2025年中考数学二轮压轴题训练：四边形综合（含解析）

2025年中考数学二轮压轴题训练：四边形综合

1.如图，点。为正方形ABCD内一点，连接。O交线段于点E,过点。的直线与线段AD、BC分

别交于点尸、H.

AFDAFDAD

1匚

BH°BHCBC

图1图2备用图

(1)如图1,若DE=HF.

①求证：DEYHF；

②求证：EF+DH>y[2DE\

⑵如图2,若FH所在直线绕点0顺时针旋转使得ZFOD=45°,正方形的边长AB=3,FH=J10,

求DE的长.

2.综合与探究

如图1,在边长为12的正方形ABCD中,E是正方形内一点,连接DE,将DE绕点D顺时针旋转90°,

得到。尸，连接AE,CF.

BCBGCBGC

ADADAD

图1图2备用图

⑴求证：AE=CF.

(2)若点G是BC的中点，连接GE,且GE=26.

①如图2,当A、E、G三点共线时，连接GF,求线段G尸的长；

②连接£F,在E运动的过程中，当。E最小时，直接写出四边形AEFD的面积.

3.问题发现

（1）小明在解决问题“如图（1）,VABC中，ZB=2NC,E为2C的中点，AD工于点Z）.求证：

AB=2OE.”时，由E为BC的中点联想到构造三角形的中位线.如图（2）,取AC的中点R连接

EF,DF,则族是VABC的中位线，HEF//ABS.EF^-AB,从而可得AB=2EF.要证=

2

只需证DE=EF即可.请你帮助小明完成证明过程.

图⑴图⑵

深入探究

（2）如图（3）,VABC中，AB=2,AC=3,E为的中点，AD平分NBAC,W_LAD交AD的

延长线于点凡求EF的长.

拓展应用

（3）如图（4）,VABC中，ZACB=9Q°,AC=3C=4,将AC绕点A逆时针旋转a（0。<a<360。）

得到AC,连接3C',E为3c的中点，连接CE,请直接写出CE长度的取值范围.

4.综合与实践课上，老师让同学们结合“全等与相似”开展数学活动.

【初步探究】

(1)如图1,在正方形ABCD中，点E,尸分别在线段AB,BC上，且3E=CF,则CE与D歹的位

置关系是，数量关系是;

【知识迁移】

(2)如图2,在矩形ABCD中，BC=2CD,点、E,尸分别为直线A3,3C上的动点，且BE=2CF,

连接CE,DF.探究CE与。尸存在的数量关系并说明理由；

【深入研究】

(3)如图3在(2)的条件下，若点E,歹分别在边A3,BC的延长线上，EC的延长线与。厂交于

点H.点G为E”上的点，且HG=2HD,请用等式表示线段BG与HC的数量关系，并说明理由.

5.如图，点。在菱形ABCD的对角线3D上，。。与边2C相切，切点为点E,点尸在边54的延长

线上，且=将射线网绕着点尸逆时针旋转一个角度以aV/BPD)后与边相＞,直线2C分别

交于F,G两点.

图2

(1)当打=/3P。时，NBFG等于.

(2)若尸G与。。相切于点连接。尸,如图2.

①求证:0P平分NBPG；

②求证:E,M,。三点共线.

6.(1)如图1,正方形ABCD与正方形ECGb，点。在EC边上，连接BE、DG,同学们通过观察

可以得到如下解决办法：EC=GC,NECB=NGCD,CB=CD,证得“△EC3之△GCD”.探究得

出GD与BE的位置关系；

(2)如图2,正方形ECG尸绕着点C顺时针旋转，当BE经过点。时，NCDG的度数是°；

(3)正方形ECG尸继续旋转到如图3的位置，8E与OG相交于点连接MC.求证：

y/2MC+ME=MG.

7.综合与探究

问题情境

在“数学活动”课上，老师提出如下问题：将图1中两个全等的直角三角形纸板VA3C和重合放

置，其中=—ED3=90。，AC=£D=4,BC=BD=3.将△ED3绕点8顺时针旋转，旋转角为

»(0°<«<360°).如图2,当V瓦比的直角顶点。刚好落在边AB上时，ED的延长线交AC于点产，

试判断。尸与FC的数量关系，并说明理由.

数学思考

(1)请你解答老师提出的问题.

深入探究

(2)老师将△ED3继续绕点B顺时针旋转到图3位置，作射线C。交AE于点N.此时“善思小组”

的同学认为点N是AE的中点.请判断“善思小组”的观点是否正确，并说明理由.

