2025年中考数学总复习难点与解题模型：与角平分线、中点有关问题（5大热考题型）解析版

难点与解题模型n与角平分线'中点有关问题（5大热考题型）

题型一：与角平分线有关问题

题型二：与中线有关问题

题型三：与中位线有关问题

题型四：与等腰三角形底边中点有关问题

题型五：倍长中线模型

,精淮握分

题型一：与角平分线有关问题

：指।点।迷।津

常考模型及步骤

:第一步：依据特征找模型一一找是否存在角平分线

:第二步：抽离模型一一判断角平分线上一点与角两边上点的连线与角平分线的位置关系

I

:第三步：利用性质解题一一利用角平分线的性质、全等三角形、等腰三角形“三线合一”及平行线的性质

解题

【中考母题学方法】

【典例1-1】（2023,湖南•中考真题）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,按以下步骤作图：①以点A为圆心，

以小于AC长为半径作弧，分别交AC,AB于点“，N；②分别以M,N为圆心，以大于的长为半

径作弧，在—3AC内两弧交于点0；③作射线AO,交BC于点、D.若点。到的距离为1,则CD的长

【答案】1

【分析】根据作图可得AD为-C4s的角平分线，根据角平分线的性质即可求解.

【详解】解：如图所示，过点。作Z）E1AB于点E,依题意DE=1,

1

c

Z)

根据作图可知AD为/CAB的角平分线,

^DCLAC,DELAB

^CD=DE=1,

故答案为：1.

【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，熟练掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键.

【典例1-2］（2023・江苏•中考真题）如图，B、E、C、尸是直线/上的四点，AB=DE,AC=DF,BE=CF.

⑴求证：AABC冬ADEF；

（2）点尸、Q分别是VABC、刀砂的内心.

①用直尺和圆规作出点。（保留作图痕迹，不要求写作法）；

②连接PQ,则PQ与做的关系是.

【答案】⑴见解析

（2）①见解析②尸。BE,PQ=BE

【分析】本题主要考查全等三角形的判定、图形的平移，牢记全等三角形的判定方法和图形平移的性质（连

接各组对应点的线段平行或在同一条直线上）是解题的关键.

（1）可证得3。=跖，结合=AC=。尸即可证明结论.

（2）①三角形的内心为三角形的三个角的角平分线的交点，因此只需作出任意两个角的角平分线，其交点

即为所求.②因为△ABC丝所以D即可看作由VABC平移得到，点。，点尸为对应点，点、B,

点E为对应点，据此即可求得答案.

【详解】（1）EI3E=CF,BC=BE+EC,EF=CF+EC,

SBC^EF.

在VABC和」）EF中

2

AB=DE

<AC=DF

BC=EF

0AABC^Ar）£F.

（2）①三角形的内心为三角形的三个角的平分线的交点，作NDEF,ZDFE的角平分线，其交点即为点Q.

②因为△ABC/△DEF,所以乩）砂可看作由VA3C平移得到，点。，点P为对应点，点8,点E为对应

点，根据平移的性质可知尸。BE,PQ=BE.

故答案为：PQBE,PQ=BE.

【典例1-3】（2023•甘肃兰州•中考真题）综合与实践

问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9："平分一个已知角.”即：

作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在Q4和08上分别

取点C和。，使得OC=O£）,连接CD,以CD为边作等边三角形CDE,则OE就是NAO3的平分线.

请写出OE平分-403的依据：；

类比迁移：

（2）小明根据以上信息研究发现：，CDE不一定必须是等边三角形，只需CE=DE即可.他查阅资料：我

国古代已经用角尺平分任意角.做法如下：如图3,在/AO3的边。4,08上分别取OM=QV,移动角尺，

使角尺两边相同刻度分别与点加，N重合，则过角尺顶点C的射线0C是NAO3的平分线，请说明此做法

的理由；

拓展实践：

3

(3)小明将研究应用于实践.如图4,校园的两条小路AB和AC,汇聚形成了一个岔路口A,现在学校要

在两条小路之间安装一盏路灯E,使得路灯照亮两条小路(两条小路一样亮)，并且路灯£到岔路口A的距

离和休息椅。到岔路口A的距离相等.试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应

的示意图5中作出路灯E的位置.(保留作图痕迹，不写作法)

