2025年中考数学三轮复习之圆

2025年中考数学三轮复习之圆

选择题（共10小题）

1.（2025•天心区校级一模）如图，正方形边长为a,点E是正方形ABC。内一点，满足NAE8=90°,连

接CE.给出四个结论：①力E+CE2金a；②CEW与^a；③N2CE的度数最大值为60°；④当CE

=a时，tan/AB£=｝上述结论中，所有正确结论的序号为（）

A.①②B.①③C.①④D.①③④

2.（2025•秦都区校级模拟）如图，△ABC内接于O。，AB为。。的直径，点。为。。上一点，连接OC、

BD、CD,若/OCB=58°,则/。的度数为（）

3.（2025•长沙模拟）如图，四边形A8CD内接于。。，过点8作8E〃C。交于点E.若NAEB=75°,

则N48C的度数为（）

4.（2025•天心区校级一模）如图，A8为。。的直径，弦CZ）_LAB于点若AB=10,CD=8,则。”的

长为（）

C.4D.5

5.（2025•金安区校级一模）如图，在。。中，弦AB,相交于点P,ZA=35°,ZAPD=80°,那么

N2度数为（）

C.65°D.45°

6.（2025•长安区一模）如图，在边长为5的正五边形ABCQE中，点。是对角线4c上一点，连接

OD,OE后将正五边形分成了①、②、③、④、⑤这五个三角形，则下列能确定大小的是（）

A.①与②的面积和B.②与③的面积和

C.②与④的面积和D.④与⑤的面积和

7.（2025•长安区一模）是△ABC的外接圆，在弧BC上找一点使点M平分弧BC.对图中的三种

作法，下列说法正确的是（）

做法一做法二做法三

A.三种作法均正确

B.只有作法一和作法二正确

C.只有作法二和作法三正确

D.只有作法二正确

8.（2025•四川模拟）如图，A2是半径为6的O。的直径，2。是弦，C是弧2。的中点，AC与8。相交

于点E.若E为AC的中点，则2。的长为（）

A.4V2B.6C.8V2D.4

9.（2025•武汉模拟）如图所示，在平面中O尸和02分别与直线相切，。尸的直径为4,OQ的直径为

6,做直线人与OP相切于点A且平行于直线/,直线/2与。。相切于点8且平行于直线/,若线段A8

与直线的夹角恰为30。，则两圆心尸。的距离是（）

A.9B.4V3C.V13D.10

10.（2025•西青区校级一模）如图，OA交于点B,AC切。。于点C,。点在。。上，若/。=26°,

则NA为（）

A.38°B.30°C.64°D.52°

填空题（共5小题）

11.（2025•浦口区校级模拟）如图，在团ABC。中，过A,C,。三点的。。与AB相交于点E.若乙4=104°,

则/BCE=

12.（2025•肇州县模拟）已知如图，A8是。。的直径，DB,OC分别切于点8,C,若NACE=26°,

13.（2025•越秀区校级一模）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为6m圆心角6为

120°,则圆锥的底面圆的半径为.

14.（2025•永寿县校级一模）如图，△AOE内接于。。，A8是。。的直径，OC〃A。交0。于点C,若/

BOC=62°,则NE的度数为°.

15.（2025•苏州模拟）如图，A8是。。的直径，AC是。。的切线，切点为A,8c交。。于点。，点E

是AC的中点，若。。半径为1,BC=4,则图中阴影部分的面积为.

16.（2025•新乡模拟）图1是清明上河园中供人们游玩的中国古代的马车，彰显了古代人们的智慧.图2

是马车的侧面示意图,AC为过圆心O的车架，且AC与。O交于点8,地面CD与车轮。。相切于点D,

连接AD,BD.

(1)求证：ZBDC^ZA.

(2)小李测出车轮的直径为1米，CD为展米,求8c的长度.

图1图2

17.(2025•碑林区校级二模)如图，AC是。。的直径，点B在。O上，BD平分/ABC交。。于点D,

OE是。。的切线，交8C的延长线于点E.

(1)求证：DE//AC；

求BE的长.

18.(2025•合肥一模)如图，为。。的直径，C为。。上一点，过点C作O。的切线CE交AB的延长

线于点E,过点B作2。，“交AC的延长线于点。，垂足为点?