(3)在△ED3绕点B顺时针旋转的过程中，连接AD,AE,是否存在某一时刻，使得VADE是一个

以AE为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出此时AD的长；若不存在，请说明理由.

8.如图1,在四边形ABCD中，E是的中点，AEA.BD,垂足为P,ZCBD=90°,AB//CF.

⑴求证：AD=CF；

⑵如图2,〃为AB的中点，MF交CD于氤N,若AM=ND,求大的值;

FN

⑶在(2)的条件下，连接Affi,若EN=3,求ME的值.

9.如图①，在矩形ABCD中，AD=~AB,E为对角线AC上一点，以AE为边向AE上方作正方形

AEFG,EF交AD于点H,过点E作于点P.延长EP交G尸于点Q.

M

⑵求"的值.

(3)如图②，延长AG到点M,使得MG=gAG,连接MP,猜想A"与MP的数量关系，并说明理由.

10.【中考新考法】综合与探究

【问题情境】“综合与实践”课上，老师让同学们准备了菱形纸片ABCO,并提出如下问题：将图1中

的菱形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为VABC和ACDE,将ACDE绕点C按

顺时针方向旋转，当N4CE=/54C时，延长DE交54的延长线于下，如图2,试判断四边形ACEF

的形状，并说明理由.

【数学思考】（1）请你解答老师提出的问题.

【深入探究】（2）在完成老师提出的问题后，同学们进行了进一步的探究：

①“善思小组”在准备的菱形纸片中，将ACDE绕点C按逆时针方向旋转，如图3,当点E落在边上

时，B,E,A,。四点共线，ZACB=2/BCE.若EC=2,请求出54的长度.

②“智慧小组”准备的菱形纸片的对角线EC=12,3。=16,他们也将ACDE绕点C按逆时针方向旋转,

其点。的对应点为。夕，并过点M作。交直线于点当EC〃Afi时，请直接写出DM

的长度.

D

图1图2图3备用图

11.综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动.

在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AE/G,其中点E,F

分别是点8,C的对应点.

(2)如图2,当点E恰好落在边上，连接3G交AE于点0,连接3E,

①DE的长度为.

②求证：OG=OB,

⑶若直线EB,0G交于点4,当BE=8时，请直接写出由/的长.

12.探究发现

(1)如图1,在正方形ABCD中，点尸，。分别在边AD,0c上，连接AQ,8尸.若A。，8尸若

则线段8P和AQ的数量关系是二线段AP和DQ的数量关系是一.

类比延伸

(2)如图2,在正方形A3C£＞中，点尸是AD边上的一个动点，连接5P,作3P的垂直平分线分别

交AB,CD于点E,F,过点尸作尸(9,交CD于点。，猜想线段AE,DQ,CF的数量关系，并

证明.

拓展应用

(3)在(2)的条件下，若设AP的长为x,。。的长为%°,CT的长为汽-测量数据后画出的函

数图象如图3所示，其中点M是图象力。的最高点.

①直接写出正方形ABCD的边长；

②在点尸的运动过程中，当=B时，直接写出线段跖的长.

图1图2图3

13.【问题提出】

⑴如图①，已知点A是直线/外一点，点B,C均在直线/上，于点。且AO=4,N3AC=45。.求

BC的最小值；

【问题探究】

(2)如图②，在四边形ABCD中，乙4=45。,48=/。=9。。,8=。=2,点E,尸分别为AB,AD上

的点，且CELCF,求四边形AECF面积的最大值；

【问题解决】

(3)如图③，某园林对一块矩形花圃458进行区域划分，点K为BC的中点，点M,N分别为AB,DC

上的点，且NMKN=120。,MK,KN将花圃分为三个区域.已知A3=7m,BC=12m,现计划在'A公

和中种植甲花，在其余区域种植乙花，试求种植乙花面积的最大值.

图①图③

14.综合与探究

在数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题展开探究.如图1,在矩形A3CD中，AB=8,BC=10,

点E,歹分别是AB,AO边上的点，连接防，将矩形沿历折叠，点A的对应点为A.

【初步探究】

(1)如图2,若点E与点8重合，点A，恰好落在BC边上，求证：四边形是正方形.

【深入探究】

(2)如图3,若点E是AB的中点，改变点尸的位置，延长E4'交3C于点猜想A及与的数

量关系，并说明理由.

