■》

异侧AB.舄4之用.&殴

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“两e•闱.MN.W・

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定PQ-P'Q，.M・之

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两N.HMC

・的交Q■为SM.NN：n：)

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、0

的・低■小构造平行四边形

BAMNA',转化AM为

个■位AN,之后再对称连接

同侧W.ARaWk

»4r.AtATIttJ求A'N+NB的最小值

“两定

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两动”HA2H,修

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“AM•MN«SB・。个一位・力・M

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异侧桃，桥域号9何地#.tttAWBXMmNMT

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两动”

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八

1.(2024•江苏苏州・一模)如图，已知抛物线y=-产+「刀+q的对称轴为％=一3,过其顶点M的一条直线

y=kx+b与该抛物线的另一个交点为N(-1,1),要在坐标轴上找一点P,使得APMN的周长最小，则点

P的坐标为()

A.(0,2)B.(-1,0)C.(0,2)或(—表0)D.(0,§或(一2,0)

【答案】A

【分析】首先利用待定系数法确定该抛物线解析式，进而确定抛物线顶点M的坐标；结合APMN的长度

=PN+PM+MN,且MN是定值，故PN+PM只需取最小值，即可使得△PMN的周长最小.过点M作

关于y轴和x轴对称的点，分别计算两种情况下的周长再取最小值即可.

【详解】解：根据题意，抛物线y=-%2+px+q的对称轴为尤=-3,且经过点N(—1,1),

则有(中;j解得的:

回该抛物线的解析式为y=-X2-6X-4,

Uy=—X2—6x—4=—(X+3)2+5,

团该抛物线顶点M的坐标为(-3,5),

EI△PMN的长度=PN+PM+MN,且MN是定值，所以PN+PM只需取最小值，即可使得APMN的周

长最小，

如图1,过点M作关于y轴对称的点Ml连接MW,与y轴的交点即为所求的点P,

则W(3,5),PM=PM',

设直线的解析式为y=k1X+瓦(七丰0),

将点M，(3,5)和点N(—1,1)代入，

可得忆Hi解得由口，

故该直线的解析式为y=x+2,

当x=0时，y=2,即P(0,2),

回PM+PN+MN=PM'+PN+MN=M'N+MN,

且MW=7[3-(-1)]2+(5-l)2=4V2,

回此时△PMN的周长=4金+MN；

同理，如图2,过点M作关于x轴对称的点Ml连接M'N,与x轴的交点P即为所求的点,

则M'(—3,-5),

设直线M'N的解析式为y=k2x+历(七丰0),

将点“'(一3,—5)和点N(—1,1)代入，

可得「ENA解得假二，

故该直线的解析式为y=3%+4,

当y=0时，x=-1,即P(—右0),

0PM+PN+MN=PM'+PN+MN=M'N+MN,

且M'N=J[—3—(—1)产+(—5—1)2=2V10,

回此时△PMN的周长=2V10+MN；

04V2<2V10,

04V2+MN<2V10+MN,

回点P在y轴上时，APMN的周长最小，此时点P的坐标是(0,2).

故选：A.

【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题关键是

分类讨论，避免遗漏.

2.(2023•山东枣庄•模拟预测)如图所示，正方形4BCD的面积为12,△ABE是等边三角形，点E在正方形

4BCD内，在对角线AC上有一点尸，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）

A.4A/3B.2遮C.V6D.V3

【答案】B

【分析】

连接BQ,PB,根据点B与。关于4C对称，得出PD=PB,从而得出PD+PE=PB+PE>BE,即PD+PE

最小值为值为BE的长，求出BE的长即可.

【详解】

解：连接BD,PB,如图所示：

回四边形48CD为正方形，

团点8与。关于4c对称，

0PD=PB,

SPD+PE=PB+PE>BE,

0PD+PE最小值为BE的长，

回正方形4BCD的面积为12,

EL4B=V12=2痘,

又回△ABE是等边三角形，

SBE=AB=2V5,

I3P0+PE最小值为2旧，故B正确.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，等边三角形的性质，解题的关键是根据轴对称的性质得

出BE的长为P。+PE的最小值.