(1)求证：C为AO的中点;

(2)若AB=10,AC=2Vn,求BE的长.

19.(2025•乌鲁木齐一模)如图,QO是AABC的外接圆，AB为。。的直径，在AABC外侧作/CAO=

ZCAB,过点C作于点。，交AB延长线于点P.

(1)求证：PC是。。的切线;

(2)用无刻度的直尺和圆规作出/AC8所对弧的中点尸.(不写作法，保留作图痕迹)

(3)在(2)基础上连接CF,交AB于点E,连接8尸，若BF=5五,tan^PCB=求线段PB的长.

DC

AP

20.(2025•官渡区校级模拟)如图，AC为。。的直径，NAOC的平分线交。0于点8以为。。的切线,

B4*CB=AB-AC,连接尸艮

(1)求NAC3的度数；

(2)求证：PB+BC=PC；

一DB

(3)若DB=2V2PX,求一的值.

2025年中考数学三轮复习之圆

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

题号12345678910

答案CBCBDCACCA

选择题（共10小题）

1.（2025•天心区校级一模）如图，正方形边长为m点E是正方形ABC。内一点，满足NAEB=90°,连

接CE.给出四个结论：①AE+CEN/a；②CEW与ia；③NBCE的度数最大值为60°；④当CE

=a时，tan/ABE=*.上述结论中，所有正确结论的序号为（）

A.①②B.①③C.①④D.①③④

【考点】圆周角定理；解直角三角形；全等三角形的判定与性质；正方形的性质.

【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；圆的有关概念及性质；解直角三角形及其应用；几何直观；

运算能力；推理能力.

【答案】C

【分析】①以为直径作O。，连接AC,BD交于点、H,连接OE,OC,则点X,点E都在上，

由勾股定理得AC=&a,根据“两点之间线段最短”得AE+CENAC,则AE+CEN&a,据此即可对结

论①进行判断；

②由。2=。4=。£=去得OC=孚，根据“两点之间线段最短”得CE+OENOC,则CE2与上，

据此可对结论②进行判断；

③依题意得当CE与。。相切时，BCE的度数为最大，连接OE,证明RtAOEC和RtAOBC得CE=BC

=a,NOCE=/OCB,进而得tan/OCE=黑=5则NOCEW30°,继而得/8CEW60°,据此可对

结论③进行判断;

④证明OC是线段8E的垂直平分线，由此可得出NA8E=/BCO,在Rt^BCO中根据正切函数的定义

得tan/8CO=器=±,则tan/tanNBCO=会据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答

案.

【解答】解：①以A8为直径作。。，连接AC,BO交于点H,连接OE,0C,如图1所示：

•.•四边形ABCD是正方形，且边长为a,

：.AB=BC^CD=AD=a,ZABC=90°,/AHB=9Q°,

二点X在。。上，

VZAEB=90°,

.•.点E也在OO上，

在RtZXABC中，由勾股定理得：AC=y/AB2+BC2=V2a,

根据“两点之间线段最短”得：AE+CE^AC,

即AE+CE>V2a,

当点E与点”重合时，等号成立，

故结论①正确；

②为。。，点E在。。上，

：.OB=OA=OE=^,

在RtZ\08C中，由勾股定理得：OC=7BC2+OB2=/+（多产=学,

根据“两点之间线段最短”得：CE+OE'OC,

：.CE20C-OE=孚-；与，，

当点。，E,C在同一条直线上时，等号成立，

故结论②不正确；

③当CE与。。相切时，8CE的度数为最大，连接OE,如图2所示：

图2

/.ZOEC=90°,OE=OB,

在RtAOEC和RtAOBC中，

(OE=OB

IOC=OC'

ARtAOEC^RtAOBC(HL),

：.CE=BC=a,ZOCE=ZOCB,

：.OE=1I2CE,

在RtZkOEC中，tan/OCE=^=g,

Vtan30°=J3/3,

：.ZOCE^30°,

：.ZBCE^60°,

.../BCE的度数最大值不是60°,

故结论③不正确；

④当CE=a时，则CE=BC=a,如图3所示:

点C在线段BE的垂直平分线上,

:点E在。。上，

'：OB=OE,

点O在线段BE的垂直平分线上,

/.OC是线段BE的垂直平分线，

ZABE^-ZBOC=90°,

又・.・N50C+N3co=90°,

：.NABE=/BCO,

i

在RtABCO中，OB=»BC,

•••+tanz_nCC/=OB_=1a，

1

tanZABE=tanZBCO=

故结论④正确，

综上所述：正确结论是①④.

