2025年中考数学一轮复习 章节综合训练五 四边形（测试）解析版

章节综合训练五四边形

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（2024•山东青岛・中考真题）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形ABCDE和正方形

CDFG中，CF,DG的延长线分别交4E,48于点跖N,贝！UFME的度数是（）

【答案】B

【分析】本题考查的是正多边形内角和问题，熟记正多边形的内角的计算方法是解题的关键.

根据正五边形的内角的计算方法求出NCDE、NE,根据正方形的性质分别求出NCDF、乙CFD,根据四边形

内角和等于360。计算即可.

【详解】解：•五边形力BCDE是正五边形，

乙CDE=NE=（5-2）：80。=1os。，

,/四边形CDFG为正方形，

：.ACDF=90°,ACFD=45°,

Z.FDE=108°-90°=18°,乙DFM=180°-45°=135°,

J./.FME=360°-18°-135°-108°=99°,

故选：B.

2.（2024.江苏南通・中考真题）如图，直线a||b,矩形48CD的顶点A在直线6上，若42=41。，则N1的度

数为（）

A.41°B.51°C.49°D.59°

【答案】C

【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点B作BEIIa,得到BEIIaIIb,推出4BC=Zl+Z2,

进行求解即可.

【详解】解：•..矩形4BCD,

J.^LABC=90°,

过点8作BE||a,

VaIIb,

：.BE||a||b,

Z1=Z.ABE,z2=Z-CBE,

/.Z-ABC=Z.ABE+Z.CBE=Z1+Z2,

VZ2=41°,

Azi=90°-41°=49°；

故选C.

3.（2024•山西・中考真题）在四边形ABC。中，点E,F,G,”分别是边AB,BC,CD,DA的中点，EG,FH交于

点。.若四边形2BCD的对角线相等，则线段EG与FH一定满足的关系为（）

A.互相垂直平分B.互相平分且相等

C.互相垂直且相等D.互相垂直平分且相等

【答案】A

【分析】本题主要考查了中点四边形、菱形的判定与性质及三角形的中位线定理，根据题意画出示意图，

得出中点四边形的形状与原四边形对角线之间的关系即可解决问题.

【详解】解：如图所示，

连接8D,AC,

2

••,点H和点E分别是4。和48的中点,

•••HE是△4BD的中位线，

HE=^BD,HE\\BD.

同理可得，GF=^BD,GF\\BD,

•••HE=GF,HEWGF,

••・四边形HEFG是平行四边形.

•••HE=-BD,HG=-AC,且4C=BD,

22

•••HE=HG,

・•・平行四边形HEFG是菱形，

EG与HF互相垂直平分.

故选：A.

4.（2024.山东济南・中考真题）如图，在正方形A8CD中，分别以点A和B为圆心，以大于148的长为半径作

弧，两弧相交于点E和F,作直线EF,再以点A为圆心，以4D的长为半径作弧交直线EF于点G（点G在正方

形4BCD内部），连接0G并延长交BC于点K.若BK=2,则正方形4BCD的边长为（）

C3+V5

C.--------D.V3+1

2

【答案】D

【分析】连接4G,设EF交AB于点X,正方形边长为2%,由作图知，AG=AD=2x,EF垂直平分4B,得

到4"=BH=x,乙AHG=90°,由勾股定理得到GH=V3x,证明4。||GH||BC,推出DG=GK,推出GH=

x+1,得到V^r=x+1,即得2X=A/5+L

【详解】连接4G,设EF交4B于点H,正方形边长为2光,

由作图知，AG=AD=lx,EF垂直平分48,

3

：.AH=BH=-AB=%,AAHG=90°,

2

GH=y/AG2-AH2=V3x,

VA.BAD=90°,

：.AD||GH,

*：AD||BC,

：.AD||GH||BC,

.DGAHy

••——1,

GKHB

：.DG=GK,

•：BK=2,

：.GH=^AD+BK)=x+l,

V3x=%+1,

•・•x-V3-+1,

2%=V3+1.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了正方形和线段垂直平分线综合.熟练掌握正方形性质，线段垂直平分线性质，勾

股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理，梯形中位线性质，是解决问题的关键.

5.（2024・江苏无锡•中考真题）如图，在菱形4BCD中，4ABe=60°,E是CD的中点，则sin/EBC的值为（）

4

【答案】c

【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边都相等，以及正确画出辅助

线，构造直角三角形求解.

