2025年中考数学二轮复习：综合与实践

微专题41综合与实践

一、数与式

1.综合与实践

【主题】网格中的路线

【素材】如图①所示:

①在4X3的网格中，记A,B,C三点;

②沿网格线从A点出发到3点，规定必须向北走，或向东走.

【实践操作】

①如图②，除点A外其余交点用空圆代替;

②按图示方式在空圆中，填写出从A点出发到部分交点的路线数量;

③从点A出发到点C共有3条路线.

【实践探索】

（1）从A点出发到3点共有多少条路线？并补全图②中的空圆;

并画图说明.

第1题图

2.（人教七上实验与探究改编）综合与实践

【主题】幻方

【素材】幻方最早源于我国，古人称之为纵横图，如图①是一个三阶幻方.

第2题图①

第1页共22页

【实践操作】

步骤1:计算每一横行点数的和;

步骤2：计算每一竖列点数的和；

步骤3：计算两条斜对角线上的点数的和.

【实践探索】

（1）每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和均为;

（2）将一6,-3,0,3,6,9,12,15,18填入图②，使其构成一个三阶幻方;

【拓展延伸】

（3）如图③，在一个由6个圆圈组成的三角形里，将一7到一2这6个连续整数分别填入圆圈

中，使得三角形的每条边上的三个数的和S均相等，且求出S的最大值.

第2题图

二、方程（组）与不等式（组）

3.（人教七上习题改编）综合与实践

【主题】利用天平称1个乒乓球和1个纸杯的质量

【问题情境】在综合实践课上，老师让同学们利用天平和一些物品探究等式的基本性质，现有

一架天平和一个10克的祛码，如何称出1个乒乓球和1个纸杯的质量？

【操作探究】下面是“智慧小组”的探究过程.

准备物品：①若干个大小相同的乒乓球（质量相同）；

②若干个大小相同的纸杯（质量相同）.

探究过程：设每个乒乓球的质量是x克.

乒乓球的一次性纸

天平左边天平右边天平状态

总质量杯的总质量

记录18个乒乓球和10个一次性纸杯平衡8x

第2页共22页

1个10克的祛码

10个一次性纸杯

记录216个乒乓球平衡16x

和1个10克的祛码

【解决问题】

(1)①将表格中的空白部分用含x的式子表示；

②分别求1个乒乓球的质量和1个一次性纸杯的质量.

【拓展设计】

(2)“创新小组”根据“智慧小组”的探究过程提出这样一个问题：

请你设计一个方案，使得乒乓球的个数为一次性纸杯个数的2倍，并填入下表：

天平左边天平右边天平状态

记录3乒乓球个一次性纸杯个11个10克的磋码平衡

4.在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略.

【主题】探索清洗衣物的节约用水策略

【洗衣过程】

步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；

步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干.重复操作步骤二，直至校服上残留洗

衣液浓度达到洗衣目标.

假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%,每次拧干后校服上都残留0.5kg水.

0.5d前

浓度关系式：1后=/.其中d前、d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；W为单

0.5+w

次漂洗所加清水量(单位：kg).

【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%.

【动手操作】请按要求完成下列任务：

(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%,需要多少清水？

第3页共22页

（2）如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？

（3）比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法.

三、函数

5.（人教八下习题改编）【综合与实践】

【主题】探究弹簧的伸长量

【素材】某数学实验小组在学习了力的知识后，计划通过实验探究弹簧在不同伸长量下对外界

的弹力大小，具体过程如下（实验均在弹簧弹性范围内进行）：

【实践操作】

步骤1：记录实验数据如下表：

弹簧长度L/cm2223242526272829

弹力F/N00.51.01.52.02.53.03.5

步骤2：通过表中的数值，在图②的平面直角坐标系中描点、连线，画出弹簧长度L与弹簧对

外界的弹力大小R的图象.

【实践探索】

第4页共22页

（1）观察所画的图象，猜测R与L之间的函数关系，并求出函数关系式；

（2）若弹簧的劲度系数上=£（R为弹簧受到的拉力，口拉=R弹，为弹簧伸长的长度），求

女的值；

（3）在（2）的条件下，如图③，是两根劲度系数不同的弹簧甲、乙（两根弹簧起始长度相同），

分别挂上N两物块，且物块”的质量大于物块N的质量（质量越大，悬挂时对弹簧的拉

力越大，弹簧对外界的弹力也越大），观察图象，则左甲左乙（填或“="）.