故选：C.

【点评】此题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解直角三角形，熟练

掌握圆周角定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，锐角三角函数的定义是解决问题的关键.

2.（2025•秦都区校级模拟）如图，ZXABC内接于OO,A8为0。的直径，点。为。。上一点，连接0C、

BD、CD,若/OC8=58°,则/。的度数为（）

A.38°B.32°C.29°D.28°

【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理.

【专题】圆的有关概念及性质.

【答案】B

【分析】根据NOCB=58°,OB=OC,得到/20C,再根据同弧所对圆周角等于圆心角一半求解即可

得到答案.

【解答】解：：NOC8=58°,OB=OC,

/.ZJBOC=180°-2X58°=64°,

'：BC=BC,

：.ZD=^z.BOC=32°,

故选：B.

【点评】本题考查圆周角定理及等腰三角形内角和运用，掌握其性质是解题的关键.

3.（2025•长沙模拟）如图，四边形ABCD内接于OO,过点8作8E〃C。交于点E.若/AEB=75°,

则/ABC的度数为（）

A.95°B.100°C.105°D.110°

【考点】圆内接四边形的性质；平行线的性质.

【专题】圆的有关概念及性质；推理能力.

【答案】C

【分析】根据平行线的性质求出/ADC,再根据圆内接四边形的性质求出NA8C.

【解答】解：'：BE//CD,NAEB=75°,

：.ZADC=ZAEB=15°,

:四边形ABC。内接于O。，

AZADC+ZABC=180°,

AZABC=180°-75°=105°,

故选：C.

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键.

4.（2025•天心区校级一模）如图，A2为O。的直径，弦CDLA2于点凡若A3=10,C£>=8,则的

长为（）

A

A.2B.3C.4D.5

【考点】垂径定理；勾股定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力.

【答案】B

【分析】根据垂径定理由得到CH=CD=4,再根据勾股定理计算出OH=3.

【解答】解：•..COLA8,

11

CH=DH=^CD=|x8=4,

:直径A3=10,

：.0C=5,

在RtAOCH中，OH=VOC2-CH2=3,

故选：B.

【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理，熟练掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两

条弧是解题的关键.

5.（2025•金安区校级一模）如图，在中，弦A3,相交于点P,NA=35°,ZAPD=80°,那么

NB度数为（）

A.55°B.60°C.65°D.45°

【考点】圆周角定理.

【专题】与圆有关的计算；运算能力.

【答案】D

【分析】根据圆周角定理求出的度数，再由三角形外角的性质求出N3的度数即可.

【解答】解：：/A=35°,

.•.ND=NA=35°,

VZAP£>=80°,

：.ZB=ZAPD-ZZ）=80°-35°=45°.

故选：D.

【点评】本题考查圆周角定理，熟练掌握并灵活运用圆周角定理是解题的关键.

6.（2025•长安区一模）如图，在边长为5的正五边形中，点。是对角线AC上一点，连接02,

OD,OE后将正五边形分成了①、②、③、④、⑤这五个三角形，则下列能确定大小的是（)

A

A.①与②的面积和B.②与③的面积和

C.②与④的面积和D,④与⑤的面积和

【考点】正多边形和圆；全等三角形的判定.

【专题】正多边形与圆；推理能力.

【答案】C

【分析】根据正五边形的性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定得到AC〃即，再根据三角形面积

公式计算即可.

【解答】解：：五边形A8C0E是正五边形，

/AED=/EAB=/ABC=二底。,BA=BC,

；.NEAC=108°-36°=72°,

/.ZAEZ）+Z£AC=108°+72°=180°,

：.AC//ED,

③的面积可以确定，

②与④的面积和可以确定，

而①与②的面积和、②与③的面积和、④与⑤的面积和都会随着点。的位置的变化而变化，其大小不

能确定，

故选：C.