延长BC,过点E作延长线的垂线，垂足为点H,设BC=CD=x,易得乙ABC=乙DCH=60。,贝=|CD=

-x,进而得出EH=CE-sin60o=3K,CH=CE-cos60o=Lx,再得出8H=BC+CH=最后根据

2444

sinZFBC=―BE,即可解答.

【详解】解：延长BC,过点E作BC延长线的垂线，垂足为点H,

,/四边形4BCD是菱形，

：.BC=CD,ABWCD,

:.乙ABC=乙DCH=60°,

设BC=CD=x,

是CD的中点，

：

.CE=-2CD=-2x,

■:EH1BH,

：.EH=CE-sin60°=-x,CH=CE-cos60°^-x,

44

：.BH=BC+CH=%

BE=JBH2+EH2=—x

故选：C.

6.（2024•山东东营・中考真题）如图，四边形4BCD是平行四边形，从①AC=BD,②力C1BD,③ZB=BC,

这三个条件中任意选取两个，能使回ABC。是正方形的概率为（）

5

A

7(J\

-------------------^c

211S

A.-B.-C.-D.-

3236

【答案】A

【分析】本题考查了正方形的判定，用概率公式求概率，掌握正方形的判定方法和概率公式是解题的关键.

根据从①4C=BD,②③4B=BC,这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，3种

方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形.再根据概率公式求解

即可.

【详解】解：从①AC=BD,②4c1BD,③4B=BC,这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，

3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形.

A^\ABCD,从①4C=BD,@ACLBD,③AB=BC,这三个条件中任意选取两个，能使团2BCD是正方形

的概率为|.

故选：A.

7.(2023・四川绵阳•中考真题)黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱.摄影中有一种

拍摄手法叫黄金构图法.其原理是：如图，将正方形4BCD的底边BC取中点E,以E为圆心，线段DE为半

径作圆，其与底边BC的延长线交于点R这样就把正方形4BCD延伸为矩形2BFG,称其为黄金矩形.若CF=

4a,贝MB=()

A.(V5-l)aB.(2逐一2)aC.(V5+l)aD.(275+2)a

【答案】D

【分析】本题主要考查了黄金分割点、正方形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握

相关知识并灵活运用是解题关键.

设4B=2x,根据题意得出CE=x,DE=x+4a,在RtACDE中，由勾股定理，nl^CE2+CD2=DE2,代

入数值并求解，即可获得答案.

【详解】解：设=2%,

6

•..四边形4BC0是正方形,

•••AB=BC=CD=2x/BCD=90°,

:点E为BC中点,

1

・

•.CE=BE=-2BC=%,

又,：CF=4a,

DE=FE=EC+CF=x+4a,

...在Rt△£1£>£1中，由勾股定理，可得CE?+CD?=

即一+(2久A=(%+4a尸,

整理可得/_2ax-4a2=o,

解得：力=(V5+l)a,x2=(1-V5)a(舍去),

AB—lx—(2A/5+2)a,

故选：D.

8.（2024.山东日照.中考真题）如图，在菱形4BCD中，力B=2,AB=120。，点。是对角线AC的中点，以点

。为圆心，。4长为半径作圆心角为60。的扇形。EF,点。在扇形0E尸内，则图中阴影部分的面积为（）

A716

A.-------B.TT---------D.无法确定

244

【答案】A

【分析】连接。D,将。。绕点。顺时针旋转60。得到00'.证明△MD。三AND'OSSA）,推出S四边形“。加

^△DD,O,利用S阴影=S扇形EOF—SADO”即可求解。

【详解】解：如图，连接。D,将。。绕点。顺时针旋转60。得到。

4MOD+乙DON=乙NOD'+乙DON=60°,

•••乙MOD=乙NOD',

7

•.・在菱形4BC0中，点。是对角线4C的中点，ZB=120°,

•••Z4DC=AB=120°,OD1AC,

：.AMDO=乙COD=-Z.ADC=60°,

2

•・•(DOD'=60°,

・•・乙DD，O=60°,

・•.A.DD'0=AMDO=60°,

OD=OD,

・•・AMDO三△NO'O(ASA),

•••S四边形"UNO=S^DDrO-

•・•UDO=60°,

DO=CD-coszCDO=-CD=-AB=1,AO=CO=CD-sinzCDO=—CD=—AB=V3,

2222

Q_QQ_QQ_60ITX（V3）2_V3y12_1TV3

J'3阴影=3扇形EOF-3四边形MONO=?扇形EOF——DOD，=~而=T1=2~T'

故选：A.