A

【答案】(1)SSS；(2)证明见解析；(3)作图见解析；

【分析】⑴先证明,。CE-ODE(SSS),可得ZAOE=/BOE,从而可得答案；

(2)先证明，OCVfgQCV(SSS),可得NAOC=N3OC,可得0C是/AO3的角平分线;

(3)先作NA4c的角平分线，再在角平分线上截取钻=AD即可.

【详解】解：(1)SOC=OD,CE=DE,DE=DE,

ELOCE咨ODE(SSS),

SZAOE=ZBOE,

回OE是NAO3的角平分线；

故答案为：SSS

(2)=CM=CN,OC=OC,

团OCM四二OCN(SSS),

E1ZAOC=ZBOC,

团OC是ZAOB的角平分线；

(3)如图，点E即为所求作的点；

4

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与角平分线的性质，作已知角的角平分

线，理解题意，熟练的作角的平分线是解本题的关键.

【典例1-4】（2023•河南・中考真题）如图，VABC中，点。在边AC上，且

⑴请用无刻度的直尺和圆规作出NA的平分线（保留作图痕迹，不写作法）.

（2）若（1）中所作的角平分线与边交于点E,连接DE.求证：DE=BE.

【答案】⑴见解析

（2）见解析

【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可；

（2）证明即可得到结论.

【详解】（1）解：如图所示，即为所求，

^ZBAE^ZDAE,

[21AB-ADtAE=AE,

团ABAE名ADAE(SAS),

©DE=BE.

5

【点睛】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的作图和全等

三角形的判定是解题的关键.

【中考模拟即学即练】

【变式1-1］（2024・贵州铜仁•一模）如图，在VABC中，ZC=90°,以A为圆心，任意长为半径画弧，分别

交AC,A3于点M,N,再分别以M,N为圆心，大于!长为半径画弧，两弧交于点。，作射线AO,

2

【答案】D

【分析】本题考查了作图一基本作图、角平分线的性质.根据角平分线的尺规作图可得AE平分作

ETA.AB,再根据角平分线的性质可得ET=EC=2,再利用三角形的面积公式求解即可.

【详解】解：过点E作钻于丁，如图所示：

C

EC±AC,ET1AB,

:.ET=EC=2,

S\AEB=万,ET=-X6X2=6,

故选：D.

【变式1-2］（2024•山东济宁•一模）如图，在VABC中，ZC=90,AC=12.

⑴请用无刻度的直尺和圆规在边5c上求作一点使得点。到边AB,AC的距离相等（保留作图痕迹,

6

不写作法）；

（2）在（1）所作的图形中，过点、D作DEJ.AB于点、E.

①求证：AE=AC；

②若CD=4,=30,求BE的长.

【答案】⑴作图见解析；

（2）①证明见解析；②BE=3.

【分析】（1）利用基本作图作-BAC的平分线即可；

（2）①先根据角平分线的性质得到OC=DE,然后根据"HL"证明RtA4CC^RtA4ED,从而得到

AC=AE；

②由DE=DC=4,则利用三角形面积公式可求出AB=15,再利用①的结论得到AC=AE=12,然后计

算AB-AE即可；

本题主要考查了尺规作一个角是平分线，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，

解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，尺规作一个角的平分线.

【详解】（1）如图，作的平分线，则为所求，

（2）①证明：回AD平分，BAC,DC1AC,DEJ.AB,

团DC=DE,

在RtAACD和RtAAED中,

jAD=AD

[DC=DE9

团RtACD^RtA£Z）（HL）,

^\AE=AC；

②团。E=OC=4,

团SABD=；AbxDE=30,

团AB=15,

BE=AB-AE=15-12=3.

【变式1-3]（2024•河南周口•模拟预测）如图，在VABC中,ZC=90°.

