2025浙江中考数学专项复习：圆（含答案详解）

专题16圆

,考情聚焦/

课标要求考点考向

1.理解圆的有关概念和性质，了解圆心角、弧、弦之间的考向一垂径定理

关系.

考向二圆心（周）角、弧、弦

2.了解圆心角与圆周角及其所对弧的关系，掌握垂径定理

圆的基

及推论.考向三圆的内接四边形、圆周角

本性质

定理及推论

3,了解圆的内接四边形性质及其应用

探索并了解点和圆、直线和圆的位置关系.

4.考向四圆综合

5.知道三角形的内心和外心.

6.了解切线的概念，并掌握切线的判定和性质，会过圆上

与圆有考向一点、直线与圆的位置关系

一点画圆的切线.

关的位

7.会计算圆的弧长和扇形的面积.

置关系

8.会计算圆柱和圆锥的侧面积和全面积.

及计算考向二圆、扇形等相关计算

9.了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.

真题透视/

考点一圆的基本性质

A考向一垂径定理

易错易混提醒

垂径定理及推论

1.垂径定理

垂直于弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

2.推论1

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，

并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

3.推论2

圆的两条平行弦所夹的弧相等.

4.（1）过圆心；（2）平分弦（不是直径）；（3）垂直于弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所

对的劣弧.若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项.

1.（2023•湖州）如图，0A是。。的半径，弦BCLOA于点D连结02.若。。的半径为5CM,BC的长

【答案】3.

【分析】根据垂径定理和勾股定理列方程即可.

【解答】解：:BCLOA,BC=8cm,

BD=CD=AfiC=4cm,BD1+OD1=OB1,

2

OB—5cm,

A42+OD2=52,

；.OD=3或0。=-3（舍去），

...OO的长是3cm,

故答案为：3.

【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题关键是连接半径，构建直角三角形，列方程解决问题.

A考向二圆心（周）角定理及推理

易错易混提醒

圆心角、弧、弦之间的关系

1.定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.

2.推论

同圆或等圆中：（1）两个圆心角相等；（2）两条弧相等；（3）两条弦相等.三项中有一项成立，则其余

对应的两项也成立.

四、圆心角与圆周角

1.定义

顶点在圆心上的角叫做圆心角；顶点在圆上，角的两边和圆都相交的角叫做圆周角.

2.性质

（1）圆心角的度数等于它所对的弧的度数.

（2）一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的度数的一半.

（3）同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等.

（4）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.

1.（2023•湖州）如图，点A,B,C在O。上，连结AB,AC,OB,OC.若N54C=50°,则N80C的

B.90°C.100°D.110°

【答案】C

【分析】直接利用圆周角定理求解即可求得/BOC的度数.

【解答】解：'：ZBAC=5Q°,ZBOC=2ZBAC,

：.ZBOC=100°.

故选：C.

【点评】此题考查了圆周角定理.注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧

所对的圆心角的一半.

2.（2023•温州）如图，四边形ABC。内接于OO,BC//AD,ACA.BD.若/AOD=120°,AD=，则

/C4O的度数与8c的长分别为（）

A

S

A.10°,1B.10°,V2C.15°,1D.15°,V2

【答案】C

【分析】由平行线的性质，圆周角定理，垂直的定义，推出/4?B=NCOD=90°,ZCAD=ZBDA=

45°,求出NBOC=60°,得到△BOC是等边三角形，得至I]BC=OB,由等腰三角形的性质求出圆的半

径长，求出/OAO的度数，即可得到BC的长，/C4O的度数.

【解答】解：连接。2,OC,

'：BC//AD,

：.ZDBC=ZADB,

•**AB=CD，

AZAOB=ZCOD,ZCAD=ZBDA,

u：DBA.AC,

：.ZAED=90°,

：.ZCAD=ZBDA=45°,

AZAOB=2ZADB=90°,ZCOD=2ZCAD=90°,

VZAOD=120°,

AZBOC=360°-90°-90°-120°=60°,

*：OB=OC,

•••△OBC是等边三角形，

:・BC=OB,

*：OA=OD,NAOD=120°,

・・・NO40=NOD4=3O°,

：.OA=1,

：.BC=\,

：.ZCAO=ZCAD-ZOAD=45°-30°=15°.

故选：C.

【点评】本题考查圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是

由圆周角定理推出NAO3=NCOD=90°,ZCAD=ZBDA=45°,证明△05。是等边三角形.