(3)如图4,若点尸是AD的中点，改变点E的位置，在折叠的过程中，若以A',D,C为顶点的三

角形是等腰三角形,直接写出线段AE的长.

图2

15.数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个

纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和中，

NACB=/BDE=90°,BC=BD=6,AC=DE=8,旋转角为a(0°<«<360°).

图1图2备用图

【初步感知】

(1)如图1,将三角形纸片BDE绕点8旋转，连接AE,CD,求而的值；

【深入探究】

(2)如图2,在三角形纸片BDE绕点8旋转过程中，当点。恰好落在AABC的中线C尸的延长线上

时，延长即交AC于点G,求AG的长；

【拓展延伸】

(3)在三角形纸片瓦组绕点8旋转过程中，试探究A,D,E三点，能否构成以AE为直角边的直角

三角形.若能，求线段AD的长度；若不能，请说明理由.

16.在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动.

图①图②图③

【操作判断】

操作一：如图①，对折正方形纸片A3a>,得到折痕AC,把纸片展平；

操作二：如图②，在边AO上选一点E,沿3E折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕助；

操作三：如图③，在边8上选一点歹，沿所折叠，使边与边54重合，得到折痕即把正方形纸

片展平，得图④，折痕BE刀/与AC的交点分别为G,H.根据以上操作，得NEBF=_.

【探究证明】

(1)如图⑤，连接G尸，试判断△物G的形状并证明.

(2)如图⑥，连接跖，过点G作CD的垂线，分别交AB,C£>,£F于点P,Q,V.求证：EM=MF.

【深入研究】若EM=2,直接写出GH的值.

17.某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，进行了深入研究.

A

ADAD

(1)如图1,在VA3C中，。为48上一点，ZACD^ZB.求证：AC2=ADAB.

【拓展探究】

(2)如图2,在菱形ABCD中，E,尸分别为BC,DC上的点，S.ZEAF=^ZBAD,射线AE交DC的

延长线于点射线AF交的延长线于点N.若AF=2,CF=1.求CW的长；

【学以致用】

(3)如图3,在菱形ABCD中，AB=6,ZB=60°,以点2为圆心作半径为3的圆，其中点尸是圆

上的动点，请直接写出PD+；PC的最小值.

18.如图1,在正方形ABCD中，点M,N分别是AB,上的点，MN//BC,点E是BC上一点,

将AABE沿AE折叠，使点8落在N上的点F处.

图2

⑴若NE钻=60。，证明：点M是AB上的中点.

(2)如图2,延长所与AO的延长线交于点G,EG交CD于点、H,延长A尸交C。于点P.

①求证：AFHP=APHF；

②当点E是8C的中点时，探究PN与ON的数量关系，并证明.

19.在正方形ABCO中，点E是BC上一动点(不与点2,C重合)，连接AE,将AE绕点E在平面

内按顺时针方向旋转90。至砂位置，连接AF,交CD于点G.

(1)如图1,当点G为CO的中点时，若正方形的边长为4,求8E的长.

(2)如图2,过点E作石尸,诙于点P,其延长线交于点Q.

①连接DP,求证：DP平分/yWC；

②当整=”时，求坐的值.

DCJPE

《2025年中考数学二轮压轴题训练：四边形综合》参考答案

1.(1)①见解析；②见解析；

⑵述.

2

【分析】⑴①作证明R3R4E丝RtA〃G尸(HL),进而推出ZFOD=90。，即可得证；②

平移线段FH,使得F与E重合，H与H重合,得到四边形EH'HF为平行四边形,进而得到EF=H'H,

连接DH',易得为等腰直角三角形，得到。〃，=忘£)£，连接HH',D”，根据三角形的三

边关系即可得证；

(2)平移线段9至得至4FH〃DM,FH=DM,进而推出一£DA/=NFOD=45。，将“ZDC

绕点。顺时针旋转90。得AAmA,得到再证明AMDE丝AMDE(SAS),得到

ME=ME,设4石=无，在RSEBM中，勾股定理求出x的值，再利用勾股定理求出DE的长即可.

【详解】(1)①证明：如图，作HGJ_AD.