7

B

C°---------------

⑴请用无刻度的直尺和圆规作出-3的平分线.（保留作图痕迹，不写作法）

⑵若（1）中所作的角平分线与边AC交于点。，CD=3,AB=8,求的面积.

【答案】⑴见解析

（2）12

【分析】本题考查尺规作图-作角的平分线、角平分线的性质，正确作出角的平分线是解答的关键.

（1）根据作角平分线的方法步骤画图即可；

（2）过。作于点根据角平分线的性质得到CD=3,然后利用三角形的面积公式求解即

可.

【详解】（1）解：如图，BD即为所求.

（2）解：如图，过D作于点H.

QBD平分/ABC,/。=90。即£＞。_18(?,DH1AB,

:.CD=DH=3,

.■.SAABD=^ABDH=12.

【变式1-4］（2023•广西桂林•模拟预测）在VABC中，3。是边AC上的高.

（1）尺规作图：作—C的平分线，交BD于E.

(2)若DE=4,BC=10,求，3CE的面积.

8

【答案】⑴详见解析

(2)20

【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于己知角；

作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了角平分线的性质.

(1)利用基本作图作CE平分NBCD；

(2)作EH工BC于H,如图，根据角平分线的性质得团=£0=4,然后利用三角形面积公式计算即可.

【详解】(1)如图，CE为所作.

(2)作EHJ.BC于H,如图，

CE平分/BCD,EDLCD,EHIBC,

:.EH=ED=4,

S„„=—xBCxEH=—x4x10=20.

BrCE22

【变式1-5](2023•广东惠州•二模)如图，CB=CD,ZD+ZABC=180°,CE_LAD于E.

⑴求证：AC平分

(2)若AE=10,DE=4,求A8的长.

【答案】⑴见解析

(2)6

【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是作出辅助线构造全等三角

形.

9

(1)过。点作CAB,交AB的延长线于点尸.由AAS证明△CDE名△CB"AAS),可得CE=CF,结论得

证；

(2)证明RtACE^RtACF(HL),可得AE=AF,可求出A5.

【详解】(1)证明：过。点作C厂，交A5的延长线于点尸.

.\ZDEC=ZCFB=90°,

ZD+ZABC=1SO°,ZCBF+Z/4BC=180°,

:.ZD=ZCBF,

在<CDE与YCBF中,

/D=/CBF

</DEC=NCFB,

CD=CB

：.ACBF(AAS),

:.CE=CF,

又团ND£C=NCFB=90。

•・AC平分/DAB；

(2)解：由(1)可得BF=DE=4,

在Rt.ACE和RtAACF中,

[CE=CF

[AC=AC9

团RtACE^RtACF(HL),

：.AE=AF=10,

:.AB=AF-BF=6.

题型二：与中线有关问题

I指I点I迷I津

10

?与中线有关的解题关键解题关键是利用中线的性质，如图，在中,是的中线则

I4ABCAD4ABCBD=CD,

BDC.

【中考母题学方法】

【典例2-1］（2024•山东德州•中考真题）如图，在VA3C中，AD是高，AE是中线，AD=4,S^ABC=12,

则BE的长为（）

BEDC

A.1.5B.3

【答案】B

【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据S^BC=12和AO=4求出BC=6,根据AE是中线即

可求解.

【详解】解：吠“净CX312,34,

EIBC=6

EIAE是中线，

0B£=-BC=3

故选：B

【典例2-2】（2023・浙江•中考真题）如图，点P是VABC的重心，点。是边AC的中点，PE〃AC交BC于

点、E,DF〃BC交EP于点F,若四边形CDFE的面积为6,则VABC的面积为（）

BE

11

A.15B.18C.24D.36

【答案】B

【分析】连接5。根据三角形重心的性质可知：P在BD上,由三角形中线平分三角形的面积可知：

S.ABC=2SBDC，证明一%P..BEP和2EP△BCD,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答.

