2025年中考数学三轮复习之锐角三角函数

2025年中考数学三轮复习之锐角三角函数

选择题（共10小题）

1.（2025•乌鲁木齐一模）第14届国际数学教育大会（JCME-14）会标如图Q）所示，会标中心的图案

来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图S所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△A2E,

△BCF,ACDG,ADAH）和一个小正方形ER3X拼成的大正方形ABCD若EF：AH=1：3,则cos

ZABE（）

D

其.「暗,

B

（a）（b）

V52V534

A.—B.-----C.一D.-

5555

2.（2025•常州模拟）在RtZkABC中,2c=90°,2c=5,BC=12,则tanB等于（）

512125

A.—B.—C.—D.—

1351312

3.（2025•红桥区模拟）如图，在中，ZBAC=90°,AD±BC,垂足为。，则下列结论中正确的

是（）

A

BDC

A.sinB=器B.cosB=黑C.tanC=ABrr_AD

~BCD，tanC~~CD

4.（2025•广东模拟）如图，在A处测得点尸在北偏东60°方向上，在B处测得点尸在北偏东30°方向

上，若AB=2米，则点尸到直线AB距离PC为（）

ARC示T

A.3米B.V5米C.2米D.1米

5.（2025•平陆县模拟）如图，在正方形网格中，A,B,C,。为格点（网格线的交点），交CD于点。,

则tan/AOC的值为)

6.（2025•深圳模拟）一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，54与CA的夹角为*现

要在楼梯上铺一条地毯，已知C4=4米，楼梯宽度3米，则地毯的面积至少需要（）

B.(4+4tan0)米2

C3(4+熹)米2D.3(4+4tan0)米2

7.（2025•沈阳模拟）如图，在离地面高度为1.5米的A处放风筝，风筝线AC长8米，用测倾仪测得风筝

线与水平面的夹角为9,则风筝线一端的高度。为（）

A.(1.5+8sin0)米B.(1.5+8COS0)米

D

C.(1.5+8tan0)米-(I“焉米

8.（2025•南通模拟）图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈180°,图2是其侧面示意图.为

实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器，可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄。沿着移动,

以保证太阳光线与。F始终垂直，已知支架A8长为2.5米，且垂直于地面BC,某一时刻测得1.7

米，悬托架AE=DE,点E固定在伞面上，当伞面完全张开时，太阳光线与地面的夹角设为a,当tcma=五

时，此时悬托架AE的长度为（）米.

图1

A.0.5B.0.6

9.（2025•深圳模拟）某数学兴趣小组用无人机测量园博园“福塔”AB的高度，测量方案如图：先将无人

机垂直上升至距水平地面142机的P点，测得“福塔”顶端A的俯角为37°,再将无人机面向“福塔”

沿水平方向飞行210机到达。点，测得“福塔”顶端A的俯角为45。，则“福塔”的高度约为（）

QQA

（参考数据：tan37°为，sm37°cos37°«1）

A.48mB.50mC.51mD.52m

10.（2025•登封市一模）如图所示，在矩形网格中，每个小正方形的边长为1,△ABC的三个顶点都在格

V5V2

c.—D.—

54

二.填空题（共5小题）

11.（2025•浙江一模）如图，已知AD//BC,BD1.AC,AC=4,BD=8,贝!IsinZDBC

A■D

-------------、C

12.（2025•蠡县一模）如图是一个港湾，A是码头，OA,。。是笔直的海岸，2是海岛，。在点。的正东

方向上，点A在点。北偏东25°的方向上，点8在点。北偏东65°的方向上，OA=3km,点、O与点、

8的距离为现有一艘货船按计划从码头A出发后，先停靠海岸上任意点C处装货后再开往海

岛B,则按此计划，货船行驶的水路最短为km.