3.(2023•杭州)如图，在。。中，半径。4,03互相垂直，点C在劣弧A8上.若NA8C=19°,则N

BAC=()

A.23°B.24°C.25D.26°

【答案】D

【分析】连接OC,根据圆周角定理可求解NAOC的度数，结合垂直的定义可求解N30C的度数，再利

用圆周角定理可求解.

【解答】解：连接OC,

VZABC=19°,

；./AOC=2/ABC=38°,

•.•半径。4,08互相垂直，

ZAOB=9Q°,

ZBOC=90°-38°=52°,

：.ZBAC=AZBOC=26°,

2

故选：D.

【点评】本题主要考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键.

4.（2022•温州）如图，AB,AC是。。的两条弦，于点。，OELAC于点E,连结。8,OC.若

ZDOE=130°,则/20C的度数为（）

A.95°B.100°C.105°D.130°

【答案】B

【分析】根据四边形的内角和等于360。计算可得/BAC=50°,再根据圆周角定理得到/BOC=2NBAC,

进而可以得到答案.

【解答】解：,：OD±AB,OELAC,

：.ZADO=90°,ZAEO=9Q°,

VZDO£=130°,

AZBAC=360°-90°-90°-130°=50°,

AZBOC=2ZBAC=100°,

故选：B.

【点评】本题考查的是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所

对的圆心角的一半.

5.（2022•湖州）如图，已知A3是的弦，120°,OCLAB,垂足为C,0c的延长线交。。

于点D若NAPD是向所对的圆周角，则NAPD的度数是30°

【答案】30°.

【分析】由垂径定理得出俞=俞，由圆心角、弧、弦的关系定理得出NA0r>=N20D,进而得出NAO。

=60°,由圆周角定理得出/APO=』/49£>=30°,得出答案.

2

【解答】解：'：OC±AB,

AD=BD»

ZAOD=ZBOD,

VZAOB=120°,

ZAOD=ZB(9D=AZAOB=60O,

2

?.ZAPD=AZAOD=Ax60°=30°,

22

故答案为：30°.

【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理，垂径定理，

圆心角、弧、弦的关系定理是解决问题的关键.

A考向三圆的内接四边形

,四边形ABCD内接于圆。，若/。=100°,则NB的度数是80°.

C

【答案】80°.

【分析】由圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，即可得到答案.

【解答】解：：四边形ABC。内接于圆O,

:./8+/。=180°,

VZD=100°,

AZB=80°.

故答案为：80°.

【点评】本题考查圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的性质.

2.（2024•浙江）如图，在圆内接四边形4BCD中，AD<AC,ZADC<ABAD,延长4D至点E,使AE

=AC,延长BA至点尸，连结EF,^ZAFE=ZADC.

（1）若/AFE=60°,CO为直径，求/ABD的度数.

（2）求证：®EF//BC；

②EF=BD.

【答案】（1）30°；

（2）详见解答.

【分析】（1）根据圆周角定理进行计算即可；

（2）①利用圆内接四边形的外角等于它的内对角以及平行线的判定方法即可得出结论;

②根据全等三角形的性质，圆周角定理进行解答即可.

【解答】（1）解：・••”）为直径，

AZCA£>=90°,

VZAFE=ZADC=60Q,

：.ZACD=90°-60°=30°,

：.ZABD=ZACD=30Q；

（2）证明：①如图，延长AB,

"/四边形ABCD是圆内接四边形，

:./CBM=ZADC,

又；ZAFE=ZADC,

：.ZAFE=ZCBM,

J.EF//BC；

②过点。作DG〃2C交。。于点G,连接AG,CG,

'：DG//BC,

•••BD=CG>

：.BD=CG,

四边形ACGD是圆内接四边形，

：.ZGDE=ZACG,

"."EF//DG,

：.ZDEF=ZGDE,

：.ZDEF=ZACG,

"?ZAFE=ZADC,ZADC=ZAGC,

：.NAFE=ZAGC,

'：AE=AC,

：./\AEF^/\ACG(44S),

：.EF=CG,

【点评】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质以及平行

四边形的性质是正确解答的关键.

A考向四圆综合

1.(2023•杭州)如图，在O。中，直径垂直弦CD于点E,连接AC,AD,BC,作CFLAD于点F

交线段于点G(不与点。，8重合)，连接OP.

(1)若BE=l,求GE的长.