【详解】解：如图，连接5。，

点尸是VABC的重心，点。是边AC的中点，尸在上,

…0ABC-乙。BDC，

BP:PD=2:1,

DF//BC,

」)FP-BEP

S1

.2.DFP_

S-4，

.BEP

QEF〃AC,

「•ABEP£\BCD,

"S.BCD\BD)bJ9

设的面积为切，则△BEP的面积为4m，△BCD的面积为9优,

,四边形CDEE的面积为6,

二.0+9/-4/二6,

..A72—1,

△BCD的面积为9,

ABC的面积是18.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中，准确作出辅助线是解

题的关键.

12

4

【典例2-3】（2024•福建福州,模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数＞=-（彳＞。）的图象分别

x

与等腰Rt_AO3的直角边和斜边08交于点C,。，点A在无轴正半轴上，连接4）,CD,若ADLQB,

则八BCD的面积为.

【分析】连接OC,作轴于E,由等腰直角三角形的性质得出00=08=308,由反比例函数上的

几何意义得出SQE=SMA=；X|4|=2,证明ODES,OBA,得出S=4S=8,求出

SOBC=S0BA-SOCA=6,再由三角形中线的性质即可得出答案.

【详解】解：如图，连接。C,作轴于E,

团VA0B为等腰直角三角形，ADLOB,

国点。为08的中点，

SOD=OB=-OB,

2

4

团点C、。是反比例函数＞=［（%＞0）上的点,

回SODE=S0CA=5X网=2,

aDELOA,ABLOA,

^DE//AB,

团ODE^.OBA,

22

BSODE:SOBA=OD:OB=VAf

13

13soBA=4,ODE=8,

回SOBC=SOBA-S.OCA=8-2=6，

^OD=BD,

团SBCD=3SOBC=5*6=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、反比例函数上的几何意义、相似三角形的判定与性质、与三角

形中线有关的面积的计算等知识点，熟练掌握知识点并灵活运用是解此题的关键.

【典例2-4】（2024,河北•中考真题）如图，VABC的面积为2,AZ）为BC边上的中线，点A,G，G，C3是

线段CC4的五等分点，点A,2，2是线段。4的四等分点，点A是线段8月的中点.

（1）△AG2的面积为；

（2）△与。4。3的面积为.

【答案】17

【分析】（1）根据三角形中线的性质得以.=%皿=1，证明均ACD（SAS）,根据全等

三角形的性质可得结论；

（2）证明11A4A空ABD（SAS）,得S^ABR=S4ABD~1,推出G、2、4三点共线，得

二=2,继而得出S△阴=4s△ABC=8,SAABiD^=3s△MA=3,证明△C3AD3CAD,

4

得S^G9=9s入。=9,推出S-CMS=S*=12,最后代入S：=AC4D3+SZ\A8]£>3-S/IAB1c4即可.

【详解】解：（i）连接用2、BR、4c,、2£、C3D3,

团VA3C的面积为2,4。为BC边上的中线，

团S4ABD=S4ACD=5S^ABC~^，

团点A,G，C2,C3是线段CC4的五等分点,

14

cc

团AC=AC】=i2=C2c3=C3C4=1CC4,

团点A,D1,。2是线段。。3的四等分点,

团AD=AD}=D]D2=D2D3=!DD3,

回点A是线段8月的中点，

回AB=AB[=—BB',

在△AG2和ACD中，

AG=AC

<"皿=ZCAD,

A£)i=AD

团AQD^.ACD(SAS),

团SAACR=S^ACD=1，NCQiA=Z.CDA,

团△AG2的面积为1,

故答案为：1；

(2)在和△A5O中，

ABX=AB

</B、AD\=ABAD,

AD{=AD

团ABQ&ABQ(SAS),

0S/XAfijA=S^ABD=1,/BRA=/BDA,

团NBZM+NaM=180。，

O

0ZB1Z)1A+ZCI£>1A=18O,

团G、2、耳三点共线，

回S/XABIG二S4ABM+S4Aqq=1+1=2,

团AC1=℃=C2c3=C3C4，

团SAAB1c4=4S△期G=4?28,

15

团AD|=D1D2=D2D3,S&AB、D、=1,

0S&A呢3=3s△物4=3X1=3,

在△AC?。,和.ACO中，

AD

团土=3=±±,ZC3AD.=ZCAD,

ACAD

团△C3AD3s△CW,

回江出=产1=32=9,

SCAD\AC)