:正方形ABC。，

AAB=BC=CD=DA,ZA=ZB=ZC=ZCDA=90°,

四边形GHCD为矩形，

:.HG=CD,

：.HG=DA,

又：DE=FH,

：.在RUZME与RtAHGF中,

jDA=HG

[DE=HF'

RtAZME^RtA//GF(HL)

，NDEA=NDFO；

又；ZDEA+ZEDA=9O°,

：.ZDFO+ZEDA=90°,

：.ZFOD=90°,

，DE±HF；

②证明：平移线段加，使得歹与E重合，H与印重合,

由平移的性质，FH〃EH'且FH=EH',

，四边形EHHF为平行四边形，

EF=H'H,

连接DH',

由①知，DE=HF,DEVHF,

DE=EH',DE±EH',

为等腰直角三角形，

DH'=42DE，

连接印r,DH,

在△1汨H中,由三角形的三边关系，得：

DH+HH'>DH',

EF+DH>亚DE;

当。、H、攵三点共线时，EF+DH=6DE，

EF+DH>y/2DE;

(2)证明：平移线段加至DM,

AFH//DM,FH=DM,

：./EDM=ZFOD=45°,

'：ZADC=90°,

：.ZADE+ZMDC=45°

将AMDC绕点。顺时针旋转90°得^M'DA，

AMDC^M'DA,

AZMDC=ZM'DA,MD=MT）,ZM'AD=ZC^90°,

：.ZADE+ZM'DA=45°,M、A、E三点共线，

在△/£>£与△MOE中，

'MD=MD

<NMDE=NMDE,

DE=DE

：.△MDE^AA/DE（SAS）,

M'E=ME,

VAB=CD=?>,FH=DM=M,

MC=-JDM2-CD2=V10-9=1>

，BM=2,

设AE=x,贝1|加片=〃£=1+%,

BE=3—九，

在RGEW中，

（3-尤）2+2?=（1+X）2,

3

解得，x=2

【点睛】本题考查正方形的性质，平移的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定

理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和全等三角形，是解

题的关键.

2.(1)见解析

(2)①2屈，②88.

【分析】(1)根据正方形的性质及旋转的性质，利用SAS可证明VADE丝VCDF即可证明结论；

(2)①由(1)可知VADE史CDF,则/E4£>=/FCD,结合正方形的性质及勾股定理得

AE=CF=AG-GE=q1方+6-2小=4小，过点尸作延长线于X，可证△&4G^A//CF,

利用相似三角形的性质可得C4=8,FH=4,再利用勾股定理求解即可；②如图：连接GO,求得

GD=675,由三角形三边关系可知。E2GO-GE=4«,当点E在G£>上时取等号，即：当DE最

小时，DE=DF=4A/5,进而可得ADEF的面积，过点E作EM_L8,则EN〃3c得ADEM^ADGC,

进而求得DM=8,可得VADE的面积，进而求得AEFD即可.

【详解】(1)证明：在正方形ABCD中，AD=CD,ZADC=90。，

由旋转可知，DE=DF,ZEDF=90°,

：.ZADE+ZCDE=ZCDE+ZCDF,

：.ZADE=ZCDF,

：.AADE^ACDF(SAS),

AE=CF.

(2)解：①由(1)可知，AADE^ACDF(SAS),则/E4D=/FCZ),

在正方形ABC。中，AB=BC=CD=AD=12,ZB=ZBAD=90°,贝!|ZS4G+ZEW=90。，

:点G是BC的中点，

,,BG=CG=6,则AG=VAB2+BG2=V122+62=&J5，

AE=CF=AG-GE=4y/5,

如图：过点/作HF_LBC延长线于X,则/户CD+NFCH=90。，

/.ABAG^/\HCF,

.AGABBGm645126

••==,BJ,

CFCHFH475CHFH

；.CH=8,FH=4,

：.GH=CG+CH^6+8=14,

GF=>]GH2+FH2=2A/53；

②如图：连接GD,则GD=JCG?+CD。=66，

由三角形三边关系可知，DE>GD-GE=4s/5,

当点E在GD上时取等号，即：当。E最小时，DE=DF=4#,

：.S*DEF=；DE.DF=gx4乖X4#=4Q,

如图：过点E作EMLCD,则硒〃3C,

ADEMs^DGC，

.DMDE„„DM475

••=~，

DCDG1266

DM=8,

••-5皿=口》。河=卜2乂8=48,

四边形AEFD的面积为ShADE+%跖=40+48=88.

【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理等知识点，

正确添加辅助线、构造相似三角形是解题的关键.