(2)求证：BC2=BG'BO.

(3)若FO=FG,猜想/CA。的度数，并证明你的结论.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)由垂径定理可得/AEO=90°,结合CFLAO可得根据圆周角定理可得

ZDAE=ZBCD,进而可得通过证明△BCE^^GCE,可得GE=BE=1；

(2)证明△ACBS^CEB,根据对应边成比例可得8C2=BA・3E,再根据AB=2BO,BE=^BG,可证

2

BC2=BG-BO；

(3)方法一：设/D4E=/C4E=a,ZFOG=ZFGO=^,可证a=90°-p,ZOCF=90-3a,通过

SAS证明△COf'g/XAOR进而可得NOCF=NOAF,即90°-3a=a,则/CAO=2a=45°.方法二：

延长R9交AC于点H,连接0C,证明△人■：是等腰直角三角形，即可解决问题.

［解答］(1)解：直径AB垂直弦CD,

：.ZAED=90°,

：.ZDAE+ZD=90°,

\'CF±AD,

；./"£>+/£>=90°,

：.ZDAE=ZFCD,

由圆周角定理得/D4E=/BCD,

ZBCD^ZFCD,

在和△GCE中，

，ZBCE=ZGCE

<CE=CE，

ZBEC=ZGEC

:.△BCE"AGCE(ASA),

：.GE^BE=l；

(2)证明：是OO的直径，

AZACB=90°,

：.ZACB=ZCEB=90°,

'：ZABC=ZCBE,

:.△ACBsXCEB,

.BC=BA

"BEBC'

：.BC2=BA'BE,

由(1)知GE=BE,

：.BE=^BG,

2

\'AB=2BO,

：.BC2=BA-BE=2BO-^BG=BG-BO；

2

(3)解：ZCAD=45°,证明如下:

解法一：如图，连接OC,

*：FO=FG,

：.ZFOG=ZFGO,

・・•直径AB垂直弦CD

ACE=DE,ZAED=ZAEC=90°,

\*AE=AE,

：.AACE^AADE(SAS),

・・・ZDAE=ZCAE,

设NZME=NCAE=a,NFOG=NFGO=B，

则/FCD=ZBCD=NDAE=a,

•・・O4=0C,

：.ZOCA=ZOAC=a,

VZACB=90°,

/.ZOCF=ZACB-ZOCA-ZFCD-ZBCD=90°-3a,

*：ZCGE=ZOGF=^f/GCE=a,NCGE+/GCE=90°,

AP+a=90°,

.*.a=90°-p,

,?/COG=NQAC+NOG4=a+a=2a,

：.ZCOF=ZCOG+ZGOF=2a+^=2(90°-0)+0=180°-p,

AZCOF=ZAOF,

在△CO尸和aAO尸中，

'CO=AO

<NCOF=NAOF，

OF=OF

/.△COF^AAOF(5A5),

：.ZOCF=ZOAF,

即90°-3a=a,

：.a=22.5°,

：.ZCAD=2a=45°.

解法二：

如图，延长尸。交AC于点“，连接OC,

•；FO=FG,

：.ZFOG=/FGO,

：.ZFOG=ZFGO=ZCGB=ZB,

：.BC//FH,

•・・A3是。。的直径，

AZACB=90°,

ZACB=ZAHO=90°,

"：OA=OC,

：.AH=CH,

：.AF=CF,

"：CF±AD,

AAFC是等腰直角三角形,

AZCAD=45°.

【点评】本题是圆的综合题，考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判

定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，特别是第3问，需要

大胆猜想，再逐步论证.

2.（2023•宁波）如图，在Rt^ABC中，NC=90°,E为AB边上一点,以AE为直径的半圆。与BC相

切于点D连结ADBE=3,BD=3泥.尸是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为6

或2面.

【答案】6或2屈.

【分析】连接。。，DE,根据切线的性质和勾股定理求出。。=6,然后分三种情况讨论：①当AP=PD

时，此时P与0重合，②如图2,当AP=AO时，③如图3,当OP''=A£>时，分别进行求解即可.

【解答】解：如图1,连接OZ),DE,

•••半圆。与BC相切于点。，

：.OD±BC,

在中，OB=OE+BE=OD+3,BD=3疵.