【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定与性质，解直角三角形，扇形的面积，作出辅助线，

构造二角形全等，利用S阴影=S扇形EOF—SADOD，是解题的关键•

9.（2024.黑龙江大庆•中考真题）如图，在矩形48CD中，AB=10,BC=6,点M是48边的中点，点N是

4。边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90。，点N旋转到点N1则△M8N，周长的最小值为（）

AND

W

_1c

A.15B.5+5V5C.10+5V2D.18

【答案】B

【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，确定点N，的轨迹是解题的关键.由旋转的性质

结合AAS证明AAMN三△GMN，，推出MG=4M=5,得到点M在平行于AB,且与的距离为5的直线上

运动，作点M关于直线EF的对称点Ml连接交直线EF于点N，，此时△M8N，周长取得最小值，由勾股

定理可求解.

【详解】解：过点“作EFII2B,交4。、8C于E、F,过点M作MG1EF垂足为G,

8

：.AB\\CD,

：.AB\\EF\\CD,

：.四边形力MGE和BMGF都是矩形，

.•.乙4=Z.MGN'=90°,

由旋转的性质得NNM"=90°,MN=MN',

J./-AMN=90°-4NMG=4GMN「

：.△AMN=△GMN'（AAS）,

：.MG=AM=5,

...点M在平行于AB,且与4B的距离为5的直线上运动，

作点M关于直线E尸的对称点连接交直线EF于点N"此时△周长取得最小值，最小值为8M+

BM',

,:BM=-AB=5,MM'=5+5=10,

2

：.BM+BM'=5+V52+102=5+5V5,

故选：B.

10.（2024•山东东营.中考真题）如图，在正方形A8CD中，AC与交于点。，X为48延长线上的一点，且

BH=BD,连接分别交AC,BC于点E,F,连接BE,则下列结论：①仁=坐；②tan/H=旧—1；

BF2

③BE平分乙CBD；④2aB2=DE-DH.

其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

9

【分析】根据正方形的性质结合勾股定理可知，AB=BD=CD=AD=a,BD=<2AB=V2a,AB||CD,

AC与BD互相垂直且平分，进而可求得AH=(企+l)a,根据正切值定义即可判断②；由48||CD,可知△

DCF八HBF,由相似三角形的性质即可判断①；由BH=BD,可求得N"=乙BDH=22.5°,再结合4c与BD

互相垂直且平分，得DE=BE,可知乙D8E=NBDE=22.5。，进而可判断③；MffiAB£)F-LHDB,即可

判断④.

【详解】解：在正方形48CD中，48||CD,AB=BD=CD=AD=a,/.BAD=90°,zXBD=乙CBD=/.DAC=

ABAC=45°,AC与BD互相垂直且平分，

则BD=yjAB2+AD2=也AB=缶，

"：BH=BD=42a,贝!M"=(V2+l)a,

tan/7=*=(=y/2—1,故②不正确；

AH(y2+l)a

9CAB||CD,则ZH=乙CDF,乙DCF=乙HBF,

：.△DCF八HBF,

.CF_CDa_y/2故①不正确;

'*BFBHV2a-2

•：BH=BD,

:•乙H=(BDH,

■:(H+乙BDH=匕ABD=45°,

：.Z.H=Z.BDH=22.5°,

又・・・AC与BD互相垂直且平分，

：.DE=BE,

:•乙DBE=乙BDE=22.5°,贝！J/CBE=乙CBD一乙DBE=22.5°,

:.乙DBE=乙CBE,

；・BE平分乙CBD,故③正确；

由上可知，Z.DBE=ZH=22.5°,

A△BDE~>HDB,

则BD?=DE

DHBD

又,：BD=迎AB,

：.2AB2=DE•DH,故④正确；

综上，正确的有③④，共2个，

故选：B.

10

【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握

相关图形的性质是解决问题的关键.

填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.（2024・四川巴中・中考真题）五边形从某一个顶点出发可以引一条对角线.

【答案】2

【分析】本题考查多边形的对角线，根据对角线定义，一个五边形从某一顶点出发，除去它自己及与它相

邻的左右两边的点外，还剩下2个顶点可以与这个顶点连成对角线，熟记对角线定义是解决问题的关键.

【详解】解：五边形从某一个顶点出发可以引2条对角线，

故答案为：2.

12.（2024•江苏镇江•中考真题）如图，四边形4BCD为平行四边形，以点4为圆心，AB长为半径画弧，交BC

边于点E,连接4E,AB=1,=60°,则近的长I=（结果保留it）.