OcD

13.（2025•广东模拟）如图,NMON=90°,OM=ON=6,以点。为圆心，0M为半径作弧MN,点A

是0M中点，点尸是弧MN上的动点，以AP为直角边作RtAAPQ,且tcm4PQ=连接NQ,则

NQ的最小值为二____________________

0AM

14.（2025•平陆县模拟）如图,在四边形A8CD中，对角线AC,BD交于点、P,ZABC=ZADB=90°,

1

AB—BC,tan^CAD=于BP=5,则CD的长为___________________.

BC

15.（2025•深圳模拟）在等腰△ABC中，AB=AC,。是8C上一点，过点。作交AC延长线于

点、E,若tanNBAC=空，器=V，则好的值为•

E

三.解答题（共5小题）

16.（2025•郑州模拟）小新的数学研学日记

课题：测量旗杆的高度

地点：操场

时间：2025月1月13日

昨天，晴.高老师要带我们去操场测量旗杆的高度，我们小组设计方案：小卓拿着标杆垂直于地面放置，

如图1所示，标杆AB=a,影长BC=b,旗杆的影长DF=c,则可求得旗杆DE的高度

为.

今天，阴.设计方案：如图2所示，高老师将升旗用绳子拉直，用仪器测得绳子与地面的夹角为37。，

然后又将绳子拉到一个0.3米高的平台上，拉直绳子使绳子上的X点刚好触到平台时剩余的绳子长度为

5米，此时测得绳子与平台的夹角为54°,利用这些数据能求出旗杆。E的高度吗？

请你回答小新的问题.若能，请求出旗杆的高度；若不能，请说明理由.

（参考数据：sin37°-0.6,cos37°-0.8,tan37°"0.75,sin54°七0.8,cos54°仁0.58,tan54°21.45）

17.（2025•新乡模拟）图1是开封市龙亭大殿，龙亭大殿是公园内整个清代建筑群中的主体.大殿坐北朝

南，殿前是用青石雕刻的蟠龙盘绕的御道.某数学活动小组到龙亭景区测量龙亭大殿的高度，如图2,

他们选取的测量点B与大殿底部C在同一水平线上，72级蹬道平台CD高度为13.7米，在B处测得平

台。的仰角为30°,顶部A的仰角为48°.

（1）根据以上测量数据，请帮助该数学活动小组求出龙亭大殿AC的高度.（结果精确到0.1米；参考

数据：sin48°弋0.74,cos48°^0.67,tan48°^1.11,V3®1.73)

（2）在实际测量过程中，请你写出一条减少误差的措施.

图1

18.（2025•和平区模拟）单摆是一种能够产生往复摆动的装置.某兴趣小组利用单摆进行相关的实验探

究.并撰写实验报告如下.

实验主题探究摆球运动过程中高度的变化

实验用具摆球，摆线，支架，摄像机等

实验说明如图1,在支架的横杆点。处用摆线悬挂一个摆球，将摆

球拉高后松手，摆球开始往复运动.（摆线的长度变化忽略

不计）

如图2,摆球静止时的位置为点A,拉紧摆线将摆球拉至

点B处，于点。，ZBOA=64°,18.9cm；

当摆球运动至点C时，NCQ4=37°,CELOA于点E.（点

O,A,B,C,D,E1在同一平面内）

实验图示

图1

解决问题：根据以上信息，求AE的长.

(参考数据：sin37°心0.60,cos37°-0.80,tan37°20.75,sin64°七0.90,cos64°心0.44,tan64°

〜2.05,结果精确到1cm）

19.（2025•天心区校级一模）热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼楼底

的俯角为60°,热气球与楼的水平距离为120根，这栋楼有多高（g=1.73,结果取整数）？

B

20.（2025•碑林区校级二模）如图，在侧面示意图中，遮阳棚AB长为6米，与墙面的夹角NABC

为74°,当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时,凉荫处CD的长为2.76米,求墙面8C的高度.（结

果精确到0.1米;参考数据：sin74°心0.96,cos74°"0.28,tan74°-3.49）

2025年中考数学三轮复习之锐角三角函数

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

题号1234567891c)