：.OB1=BD1+OD1,

：.(OD+3)2=(3旄)2+OD2,

解得0D=6,

：.AO=EO=OD=6,

①当AP=PO时，此时尸与O重合，

：.AP=AO=6；

②如图2,当AP=A。时，

在RtZXABC中，

VZC=90°,

：.AC±BC,

J.OD//AC,

：.ABODsABAC,

.OD=BD=BO

,,ACBCBA，

.6_3V5_3+6

"AC375VD3+6+6'

：.AC=W,CD=2低,

=Jioo+2O=2730，

/.AD=^AC24CD2

：.AP'=AD=2730;

③如图3,当Z>P'=AD时，

•：AD=2y[3Q,

：.DP'1=AD=2430<

'：OD=OA,

：.ZODA=ZBAD,

J.OD//AC,

：.ZODA=ZCAD,

：.ZBAD=ZCAD,

；.AD平分NA4C,

过点D作DH±AE于点H,

：.AH=P"H,DH=DC=2炳,

"：AD=AD,

.,.RtAADZ/^RtAADC(HL),

：.AH=AC=10,

：.AH=AC=P"”=10,

：.AP"=2AH=20(P为A3边上一点，不符合题意，舍去)，

综上所述：当△ADP为等腰三角形时，AP的长为6或2技.

故答案为：6或2板i.

图1

【点评】此题属于圆的综合题，考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质,

全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，综合性强，解决本题的关键是利用分类讨论思想.

3.(2023•台州)我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置

刻画圆上点的位置.如图，AB是的直径，直线/是。。的切线，8为切点.P,。是圆上两点(不与

点A重合，且在直径AB的同侧)，分别作射线AP,AQ交直线/于点C,点。.

(1)如图1,当48=6,弧B尸长为IT时，求BC的长；

(2)如图2,当迪=A,BP=PQBt,求生的值；

AB4CD

(3)如图3,当sin/BAQ”^，BC=C。时，连接8尸，PQ,直接写出粤的值.

图1图2图3

【答案】(1)2c=2«；

(2)区=旦；

CD4

(3)PQ=VIo..

BP4

【分析】(1)连接。尸，设N20尸的度数为“，可得匚"”=60,即NBOP=60°,故/BAP

180

=30°,而直线/是。。的切线，有/ABC=90°,从而8C=¥>=2我；

V3

(2)连接2。，过点C作CFLAD于点R求出cos/BAQ—AQ-3,由BP=PQ>得NA4C=/mC,

AB4

<CF=BC,证明/尸即得里=3,故幽=旦；

CD4CD4

(3)连接BQ,证明SAOC得骂_=理■①，证明SAB得坦②，由BC=

△APQZ\,△APB/\C,

CDADBCAB

CD,将①②两式相除得：-^=—,故曳=

BPADBP4

【解答】解：(1)如图，连接OP,

BCD

设48。尸的度数为,

'：AB=6,BP长为n，

•.n.-K-----X----3---71,

180

：.n=60,即N3O尸=60°,

AZBAP=30°,

・・•直线/是。。的切线，

AZABC=90°,

ABC=tan30°\45=2«；

(2)如图，连接8Q,过点。作CRLAZ)于点R

•・・A3为。。直径，

AZBQA=90°,

cosZBAQ=^-=—,

AB4

,--BP=PQ，

・•・ZBAC=ZDAC,

VCFLAD,ABLBC,

：.CF=BC,

VZBAQ+ZADB=90°,NFCD+NADB=90°,

・•・ZFCD=ZBAQ,

/.cosZFCD=cosZBAQ=^,

•.C•—F_3—,

CD4

.BC-3

••——;

CD4

(3)如图，连接BQ,

A

：.ZABQ=90°-ZQBD=ZADC,

"：ZABQ=ZAPQ,

：.ZAPQ=ZADC,

ZPAQ=ZDAC,

：.△APQS/\AQC,

.•.曳=四①，

CDAD

VZABC=90°=ZAPB,ZBAC=ZPAB,

：.AAPB^AABC,

史龙■②，

BCAB

由BC=CD,将①②两式相除得：

PQ=AB

BPAD，

■：cosZBAQ=-^-=J^-,

AD4

.PQ^A/10

"BP

【点评】本题考查圆的综合应用，涉及相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，圆的切线等知识，解

题的关键是熟练掌握圆的相关性质及应用.

4.（2023•宁波）如图1,锐角△ABC内接于O。，D为BC的中点，连结AD并延长交。。于点E,连结

BE,CE,过C作AC的垂线交AE于点尸，点G在上，连结BG,CG,若3c平分NEBG且NBCG

ZAFC.