3.(1)见解析；(2)J；(3)2^2-2<CE<242+2

【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质以及三角形中位线定理，三角形三边关系，勾股

定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

(1)取AC的中点尸，连接EF,DF,则所是VA3C的中位线，推出EF〃AB且石尸=；,再由

直角三角形斜边中线的性质求得正=CF,进而得到/皮汨=NEED,据此求解即可；

(2)延长交于点H,证明/丝AC4尸(ASA),推出A4=AC=3,班'=FC,再由三角形

中位线定理求解即可；

(3)取的中点尸，连接CF,EF,由直角三角形斜边中线的性质以及三角形中位线定理结合三

角形三边关系即可求解.

【详解】(1)证明：如图(2),取AC的中点/，连接ERD尸，

,•*E是BC的中点，

/.EF是7ABe的中位线，

/.跖“至且所;工人台，

2

/.AB=2EF,ZFEC=ZB,

ZB=2ZC,

，NFEC=2NC,

VAD1BC,尸为AC的中点,

・•・NEDF=/C,

'：NFEC=/EDF+/EFD=2/C,

：.ZEDF=ZEFD,

:.DE=EF,

AB=2EF,

:.AB=2DE；

(2)如图，延长。尸交于点”，

A

/\vAFICF,AD平分/B4C,

/

H------------------------—

F

ZHAF=ZCAF,ZAFH=ZAFC=90",又AF=AF,

.•△Hwaaw(ASA),

：.AH=AC=3,HF=FC,

■.■AB=2,

；.BH=AH-AB=1，

：E为BC的中点，HF=FC,

:.EF=-BH=~-

22

(3)2yf2-2<CE<2y/2+2,

如图(3),由题意知点C'在以A为圆心，AC为半径的圆上运动,取A8的中点连接CF,EF,

，一/一一、、

✓Z、、

/Z、\

//XX

//\\

//\\

1/1\

14\•

1ZACB=90°,AC=BC=4,

CB

AB=40，

:.CF=-AB=2>/2,

2

由旋转的性质可得AC=AC=4.

E为BC'的中点，尸为AB的中点，

:.EF=-AC'=2,

2

CF-EF<CE<CF+EF,

2A/2-2<CE<2A/2+2，

当E在CP上时，CE最小，为2&-2;当E在CF的延长线上时，CE最大,为2&+2,

272-2<CE<272+2.

4.(1)CE±DF,CE=DF；(2)CE=2DF；(3)BG=-^CH,理由见解析

【分析】(1)设DECE交于T,证明ACBE/ADCF(SAS),得到CE=DR/BCE=/CDF,再

导角证明ZCTD=90°即可得到答案；

(2)证明MBESADCF，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可；

(3)过点B作创1_LCE于M,证明ACBESADCF,得到Z.BCE=NCDF,导角证明ZCHD=90°,

则可证明△。/。/△即(，推出，CM=2HD,=则可证明MG=CH,由勾股定理得

BG=JMG2+BM?=辰H-

【详解】(1)解：设OFCE交于T,

•/四边形ABC。是正方形，

ACD=BC,NCBE=NDCF=90。,

又：BE=CF,

：.ACBE/ADCF(SAS),

ACE=DF,NBCE=/CDF,

•/ZBCE+ZDCE=90°,

：.NCDF+NDCE=90。,

：.ZCTD=90°,

CE±DF；

CD

L

BEA

(2)解：CE=2DF,证明如下:

:四边形ABCD是矩形，

NCBE=NDCF=90°,

,:BC=2CD,BE=2CF,

.BCBE

>•——z,

CDCF

：.ACBEsADCF,

CEBF

-=2,^CE=2DF；

DFCF

(3)解:BG=辰口,理由如下;

如图所示,过点8作3MLCE于

：.ZBCD=ZCBA=90°,

：.ZCBE=ZDCF=180°-90°=90°,

BC=2CD,BE=2CF,

BCBEc

而，二2,

△CBEsADCF,

/BCE=/CDF,

ZBCE+ZHCD=180。—ZBCD=90°,

ZHCD+ZHDC=90。,

NCHD=90。，

/CHD=/BMC=90。,

△CHDsABMC,

CMBMBC2

HD~~CH~CD~'

CM=2HD,BM=2CH

■:GH=2DH,

GH=CM,

：.MG=CH,

在RaBMG中，由勾股定理得BG=JMG?+BM?=辰H.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形得性质，正方形的性质，全等三

角形的性质与判定等待，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键.