3.（2021•青海・中考真题）如图，正方形4BCD的边长为8,M在DC上，且DM=2,N是AC上一动点，则DN+MN

的最小值为

【答案】10

【分析】本题考查了轴对称的应用，正方形的性质，勾股定理，解答本题的关键是根据轴对称的性质

作出图形得到DN+MN的最小值即为线段BM的长.连结BD,BN,BM,根据轴对称的性质，得到BN=

DN,DN+MN的最小值即BN+MN的最小值，即为线段BM的长，再根据勾股定理，即可求得BM的

长，即得答案.

【详解】连结BD,BN,BM,

,••正方形是轴对称图形，点B与点。是以直线2C为对称轴的对称点，

•••直线4C即为80的垂直平分线，

BN=DN,

DN+MN=BN+MN,

当点N在与AC的交点尸处，DN+MN取得最小值，最小值为的长,

•.•正方形4BCD的边长为8,且DM=2,

BC=CD=8,CM=8-2=6,4BCD=90°,

BM=y/BC2+CM2=V82+62=10,

DN+MN的最小值为10.

故答案为：10.

4.（2023•广东广州•一模）如图，已知梯形ABC。，AD\\BC,AD=DC=4,BC=8,点N在BC上，CN=2,E

是AB中点，在4c上找一点M使EM+MN的值最小，此时其最小值等于

【答案】6

【分析】首先找N关于AC的对称点NI然后根据轴对称的性质进行计算.

【详解】解：SAD=DC,ADWBC,

^\Z-DCA=Z.DAC=Z-ACB,

回。4平分NBC。，

作N点关于AC的对称点N，，CN'=2,如图,

则W为CO中点,所以EMII4D,

连E"交AC于M点，

0FM+NM=EN',

SEN'=|(71D+BC)=|(4+8)=6.

故答案为6.

【点睛】本题考查轴对称最短路线的问题，熟练找到对称点是解题的关键.

5.（2022•四川眉山•一模）如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=8,E为CD的中点，点尸、。为BC上两个

动点（点。在点P的右边）.①若连结AP、PE,则尸E+AP的最小值为；②连结QE,若PQ=

3,当CQ=时，四边形APQE的周长最小.

【答案】101/1|

【分析】①延长AB到使2M=AB=4,则A和/关于2c对称，连接EM,交BC于点P,此时

4P+PE的值最小，过点M作MM3OC,交OC的延长线于点N,在RtSEMN中，根据勾股定理求出

的长即可解答；

②点A向右平移3个单位到点G,点E关于BC的对称点为点R连接GR交BC于点Q,此时G。

+QE的值最小，根据题意可知AE,尸。的值是定值，要使四边形APQE的周长最小，只要GQ+E。的

值最小即可，然后根据A字模型相似三角形证明arc。酿尸DG,利用相似三角形的性质，即可解答.

【详解】解：①延长到使BM=AB=4,则A和M关于BC对称，

^\AP=PM,

连接EM,交BC于点P,此时AP+PE的值最小，

^AP+PE=PM+EP=EM,

过点M作MN3OC,交0c的延长线于点N,如图：

团四边形A3CD是矩形，

0A3=CO=4,她3C=团5c0=90°,

酿M5C=团3CN=90°,

瓯MND=90°,

团四边形8MNC是矩形，

姐M=CN=4,BC=MN=8,

团E为CD的中点，

1

回EC=-CD=2,

2

回硒=EC+CN=6,

团ME=y/MN2+EN2=V62+82=10,

SPE+AP的最小值为10,

故答案为：10；

②点A向右平移3个单位到点G,点E关于BC的对称点为点F,

连接GF,交BC于点Q,

^\EQ=FQ,

^iGQ+EQ=GQ+FQ=FG,

此时GQ+QE的值最小，

回四边形ABC。是矩形，

0BCEL4D,

^AG=PQ=3,

回四边形APQG是平行四边形，

^AP=GQ,

^\GQ+EQ=AP+EQ=FG,

0AE,P。的值是定值，

回要使四边形APQE的周长最小，只要AP+E。的值最小即可，

设CQ=x,

QBCSAD,

00BCF=[a£）,^CQF=^\DGF,

0EFCQ30FDG,

胫=J

DGDF

一

瓯=|,

团当CQ=|时，四边形APQE的周长最小，

故答案为：

【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练

掌握轴对称之将军饮马模型想解题的关键.