AA

(1)求NBGC的度数.

(2)①求证：AF=BC.

②若AG=DF,求tan/GBC的值.

(3)如图2,当点。恰好在BG上且。G=1时，求AC的长.

【答案】(1)ZBGC=90°；

(2)①证明过程见解答；

②tan/GBC的值为H；

5

(3)AC的长为，丞之.

2

【分析】(1)根据同弧圆周角相等得/EBC=/EAC,然后利用直角三角形两个锐角互余即可解决问题；

(2)①证明△AC歹名ABGC(ASA),即可解决问题；

②过点C作CHLEG于点X,设AG=DP=2x,根据勾股定理和锐角三角函数即可解决问题；

(3)过点。作OM_LBE于点M,连结OC交AE于点M分别证明△EBOgA/VCQ(ASA),△COGQ

/\OBM(A4S),得BM=OG=1,设02=0C=r,然后由△GONs^GBE,对应边成比例，求出r的

值，进而可求AC的长.

【解答】(1)解：•.•BC平分/EBG,

ZEBC=ZCBG,

'：ZEBC=ZEAC,

：.ZCBG=ZEAC,

'：AC±FC,

：.ZAFC+ZEAC=9Q°,

*//BCG=NAFC,

：.ZBCG+ZCBG=90°,

：.ZBGC=90°；

(2)①证明：：/BGC=90°,。为BC中点，

:,GD=CD,

：./DGC=/DCG,

'：ZBCG=ZAFC,

：.ZDGC=ZAFC,

:・CF=CG,

VZACF=ZBGC=90°,

AAACF^ABGC(ASA),

：.AF=BC；

②解：如图1,过点。作CH,EG于点m

图1

设4G=0/=2x,

AACF^ABGC,

：.AF=BC=2DGf

：.CD=DG=AG+DF=4x,

■:CF=CG,

:・HG=HF=3x,

：.DH=x,AH=5xf

CH=VCD2-DH2=V(4X)2-X2=^X,

Z.tanZGBC=tanZCAF=^=,

AH5

：.tanZGBC的值为MIE；

5

(3)解：如图2,过点。作于点M,连结0C交AE于点N,

A

E

图2

•：OB=OC,

：.ZCBE=ZOBC=ZOCB,

OC//BE,

■:BD=CD,ZBDE=ZCDN,

：./\EBD^/\NCD(ASA),

：・BE=CN,

OC//BE,

：.ZGOC=ZMBOf

ZCGO=ZOMB=90°,OC=OB,

•・.△COG怂△OBM(AAS),

：.BM=OG=1,

*.*OMLBE,

:・CN=BE=2BM=2,

设O8=OC=r,

■:OC//BE,

:•丛GONs/\GBE,

・GO=ON

**GBBE，

•・•--1--_--r--2,

r+l2

解得r=或一百］(舍去)，

22

由(2)知：AACF^ABGC,

：.AC=BG=BO+OG=r+\=^.

2

：.AC的长为+&.

2

【点评】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的

判定与性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问

题.

5.(2023•丽水)如图，在。。中，是一条不过圆心。的弦，点C,。是篇的三等分点，直径CE交

于点尸，连结交CF于点G,连结AC,过点C的切线交BA的延长线于点H.

(1)求证：AD//HC；

(2)若或=2,求tan/MG的值；

GC

(3)连结BC交于点N,若的半径为5.

下面三个问题，依次按照易、中、难排列.请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答.

①若。尸=9,求BC的长；

2

②若求△A7V3的周长；

③若HF・AB=88,求△①/C的面积.

(2)tanZFAG的值为

5

(3)①2c的长为包巨.

2

②△ANB的周长为坨叵淳.

53

③ABHC的面积为•!空.

5

【分析】(1)根据题意可得京=而=血，再由"C是。。的切线，即可求证.

(2)先证明△C4G丝△阳G(ASA),设出CG,根据勾股定理即可求解.

(3)①根据题意，求出AG的长，再由筋=而=加即可求解.

②根据题意可求得余=而=而，再由勾股定理及相似三角形的性质即可求解.

③作出辅助线，设出CG,利用勾股定理及相似三角形的性质可得方程10x+x(5-2x)=22,进而可求

得SACH4=8,再证明△CHAsaBHC,即可解答.

【解答】(1)证明：•.•点C,。是窟的三等分点，

AC=CD=DB.