5.(1)90°

⑵①见解析；②见解析

【分析】⑴由菱形的性质可得：AB=AD,AD//BC,3。平分/ABC,根据尸A=AB得到AD=,

推出=由可得NADP=N3GP,推出=结合3D平分,ABC,

可得/BDG=90。，即可求解；

(2)①点。作于点连接OE、OM,由与。。相切于点M和。。与边3c相切，切

点为点E,可推出OM=OE,OMLPG,OEYBC,根据3。平分/ABC,可得OH=OE,推出

O"=OAf,即可证明；②连接并延长交直线A。于点力,由①得：3P为。。的切线，结合PG,

3G均为的切线，可得GE=GM,BE=BH,PM=PH,设BG=a,PB=b,PG=c,GE=GM=x,

x+y=a

BE=BH=y,PM=PH=Z,贝lby+z=b,得到工=空|於，即GE=GM=a+7,根据菱形的

z+x=c

性质和题意可得：AF为△PBG的中位线，kZGEM=ZD',得到人尸=色，FG=~,推出

22

FM=FG-MG=一,根据等腰三角形的额判定与性质可推出A。=g=AO,得到。与点M重合，

即可证明.

【详解】(1)解：当c=时，点尸与点。重合，如图，

AB=AD,AD//BC,3Z）平分/ABC,

PA^AB,

AD=PA,

ZAPD=ZADP,

•・,AD//BC,

，ZADP=ZBGP,

丁./BPG=NBGP,

:.BP=BG,

•・•3。平分N7RC,

•.BD上PG,即ZBDG=90,

NBFG=90。,

故答案为:90°；

(2)①如图，过点。作OH,AB于点连接OE、OM,

•・•。。与边2C相切，切点为点E,

OELBC,

又:3D平分/ABC,

OH=OE,

•••PG与。。相切于点M,

OM=OE,OMLPG,

OH=OM,

又,；OH，AB,OMLPG,

OP平分NBPG；

图2

②由①得：8尸为。。的切线，

PG,3G均为的切线，

GE=GM,BE=BH,PM=PH,

设BG=a,PB=b,PG=c,GE=GM=x,BE=BH=y,PM=PH=z,

x+y=a

则＜y+z=b,

z+x=c

解得：一

连接并延长EM交直线AD的延长线于点M

AD//BC,PA=AB,

PAPF1

/.——=——=l,

ABFG

为尸G的中点,

，AF为APBG的中位线，

AF=-BG=-,FG=-PG=-,AF\\BG,

2222

:.ZGEM=ZD',

e,"-ca+c-bb-a

FM=FG-MG=--------------=------,

222

•「GE=GM,

NGEM=NGME,

・•/GME=/D'MF,

ff

ZD=ZDMFf

"MF甘

，点。与点。夕重合,

E,M,。三点共线.

图2

【点睛】本题考查了切线长定理，切线的判定与性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的判定与性

质，角平分线的判定与性质，菱形的性质，解题的关键是灵活运用相关知识正确添加辅助线.

6.(I)垂直(或GDLBE)；(2)45；(3)见解析.

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质并

结合条件作出辅助线构造合理的全等三角形是解题的关键.

(1)延长GD交BE于点打，得出NBEC=NDGC,进而利用/£>GC+/£BC=/3EC+/EBC=90。,

即可得出答案；

(2)由ZBCD+ZDCE=NGCE+ZDCE得出ZBCE=NGCD,进而证明ABCE丝△■DCG(SAS)即可求

得答案；

(3)可分别证明ABCE%DCG(SAS)以及ANCE丝AMCG(ASA),然后结合。V，MC,NC=MC,

可得MN=6MC，进一步即可得证.

【详解】解：(1)延长G。交BE于点如图：

ZBEC=NDGC,

,•・四边形ABCD和ECGF是正方形，

ZDGC+ZEBC=ZBEC+Z.EBC=90°,

；./GHB=90。,即GD_LBE；

故答案为：垂直(或GDL3E)；

(2)1■•ZBCD+Z.DCE=Z.GCE+ZDCE,

ZBCE=ZGCD,

在ABCE和△OCG中，

BC=DC

■ZBCE=ZGCD,

EC=CG

：.△BCE^AZ)CG(SAS),

ZCDG=ZCBE=45°；

故答案为:45；

(3)过C作C7VLMC,交BE于点、N,如图:

图3

由（2）知在ABCE和ADCG中，

BC=DC

-ZBCE=NGCD,

EC=CG

：.ABCE均DCG（SAS）,

ZMGC=ZNEC,

­：CN±MC,ZNCM+ZMCE=Z.GCE+ZMCE,

：.ZNCE=ZMCG,

在ANCE和AMCG中,

ZMGC=ZNEC

<CE=GC,

ZNCE=ZMCG

ANCE丝AMCG（ASA）,

NC=MC,NE=MG,

VCN±MC,NC=MC,

MN=yjNC2+MC2=-J1MC，

母MC+ME=MN+ME=NE=MG，sflMC+ME=MG.