第5题图③

6.项目化学习

【主题】优化大豆种植密度

【项目背景】大豆，俗称黄豆，属一年生草本，是我国重要粮食作物之一，已有五千年栽培历

史，古称“菽”，某校综合实践小组以探究“大豆种植密度优化方案”为主题展开项目学习

第6题图

【驱动任务】探究大豆产量与种植密度的关系

【研究步骤】（1）在劳动实践基地中选定6块单位面积（1平方米）的地块作为试验田，并

选定适宜的大豆品种；

（2）在不同试验田中种植株数不同的大豆，严格控制影响大豆生长的其它变量，在大豆成熟

期，对每株大豆的产量进行统计；

（3）数据分析，形成结论.

【试验数据】

试验田编号123456

第5页共22页

单位面积试验田种植株数X（株）304050607080

单株的平均产量y7粒）514641363126

【问题解决】请根据此项目实施的相关材料完成下列任务：

（1）根据表中信息可知，单位面积试验田中大豆单株的平均产量y（粒）是种植株数x（株）

的函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x的函数关系式为

（30WxW80）；

（2）若要使单位面积试验田中大豆的总产量（单位：粒）最大，请通过计算说明单位面积试

验田中大豆植株种植数量的方案.

7.（人教九下活动改编）

【主题】设计简易杆秤

【综合与实践】

有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”.某兴趣小组将利用物理学中杠杆原

理制作简易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设

计中的任务.

【知识背景】如图，称重物时，移动秤坨可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：（侬+机）-I

=M-（a+y）.其中秤盘质量mo克，重物质量机克，秤蛇质量“克，秤纽与秤盘的水平距离

为/厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤坨与零刻线的水平距离为y厘米.

【方案设计】

目标：设计简易杆秤.设定侬=10,M=50,最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线

的距离定为50厘米.

任务一：确定I和a的值；

第6页共22页

（1）当秤盘不放重物，秤蛇在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于/,。的方程；

（2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤坨从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关

于/,。的方程；

（3）根据（1）和（2）所列方程，求出/和。的值；

任务二：确定刻线的位置.

（4）根据任务一，求y关于机的函数解析式；

（5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离.

第7题图

四、图形的变化

8.（北师九上做一做改编）综合与实践

【主题】探究纸条交叉重叠部分的图形形状.

【素材】如图①，②所示：两张等宽的纸条.

图①图②

第8题图

【实践操作】

步骤1：取两张长足够的，宽为6cm的矩形纸条；

步骤2：如图③，将一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角;

步骤3：将呈45°的纸条从右往左平移.

第7页共22页

H

D

图③图④

第8题图③

【实践探索】

（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状;

（2）当重叠部分的形状为如图④所示的四边形A3。时,请判断四边形ABCD的形状，并说

明理由.

9.（人教七上课题学习改编）（2024福建改编）综合与实践

【主题】制作底面为正方形的礼品盒.

【素材】一张长方形纸板如图①所示.

【实践操作】

步骤1：取出一张长方形纸板;

步骤2：按如图②所示的方式进行分割、裁剪，其中人后=必，恰好得到纸盒的展开图;

步骤3：利用该展开图折成一个礼品盒,如图③所示.

I）

H

图I图2

第9题图

第8页共22页

【实践探索】

⑴直接写畤的值；

（2）如图④，按要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，那么应

选择的纸盒展开图图样是（）

第9题图④

里1解

IW1

io.（人教八上课题学习改编）综合与实践

【主题】研究几何体的最短路线问题

“转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面.为

了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的

最短路线问题.

【实践操作】

如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C,其最短路线正是侧面展开图中的线段

AC,若圆柱的高AB为2cm,底面直径为8cm.

【问题解决】

（1）判断最短路线的依据是;

（2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线AC的长（结果保留根号和兀）；

【拓展迁移】

如图②，。为圆锥的顶点，〃为底面圆周上一点，点P是的中点，母线OM=8cm,底面

圆半径为2cm,粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹.