由CE是。。的直径可得CE±AD,

是OO的切线，

：.HC±CE,

.'.AD//HC.

BD=CD，

：.ZBAD=ZCAD,

\'CE±AD,

：.ZAGC=ZAGF=90°,

：./\CAG^/\FAGCASA),

：.CG=FG,

设CG=a,贝ijBG=m

.•.-O--G---y°,

CG/

OG—2a,AO—CO—3a.

在RtZ\AOG中，AO2=AG2+OG2,

(3a)2=AG2+(2a)2,

AG=V5a，

•*,tan/FAG•

AG5

答：tan/朋G的值为近•.

5

(3)解：①如图1,VQF=1-,OC=OA=5,

5

••CGf，

•••OG噂

・••AGWM-OG?二平,

VCE±AZ),

：.AD=2AG=^H-

2

VAC=CD=DB，

・・・AD=CB，

.5V7

••BC=AD=2iy-

答：3c的长为旦旦.

2

：.AH=AF,

:/HCF=90°,

•••AC=AH=AF=ViO-

设CG=x,则FG=x,OG=5-x,

由勾股定理得AG?5。？_QG2=AC2-CG2,

即25-(5-x)2=10-7,

解得尤=1,

.•.AG=3,AD—6,

VCD=DB-

:./DAC=/BCD,

•:/CDN=ZADC,

:•丛CDNs丛ADC,

.NDCD

"CD"AD

,//BAD=ADAC,ZABN=ZADC,

：.AANBSAACD,

.c"vAN-v13_13Vio2€

"1CAANB=CAACDx而(6+2V10)与

答：4ANB的周长为1出万元

53

③如图3,过点0作OM_LAB于点M,则AM=MB=、AB，

图3

设CG=x,则FG=x,0G=5-x,0F=5-2x,

由勾股定理得AG2=AO2-OG2=25-(5-x)2,

AF1—AC^+FG1=1Ox-/+/=lOx,

U：AD//HC,FG=CG,

•■•AH=AF=yHF>

AG=yHC>

AF•AM=vHF-4AB-THF-AB=vX88=22-

2244

VZAGF=ZOMF=90°,ZAFG=ZOFM,

：./\AFG^/\OFM,

•.•-A-F--G-F,

OFFM

：.AF-FM=OF-GF,

：.AF-AM=AF*CAF+FM)=AF2+AF-FM=AF1+OF-GF=22,

可得方程lOx+x(5-2x)=22,

解得xi=2,X2=5.5(舍去)，

：・CG=FG=2,

：.OG=3,

・・・AG=4,

.\HC=8,AH=AF=2>/5,

*••S^CHA=8，

*：AD//HC,

：.ZCAD=ZACH,

VAC=CD-

・・・/B=/CAD,

：./B=/ACH,

/H=/H,

答：△BHC的面积为侬.

5

【点评】本题考查了圆的综合应用，解题的关键是作出辅助线，构造相似三角形解答.

6.(2022•宁波)如图1,。。为锐角三角形4BC的外接圆，点。在前上，交BC于点E,点尸在AE

上，满足/AFB-/BFD=NACB,FG〃AC交.BC于点、G,BE=FG,连结BD,DG.设NAC3=a.

(1)用含a的代数式表示/BED.

(2)求证：ABDE2/XFDG.

(3)如图2,A。为O。的直径.

①当篇的长为2时，求々的长.

②当OF：OE—4：11时，求cosa的值.

D

mi图2

【答案】(1)90。；

2

(2)证明见解答过程；

(3)①3；

②互.

8

【分析】(1)联立NAFB-NBFD=NACB=a.,ZAFB+ZBFD=180°,即可得出NBFD的度数；

(2)根据角的关系得出08=0凡推出又BE=FG,即可根据SAS证两三角形全等；

(3)①用a表示出/ABC的度数，根据度数比等于弧长比计算弧长即可；

②证△BOGs/XBOF,设相似比为4,OF=4x,则可得出OE,DE,GE的长度，根据比例关系得出方程

求出％的值，在用x的代数式分别表示出8。和AQ,即可得出结论.