【分析】本题考查弧长的计算，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是判定A4BE是等边三

角形，得到NB2E=60。.

由平行四边形的性质推出NB=AD=60°,判定△4BE是等边三角形，得到NB4E=60°,由弧长公式即可

求出BE的长.

【详解】解：•,•四边形2BCD是平行四边形，

•••Z.B—Z.D—60°,

由题意得：AB=AEf

・・・△4BE是等边三角形，

・•・^BAE=60°,

•・•AB=1,

,6O7TX11

•••L=----=-71.

1803

故答案为：加

13.（2024•江苏徐州•中考真题）如图，将矩形纸片力BCD沿边EF折叠，使点。在边BC中点M处.若2B=

4,BC=6,贝！］CF=.

11

【答案】1/0.875

8

【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，关键是由勾股定理列出关于光的方程.由矩形的性

质推出CD=48=4,NC=90。，由线段中点定义得到CM=18C=3,由折叠的性质得到：MF=DF,设

FC=x,由勾股定理得到(4-%)2=32+/,求出x=；,得到FC的值.

8

【详解】解：•.•四边形力BCD是矩形,

ACD=AB=4,ZC=90°,

是BC中点，

11

ACM=-BC=-x6=3,

22

由折叠的性质得到：MF=DF,

设"=%,

：.FD=4-x,

：.MF=4-x,

VMF2=MC2+FC2,

：.(4-%)2=32+x2,

故答案为：

o

14.(2024•山东淄博・中考真题)如图，在边长为10的菱形4BCD中，对角线力C,BD相交与点。，点E在BC延

长线上，。£与CD相交与点F.若乙4CD=2NOEC,1,则菱形力BCD的面积为________.

FE6

12

【分析】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识.作。HIIBC交CD于点X,

贝lU。。“sADBC,求得0H=1BC=5,再证明△。FH-△EFC,求得EC=6,再证明NOEC=/COE,则

OC=EC=6,利用勾股定理求得0B的长，再利用菱形的面积公式求解即可得到问题的答案.

【详解】解：作。HIIBC交CO于点X,则ADOH“ADBC,

•.,四边形4BCD是边长为10的菱形，对角线4C,8。相交于点。，

：.BC=10,OD=OB=-BD,OA=OC,AC1BD,

2

A—=—=i,^BOC=90°,

BCBD2

1

：.OH=-BC=5,

2

Op5

FE6

△OFHfEFC,

,OH_OF_5

・.EC-FE-6’

：.EC=-OH=-x5=6,

55

•・•四边形/BCD是菱形，且乙4CD=2NOEC,

^ACB=乙ACD=2Z,OEC=乙COE+Z.OEC,

：.^OEC=乙COE,

：.OC=EC=6,

：.OB=VBC2-OC2=V102-62=8,

：.BD=2OB=16,AC=2OC=12,

'S菱形MCD=3BD-AC=|x16x12=96,

故答案为：96.

15.（2024•江苏南通・中考真题）如图，在内△ABC中，乙4cB=90。，AC=BC=5.正方形DERG的边长为

V5,它的顶点。，E,G分别在△ABC的边上，贝UBG的长为.

13

A

【答案】3V2

［分析］过点G作GH1AC,易得△4”G为等腰直角三角形，设=HG=x,得到CH=AC-AH=5-x,

证明△G”。三△DCE,得到CD=G"，进而得到CD=%,DH=5—2x,在RtZkOHG中，利用勾股定理求

出久的值，根据平行线分线段成比例，求出BG的长即可.

【详解】解：过点G作GH1AC,贝lj：^AHG=乙GHD=90°,

工乙DGH+乙HDG=90°,

VZ.ACB=90°,AC=BC=5,

：.AB='近/A=LB=45°,

:,乙AGH=45°=乙4,

：.AH=HG,

设/H=HG=K,贝！J：CH=AC-AH=S-x,

•・,正方形OEFG,

：.DG=DE/GDE=90°,

:•乙HDG+乙CDE=90°,

AZ-HGD=乙CDE,

VZC=Z.GHD=90°,

△GHD=^DCE,

：.CD=GH=x.

14

：.DH=CH-CD=5-2x,

在RtZkGH。中，由勾股定理，得：GD2=DH2+GH2,

2

(V5)=(5-2x)2+/,解得：x=2,

：.AH=2,CH=3,

VzC=UHD=90°,

：.HG||BC,

.AG_AH_2

"BG~CH~

：.BG=JAB=|x5V2=3返；

故答案为：3夜.