7.（1）DF=CF,见解析；（2）正确，见解析（3）与叵或2万

13

【分析】（1）解法1连接BF,证明RtAr>BF^RtACBF（HL）即可；

解法2根据勾股定理，得钻=3£=存百=5,得至=BD=2,利用三角函数求得ORC尸

的长度，比较解答即可.

（2）过点£作EG〃AC,交CN的延长线于点G,则NG=NACN,根据旋转的性质，等腰三角形

的判定和性质，余角的性质，三角形全等的判定和性质，证明即可.

（3）当NE4D=90。，根据旋转的性质，得BA=BE,取E4的中点N,连接BN,交ED于点P,利

用等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理，三角函数的应用

解答即可；当NAED=90°,根据旋转的性质，得BA=BE,取E4的中点连接3M,交AD于点

Q,贝胡，根据矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，平

行线分线段成比例定理解答即可.

【详解】（1）解：解法1：连接班，

•?ZBDF=ZBCF=90°

E

\为，产=BO

Q\/\1BF=BF

A~FC

：.RtADBF^RtACBF(HL),

：.DF=CF.

解法2：根据题意，得AB=5£=J32+42=5,

・人BC3AC4

・・AD=AB—BDx=2,tanA==—,cosA==一,

AC4AB5

・・人DF3AD4

・tanA==—,cosA==4—,

AD4AF5

3345

・•・DF=2义_=_,AF=2+—=_,

4252

3

CF=AC-AF=-

2f

：.DF=CF.

(2)解：过点E作£G〃AC,交CN的延长线于点G,

则NG=NAQV,

,/△瓦坦继续绕点5顺时针旋转到如图位置，作射线CD交A£于点N.

；.BC=BD,ED=AC,ZEDB=ZACB=90°,

：・/BDC=/BCD,/BDC+NEDG=90。,ZBCD+ZACN=90°,

：.ZEDG=ZACN9

：.ZEDG=ZACN=ZEGD,

：.EG=ED=AC,

'/ANC=ZENG

・.・\ZACN=ZG,

CA=GE

・・・△G/VE名△OVA(AAS),

，点N是AE的中点.

(3)解：当NE4D=90。，

根据旋转的性质，得BA=BE,

取E4的中点N,连接BN,交ED于点P,

则3N_LE4,

ABN//AD,NENP=90°,

：.——=——=1,ZPEN=90°-ZEPN=90°-ZBPD=ZDBP,

NAPD

：.EP=PD=-ED=2,

2

PB=y]PD2+BD2=V13，

4npr\

：.sin/PEN=sinZDBP=——=——

EDPB

AD_2

解得AO=嘈；

13

当ZAED=90。，

根据旋转的性质，得BA=BE,

取的中点连接交A£＞于点

则BM±EA,

：.BM//DE,四边形3MED是矩形,

.AM_AQ_

}BD=ME=AM=3,

'ME~QD~

：.MQ=^ED^2,

•*-AQ=y)QM2+AM2=>/13,

AD=2AQ=2^/13,

综上所述，AD的长为红叵或2相.

13

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理的

应用，三角函数的应用，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，平行线分线段

成比例定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键.

8.(1)见解析

⑵空

FN4

⑶ME=3而

【分析】(1)证明四边形为平行四边形，AB=CF.证明AF垂直平分得至!!钻=">,

即可得到结论；

EN12

(2)证明一=—,FN=-AM,由=即可得到结论；

ND23

(3)过点M作MGLAE,垂足为G.求出GE=201,MG=；BF=A,即可求出ME的值.

【详解】(1)证明：I,AE_LBD,NCBD=90°,

:.AE//BC.

又,；ABUCF,

四边形ABb为平行四边形，

AB=CF.

E为C。的中点，

尸为5Q的中点,

•••AF垂直平分8。，

AB=AD，

/.CF=AD.

(2)解：•・・M为A5的中点，尸为5。的中点，

，MF//AD,

.ENEF

,ND~FA'

由(1)可知，AF=BC,

EF_EF_1

.・而一瓦―5'

EN_1

.丽~29

FN1…1…

=-,EN=-ND

,AD32

FN1FN_2

,AB―3'AM~3

FN=-AM

3

•;ND=AM,

.EN2ND__3

3

(3)解：如图，过点M作MGLAE,垂足为G.