答案CDDBBDAADB

选择题（共10小题）

1.（2025•乌鲁木齐一模）第14届国际数学教育大会UCME-14）会标如图Q）所示，会标中心的图案

来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图（6）所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（AABE,

△BCF,ACDG,ADAH）和一个小正方形拼成的大正方形48CD若EF：AH=1：3,则cos

【考点】解直角三角形的应用；勾股定理的证明.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】C

【分析】根据已知可设设EF=无，则A”=3尤，然后利用全等三角形的性质可得AH=8E=3x,再根据

正方形的性质可得EF=EH=x,从而可得AE=4x,最后在RtAABE中，利用勾股定理求出AB的长,

再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.

【解答】解：：斯：AH=1：3,

-gEF=x,则AH=3x,

LABE沿ADAH,

：.AH=BE=3x,

:四边形所GH是正方形,

：.EF=EH=x,

AE=AH+EH=3x+x=4x,

在RtAABE中,AB=yjAE2+BE2=V（4%）2+（3x）2=5x,

・/人口口BE3x3

­­COSZABE=AB=^=5'

故选：c.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的证明，准确熟练地进行计算是解题的关键.

2.（2025•常州模拟）在Rt/XABC中,ZC=90°,AC=5,BC=12,则tanB等于（）

51212

A.—B.—C.—D.

1351312

【考点】锐角三角函数的定义.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】D

【分析】根据正切的定义即可求得答案.

【解答】解：•.•在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=5,BC=12,

.AC5

■■tanKB=BC=12'

故选：D.

【点评】本题考查锐角三角函数定义，熟练掌握其定义是解题的关键.

3.（2025•红桥区模拟）如图，在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AD1BC,垂足为。，则下列结论中正确的

是（）

A.p.BC„cADc48n

A.SITIB=B.cosB-C.taYiC—D.tanC=器

【考点】解直角三角形.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】D

【分析】根据正弦，余弦及正切的定义对所给选项依次进行判断即可.

【解答】解：由题知，

VZBAC=90°,ADLBC,

・•・ZB+ZC=ZB+ZBAD,

：.ZC=ZBAD.

同理可得，ZB=ZCAD.

在RtZXAB。中，

.口AD

smB=AB-

在RtAABC中，

。

s.innB=豆A不

在RtAACD中，

cn

sinZCAD=浣，

CD

：.sin8=sinNCA0=穿，

,l.ADACCD

则msiD"=^=就=衣・

故A选项不符合题意.

同理可得，cos8=器=黑=祟

故8选项不符合题意.

同理可倚，tanC=^=而=而・

故C选项不符合题意，D选项符合题意.

故选：D.

【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟知正弦，余弦及正切的定义是解题的关键.

4.（2025•广东模拟）如图，在A处测得点尸在北偏东60°方向上，在8处测得点尸在北偏东30°方向

上，若A3=2米，则点尸到直线A2距离PC为（）

A.3米B.百米C.2米D.1米

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题；勾股定理的应用.

【答案】B

【分析】设点尸到直线AB距离PC为x米，根据正切的定义用x表示出AC、BC,根据题意列出方程,

解方程即可.

【解答】解：设点P到直线AB距离PC为x米，

在Rt^APc中，AC=E^=居,

在RSPC中,BC=石糕阮=冬,

由题意得，遮x-亭%=2,

解得，x=V3（米），

故选：B.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义、正确标注方向角是解题的关键.

5.（2025•平陆县模拟）如图，在正方形网格中，A,B,C,。为格点（网格线的交点），AB交C£＞于点。,

则tan/AOC的值为（）

【考点】解直角三角形；勾股定理的逆定理.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】B

【分析】先将A8平移至。咒所以NAOC=ND连接CR再判定不是直角三角形，根据C尸和

。产的值，即可求出答案.

【解答】解：如图，将线段向右平移至阳处，使得点8与点。重合，连接CF.

BD

：.ZAOC=ZFDC.