【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，平行

线分线段成比例，解题的关键是添加辅助线构造特殊图形和全等三角形.

16.(2024.黑龙江大兴安岭地•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为(3,0),

A(MB是等边三角形，点8坐标是(1,0),△tMB在正方形。MNP内部紧靠正方形。MNP的边(方向为。-M-

N-P-OfM-…)做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为4的坐标是(2,0)；第二次滚

动后，&的对应点记为4，4的坐标是(2,0);第三次滚动后，4的对应点记为4,4的坐标是(3-今0；

【分析】本题考查了点的坐标变化规律，正方形性质，等边三角形性质，根据三角形的运动方式，依次求

出点A的对应点41，A2,……，a]2的坐标，发现规律即可解决问题.

【详解】解：••・正方形。MNP顶点M的坐标为(3,0),

OM=MN=NP=OP=3,

•••△04B是等边三角形，点5坐标是(1,0),

等边三角形高为彳，

15

由题知,

①的坐标是(2,0)；

4的坐标是(2,0)；

久的坐标是(3m；

继续滚动有，心的坐标是(3,2);

久的坐标是⑶2);

A6的坐标是(|,3—；

4的坐标是(1,3)；

4的坐标是(1,3)；

的坐标是(日，D；

4o的坐标是(0,1)；

41的坐标是(0,1);

412的坐标是&苧)；

a3的坐标是(2,0)；……不断循环，循环规律为以4，A2,……,42，12个为一组，

•••2024-M2=168……8,

4024的坐标与&的坐标一样为(1,3),

故答案为：(1,3).

三.解答题(共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23

题9分，24题10分，25题13分)

17.(2024•山东德州•中考真题)如图，团力BCD中，对角线4C平分NB4D.

(1)求证：团力BCD是菱形；

(2)若AC=8,Z.DCB=74°,求菱形4BCD的边长.(参考数据：sin37°~0.60,cos37°~0.80,tan37°~0.75)

【答案】(1)见解析

(2)5

16

【分析】此题考查平行四边形性质和菱形的判定和性质，等腰三角形的判定，解直角三角形.

(1)根据平行四边形性质得出=再结合角平分线的定义及等腰三角形的判定即可得出

^DAC=^ACD,AD=CD,根据邻边相等的平行四边形是菱形进而得出结论；

(2)连接BD,由菱形性质可知ZCOB=90°,OA=OC=^AC=4,乙4cB=|z£)CF=37°,在利用余弦

求出BC长即可.

【详解】(1)证明：•..四边形48CD是平行四边形，

：.AB||CD.

J.A.BAC=^ACD.

「AC平分NBA。，

：.^DAC=ABAC.

：./.DAC=^ACD.

：.AD=CD.

四边形2BC0是菱形.

(2)连接B。，交2C于点O,

:四边形ABC。是菱形.AC=8,Z.DCB=74°,

11

C.Z-COB=90°,OA=OC=-AC=4,乙ACB=-Z,DCB=37°,

22

・DC0C44_

cosZ.ACBcos37°0.8

即菱形4BCD的边长为5.

18.(2024・西藏・中考真题)在数学综合实践活动中，次仁和格桑自主设计了“测量家附近的一座小山高度”

的探究作业.如图，次仁在A处测得山顶C的仰角为30。；格桑在2处测得山顶C的仰角为45。.已知两人

所处位置的水平距离MN=210米，A处距地面的垂直高度4M=30米，8处距地面的垂直高度BN=20米,

点F,N在同一条直线上，求小山CF的高度.(结果保留根号)

17

【答案】（100百一70）米

【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，证明四边形和四边形BNFE为矩

形，得出。F=AM=30米，BN=EF=20米，MF=AD,FN=BE,设CO=x,贝l|CE=CD+DE=(x+10)

米,解直角三角形得出4。=1=言=耳，BE=5=等=x+10,根据MN=21。米，得出岳+

3

%+10=210,求出x=100/一100,最后得出答案即可.

【详解】解：根据题意可得：^AMF=乙DFM=^ADF=90°,乙BEF=乙EFN=乙BNF=90°,

四边形4MFD和四边形BNFE为矩形,

=AM=30米，BN=EF=20米，MF=AD,FN=BE,

：.DE=DF-EF=30-20=10(米),

设CD=x,贝UCE=CO+DE=(x+10)米,

•.240=30°,"DC=90°,

VzCBE=45°,乙CEB=90°,

=/=等=x+l。，

：.MF=AD=V3x,FN=BE=x+10,

,:MN=210米,

V3x+x+10=210,

解得：x=100V3-100,

CF=CD+DF=100A/3-100+30=(100A/3-70)米.