【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正五边形的内角的求法是解题的关键.

7.（2025•长安区一模）是△ABC的外接圆，在弧8C上找一点使点M平分弧BC.对图中的三种

作法，下列说法正确的是（）

B.只有作法一和作法二正确

C.只有作法二和作法三正确

D.只有作法二正确

【考点】三角形的外接圆与外心.

【专题】圆的有关概念及性质；几何直观.

【答案】A

【分析】根据垂径定理，圆周角定理一一判断即可.

【解答】解：甲、由作图可知AM平分

：.ZBAM=ZCAM,

：.BM=CM,故作法一正确.

乙、由作图可知0M平分N80C,

：0B=0C,

：.OM±CB,

经过圆心O,

：.BM=CM,故作法二正确.

丙、由作图可知垂直平分线段BC,0M经过圆心0,

：.BM=CM,故作法三正确.

故选：A.

【点评】本题考查作图-复杂作图，三角形的外接圆与外心，垂径定理等知识，解题的关键是读懂图象

信息，灵活运用所学知识解决问题.

8.（2025•四川模拟）如图，A8是半径为6的。。的直径，BD是弦,C是弧3。的中点，AC与8。相交

于点E.若E为AC的中点，则8。的长为（

D

A.4V2B.6C.8V2D.4

【考点】圆心角、弧、弦的关系；垂径定理.

【专题】圆的有关概念及性质；推理能力.

【答案】C

【分析】先根据圆周角定理得到NAZ)5=90°,根据垂径定理得到DF=BF,则可证明OF

为△A3。的中位线，所以AO=20R接着证明△ADE之△CbE得到A0=CR所以CF=20R则可计

算出0b=2,然后利用勾股定理计算出3R从而得到BD的长.

【解答】解：TAB是半径为6的。。的直径，

ZADB=90°,

・・・。是弧5。的中点,

・•・OCLBD,

:・DF=BF,

•：OA=OB,

：・0F为AABD的中位线，

：.AD=20F,

YE为AC的中点，

：.AE=CE,

在△AOE和△CbE中，

ND=/CFE

'DE=FE，

^AED=乙CEF

：.AADE^ACFE(ASA),

：.AD=CF,

：.CF=20F,

•・•OC=6,

BP0F+CF=6,

/.OF+2OF=6,

解得0F=2,

在RtAOBF中，BF=VOS2-OF2=V62-22=4鱼，

:.BD=2BF=8位.

故选：C.

【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有

一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.也考查了垂径定理和圆周角定理.

9.（2025•武汉模拟）如图所示，在平面中OP和OQ分别与直线相切，O尸的直径为4,OQ的直径为

6,做直线/1与OP相切于点A且平行于直线/,直线/2与OQ相切于点8且平行于直线/,若线段

与直线的夹角恰为30°,则两圆心尸。的距离是（）

A.9B.4V3C.V13D.10

【考点】切线的性质.

【专题】与圆有关的位置关系；运算能力.

【答案】C

【分析】连接AP并延长交直线/于点C,连接2。并延长交直线/于点过点A作于点E,

过点P作于点区连接尸。，则有APEE、ACDE是矩形，先根据正切的定义求出PF长，然后

利用勾股定理求出PQ长解题.

【解答】解：连接AP并延长交直线/于点C,连接8。并延长交直线/于点。，过点A作于

点、E,过点尸作于点R连接P。，

根据题意可得/B4E=/AEO=/CTD=Nf'Z)C=NPC£)=90°,AC=4,BD=6,

：.AC=DE=4,

：.BE=BD-DE=6-4=2,

•・•夹角恰为30°,

RFf—

："AE=tan^BAE=

：.PF=AE=2V3,

又；PC=DF=2,DQ=3,

：.PQ=y]PF2+QF2=J（2V3）2+I2=V13,

故选：C.

【点评】本题考查切线的性质，勾股定理，解直角三角形，正确进行计算是解题关键.

10.（2025•西青区校级一模）如图，。4交。。于点8,AC切。。于点C,。点在。。上，若/。=26°,

则NA为（）

A.38°B.30°C.64°D.52°

【考点】切线的性质；圆周角定理.

【专题】与圆有关的计算；推理能力.