设正方形网格的边长为单位1,

：.AC=2,AF=1,CE=2,DE=4,FG=3,DG=4,

：.CF=V5,CD=2V5,DF=5.

•・,(俑2+Q遮)2=52,

：.ZFCD=90°,

CFjc]

tan^AOC=tanDC=-^；——尸=弓.

CD2V52

故选：B.

【点评】本题考查了网格图中求三角函数，勾股定理逆定理，解题关键是掌握所给示例中的方法，灵活

运用所学知识解决问题.

6.（2025•深圳模拟）一座楼梯的示意图如图所示，8c是铅垂线，CA是水平线，区4与CA的夹角为0.现

要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度3米，则地毯的面积至少需要（）

B.(4+4tan0)米2

C3(4+急米2D.3(4+4tan0)米2

【考点】解直角三角形的应用.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】D

【分析】由三角函数表示出BC,得出AC+8C的长度，由矩形的面积即可得出结果.

【解答】解：在RtaABC中，BC=AOtan0=4tan6（米），

.•.AC+BC=4+4tan0（:米），

，地毯的面积至少需要3义（4+4tan0）（米2）；

故选：D.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用、矩形面积的计算；由三角函数表示出8C是解决问题的关键.

7.（2025•沈阳模拟）如图，在离地面高度为1.5米的A处放风筝，风筝线AC长8米，用测倾仪测得风筝

线与水平面的夹角为e,则风筝线一端的高度CD为（）

B.(1.5+8cos0)米

C.(1.5+8tan0)米D-05+蔡迷

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】A

【分析】过点A作于E,根据正弦的定义求出CE,进而求出CD

【解答】解：如图，过点A作于E,

则四边形A8DE为矩形，

：.DE^AB=1.5米，

在RtZXAEC中，AC=8米，ZCA£=0,

rp

VsinZCAE=^1,

.•.CE=AC・sin/CAE=8sine（米），

：.CD=CE+DE=（1.5+8sin0）米，

故选：A.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.

8.（2025•南通模拟）图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈180°,图2是其侧面示意图.为

实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器，可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄。沿着移动,

以保证太阳光线与。尸始终垂直，已知支架长为2.5米，且垂直于地面BC,某一时刻测得3。=1.7

米，悬托架AE=DE,点E固定在伞面上，当伞面完全张开时，太阳光线与地面的夹角设为a,当tcma=五

时，此时悬托架AE的长度为（）米.

图1

A.0.5B.0.6

【考点】解直角三角形的应用；生活中的旋转现象.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】A

【分析】过点E作EM，A。，垂足为根据题意可得：DG//EH,从而可得/OGB=Na,再根据垂

直定义可得：NABC=NFDG=90°,从而可得N3OG+/OGB=90°,ZADE+ZBDG^90°,然后

利用同角的余角相等可得/次"/?!。"①从而可得tan/ADE=梳，再根据已知易得：AD=0.8〃z,

再利用等腰三角形的三线合一性质可得：AM=DM=OAm,最后在中，利用锐角三角函数的

定义求出EM的长，从而利用勾股定理求出。E的长，即可解答.

【解答】解：过点E作垂足为M,

：.ZDGB=Za,

VABXBC,

ZABC=90°,

；.NBDG+/DGB=90°,

■:DF工DG,

：.ZFDG=90°,

ZADE+ZBZ)G=180°-ZFDG=90°,

：・NDGB=/ADE=a,

•_3

•iCLTLCL—q~rf

3

tan^ADE=T

-q,

AB—2.5m,BD=1.7m,

：.AD=AB-BD=2.5-1.7=0.8(m),

・：AE=DE,EM±ADf

：.AM=DM=%。=0.4(m),

在RtZXOME中，EM=DMnmZADE=0Ax=0.3(m),

：.DE^VDM2+EM2=Jo.42+0.32=0.5(m),

DE=AE=0.5m,

故选：A.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，生活中的旋转现象，根据题目的已知条件并结合图形添加适

当的辅助线是解题的关键.