回,△GA.=9s△CAD=9x1=9,

团ACl=℃2=C2c3=C3C4,

44

=

团^AAC4D3§^△C3A£>3=-X9=12,

团,△片。4。3=^AAC4D3+^AAB{D3~'△ABQ4

团△旦C43的面积为7,

故答案为：7.

【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意

义，三角形的面积.掌握三角形中线的性质是解题的关键.

【典例2-5】（2024•湖北武汉•模拟预测）如图是由小正方形组成的9x9网格，每个小正方形的顶点叫做格点

A,B,C三点是格点，/点是5c与网格线的交点.，仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图.

16

图1图2图3

⑴在图1中，取A3的中点£),AC的中点E,连接£D,再作平行四边形BDEK；

(2)在图2中，在上画出一点G,使ZACG=SAACF；

(3)在图3中，点T在格点上，连接87,CT,在CT上画点使AM平分四边形ABTC的面积.

【答案】⑴图见解析

(2)图见解析

⑶图见解析

【分析】本题考查三角形的中线，相似三角线的判定和性质，平行四边形的判定和性质：

(1)作AB,BC,AC的中点，连接£(£丛，则平行四边形3DEK即为所求；

(2)找到格点S,。，使得&4=3,3。=4,连接S。交A3于点G,则点G即为所求；

(3)连接AT,取BC的中点K,过点K作DE〃AT,交CT于点〃即可.

【详解】(1)解：如图所示，作AB,BC,AC的中点，连接DE,EK,则平行四边形BDEK即为所求,

(2)如图所示，找到格点S,Q,使得&1=3,80=4,连接S。交A3于点G,则点G即为所求,

S1SA//BQ,

17

团SAG^.QBG,

AGAS3

团------------——

BGBQ4

CF3

ZB=ZB，

BF4

团BFS.BCA,

BZBGF=ZBACf

^FG//AC,

团S^ACG='△ACF；

（3）如图：点M即为所求;

四边形

asACK+SjcK=](2ABC+STBC)=587a,

0SAMK=STMK（平行线间的距离处处相等）,

四边形

asACM=SAMK+SAKC+S.MKC=TMK+2AKC+SMKC=TKC+^AKC=/S5Toi.

【中考模拟即学即练】

【变式2-1］（2024•云南昆明•二模）如图，AD,CE是VABC的两条中线，连接£0.若与.。=16,则阴

C.6D.8

18

【答案】B

【分析】本题考查的是三角形的中线，熟记三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键.根

据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分计算即可.

【详解】解：AD是VA3C的中线，SVABC=16,

,S.ABO=35ABC=耳*16=8,

E是A3的中点，

-q—J.q-A

••0,BED-2。~'

故选：B

【变式2-2］（2024・安徽六安•模拟预测）如图，AO是VABC的中线，点E是AZ）的中点，连接CE并延长,

交A3于点凡若A3=6.则AF的长为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中线，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的

关键.过点A作BC平行线交Cb延长线于点G,可得AAG尸sAcBF,4AGEsACDE,通过比例式即可

求出A最F=1即可解决问题.

FB2

【详解】解：过点A作2c平行线交CP延长线于点G,

0AAGF^ABCF,ADCE,

AFAGAGAE

FB~BC"CD~ED'

团点E是A。的中点，

19

AGAE

团---=---=1,

CDED

EIAG=8,

团40是丫4%的中线,

0BD=CD,

©AG=CD=BD,

AFAG1

团==一

FBBC2

团AF=—AB=2,

3

故选：B.