19.（2024•黑龙江牡丹江•中考真题）在RtAACB中，乙4c8=90。，BC=12,AC=8,以BC为边向AZCB外

作有一个内角为60。的菱形8CDE,对角线BD,CE交于点O,连接请用尺规和三角板作出图形，并直

接写出44。。的面积.

【答案】图形见解析，AAOC的面积为12或36.

【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质以及勾股定理.分两种情况讨论，作。F1BC,垂足为

F,利用直角三角形的性质以及勾股定理分别求得CF的长，再利用三角形面积公式即可求解.

18

【详解】解：当4CBE=60。时，所作图形如图，作垂足为F,

•・•菱形BCDE,A.CBE=60°,

：.Z.COB=90°,Z.CBO=30°,^OCB=60°,

・；BC=12,

OC=-BC=6,

2

■:乙OCB=60°,

C.Z-COF=30°,

：.CF=-OC=3,

2

...△力。C的面积为］x8x3=12；

当乙BCD=60。时，所作图形如图，作OF1BC,垂足为尸,

."COB=90。，NBC。=30。，

,:BC=12,

。8=匏。=6,OC=yjBC2-OB2=6V3,

：.OF=-OC=38，CF=VOC2-OF2=9,

2

△a。。的面积为］x8x9=36；

综上，AAOC的面积为12或36.

20.（2024.山东日照・中考真题）如图，以回4BCD的顶点B为圆心，48长为半径画弧，交BC于点E,再分别

19

以点力，E为圆心，大于巳/lE的长为半径画弧，两弧交于点F,画射线BF,交AD于点G,交CD的延长线于点

H.

(1)由以上作图可知，N1与42的数量关系是

(2)求证：CB=CH

(3)若48=4,AG=2GD,乙ABC=60°,求小BCH的面积.

【答案】⑴41=42

(2)证明见解析

(3)973

【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，

解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键.

(1)根据作图可知，BF为乙4BC的角平分线，即可得到答案；

(2)根据平行四边形的性质可知=NH,结合N1=N2,从而推出N2=N”,即可证明；

(3)过点H作BC的垂线交的延长线于点M,根据平行四边形的性质48=CD=4,Z.HCM=Z.ABC=60°,

—,结合4G=2GD,推出从而得到CH,8C,=CH-sinzWCM,最后由"BCH=~BC-HM

DHGD22

计算即可.

【详解】(1)解：由作图可知，BF为4aBe的角平分线

zl=Z.2

故答案为：41=/2

(2)证明：•・•四边形4BCD为平行四边形

AB||CD

zl=乙H

•••zl=Z2

・•・Z2=Z.H

・•.CB=CH

(3)解：如图，过点H作BC的垂线交8c的延长线于点M

20

H

・•・AB||CD,AB=CD=4

・•.Z.HCM=Z.ABC=60°,△ABGDHG

AB_AG

"~DH~'GD

又•・•AG=2GD

AG

・•・—=2

GD

ABAG

----=—=2

DHGD

11

DH=-AB=-x4=2

22

・•.CH=DH+CD=6

.・.BC=CH=6

V3L

•••HM=CH-sinzWCM=CH-sin60°=6X—=3V3

S^BCH=1BC-HM=|x6x3V3=9A/3.

21.（2024•江苏宿迁•中考真题）如图，在四边形力BCD中，AD||BC,S.AD=DC=\BC,E是BC的中点.下

面是甲、乙两名同学得到的结论：

甲：若连接4E,则四边形4DCE是菱形；

乙：若连接4C，则△力BC是直角三角形.

请选择一名同学的结论给予证明.

【答案】见解析

【分析】选择甲：由E是BC的中点.得从而得四边形4DCE是平行四边

形，再根据4。=CD,即可证明结论成立；选择乙：连接4E、DE,DE交4c于0,分别证明四边形2BED是

平行四边形，四边形4DCE是菱形，得ACLDE,DE||AB,再根据平行线的性质及垂线定义即可得证.

21

【详解】证明：选择甲：如图1,

图1

'：AD=DC=^BC,E是BC的中点.