（3）请求出蚂蚁爬行的最短距离.

B____C_____

-----?沿48剪开平铺/

（1--------1

图①

第9页共22页

图②

第10题图

11.（北师九下习题改编）综合与实践

【主题】配置圆形玻璃材料

【素材】有一块被不小心打碎的圆形玻璃材料的残片，如图①，现需重新配置一片与原材料大

小相同的圆形玻璃材料.

【实践操作】

利用尺规作出该玻璃残片的圆心，小明的作图过程如下：

步骤1：在圆形玻璃残片上任取两点A,B,如图②；

步骤2：过点A作一条直线/，使得直线/与圆只有一个交点A；

步骤3：以点A为圆心，任意长为半径向点A两侧作弧，分别交直线/于N两点；

步骤4：分别以点N为圆心，大于|MN的长为半径作弧，两弧分别交于P,。两点，作直

线尸。；

步骤5：过点3作…，

【实践探索】

（1）在图②的基础上补全尺规作图，求作圆心。（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在小明作图过程中的“步骤4”中，尺规作图内容是；

（3）除了上述方法外，小明想到还可以利用垂径定理求出该圆形玻璃残片的圆心，如图③，

在圆形玻璃残片上分别取点A,点3和点C,令AC=BC=a,NACB=a.请你结合垂径定理的

知识，利用尺规作出该圆形玻璃残片的圆心。，并求出直径（用含。和a的式子表示）.

第10页共22页

第11题图

12.（北师九上综合与实践改编）（2023衢州）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”

形图都是正方形结构，同一行的是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需

要不同的视力表.

【主题】探究视力表中视力值与对应的“三”形图边长的关系.

素材1国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值小测得对应行的

形图边长6（mm）,在平面直角坐标系中描点如图①.

探究1检测距离为5米时，归纳〃与人的关系式,并求视力值L2所对应行的“E”形图边

长.

令5二::E

图②

检消即声5米

图D

第12题图

素材2图②为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“『”形图所成的角叫做

分辨视角夕视力值〃与分辨视角。（分）的对应关系近似满足（0.5W6W10）.

探究2当附＞1.0时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角。的范围.

素材3如图③，当。确定时，在A处用边长为。1的/号“E”测得的视力与在3处用边长

为岳的〃号测得的视力相同.

探究3若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“巨”形图边长.

第11页共22页

五、图形与坐标

13.（北师八上做一做改编）综合与实践

【主题】坐标与示意图

【素材】如图①是某校的平面示意图.

第13题图①

【实践操作】

步骤1：如图②，根据示意图中的位置，将部分建筑放入合适的网格中，

步骤2：以正东为x轴正方向，正北为y轴正方向建立平面直角坐标系后，得到部分信息如下:

①初中楼的坐标是（一4,2）；

②实验楼的坐标是（一4,0）.

北

4东

【实践探索】

（1）在图②中补全平面直角坐标系，并直接写出“操场”和“图书馆”位置的坐标;

（2）已知“校门”和“宿舍”位置的坐标分别为（1,-3）,（—3,4）.

第12页共22页

①请在图②中表示出来，并标明文字；

②该校平面示意图的比例尺为1：50（1个单位长度表示50米），求出“高中楼”与“宿舍”

的实际距离.

六、统计与概率

14.【主题】了解学生对球类项目的选择情况

七年级阳光体育锻炼活动项目选择情况的调查报告

修校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目：A（羽毛球），

B（乒乓球），C（篮球），。（排球），E（足球），要求每位学生必须参加，且

调查背景

只能选择其中一个项目.为了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级全

体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查.

调查方式抽样调查

阳光体育锻炼活动项目选择情况的调查问卷

在下面五个球类项目中，你选择的是（）（单选）

A.羽毛球B.乒乓球C.篮球D.排球E.足球

|为保证调查数据的全面性，应选择的样本选取方式为.