【答案】A

【分析】先由圆周角定理得到/AOC=52°,由切线的性质得到NACO=90°,即可利用三角形内角和

定理求出NA的度数.

【解答】解：•.•/£>=26°,

/.ZAOC=2ZD=52°,

：AC切。。于点C,

：.ZACO=9Q°,

：.ZA=180°-ZACO-ZAOC=38°,

故选：A.

【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，利用圆周角定理求出/AOC

=52°是解题的关键.

填空题（共5小题）

11.（2025•浦口区校级模拟）如图，在团ABC。中，过A,C,。三点的与A8相交于点E.若NA=104°,

则28°.

【考点】三角形的外接圆与外心；平行四边形的性质；圆周角定理.

【专题】多边形与平行四边形；圆的有关概念及性质；推理能力.

【答案】28.

【分析】由平行四边形的性质得出/A=NBCD=104°,求出NECZ）=180°-ZA=76°,则可得出

答案.

【解答】解：•••四边形AC8。是平行四边形，

AZA=ZBCD=104°,

,/四边形AECD是圆内接四边形，

AZA+ZECD=180°,

.•.ZECD=180°-ZA=76°,

AZBCE=ZBCD-ZECD=104°-76°=28°,

故答案为：28.

【点评】本题考查了平行四边形的性质、圆内接四边形的性质；熟练掌握以上知识是解决问题的关键.

12.（2025•肇州县模拟）已知如图，是O。的直径，DB,。。分别切。。于点3,C,若NACE=26°,

ECD

【考点】切线的性质；圆周角定理.

【专题】与圆有关的计算；几何直观；推理能力.

【答案】52°.

【分析】连接8C,由切线长定理证明再求得N8CD=180°-90°-26°=64°,最

后由三角形的内角和定理求得的度数.

【解答】解：AB是O。的直径，DB,OC分别切O。于点3,C,如图，连接8C,

ECD

：.ZACB=90°,BD=DC,

:./DBC=/DCB,

VZACE=26°,

AZBCD=180°-90°-26°=64°,

：.ZDBC^ZDCB^64°,

.•.ZZ）=180°-2X64°=52°,

故答案为：52°.

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理.

13.（2025•越秀区校级一模）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为6m圆心角6为

120°,则圆锥的底面圆的半径为2.

【考点】圆锥的计算；扇形面积的计算.

【专题】与圆有关的计算；运算能力.

【答案】2

【分析】圆锥的母线长为R,根据扇形面积公式列关于R的方程并求解；设圆锥的底面圆的半径为r,

根据弧长和圆的周长公式列关于r的方程并求解即可.

120

【解答】解：设圆锥的母线长为R,则病冗炉=6e，

解得R=6或R=-6（舍去）.

设圆锥的底面圆的半径为厂，则2m

解得r=2,

...圆锥的底面圆的半径为2.

故答案为：2.

【点评】本题考查圆锥的计算、扇形面积的计算，掌握扇形面积计算公式、弧长和圆的周长计算公式是

解题的关键.

14.（2025•永寿县校级一模）如图，△&£）£内接于。。，A8是。。的直径，。?〃4。交0。于点（7,若/

BOC=62°,则NE的度数为28°.

【考点】三角形的外接圆与外心；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理.

【专题】线段、角、相交线与平行线；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力.

【答案】28.

【分析】连接8。，根据圆周角定理得到乙4。8=90。，根据平行线的性质得到/5W=/8OC=62。，

根据圆周角定理得到结论.

【解答】解：连接3，

是的直径，

ZADB=90°,

'.'OC//AD,

：.ZBAD=ZBOC^62°,

：.ZABZ）=180°-ZADB-ZZ）AB=28°,

：.ZE=ZABD=28°,

故答案为：28.

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，平行线的性质，熟练掌握圆周角定理是解题

的关键.

15.（2025•苏州模拟）如图，是O。的直径，AC是。。的切线，切点为A,交O。于点。，点、E

是AC的中点，若。。半径为1,BC=4,则图中阴影部分的面积为_g—

C

【考点】切线的性质；扇形面积的计算.

【专题】与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；推理能力.

【答案】V3-|.