考向二：动点辅助圆类最值

0M

动点运动轨迹为辅助圆的三种类型：

一.定义法一一若一动点到定点的距离恒等于固定长，则该点的运动轨迹为以定点为圆心，定长为半径

的圆（或圆弧）

二.定边对直角

模型原理：直径所对的圆周角是直角

思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为直角，则直角顶点运动轨迹是以该定边为直径的圆（或圆

弧）

三.定边对定角

模型原理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等

思路构造：若一条定边所对的“动角”始终为定角，则该定角顶点运动轨迹是以该定角为圆

周角，该定边为弦的圆（或圆弧）

1.（2022•山东泰安•中考真题）如图，四边形4BCD为矩形，AB=3,BC=4.点P是线段BC上一动点，点

M为线段4P上一点.^ADM=Z.BAP,贝的最小值为（）

A.—B.—C.A/13—D.V13—2

252

【答案】D

【分析】证明乙4MD=90°,得出点M在。点为圆心，以A。为半径的圆上，从而计算出答案.

【详解】设AO的中点为O,以。点为圆心，AO为半径画圆

A

B

回四边形4BCD为矩形

回NBAP+NAL4D=90°

^Z-ADM=Z.BAP

^MAD+AADM=90°

0Z71M£）=9OO

团点M在。点为圆心，以A。为半径的圆上

连接交圆。与点N

回点B为圆O外一点

El当直线3M过圆心。时，3M最短

WO2=AB2+A02,A0=-AD=2

2

0BO2=9+4=13

0BO=V13

^\BN=BO-AO=V13-2

故选：D.

【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识.

2.（2022•广东梅州•一模）如图，在R公ABC和RdADE中，NB4C=^DAE=90°,XC=AD=3,AB=AE=5.连

接BD,CE,将回4DE绕点A旋转一周，在旋转的过程中当ADB4最大时，0ACE的面积为（）.

A.6B.6V2C.9D.9夜

【答案】A

【分析】先分析出。的轨迹为以A为圆心/⑦的长为半径的圆，当即与该圆相切时，SOBA最大，过C

作CE3AE于R由勾股定理及三角函数计算出2。、CF的长，代入面积公式求解即可.

【详解】解：由题意知，。点轨迹为以A为圆心AD的长为半径的圆，

当8。与。点的轨迹圆相切时，SDBA取最大值，此时SBD4=90。，如图所示，

过C作CflSAE于尸，

EBDAE=90°,回3AC=90°,

SSCAF^BAD,

在R/EABD中，由勾股定理得：BD—JS2-32=4,

回由sinl3cA声sinEIBAO得：

CF_BD

AC~AB"

解得：b亭

国此时三角形ACE的面积=X音X5=6,

故选：A.

【点睛】本题考查了旋转的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识点.此题综合性较强，解题关键是利

用D的轨迹圆确定出aDBA取最大值时的位置.

3.（2022•山东济南•一模）正方形ABC。中，AB=4,点E、/分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF,

DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角AA/ZG使得0A”G=9O。，连接则的最小

值为（）

A.2V5-2B.2V5+2C.V10-V2D.V10+V2

【答案】C

【分析】首先证明乙4GD=90。，从而OG=1AO=2,再根据〃MG=乙/MM,可求可知点

H的运动轨迹为以点M为圆心，MH为半径的圆，从而可求BH最小值.

【详解】解：如图，取AD中点0,连接OG,以AO为斜边作等腰直角三角形AOM,

则AM=¥40=VL

在△ADE和△OCF中，

AD=CD

乙ADE=^DCF,

DE=CF

回△ADE=LDCF(SAS),

回zJX4G=2CDF,

团〃DG+乙CDF=90°,

^ADG+/-DAG=90°,

^AGD=90°,

△ADG是直角三角形，

i

HOG=-AD=2,

2

0AAHG为等腰直角三角形，

0ZO4G+^GAM=4HAM+^GAM,

I3ZOXG=/.HAM,

鹏络=0

AGOA2

0AAMHAOG,

OG2

0MH=V2,

团点H的运动轨迹为以点M为圆心，MH为半径的圆，

如图，连接BM,交圆M于"，过点M作MP于点P,

^DAE+^BAH=45°,^OAG=^MAH,

^PAM