【变式2-3］（2024•安徽蚌埠•模拟预测）如图，D,E,尸分别为VABC三边上一点，且An,BE,C5

父于点G,若SBOG=6,5CDG=4,SAEG=15,贝|JSABC=（）

D.63

【答案】c

【分析】本题主要考查等积法及一元二次方程的解法，熟练掌握等积法是解题的关键；设SMG=%，sCGE=y,

X3X15

由题意易得一］=不，==—，然后可建立方程进行求解.

【详解】解：设SABG=X,SCGE=V，由等积法可知：4=5

J.ACGJ

x3

0—77=o>即2x=3y+15①，

y+152

qq

「uABG_uAGE

一一飞一,

°CBG。CGE

X15八

团彳裳=7，即冲=150②，

z-xx-xf2x=3y+45

联立①②可得：:，

［xy=150

解得：y=5（负根舍去），

团兀=30,

20

团5ABe=SABG+£CBG+ACG=30+10+15+5=60；

故选C.

【变式2-4］（2024•重庆•模拟预测）如图，在RtABC中，NS4c=90。，AB=5,AC=10,。为8C的中点,

E为AC中点，连接BE交AD于点尸，则ABF的面积为.

【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中线的性质，连接。E,可得

1npnpi

£>E为VABC的中位线，进而得DE=-AB,即得DEF^^ABF,得到——=—=一，再根

2AFAB2

，

据已知可得S.MC=!ABAC=25,进而由中线性质得到5AB»=1SMC=M再由?g=1即可得到

222Ar2

与，由DEFS,AM得到卓是解题的关键•

3JArADZ

【详解】解：连接DE,

团。为BC的中点，E为AC中点，

EIDE1为VABC的中位线，

^DE//AB,DE=-AB,

2

国DEFs,ABF,

DFDE1

团--=----=一,

AFAB2

回，ABAC=90°,AB=5,AC=10,

团S人记=-ABAC=-x5xl0=25

ABC22f

回点。为5C的中点，

_j__25

团3钻。=53ABC=耳，

21

c2c22525

团SABD=­X"=—

故答案为：g.

【变式2-5］（2024•辽宁■模拟预测）如图，将VABC沿直线AC翻折得到AWC,BD交AC于点E,F为CD

的中点，连接AF并延长，交8C的延长线于点G,连接呼，若AB=10,AE=6,△AD尸的面积为18,

则.QEF的面积为.

【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，三角形的面积的计算，根据折叠的性质得到AC工BD，BE=DE,

根据勾股定理得到BE=DE=JAB?-A£2=Ju_6?=8，根据三角形的面积公式得到AC=9,求得

CE=AC-AE=3,根据三角形的面积公式即可得到结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】0VABC沿直线AC翻折得到AADC,

SACJ.BD,BE=DE,

0ZAEB=ZAED=90,

在Rt&WE■中，AB=10,AE=6,

aBE=DE=\lAB2-AE2=V102-62=8，

团的面积为18,尸为CD中点，

国S,AC»=25Aop=2x18=36，

EI-AC-D£=36,

2

EIAC=9,

0CE=AC-AE=9-6=3,

22

0S=—CE-DE=—x3x8=12,

■rCnDFE22

回S朝=］SCDE=/*12=6,

故答案为：6.

【变式2-6］（2024•山东临沂•模拟预测）如图，将VABC沿3C边上的中线平移至『AaC'的位置，已知

VA3C的面积为25cm2,阴影部分三角形的面积为，若A4'=lcm,则AD的值为cm.

【分析】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形

的判定与性质等知识点.先证明再利用相似三角形的性质求得AD便可.

【详解】解:如图,

A

//j\\SABC=25、S^EF=9,且AD为BC边的中线，

JX。

BZ---------------------

..SADE=5SA'EF=4.5,SABD=］SABC=12.5,

.将VABC沿5c边上的中线AD平移得到..A?C,

:.A!E//BC,

DAEsDAB,

则即［上丫=9，

VAD）Sadb（AD+U12.5

3

解得A'O=1.5或4。=-?（舍），

o

故答案为：1.5.