【分析】根据切线的性质得到/BAC=90°,求出AC,AE的长，得出/4。。=120°，根据扇形的面

积公式计算即可.

【解答】解：是。。的直径，AC是。。的切线，

AZBAC=90°,

半径为1,

：.AB=2f

VZBAC=90°,BC=4,

AZC=30°,AC=VBC2-AB2=V42-22=2A/3,

・・・NB=60°,

AZAOD=2ZB=120°,

又二点E是AC的中点，

：.AE=1AC=V3,

2

图中阴影部分的面积=2SMOE-S扇形AOD=2X/X遍xl-博察-=WY，

乙。UVz

故答案为：V3—金

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连过切点的半

径，也考查了圆周角定理和扇形的面积公式.熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键.

三.解答题（共5小题）

16.（2025•新乡模拟）图1是清明上河园中供人们游玩的中国古代的马车，彰显了古代人们的智慧.图2

是马车的侧面示意图,AC为过圆心O的车架，且AC与0O交于点8,地面CD与车轮。。相切于点D,

连接A。，BD.

（1）求证：ZBDC=ZA.

(2)小李测出车轮的直径为1米，CD为展米,求8c的长度.

图1图2

【考点】切线的性质；圆周角定理.

【专题】与圆有关的位置关系；图形的相似；运算能力；推理能力.

【答案】(1)证明见解答过程;

(2)2米.

【分析】(1)如图，连接0D,根据切线的性质得到NOOC=90°,即根据圆周

角定理得到NAD8=90°,即/A+/ORD=90°根据等腰三角形的性质得到NOBD,求得/

BDC=/A；

(2)由(1)知根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.

【解答】(1)证明：如图，连接。。，

：与。。相切于点。，

图2

：.ZODC=9Q°,即/O£)B+N8Z)C=90°,

,：AB为O。的直径，

/.ZADB=90°,

即NA+NOM=90°,

•/OB=OD,

；./OBD=/ODB,

；.NBDC=NA；

(2)解：由(1)知

又：/C=NC,

：.ACBD^/\CDA,

：.CD2^CA'CB.

：O。的直径AB=1,CA^CB+l,CZ)2=6,

(CB+1)・C8=6,

解得CB=2,CB=-3（舍去）.

答：BC的长度为2米.

【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是证明

求出AC的长，从而求出A3、OA的长.

17.（2025•碑林区校级二模）如图，AC是。。的直径，点B在。O上，BD平分/ABC交。。于点D,

DE是。。的切线，交的延长线于点E.

（1）求证：DE//AC-,

1,,

（2）右tcmA=之，CE=5,求BE的长.

DE

【考点】切线的性质；解直角三角形；平行线的判定；圆周角定理.

【专题】与圆有关的位置关系；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力.

【答案】（1）证明过程见解答；

（2）9.

【分析】（1）连接OD根据AC是O。的直径，可得NABC=90°,由2。平分/ABC,可得Nl=45°

根据圆周角定理可得/OOC=2NCBD=90°,再由。E是O。的切线，可得NODE=90°,进而可以

解决问题；

⑵根据圆周角定理得到NA8C=90°,得到tanA=器=/,如图，过点C作CHOE于F,设EF

=k,CF=2k,根据勾股定理得到CE=*%=5,求得CP=2有，求得AC=2OC=4有，根据三角函数

的定义得到结论.

【解答】（1）证明：如图，连接。

：AC是。。的直径,

ZABC=90°,

•・・5O平分NABC,

：.ZCBD=45°,

ZDOC=2ZCBD=90°,

・・,DE是。。的切线，

：.ZODE=90°,

：.ZODE=ZDOC=90°,

：.DE//AC；

(2)解：•・,AC是。。的直径,

ZABC=90°,

.’ABC1

・・tanA=丽=中

如图，过点。作CfU。后于凡

'：AC//DEf

/ABC=NE,

:./ECF=/BAC,

FF1

tanA=tanNECF=市=工,

:.设EF=k,CF=2k,

：.CE=®=5,

k—V5,

：.CF=2y/5,

■:/COD=/ODF=/CFD=90°,

四边形OOFC是矩形，

,：OC^OD,

四边形OOFC是正方形，

：.OC=CF=2瓜

：.AC=2OC=4>/5,

,BC1

•tanA=45=2,

.BCV5

••—,

AC5

：.BC=4,

：.BE=BC+CE=4+5=9.