A.随机抽取七年级60名女生

样本选取B.随机抽取七年级60名男生

C.随机抽取七年级60名学生

D.随机抽取七年级30名男生，30名女生

数据^

收集、学校用合理的方式抽取了60名学生，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析,

整理与部分信息如下：

描述

第13页共22页

缶项目选捧人依条形统计图各项目选授人H原形统计图

a人《/人

HCD£项口

第14题图

调查结论…

根据以上信息，解决下列问题

（1）图表中样本选取方式为（填字母）；

（2）将图①中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）；

（3）图②中项目E对应的圆心角的度数为°；

（4）根据抽样调查结果，请估计本校七年级800名学生中选择项目3（乒乓球）的人数.

第14页共22页

一'数与式

1.解：(I)，.•从A点到3点必须向北走，或向东走，

•••到达A点以外的任意交点的路线数量只能是与其相邻的南边交点和西边交点的数字之和,

•••补全从A点到达其余各交点的路线数如解图①，

...从A点出发到B点共有35条路线；

第1题解图①

(2)7从A点出发到B点，且不经过点C,

・••可删除与C点紧相连的网格线，

如解图②，依次写出到达A点以外的任意交点的路线数量，

.•.从A点出发到3点，且不经过点C,此时共有17条路线.

第1题解图②

2.解：(1)15；

【解法提示】任取两组数据，由题图可知4+9+2=8+5+2=15.

(2)7(-6-3+0+3+6+9+12+15+18)4-3=18,

在三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于18,

根据幻方的特点可知，从小到大的排列的9个数中，居于中间位置的数填在幻方的正中心的格

子中，且这列数中最大的数与最小的数必在一起,

构成的三阶幻方如解图①(答案不唯一)；

第2题解图①

第15页共22页

(3)将一7、—6^—5、一4、一3、一2分别填入圆圈中，具体如下：

如解图②，将一2、一3、一4填入三角形的三个顶点处；一2与一3之间填一7,—2与一4之

间填一6,13与一4之间填一5,

则三角形的每条边上的三个数的和都相等，且和最大，

止匕时，一2—3—7=—2-4-6=—3-4-5=—12,

.•.S的最大值为一12.

QQ~3

第2题解图②

二、方程(组)与不等式(组)

3.解：(1)①8x+10；16x-10；

【解法提示】根据题意可得：记录1中的一次性纸杯的总质量为8x+10；记录2中的一次性

纸杯的总质量为16x—10.

②由题意得8x+10=16x—10,

解得x=2.5,

.8%+104%+5c

..------=-----=3,

105

答：一个乒乓球的质量为2.5克，一个一次性纸杯的质量为3克；

(2)10,5【解法提示】设一次性纸杯个数为跖则乒乓球个数为2a,由题意得2.5X(2a)=3a

+10,解得a=5,2a=10....将天平左边放置10个乒乓球，天平右边放置5个一次性纸杯和1

个10克的祛码，使得天平平衡.

4.解：⑴令"后=0.01%,

得空空=0.01%,解得w=9.5,

0.5+w

检验：当w=9.5时，0.5+w=10W0,符合题意,

••.w=9.5是原分式方程的根,

答：如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%,需要9.5kg清水;

(2)易知每次使用清水2kg,第一次漂洗之后洗衣液浓度为d第一次后笠妥=0.04%,

05%=008%，

第二次漂洗之后洗衣液浓度为d第二次后=05+2°-

第16页共22页

VO.008%<0.01%,

・••把4kg清水均分，进行两次漂洗，是可以达到洗衣目标的；

⑶从节约用水角度对这两种洗衣用水策略的想法：对于只经过一次漂洗需要9.5kg清水能达

标的方法，虽然操作相对简单，但用水量较大.而将4kg水分两次漂洗也能达标的策略，在节

约用水方面表现更优.我们更注重节约用水，应优先选择分两次漂洗的策略.因为它在达到洗衣

目标的前提下，减少了总用水量(答案不唯一，合理即可).

三'函数

5.解：(1)观察题图②可得，口与L之间为一次函数关系，

设函数关系式为F=aL+b(a^O),

将(22,0),(24,L0)两点代入尸=aL+6中,

(22a+b-0

得，解得2，

(24a+b=1(b=—11

与L之间的函数关系式为F=|L-11；

⑵观察表格可得，当弹簧伸长1cm时，弹力增加0.5N,

.•・A£=lcm时，尸拉=尸弹=0.5N,

・,•弹簧的劲度系数上=5=0.5N/cm；

AL

⑶).