【变式2-7］（2024•广东东莞・模拟预测）如图，在菱形ABCD中,两条对角线相交于点0,AC=4,B£>=2,

过点C作CE1AB,交A3的延长线于点E,连接OE,则.COE的面积是___________

23

E

B.

D

【答案】|

【分析】根据菱形的性质得到04=2,08=1,利用勾股定理求出=证明..AC^SqAEC,得到

受嘿嘿邛‘求出庭=竽,A八券求出SACL*再根据点。是AC中点，即可求解.

【详解】解：菱形A5C。中，两条对角线相交于点。，AC=4,BD=2,

OA=2,OB=1,

••AB=NO#+OB2=5

CE.LAB,AC.LBD,

ZAEC=ZAOB=90°.

ZA=ZA.，

AOB^^AEC,

,ABOB_OA_^5

,AC-CE-AE-V

.G4行_8行

••CE=-----,AE=------,

55

.0_15”」4687516

,,S——CE•A.E——x------x--------——

AcrF22555

.・点。是AC中点,

-C___C—

,•0,COE_2口ACE_5'

故答案为：g.

【点睛】本题考查菱形的性质，三角形中线的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形

的性质是解题的关键.

【变式2-8］（2024•上海浦东新•一模）如图，在VABC中，AB=4,AC=6,石为3c中点，AD为VABC的

角平分线，VABC的面积记为跖，VADE的面积记为Sz，贝U邑:岳=

24

A

【答案】1:10

【分析】此题考查角平分线的性质，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答.根

据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可.

【详解】解：过点。作。

AD为VABC的角平分线，

DM=DN,

EM3=4,AC=6,E为BC中点,

团S'ABE=SvAEC=3$VABC，

q-ABDM

4_2

SvADC-ACDN6-3

2

设S'ABD~2羽SVAOC-3x,贝!JSvABC=5x,SvABE=^NAEC=5"

则52=3无一|工

S5x

x10

故答案为：1:10.

4

【变式2-9］（2024•广东广州•二模）如图，已知中，AC1BD,BC=8,CD=4,cosZABC=-,BE

为4）边上的中线.

⑴求AC的长;

25

⑵求.BED的面积.

【答案】(1)AC=6

⑵18

【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，熟知余弦的定义及三角形中线的性质是解题的关键.

(1)先根据-ABC的余弦求出48的长，再利用勾股定理即可解决问题.

(2)根据3E为AD边上的中线可知，的面积是△回〃面积的一半，据此可解决问题.

【详解】(1)AC±BD,

..ZACB=ZACD=90°.

在RtZXABC中，

cosZABC=,

AB

o

:.AB=—=10

4,

5

AC=A/102-82=6-

(2)迎为AD边上的中线，

一,0SBED~=2-SABD•

又♦,sABD=g-2»AC=；xl2x6=36,

・•^,BED=_x36=18・

题型三：与中位线有关问题

।ii^iw...............................

与中位线有关的解题关键

利用中位线的性质解题，如图，在△ABC中，D,E分别为AB,AC的中点，则DE//BC,

\11

DE=—BC,SAADE=—SAABC

4

i

i

A

24

iBC

【中考母题学方法】

26

【典例3-1】（2024•广东深圳•模拟预测）【定义】我们把两条中线互相垂直的三角形称为"中垂三角形

【示例】如图，AF,BE是VA3c的中线，MAF^BE,垂足为P,像VABC这样的三角形称作"中垂三角

形".设BC=a,AC=b,AB=c.数学兴趣小组想研究“中垂三角形”的三边是否存在某种关系，进行了如

下探究过程：

⑴【特例探究】如图2,VABC为“中垂三角形"，当NABE=30。，c=4时，求。，b的值；

解：I3VA3C为"中垂三角形"，即

又EIZABE=30°,AB=c=4,

0AP=2,BP=@,

BE分别是中线，连接族，

EI£F是VABC的中位线，

0EF//AB,EF=-AE,

2

团NABP=NFEB,ZBAP=ZEFP,

QAABPsBEP,

^\FP=-AP=1,

2

...（此处省略部分步骤）

0BC=a=®,AC=b=@.