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，解决本题的关键是熟练掌握切线的性质.

18.(2025•合肥一模)如图，为。。的直径，C为。。上一点，过点C作。。的切线CE交4B的延长

线于点E,过点2作BOLCE交AC的延长线于点垂足为点?

(1)求证：C为AD的中点；

(2)若A8=10,AC=2Vn,求BE的长.

【考点】圆的综合题.

【专题】几何综合题；运算能力；推理能力.

【答案】(1)见解析；

(2)BE=瑞.

04AC

【分析】(1)连接BC,OC.根据切线的性质得到OCLCE,由。C〃8。，得到二得到AC=

CD,即C为A。的中点；

(2)方法一：根据圆周角定理得到NACB=90°,根据勾股定理得到BC=7AB2—=

[1。2_(2&1)2=4,求得NBCE=NA,根据三角函数的定义得到BF=♦s讥NBCE由⑴

知0C〃8。，根据相似三角形的性质得到BE=患；

解法2：根据圆周角定理得到NACB=/8C£)=90°.根据勾股定理得至UBC=AMB?—AC?=

J102-(2V21)2=4,根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.

【解答】(1)证明：连接BC,OC.

是O。的切线，

J.OCLCE,

:BDLCE,

：.OC//BD,

.OAAC

，9OB~CD'

*：OA=OB,

：.AC=CD,

即。为A。的中点；

(2)解：方法一：TAB为。。的直径，

ZACB=90°,

在Rt^ABC中，BC=VAB2-AC2=J102-(2VH)2=4,

ZA+ZOBC=ZOCB+ZBCE=90°,

OB=OC,

；・NOBC=NOCB,

：.ZBCE=NA,

:・sin/BCE=sinA=器=5，

：.BF=BC-sinZBCE=

由(1)知0C〃8D,

△BEFs/\OEC,

tBFBEBE

••OC-OE—OB+BE9

8

,gBE

••5-5+BE'

解得BE=患；

解法2：TAB为OO的直径，

ZACB=ZBCD=90°.

在Rt^ABC中，BC=yJAB2-AC2=J102-(2VM)2=4,

IC为AD的中点,

：.BD=AB=10,

'：BD±CE,

：.ZBFC=90°,

△BCDs^BFC,

.BCBD

••—,

BFBC

由（1）知OC//BD,

:.△BEFS^OEC,

.BFBEBE

"OC~0E~OB+BE'

8

.gBE

,•5-5+BE'

【点评】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，切线的性质，勾股定理,

三角函数的定义，正确地作出辅助线是解题的关键.

19.(2025•乌鲁木齐一模)如图，是△ABC的外接圆，A8为。。的直径，在△ABC外侧作/CAD=

ACAB,过点C作于点。，交AB延长线于点P.

(1)求证：PC是。。的切线；

(2)用无刻度的直尺和圆规作出/AC8所对弧的中点尸.(不写作法，保留作图痕迹)

(3)在(2)基础上连接CF,交AB于点、E,连接8尸，若BF=5五,tan^PCB=求线段的长.

【专题】几何综合题；应用意识.

10

【答案】(1)(2)见解析；(3)y..

【分析】(1)直接证尸即可；

(2)过点0作OfUAB交0。于点F；

(3)90°的圆周角被平分出现45。，继而推出等腰直角三角形，可求出半径，然后通过相似三角形的

性质列方程求解即可.

【解答】(1)证明：连接OC,

U：OA=OC,

：.ZOCA=ZCAB,

9：ZCAD=ZCAB,

：.ZCAD=ZOCAf

J.AD//OC,

VCD±A£),

・•・OCLDP,

•/oc是圆半径，

・・・PC是OO的切线;