【解法提示】•••物块”的质量大于物块N的质量(质量越大，悬挂时对弹簧的拉力越大，弹簧

对外界的弹力也越大)，...R巾＞f乙.观察题图③可知，弹簧甲的伸长量小于弹簧乙的伸长量，

即甲乙..•.由⑵中公式左=£,得左甲〉左乙.

6.解：(1)一■次，y=-0.5x+66；

【解法提示】根据表中数据，单位面积试验田种植株数每增加10株，单株的平均产量减少5

粒，是x的一次函数；设y与x的函数关系式为丁=履+伙晨6为常数，且左W0).将x=30,

y=51和x=40,y=46分别代入厂质+0,得产人十匕吗解得e一―与工的函

(40fc+h=463=66

数关系式为y=-0.5%+66(30W%W80).

(2)设单位面积试验田中大豆的总产量为W粒，则W=xy=x(-0.5X+66)=-|(X-66)2+2178,

-1

V-i<0,30W尤W80,

2

.•.当x=66时，W的值最大,

第17页共22页

...单位面积试验田中种植66株大豆时，可使单位面积试验田中大豆的总产量最大.

7.解：(1)根据题意，得机=0,y=0,

将机=0,y=0,mo=lO,般=50代入(加+m)/=M(a+y),得10/=50a,

••l=5a；

(2)根据题意，得机=1000,y=50,将机=1000,y=50,mo=lO,胫=50代入(加()+阳)/="(。

+y)，

得(10+1000)/=50(a+50),

••.101/=5。+250；

(3)联立(1),(2)中的两个方程，

得｛1012=5a+250，解得｛;=*

(4)把/=2.5,。=0.5,mo=lO,M=50,代入(mo+m)/=M(a+y),得2.5(10+加)=50(0.5+

y),化简，得产全

关于m的函数解析式为尸弟

(5)由(4)知丁=会将m=100代入y=会得y=5,

将m=200代入尸会得y=10,

710-5=5,

・..从零刻度线开始，每隔100克重量在秤杆上找到对应刻度线，相邻两刻度线的距离为5厘米.

图形的变化

8.解：(1)在平移过程中，重叠部分的形状分别为三角形，梯形，五边形，菱形；

(2)四边形ABCD是菱形.理由如下：

如解图，分别过点3,。作3ELCD于点E,DfUCB于点F

ZBEC=ZDFC=9Q°

•••两张纸条等宽，

：.BE=DF=6.

在ABCE和中，ZBCE=ZDCF=45°,

；.△BCE和^DCF都为等腰直角三角形，

：.BC=DC=62+62=6或，

•••两张纸条都是矩形,

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：.AB//CD,BC//AD.

・••四边形ABCD是平行四边形,

又,：BC=DC,

•••四边形A3CD是菱形.

CC

第8题解图

9.解：⑴2；

【解法提示】如解图，由折叠和题意可知，GH=AE+FB,：四边形ERNM是正方

形，：.EM=EF,即AG=EF,：.GH+AG=AE+FB+EF,即AH=AB,'：AH=DH,;,^.=ah+dh

ABAB

=2,.,.空的值为2.

第9题解图

⑵C.

【解法提示】根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应

面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，...C选项符合题意.

10.解：(1)两点之间线段最短；

(2)剪开后，AB=2cm,

1

5。=万*8兀=4兀(cm),

AC=JAB2+BC2=J22+(4TI)2=V4+16n2=2V1+4n2(cm),

・・・最短路线AC的长为

2V1+4TC2cm；

(3)V圆锥的底面周长为2兀X2=4兀(cm),

设侧面展开图的圆心角度数为，

・7171X8

=4A兀，

180

第19页共22页

解得n=90,

，如解图，该圆锥的侧面展开图是圆心角为90°的扇形,

线段PP的长为蚂蚁爬行的最短距离，

.•.在RtAMOM'^,

MM'=JoM2+OM'2=j82+82=8V2(cm),

,••点产为0M中点，

.，.。?是40MM的中位线，

：.PP'=^MM'=4y/2cm,

.•.蚂蚁爬行的最短距离为4鱼cm.

第10题解图

11.解：(1)补全尺规作图如解图①所示