【解答】解：(1)•.•/AFB-NBFZ>=/ACB=a，①

X•?ZAFB+ZBFD=180°,②

②-①，得2/2尸。=180°-a,

/.ZBFD=90°-—；

2

(2)由(1)得N3Fr)=9(r--,

2

"?ZADB=ZACB=a,

：.ZFB£)=180°-ZADB-NBFD=90°-―,

2

：.DB=DF,

,JFG//AC,

：.ZCAD=ZDFG,

•:/CAD=/DBE,

：.ZDFG=ZDBE,

在△BOE和△FOG中，

'DB=DF

-ZDFG=ZDBE>

BE=FG

:.△BDEm/\FDG(SAS)；

(3)①•：ABDE冬/XFDG,

：.ZFDG=ZBDE=a,

：.ZBDG=ZBDF+ZEDG=2a,

'：DE=DG,

：.ZDGE=^-(180°-ZFDG)=90°-—,

22

ZDBG=180°-ZBDG-ZDGE=90°-2

2

'：AD是OO的直径，

AZAB£)=90°,

ZABC=ZABD-ZDBG=^~,

2

,竟与会所对的圆心角度数之比为3：2,

二京与金的长度之比为3：2,

VAB=2,

AC=3；

②如图，连接30,

"：OB=OD,

：.ZOBD=ZODB=a,

：./BOF=ZOBD+ZODB^2a,

NBDG=2a,

：.ZBOF=ZBDG,

,：ZBGD=ZBFO=90°-—,

2

:.ABDGs^BOF,

设△BDG与ABOF的相似比为k,

•.D•-G-=--B-D--=|z,,

OFBO

.•.O=F------4-，

OE11

，设。尸=4x,则OE=llx,DE=DG=4kx,

：・OB=OD=OE+DE=llx+4kx,BD=DF=OF+OD15x+4Ax,

.・BD=15x+4kx=15+4k

OBllx+4kxll+4k

由15+4k=匕得4经+7左-15=0,

ll+4k

解得左=5或-3（舍去）,

4

.•・O£）=nx+4fcr=16x,BD=15x+4fcx=20x,

：.AD=2OD=32x,

在Rtz^ABO中，cos/AOB=^=^^=5

AD32x8

...cosa=—5.

8

方法二：连接OB,作BM_LA。于M,

由题意知，△BDF和△BEP都是等腰三角形，

：.EM=MF,

设。E=U,0F=4,

设DE=m,则02=机+11,OM=3.5,BD=m+15,DM=m+1.5,

：.OB2-OM2=BEr-DM2,

即(川+11)2-3.52=(m+15)2-(m+7.5)2,

解得m=5或m=-12(舍去)，

BD8

【点评】本题主要考查圆的综合题，熟练掌握圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似

三角形的判定和性质等知识是解题的关键.

考点二与园有关的位置关系及计算

A考向一点、直线与圆的位置关系

易错易混提醒

一、点与圆的位置关系

1.点和圆的位置关系

点在圆上，点在圆内，点在圆外.

2.点和圆的位置关系的判断

如果圆的半径是r,点到圆心的距离为d,那么点在圆外Od>r；点在圆上=d=r；点在圆内=d<r.

3.过三点的圆

(1)经过三点的圆：①经过在同一直线上的三点不能作圆；②经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆.

(2)三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形，的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；这个三

角形叫做这个圆的内接三角形.

二、直线与圆的位置关系

1.直线和圆的位置关系

相切、相离、相交.

2.概念

(1)直线和圆有两个交点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线；(2)直线和圆有唯一公

共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点；(3)直线和圆没有公共点，

这时我们说这条直线和圆相离.

3.直线和圆的位置关系的判断

如果圆的半径是r,直线1到圆心的距离为d,那么直线1和。。相交Qd<r；直线1和。。相切od=r；

直线1和。O相离=d>r.

L~(2024•浙江)如图，A3是。。的直径，AC与。。相切，A为切点，连接2C.已知NAC2=50°,则

/B的度数为40°.

【答案】40°.

【分析】由切线的性质得到N54C=90°,由直角三角形的性质求出NB=90°-50°=40.

【解答】解：:AB是O。的直径，AC与相切，A为切点，

：.BA±AC,

：.ZBAC=90°,

,：ZACB=50°,

：.ZB=90°-50°=40°.

故答案为：40°.

【点评】本题考查切线的性质，关键是由切线的性质得到NBAC=90°.

2.（2023•浙江）如图，点A是。。外一点，AB,AC分别与O。相切于点8,C,点。在BDC上.已知/

A=50°,则/'的度数是65°.