9.(2025•深圳模拟)某数学兴趣小组用无人机测量园博园“福塔”AB的高度，测量方案如图：先将无人

机垂直上升至距水平地面142根的尸点，测得“福塔”顶端A的俯角为37°,再将无人机面向“福塔”

沿水平方向飞行210机到达。点，测得“福塔”顶端A的俯角为45°,贝卜'福塔”42的高度约为()

(参考数据：tan37°»s讥37。=|,cos37°«

A.48mB.50mC.51mD.52m

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】D

【分析】延长8A交尸。于点C,根据题意可得：BC±PQ,BC=142m,然后设数=无小，则。。=(210

-x)m,从而分别在Rt^APC和Rt^ACQ中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，进而列出关于

x的方程，进行计算即可解答.

【解答】解：延长BA交PQ于点C,

由题意得：BCLPQ,8c=142加，

设PC—xm,

'：PQ=210m,

：.CQ=PQ-CP=(210-x)m,

在RtZ\APC中，NAPC=37°,

：.AC=PC'\an310aJr(m),

在RtZXACQ中，ZAQC=45°,

.,.AC—CQ,tan45°—(210-x)m,

3

x=210-x,

4

解得：x=120,

.,.AC—210-x=90(m),

：.AB=BC-AC^142-90=52(m),

故选：D.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的

辅助线是解题的关键.

10.(2025•登封市一模)如图所示，在矩形网格中，每个小正方形的边长为1,AABC的三个顶点都在格

点上，则tanA的值为（)

【考点】解直角三角形.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】B

【分析】在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.

【解答】解:如图：

在中，BD=2,AD=6,

一«BD21

・・tanA==6=

故选：B.

【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

二.填空题（共5小题）

V5

11.（2025•浙江一模）如图，已知AO〃BC,BD±AC,AC=4,BD=8,贝！Isin/Q8C=W

【考点】解直角三角形；平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；解直角三角形及其应用；推理能力.

V5

【答案】y.

【分析】过。作。E〃AC,交BC延长线于点E,证明四边形AOEC是平行四边形，则AC=£>E=4,

再由勾股定理求出BE=4V5,然后由sin/DBC=禺即可求解.

【解答】解：过。作。石〃AC,交8C延长线于点

\9AD//BC,

・・・四边形AOEC是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）,

：.AC=DE=4f

VBD±AC,

:.BDLDE,

：.ZBDE=90°,

：.BE=7BD2+DE2=V82+42=4倔

..DE475

•"皿。=诙=砧=亏’

V5

故答案为：y.

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，正弦的定义，掌握知识点的应用是解题的关

键.

12.（2025•蠡县一模）如图是一个港湾，A是码头，OA,。。是笔直的海岸，B是海岛,。在点。的正东

方向上，点A在点O北偏东25°的方向上，点B在点O北偏东65°的方向上，OA=3的?，点0与点

8的距离为现有一艘货船按计划从码头A出发后，先停靠。。海岸上任意点C处装货后再开往海

岛8,则按此计划，货船行驶的水路最短为5km.

,CD

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题；线段的性质：两点之间线段最短.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】5.

【分析】作点A关于直线。。的对称点A',连接44',OA',由题意得到当A'、C、B三点共线

时，路线最短，即可得到答案.

【解答】解：作点A关于直线。。的对称点A',连接A4',0A',连接A'B交直线0。于点C,

连接AC,

：.OA=OA',

则AC=A'C,ZAOD^ZA'0D,

：.A'C+BC^A'B,

BPAC+BC^A'B,

仅当A'、C、8三点共线时，路线最短，

VZAOD=9Q°-25°=65°,

AZAZ0D^65°,

NBOD=90°-65°=25°,

:./BOA'=65°+25°=90°,

则OA'=OA=3km,OB=4km,

：.A'B=70A'2+OB2=5km.

故答案为：5.