：.MG//BF

.AGAM

'*GF-

AG=FG=-AF

2

由（2）可知，当EN=3时，FN=4,

AD^12,ND=6,AB=3FN=n

：.DE=EN+DN=9

:.CD=2CE=2DE=18.

设跖=x,贝i]Ab=2x,FD=>]AD2-AF2=A/122-4X2•

在Rt«E五。中，FD=y]DE2-EF2=A/92-X2-

122—4/=92-/,解得x=®,

GE=AG+EF=2AG=2EF=2^/21,MG=3BF=AB°-AF。=g,12?_（20I『=A/15,

ME=yjGE^MG2=3而­

【点睛】此考查了平行线分线段成比例定理、勾股定理、三角形中位线定理、平行四边形的性质等知

识，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键.

9.(1)证明见解析

⑵』

12

(3)①=理由见解析

【分析】本题考查了四边形与相似、三角函数结合，三角形全等的判定，熟练掌握正方形、矩形中的

角度相等证相似是解题的关键.

(1)利用直角与直角三角形的角度关系得出角度相等，再证明即可；

(2)证明即可；

(3)过点M作于点N,设AG=5x,利用相似或三角函数分别得出AN和AP,再利用线

段垂直平分线性质得出结论.

【详解】⑴解：:•在正方形AEFG中，AE=EF,ZAEH=NEFQ=90。,

：.ZAEP+ZQEF=90°,

,/EPLAD,

：.ZAEP+ZHAE=90°,

：.ZQEF=ZHAE,

；AE=EF,ZAEH=ZEFQ=90°,

：.△AEHZAEFQ；

12

(2)解：•・•矩形ABCD中，？。90?,AB=CD,AD=—ABf

.CD5

•・而F'

VZAEF=ZD=90°fZEAH=ZDAC,

:•小AEHs^ADC,

.EHCD5

**AE-AB-12?

•；AE=EF,

.EH_5

**EF-12；

(3)解：猜想：AM=MP,理由如下:

过点M作于点N,

,：MG=AG,AG^AE,

MG-x,AM=6x,AE=5x,

..CD

—,?D90?,

AD12

设CD=5y,AD=12y,

AC=yjAD2+CD2=13y，

VZCAE=90°,?D90?,ZAPE=90°,

ZCAP=ZCAE-ZEAP^900-ZEAP=ZAEP=ZACD,

..12APAP..5ANAN

,・sinZAEP=sinZACD=—==,cos/.CAPn=cosZACD=—=-----=-----,

13AE5x13AM6x

60x,.30x

AP=——,ANA7=——

1313

AN=-AP,

2

'：MN±AP,

：.AM=MP.

10.(1)四边形ACE〃是菱形，理由见解析；(2)①84=1+上；②17.6或1.6

【分析】(1)由题意得AR〃CE,再由菱形的性质得到AC〃。厂，则先证明四边形ACEF为平行

四边形，由菱形得到邻边相等，即可证明为菱形；

Ar1AF?m-2

(2)①导角证明AAECSAACB,则一土=—,设=根，而EC=AC=2,则一=——，解方程

ABACm2

即可；

②可得AC13D,OA=-AC=6,OB=OD=-DB=8,贝|钻=10,设A3边上的高为〃，由面积法

22

求得〃=9.6,当时，而菱形ABCD中，8〃AB,故点E,2C共线，而9，EC//AB,

则DM，EC,即。'KLEC,由旋转得，DO=D'K=8,再分两种情况讨论即可求解.

【详解】(1)解：四边形AC跖为菱形，理由：

•?ZACE=ZBAC,

・•・AF//CE,

・・•四边形ABC。是菱形，

：・/BAC=/DEC,

：.ZDEC=ZACE,

：.AC//DF,

・・・四边形ACEb为平行四边形

由旋转的性质可知AC=CE,

・•・平行四边形ACE尸为菱形；

(2)①解：由题意得可得，CA=CE,

・•・ZEAC=ZAEC,

^：ZEAC=ZAEC=x,

「菱形ABC。，

:.BA=BC

・••在VABC中，ZACB=ZBAC=x,

AZB=180°-2x,

・・・/AEC是的外角，

・・・ZECB=x-(180°-2x)=3x-180°,

,:ZACB=2ZBCE,

x=2(3x-180°),

解得：x=72。