(2)解：如图，点方即为所求；

(3)解：VZACB=90°,。方平分NAC8,

：.ZBCF=45°,

：.ZBOF=90°,

VOF=OB,BF=5五,

BF

・••在/中，OB=7T=5,

,/NACO+/OCB=/PCB+/OCB,

：./ACO=/PCB,

：.ZCAO=/PCB=/CAD,

1

VtanZPBC=^,

/11

tanNCAO=立,tanNCAD=),

•*22V52V5

・・tan/CAO=——g-,cosz_CAD=-g—,

VAB=10,

：.AC=AB*cosZCAO=lOx等=4^5,AO=AC・cosNCAO=4愿x等=8,

9：AD//0C,

：.AOCP^AADPf

.O£OP_

••J—,

ADAP

设5尸=羽则OP=5+x,AP=10+x,

55+x

解得X=号,

810+x

10

：.BP=

T-

【点评】此题属于圆的综合题，考查了切线的判定和性质，解直角三角形，解题关键是找出特殊角求边

长，灵活使用勾股定理和相似三角形.

20.(2025•官渡区校级模拟)如图，AC为。。的直径，/ADC的平分线交。。于点3,融为。。的切线,

PA'CB^AB'AC,连接尸B.

(1)求/ACB的度数；

(2)求证：PB+BC=PC；

「DB

(3)若DB=2V2DA,求一的值.

【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力.

【答案】(1)ZACB=45°；

(2)见解析；

2V2

(3)-----.

3

【分析】(1)根据直径所对的角为直角可得N">C=90°,再利用角平分线的定义可得乙位图=/2。。

=45°,然后根据同弧所对的圆周角相等即可求得答案；

(2)先证明结合可得△B4BsA4CB,进而证明NPB4=/A8C=90°,

即可得出尸、2、C三点在同一直线上，即可证明结论；

(3)过点A作AE_L5O交5。于点在RtZkADE中，DE=AD-cosZADE=再证明

DCEB

ss,可得一=一，继而求出。。=2ZM,由此即可解题.

DAEA

【解答】(1)解：:AC是。0的直径，

ZADC=ZABC=90°,

1

・•・ZADB=NBDC=^/.ADC=45°,

'：AB=AB

：.ZACB=ZADB=45°,

(2)证明：・・・AC为。。的直径，以为OO的切线，

AAPAC=ZR\B+ZBAC=90°,ZACB+ZBAC=90°,

：.APAB=AACB,

胃PAAB

VB4*CB=AB-AC,即：一=—,

ACCB

・•・ARABS△ACS,

：.ZPBA=ZABC=9Q°,

・・・尸、B、。三点在同一直线上，

：.PB+BC=PC；

(3)解：如图，过点A作垂足为E,

P

VZABD=45°,

在RtZXAOE中，DE=AD-cosZADE=AD-cos450=*AD,

:・DE=EA=：AD,

又•：DB=2五DA,

：.BE=BD-ED=242DA-^DA=竽D4

VAS=AB,

・•・/ABD=NACD,

又,.・NAM=NADC=90°,ZAEB=ZADC=90°,

△ABEs△AC。,

DCEB

DA~EA

DC乎DA

布二靠,即DC=3DA,

2

DB2y[2DA2V2

DC3DA3

【点评】本题属于圆的综合题，主要考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理，掌

握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.

考点卡片

1.平行线的判定

(1)定理1:两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，

两直线平行.

(2)定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，

两直线平行.

(3)定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角

互补，两直线平行.

(4)定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行.

(5)定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.

2.平行线的性质

1、平行线性质定理

定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.

定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补.

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.

2、两条平行线之间的距离处处相等.

3.全等三角形的判定

(I)判定定理I：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等.

(2)判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.

(3)判定定理3：A&4--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等.

(4)判定定理4：A4S--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.

(5)判定定理5：乩--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等.

方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应

相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹

边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边.

4.全等三角形的判定与性质

(1)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，

关键是选择恰当的判定条件.

(2)在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角

形.

5.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为C,那么/+廿=02.

(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

22

(3)勾股定理公式/+庐=C2的变形有：a—Vc—b,b—7c2—必及c—7a2+炉.

(4)由于/+庐=C2>/，所以c>a,同理c>"即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角

边.

6.平行四边形的性质

(1)平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

(2)平行四边形的性质：

①边：平行四边形的对边相等.

②角：平行四边形的对角相等.

③对角线：平行四边形的对角线互相平分.

(3)平行线间的距离处处相等.

(4)平行四边形的面积：

①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积.

②同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等.

7.正方形的性质

(1)正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.