【点评】本题主要考查最短路径问题，熟练掌握线段最短来解题是解题的关键.

13.（2025•广东模拟）如图，/MON=90°,0M=0N=6,以点。为圆心，0M为半径作弧A/N,点A

是0M中点，点P是弧MN上的动点，以AP为直角边作RtAAPg,^tan^APQ=会连接NQ,则

NQ的最小值为一8_.

0AM

【考点】解直角三角形；等腰直角三角形.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】V109-8.

【分析】将线段AO绕点A旋转90°并延长至点使得过点。作DHJ_NO,交NO延长

线于点X,连接沏，DQ,OP,证明△OAPs^m。，求出。。=8,推出点。在以。为圆心，。。=8

为半径的圆上运动，当N,Q,。三点共线时，N。由最小值，最小值为LW-易证四边形AOHD

是矩形，再利用勾股定理求出DN=7NH2+DH2=V109，即可求解.

【解答】解：将线段A。绕点A旋转90°并延长至点。，使得过点。作OHLNO,交N。

延长线于点H,连接NO,DQ,OP,

404

由条件可知而=?

4aD4

-即----

3。a3

'：ZPAQ+ZOAQ=ZOAD+ZOAQ,

：.ZPAQ=ZOAD,

：.AOAP^ADAQ9

.OPOA3

•,DQ~DA~4

•・•OP=OM=6,

**•DQ=8,

...点。在以。为圆心，。。=8为半径的圆上运动，

当N,Q,。三点共线时，N。由最小值，最小值为。N-。。,

由条件可知四边形AOHD是矩形，

：.DH=OA,OH=AD,

1

：.OA=^OM=3,

4

：.DH=0A=3,OH=AD=^0A=4,

：.NH=ON+OH=10,

.•.在RtAAWD中，DN=yJNH2+DH2=V109,

：.NQ的最小值为DN-DQ=V109-8,

故答案为：V109-8.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正切的定义，勾股定理等，正确作

出辅助线，构造三角形相似是解题的关键.

14.(2025•平陆县模拟)如图，在四边形ABCZ)中，对角线AC,BD交于点P,ZABC=ZADB=9Q°,

-1

AB=BC,tanAD=4，BP=5,则C£)的长为2g.

L-------

【考点】解直角三角形；勾股定理；等腰直角三角形.

【专题】解直角三角形及其应用；推理能力.

【答案】2底.

【分析】过C点作CE_L2D于E点，如图，先证明△A3。g△8CE得到BD=CE,再在Rt

△ADP中利用正切的定义得到tan/D4P=%=当则可设DP=x,AZ)=2x,所以BE=AD=2x,PE

1

=5-2羽CE=BP=5+x,接着证明NECP=NCA。得到tanNECP=tanNCAZ)=右然后在RtAECP

5—2%1

中利用正切的定义得到二一=则可求出

解得％=1,然后在RtAECD中利用勾股定理可计算出CD.

【解答】解：过C点作于E点，如图，

VZABD+ZCBE=90°,NCBE+NBCE=90°,

ZABD=ZBCE,

在△A3。和△BCE中，

'NADB=/BEC

'乙ABD=乙BCE，

.AB=BC

:・AABD义ABCE(A4S),

：.AD=BEfBD=CE,

npi

在RtAADP中,•・,tanZDAP=话=当

・••设。尸=x,AD=2x,

；.BE=AD=2x,

•：BP=5,

：.PE=BP-BE=5-2x,CE=BP=BP+DP=5+x,

9：AD±BD,CELBD,

J.AD//CE,

：.ZECP=ZCAD,

1

tanZECP=tanZCAD=中

FP

在中，VtanZECP=

.5-2%1

••=一,

5+x2

解得x=l，

CE=5+x=6,DE=x+5-2x=5-x=4,

在RtAECD中，CD=<DE2+CE2=V42+62=2g.

故答案为：2g.