【答案】见试题解答内容

【分析】连接。C,OB,根据切线的性质得到/ACO=NABO=90°,求得/COB=360°-ZA-ZACO

-ZABO=130°,根据圆周角定理即可得到结论.

【解答】解：连接OC,OB,

'：AB,AC分别与。0相切于点2,C,

：.ZACO=ZABO=90°,

'：ZA=50°,

：.ZCOB=360°-ZA-ZACO-ZABO=130°,

ZD=yZC0B=65°，

故答案为：65°.

B

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键.

3.（2023•衢州）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽A2CD是矩形.当餐盘正立且

【答案】见试题解答内容

【分析】连接。4,过点。作OE_LBC,交BC于点、E,交AD于点、F,则点E为餐盘与BC边的切点,

由矩形的性质得AD=2C=16。"，AZ）〃2C,ZBCD=ZADC=90°,则四边形CAFE是矩形，OE±AD,

得CD=EF=4an,ZAFO=90°,AF=DF=8cm,设餐盘的半径为xan,则。4=0E=_xcm,0F=(x

-4)cm,然后由勾股定理列出方程，解方程即可.

【解答】解：由题意得：BC=16cm,CD=4cm,

如图，连接OA,过点。作OELBC,交BC于点E,交A£)于点R

则/CEC=90°,

•••餐盘与BC边相切，

.•.点£为切点，

•..四边形ABCD是矩形,

：.AD=BC=16cm,AD//BC,ZBCD=ZADC=90°,

四边形C£>FE是矩形，OE_LA£>,

；.CD=EF=4cm,ZAFO=90°,AF=DF=^-AD=^X16=8(cm),

22

设餐盘的半径为xcm,

贝UOA=OE=xcm,

：.OF=OE-EF=(x-4)cm,

在RtZXAFO中，由勾股定理得：AF2+OF2=OA1,

即82+G-4)2=/,

解得:尤=10,

餐盘的半径为10cm,

故答案为：10.

【点评】本题考查了切线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关

键.

4.(2023•绍兴)如图，AB是的直径，C是。。上一点，过点C作。。的切线C。，交AB的延长线于

点、D,过点A作AELCD于点E.

(1)若NEAC=25°,求/AC。的度数;

(2)若OB=2,BD=1,求CE的长.

E

C

【答案】（1）115°；（2）］遥.

3

【分析】（1）由垂直的定义得到/AEC=90°,由三角形外角的性质即可求出/4CO的度数；

（2）由勾股定理求出CO的长，由平行线分线段成比例定理得到里代入有关数据，即可求出CE

CE0A

的长.

【解答】解：（1）于点E,

ZAEC=90°

ZACD=ZAEC+ZEAC=900+25°=115°；

（2）是。。的切线，

半径OCLDE,

AZOCD=90°,

VOC=OB=2,BD=1,

：.OD=OB+BD=3,

:・CD=5/QD2-0C2=返•

"：ZOCD=ZAEC=90°,

：.OC//AE,

•.•CD二OD,

CEOA

.V53

••---=-,

CE2

/,CE=.

3

E

【点评】本题考查切线的性质，垂线，平行线分线段成比例，勾股定理，三角形外角的性质，关键是由

三角形外角的性质求出/ACD的度数，由勾股定理求出C。的长，由平行线分线段成比例定理即可求出

CE的长.

5.(2023•金华)如图，点A在第一象限内，OA与x轴相切于点B,与y轴相交于点C,D,连结AB,过

点A作A”,CD于点兄

(1)求证：四边形为矩形.

(2)已知OA的半径为4,OB=^7,求弦CD的长.

oBx

【答案】(1)见解析；

(2)6.

【分析】(1)根据切线的性质得到48，》轴根据垂直的定义得到乙阳0=/"。2=/0&1=90°,根

据矩形的判定定理得到四边形AHOB是矩形；

(2)连接AD,根据矩形的性质得到AH=OB=击,根据勾股定理得到DH=^AD2_AH2=

442-(4)2=3,根据垂径定理即可得到结论.

【解答】(1)证明：•；OA与x轴相切于点2,

."88轴

又瓦LCD,HOLOB,

ZAHO=ZHOB=ZOBA=9Q°,

四边形AHOB是矩形；

(2)解：连接A。，

「四边形是矩形，

:.AH=0B=ypi,

"：AD=AB=4,

D//=22=

・•・VAD-AH"-(4)2=3,

AHLCD,

：.CD=2DH=6.

【点评】本题考查