ACE^-BC=AD,

2

\'AD||BC,

，四边形40CE是平行四边形，

"：AD=CD,

，四边形2DCE是菱形；

选择乙：如图2,连接4E、DE,DE交4C于。,

图2

\'AD=DC=1BC,E是BC的中点.

：.BE=CE=-BC=AD,

2

,：AD||BC,

・・・四边形4DCE是平行四边形，四边形/BED是平行四边形，

\9AD=CD,

・・・四边形4DCE是菱形；

：.AC1DE,

:,乙EOC=90°,

•・•四边形/BED是平行四边形，

：.DE||AB

：.£.BAC=乙EOC=90°,

是直角三角形.

【点睛】本题主要考查了菱形、平行四边形的判定及性质、垂线定义、平行线的性质，熟练掌握菱形、平

22

行四边形的判定及性质是解题的关键.

22.（2024・山东济南・中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了

深入研究.

（一）拓展探究

如图1,在AABC中，ZXCB=90°,CD1AB,垂足为D.

•・•Z.ACB=90°Z-A+/-B=90°

•・•CD1AB•・•Z.A=Z-A・•・△ABCACD

・•・^ADC=90°•・.-=②______

AC

••・"+Z.ACD=90°：.AC2=AD-AB

•••Z-B=®______

请完成填空：①;②;

（2）如图2,9为线段CD上一点，连接4F并延长至点E,连接CE,当〃CE=NAFC时，请判断ZMEB的形

状，并说明理由.

（二）学以致用

（3）如图3,AdBC是直角三角形，AACB=90°,AC=2,BC=2显平面内一点D,满足AD=AC,连接CD

并延长至点E,且NCE8=Z_C8D,当线段BE的长度取得最小值时，求线段CE的长.

【答案】⑴①乙4CD；②笫⑵UEB是直角三角形，证明见解析；⑶2V15

【分析】（1）根据余角的性质和三角形相似的性质进行解答即可；

（2）证明△4CFAEC,得出”=—,证明△力尸。八ABE,得出乙4OF=乙4EB=90°,即可得出答案；

AFAC

（3）证明△CEB八CBD,得出黑=霁,求出CD-CE=CB2=（2V6）2=24,以点4为圆心,2为半径作O4

贝都在。4上，延长C4至UE。，使CE。=6,交04于连接E（）E,证明AECEo-△£»OCD,得出NCDD。=

NC&）E=90。，说明点E在过点&）且与CE。垂直的直线上运动，过点8作垂足为E',连接CE',根

据垂线段最短，得出当点E在点◎处时，8E最小，根据勾股定理求出结果即可.

23

【详解】解：（1）VAACB=90°,

・•・Z.A+Z.B=90°,

vCD1AB,

••・乙ADC=90°,

.•・乙4+乙4co=90°,

Z.B=Z-ACD,

•・•Z.A=Z-A,

：.^ABC八ACD,

AB_AC

•・AC~AD9

AC2=AD-AB；

（2）AAEB是直角三角形；理由如下：

•••^ACE=AAFC,/.CAE=AFAC

ACF〜&AEC,

tAC_AE

••AF~AC9

/.AC2=AF-AE,

由⑴得/。2=AD-AB,

AF-AE=AD-AB,

.AF_AD

ABAE

•••Z-FAD=Z-BAE,

AFDABE,

^ADF=^LAEB=90°,

・•.△ZEB是直角三角形.

（3）•・•乙CEB=乙CBD,乙ECB=乙BCD,

•••△CEBCBD,

.CE_CB

,•=9

CBCD

2

•••CD-CE=CB2=（2V6）=24,

如图，以点力为圆心，2为半径作。4则C,D都在04上，延长C4到E。，使CE°=6,交04于％,连接E（）E,

24

则CDo=4,

•・PDo为。4的直径，

Z-CDDQ=90。，

•••CD0•CEQ=24=CD-CE,

.CDQ_CD

••=~~~,

CECE0

•••Z-ECE0=Z-DQCD,

ECEQDQCD,

•••Z.CDDQ=Z-CEQE=90。，

.,.点E在过点&）且与CE。垂直的直线上运动，

过点B作BE，_LEoE,垂足为。，连接CE',

••,垂线段最短，

，当点E在点E'处时，8E最小，

即BE的最小值为BE'的长，

/LCEOE'=Z.E0CB=Z.BE'E0=90°,

.••四边形CE°E，B是矩形，

.".BE'=CE0=6,

在RtACE。。中根据勾股定理得：CE，=J（2V6）2+62=2V15,

即当线段BE的长度取得最小值时，线段CE的长为2后.