【点评】本题考查了解直角三角形，灵活应用锐角三角函数的定义和勾股定理，构建Rt^CEP是解决

本题的关键.

15.（2025•深圳模拟）在等腰△A8C中，AB=AC,。是8C上一点，过点。作。交AC延长线于

24RD?AC13

点E,若tanZBAC=亍,/=G，则77的值为-7.

/HDDCE4

【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力.

【答案】V-

4

【分析】过点A作APLBC于点P,过点2作出/LAC于点过点E作EPL3C交BC的延长线于点

F,在RCABH中，根据tan/BAC=瑞=竽，设BH=24a,AH=la,利用勾股定理分别求出AB=AC

=25a,CH=lSa,BC=30a,则8P=CP=15a,再求出80=10°,贝!]CD=20a,DP=5a,AP=20a,

4FFEF4

-

进而得tanZACP=西3tanZECF=根据NACP=NEC尸得一=一，设EF=4比CF=3k,则

CFCF3

r)piFF4”

CE=5k,DF=20a+3k,证明NEOb=ND4P,再根据tan/D4尸=弟=本tanNED/=法=蒲荻得

=解得k=1当，进而得CE=5k=，据此即可得出;的值.

20+3/C413W13CE

【解答】解：过点A作APLBC于点P,过点8作BXLAC于点孙过点E作斯，8C交BC的延长线

于点F,如图所示：

则AP//EF,

在RtZ\ABH中，tan/A4C=^=竽，

.•.设BH=24a,AH=la,

由勾股定理得：AB=y/BH2+AH2=V(24a)2+(7a)2=25a,

.\AB=AC=25a,

：.CH=AC-AH=25a-7a=18m

在RtABCH中，由勾股定理得：BC=VBW2+CH2=7(24a)2+(18cz)2=30a,

VAPXBC,

：.BP=CP=15af

.BD2

••=一,

AB5

：.BD=|AB=Ix25a=10a,

：.CD=BC-BD=30a-]Qa=20a,DP=BP-BD=15a-10a=5a,

在Rt/XACP中，由勾股定理得：AP=ylAC2-CP2=7(25a)2-(15a)2=20a,

../“D4P20。4

在RtZkCEE中，tan/ECT=黑，

•/ZACP=ZECF,

.EF4

••—―,

CF3

设EF=4k,CF=3k,

由勾股定理的：CE='EF2+C-2=J(4k)2+(3k)2=54

DF=CD+CF^2Qa+3k,

在RtAAPD中,tmZDAP=%=篇=J,

FF4/z

在Rt△。或7中，/即尸=加=荻铳，

•：DE1AD,AP1BC,

：.ZEDF-^ZADP=90°,ZDAP+ZADP=90°,

：.ZEDF=ZDAP,

4k1

20d+3/c4

解得：卜=辔

100a

：.CE=5k=

.AC25a13

：'~CE=豆叵=I--

13

【点评】此题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，灵活运用锐

角三角函数的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造直角三角形是解决问

题的难点.

三.解答题（共5小题）

16.(2025•郑州模拟)小新的数学研学日记

课题：测量旗杆的高度

地点：操场

时间：2025月1月13日

昨天，晴.高老师要带我们去操场测量旗杆的高度，我们小组设计方案：小卓拿着标杆垂直于地面放置，

如图1所示，标杆影长BC=6,旗杆的影长。尸=c,则可求得旗杆的高度为生.

今天，阴.设计方案：如图2所示，高老师将升旗用绳子拉直，用仪器测得绳子与地面的夹角为37°,

然后又将绳子拉到一个0.3米高的平台上，拉直绳子使绳子上的X点刚好触到平台时剩余的绳子长度为

5米，此时测得绳子与平台的夹角为54°,利用这些数据能求出旗杆。E的高度吗？

请你回答小新的问题.若能，请求出旗杆的高度；若不能，请说明理由.