完成上述解题过程中的填空；

①:,②：,③:；

（2）【归纳证明】请你观察（1）中的解题思路及计算结果，猜想b2,°?三者之间的关系，用等式表示

出来，并利用图3证明你发现的关系式；

（3）【拓展应用】利用（2）中的结论，解答下列问题：如图4,在边长为8的菱形ABCD中，。为对角线AC,

3D的交点，E,尸分别为线段。4,OD的中点，连接BE,CF并延长交于点M,BM,CN分别交AD于

点G,H,直接写出政不+必尸的值.

27

【答案】(1)2A/3,2岳,2-；

⑵4+〃=5/,见解析；

,320

3—.

9

【分析】(1)判断一AB尸为等腰直角三角形，计算即可；

(2)设AP=m，BP=n,表示线段PE,PF,最后利用勾股定理即可；

111

(3)证出MH=-MC,MG?+MH?=.(MB?+MC?)即可求解；

本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的性质，30。角所对直角边是斜边的一半，熟练掌握知识点

的应用是解题的关键.

【详解】(1)解：如图，连接砂，

省略步骤为：PE=也PF=g,

国AE=JAP。+PE。=小2?+（小j=r,BP=dAB?-AP2=,4?=2百,

0BF=y]PF2+BP2=J12+（2A/3）2=屈,

©BC=a=2BF=2屈,AC=b=2AE=2币,

故答案为：2拒,2岳,2A/7；

（2）解：a2+Z?2=5c2,理由如下：

连接取，

28

c

设AP=m,BP=n,

贝！Jc2=AB2=/+/

^EF//AB,EF=-AB,

2

团PABs_PFE，

APBP丝=2

0——二

PFPEPE

SPE=-BP^-nPF^-AP^-m,

2222

^AE2=AP2+PE2=rrr+-n2BF2=PF2+BP2=-m2+n2,

44

HZ?2=AC2=4AE2=4m2+n2,a1=BC2=4BF2=4n2+m2，

国储+〃=5(川+〃2)=5。2；

(3)解：连接£尸，

团四边形A5CD为菱形，

⑦AO=CO,AD//BC,AD=BCf

团E,尸分别为线段Q4,OO的中点,

11

团AE=OE——EC,AG//BC,EF=—AD,EF//AD,

32

团△AGESMBE,EF//BC,

AGAE1

团---=---

BCEC3

29

^AG=-BC=-AD,

33

^EF=-AD^-BC,

22

同理=

BGH=-AD=-BC,

33

⑦GH〃BC,

^NMGH^NMBC,

MGMHGH_1

团——=

MBMCBC-3

11

^\MG=-MB,MH=-MC,

33

^\MG2+MH2=1(MB2+MC2)^^,

故MG'+MH?的值为3罟20.

【典例3-2】(2024•重庆九龙坡•三模)小明想利用三角形全等的知识，再探三角形中位线定理，他的探究思

路如下：如图，在VABC中，点D、E分别为43、AC的中点，连接DE,过点C在AC的右边作/ACT,

使得NACF=N1MC,延长。£交6口于点尸，然后通过证明一ADE二一CFE和平行四边形8CFD来证明三角

形中位线定理，请完成下面的作图和填空.

(1)用尺规完成以下基本作图：以点C为顶点，在AC的右侧作N4CF=N54C,延长DE,交C尸于点尸；(保

留作图痕迹，不写作法，不下结论)

(2)求证：BC=2DE,BC//DE.

证明：回点E为AC的中点，

0AE—CE,

J^ZACF=ZBAC,

回①______________________

在VADE和△CFE中,

30

/DAE二ZFCE

<AE=CE,

、②

团^ADE^CFE,

回③，DE=FE,

回点。为A5的中点，

团AD=BD,

回④,

团四边形OBCF是平行四边形，

^DF=BC,DF//BC,

国DE=FE,

回⑤，

SBC=2DE,BC//DE.

【答案】⑴画图见解析

(2)①ABCF-@ZAED=ZCEF；®AD