【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，圆周角定理，矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段

最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法.

23.（2024•山东潍坊・中考真题）如图，在矩形2BCD中，AB>2AD,点E,F分别在边AB,CD上.将△力DF

沿4F折叠，点D的对应点G恰好落在对角线4c上；将ACBE沿CE折叠，点B的对应点“恰好也落在对角线2C

上.连接GE,FH.

25

DFC

求证：

（l）AXFHSACFG-,

（2）四边形EGFH为平行四边形.

【答案】（1）证明见解析；

⑵证明见解析.

【分析】（1）由矩形的性质可得4。=BC,48=ND=90。，ABWCD,即得4瓦4口=NfCG,由折叠的性质

可得力G=AD,CH=CB,Z.CHE=NB=90°,^AGF=ND=90°,即得CH=AG,乙AHE=乙CGF=90°,

进而得4H=CG,即可由ASA证明△AEH三△CFG；

（2）由（1）得41HE=NCGF=90。，^AEH=△CFG,即可得到EHIIFG,EH=FG,进而即可求证；

本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握矩形和折叠

的性质是解题的关键.

【详解】（1）证明：•••四边形2BCD是矩形，

：.AD=BC,=Z.D=90°,AB\\CD,

J.LEAH=Z.FCG,

由折叠可得，AG=AD,CH=CB,ACHE=ZB=90°,^AGF=z£）=90°,

:.CH=AG,4AHE=乙CGF=90°,

：.AH=CG,

在△2£7/和4CFG中，

'LEAH=乙FCG

AH=CG,

./.AHE="GF=90°

?.AAEHSACFG（ASA）；

（2）证明：由（1）知NAME=ZCGF=90°,AAEHm4CFG,

：.EH\\FG,EH=FG,

...四边形EGFH为平行四边形.

24.（2024・广东•中考真题）【问题背景】

如图1,在平面直角坐标系中，点B,。是直线丫=4X6>0）上第一象限内的两个动点（0。>。8）,以线段

BD为对角线作矩形4BCD,4D||x轴.反比例函数y=：的图象经过点A.

26

【构建联系】

(1)求证：函数y=§的图象必经过点C.

(2)如图2,把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E.当点E落在y轴上，且点8的坐标为(1,2)时，

求上的值.

【深入探究】

(3)如图3,把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为£.当点E,A重合时，连接4C交BD于点P.以点

。为圆心，4C长为半径作O0.若。P=3或,当。。与AaBC的边有交点时，求左的取值范围.

【答案】(1)证明见解析；(2)k=£；(3)6<fc<8

【分析】⑴设80n,ma),则4加甫)，用含山水的代数式表示出C(看，叫)，再代入丫=等证即可得解;

(2)先由点8的坐标和上表示出DC=k—2,再由折叠性质得出2如图，过点。作DHly轴，过点

BE

2作BF_Ly轴，证出△£)"£'sAEFB,由比值关系可求出HF=2+%最后由HF=DC即可得解；

(3)当。。过点B时，如图所示，过点D作。H||x轴交y轴于点求出人的值，当。。过点A时，根据

A,C关于直线。。对轴知，。。必过点C,如图所示，连4。，CO,过点。作||x轴交y轴于点H,求出

左的值，进而即可求出左的取值范围.

【详解】(1)设B(m,zna),则4(犯§,

V4D||x轴，

点的纵坐标为士

m

・,•将y=石代入y=a%中得：—=a%得，

mm

27

AC

工将第=总代入y=g中得出y=am,

・・・函数y=§的图象必经过点C；

(2)・・•点3(1,2)在直线丁=。％上，

••6Z—2,

Ay=2%,

，A点的横坐标为1,。点的纵坐标为2,

•..函数y=B的图象经过点A，C,

/•eg,2),X(l,fc),

/,Z)(2,fe),

:•DC=k-2,

••,把矩形4BCD沿BD折叠，点C的对应点为E,

k

：.BE=BC=--1,2BED=乙BCD=90°,

2

・DCk-2仁DE

••—T-Z—,

BCJBE

2

如图，过点。作轴，过点B作轴,

:.H,A,。三点共线，

:•乙HED+乙BEF=90°,乙BEF+乙EBF=90°,

;,乙HED=Z.EBF,

■:乙DHE=乙EFB=90°,

28

A△DHE〜AEFB,

.DHHEDE仁

••—=—=—=2,

EFBFBE