(参考数据：sin37°心0.6,cos37°-0.8,tan37°-0.75,sin54°心0.8,cos54°-0.58,tan54°仁1.45)

【考点】解直角三角形的应用；相似三角形的应用.

【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；几何直观；应用意识.

【答案】竽，111米.

【分析】证明△ABCsAE/m,根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算求出。E；过

点”作于Q,HPLGO于P,根据正弦的定义求出OE.

【解答】解：利用这些数据能求出旗杆。E的高度；理由如下：

'."AB//DE,标杆

△ABCS^EDF,

.BCAB

••—J

DFDE

・・•影长旗杆的影长OF=c,

.ba

••一二,

cDE

解得：DE避,

过点H作HQLDE于。，HPA.GD于P,

图2

则QD=HP=Q3米，

：.EQ=(ED-0.3)米，

由题意可知：EH=EG-5,

在RtzXEQH中，/EHQ=54°,

则sin/EHQ=器，

:.EQ=EH・sin/EHQ,

：.ED-03^0.8(EG-5),

在Rt/XEDQ中，NEGD=37°,

FD

则sinZEGD=器，

:.ED=EG，sin/EGD,

:.ED6EG,

则-0.3=0.8(EG-5)

、IED=0.6EG

解得：｛北

.,•旗杆的高度约为H.1米.

故答案为弋

【点评】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.

17.（2025•新乡模拟）图1是开封市龙亭大殿，龙亭大殿是公园内整个清代建筑群中的主体.大殿坐北朝

南，殿前是用青石雕刻的蟠龙盘绕的御道.某数学活动小组到龙亭景区测量龙亭大殿的高度，如图2,

他们选取的测量点B与大殿底部C在同一水平线上，72级蹬道平台CD高度为13.7米，在B处测得平

台。的仰角为30°,顶部A的仰角为48°.

（1）根据以上测量数据，请帮助该数学活动小组求出龙亭大殿AC的高度.（结果精确到0.1米；参考

数据：sin48°弋0.74,cos48°^0.67,tan48°^1.11,V3®1.73）

（2）在实际测量过程中，请你写出一条减少误差的措施.

A

图1图2

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】（1）龙亭大殿AC的高度约为26.3米；

（2）减少误差的建议：可多次测量，取测量数据的平均值.（答案不唯一，合理即可）.

【分析】（1）根据题意可得：0=13.7米，ZCBD=30°,ZABC=48°,然后在RtZ^CBD,利用锐

角三角函数的定义求出BC的长,再在Rt^ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，即可解答；

（2）根据多次测量求平均值，即可解答.

【解答】解：（1）由题意得：C£）=13.7米，NCBD=30°,/ABC=48°,

在RtZXCB。中，tan/CBD=器=号,

.•.BC=3CD«1.73X13.7=23.7（米），

CA

在RtAABC中，tanZABC=器，

.*.AC=BCnan48°*23,7X1.11^26.3（米）.

答：龙亭大殿AC的高度约为26.3米；

（2）减少误差的建议：可多次测量，取测量数据的平均值.（答案不唯一，合理即可）.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

18.（2025•和平区模拟）单摆是一种能够产生往复摆动的装置.某兴趣小组利用单摆进行相关的实验探

究.并撰写实验报告如下.

实验主题探究摆球运动过程中高度的变化

实验用具摆球，摆线，支架，摄像机等

实验说明如图1,在支架的横杆点。处用摆线悬挂一个摆球，将摆

球拉高后松手，摆球开始往复运动.（摆线的长度变化忽略

不计）

如图2,摆球静止时的位置为点A,拉紧摆线将摆球拉至

点8处，于点。，ZBOA=64°,BD=18.9cm；

当摆球运动至点C时，ZCOA=31°,CELOA于点E.（点

O,A,B,C,D,E在同一平面内）

实验图示

解决问题：根据以上信息，求AE的长.

（参考数据：sin37°心0.60,cos37°-0.80,tan37°-0.75,sin640-0.90,cos64°"0.44,tan64°

55a2.05,结果精确到