2025年中考数学一模试卷（湖北卷）含答案解析

2025年中考数学第一次模拟考试（湖北卷）

第I卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.下列为无理数的是（）

A.yB.0C.-5D.y/3

2.下列四个图形中，是轴对称图形的是（）

方次引次

3.对于不等式4x+7（x-2）>8不是它的解的是（）

A.5B.4C.3D.2

4.如（x+m）与（尤+3）的乘积中不含x的一次项，则加的值为（）

A.-3B.3C.0D.1

5.如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点P,则点P落

在阴影部分的概率为（）

6.如图，是△NBC的中位线，点厂在08上，DF=2BF.连接E尸并延长，与C8的延长线相交于点

M.若5c=6,则线段CM的长为（）

A

D.8

7.如图，在正方形网格内，线段P。的两个端点都在格点上，网格内另有42,C,。四个格点,下面四个结

论中，正确的是（）

A.连接N8,则拔〃尸。B.连接BC,则BC//PQ

C.连接AD,贝D.连接N。，则尸。

8.点尸（加+3,切T）在y轴上，则点尸的坐标为（）

A.(0,4)B.(4,0)C.(0,-4)D.(-4,0)

3

9.如图，在平面直角坐标系中，。为原点，。4=0台=3指，点C为平面内一动点，BC=于连接/C,

点又是线段ZC上的一点，且满足CM:M4=1:2.当线段0M取最大值时，点W的坐标是（)

10.已知点Z（xQi）在直线了=3尤+19上，点8（%2，%）,。（%3，%）在抛物线＞=/+4x-l上,%=为且

再<%2<%3，则玉+工2+工3的取值范围是（）

A.-12<西+%+鼻<-9B.-8</+%+七〈一6

C.-9<x1+x2+x3<0D.-6<西+/+/<1

第n卷

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

II.分式展有意义，则x应满足的条件是_______.

x-2

12.如图，函数、=丘+6（左<0）的图像经过点P,则关于x的不等式h+6>3的解集为.

13.有四张正面分别标有数字1、2、3、4的卡片，它们除数字外完全相同，将四张卡片背面朝上，洗匀后

随机抽取两张，取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率是____.

[2x+3y=3

14.已知》，了满足方程组；,则2023+x+y=____.

[3x+2>=7

15.如图，矩形O/8C的顶点A在反比例函数y=（（x<0）的图像上，顶点2、C在第一象限，对角线/C〃x

X

2

轴，交y轴于点。.若矩形的面积是6,cosZOAC=~,则左=.

三、解答题（本题共9小题，共75分。其中：16-17每题6分，18-19每题7分，20-21每题8分，22题10

分，23题11分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（6分）

（1）计算:3T+2sin30°-2025°；

（2）解方程：x2+3x―4=0.

17.（6分）

已知点E,尸分别是平行四边形4BC。的边3C,4D的中点.求证：AE=CF.

BEC

18.(7分)

“勤劳”是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做一些力所能及的家务，开学初，某班主任

调查了全班同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x小时，将做

家务的总时间分为五个类别：/(OWxClO),5(10<x<20),C(20<x<30),£>(30<x<40),£(x%0),并将调查

结果制成如下两幅不完整的统计图：

根据统计图提供的信息，解答下列问题：

学生寒假在家做家务学生寒假在家做家务

的总时间条形统计图的总时间扇形统计图

(2)请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图；

(3)扇形统计图中m的值是,类别D所对应的扇形圆心角的度数是度;

(4)在被调查做家务的总时间处于类别E的学生中有1名男生和3名女生，班主任准备从这4人中任选2人

在班会课上分享收获.请用列表或画树状图的方法求被选中的2人恰好是1男1女的概率.

19,（7分）

2024年11月16日巴中光雾山迎来了今年入冬后的第一场雪.小明与小亮相约周末去光雾山赏雪，在山脚C

处测得山顶A的仰角为45。，沿着坡比为1:6的斜坡CF步行前进200米到达。处，在。处测得山顶A的仰

角为37。.再由。处乘坐缆车到达山顶A处.（参考数据：sin37°«0.60,cos37°«0.80,tan37°«0.75,

1.73）

（1）求山的高度2B.（结果保留根号）

（2）若缆车的速度为150m/min,求乘坐缆车大约需要多少分钟.（结果保留到整数）

20,（8分）

正比例函数歹=仆的图象与反比例函数y=£的图象交于点/（4,3）,M（私同是反比例数图象上的一动点,

（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；

（2）如图，当0＜加＜4,过点M作直线轴，交y轴于点3,过点工作直线NC〃夕轴交x轴于点C、

交直线MB于点D.当四边形O4D〃的面积为4时，在x轴上取一点尸，使9包4最小，求点尸的坐标.

21.(8分)

如图，AB是O。的直径，点C是。。上一点，过点C作弦CD14B于E,点尸是弧AD上一点，AF交CD

于点〃，过点尸作一条直线交CD的延长线于交48的延长线于G,HM=FM,AC//MG.

(1)求证：/G是O。的切线;

3

⑵右=AH—2,求0G的长.

22.(10分)

如图，某公园的一组同步喷泉由间隔等距的若干个一样的喷泉组成，呈抛物线形的水流从垂直于地面且高

出湖面1m的喷头中向同一侧喷出，每个喷头喷出的水流可看作同样的抛物线.若记水柱上某一位置与喷头

的水平距离为xm,喷出水流与湖面的垂直高度为阳.

下表中记录了一个喷头喷出水柱时xm与的几组数据:

x(m)01234.5

y(m)11.61.81.60.55

(1)如图，以喷泉与湖面的交点为原点，建立如图平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；

(2)现有一个顶棚为矩形的单人皮划艇，顶棚每一处离湖面的距离为L75m.顶棚刚好接触到水柱，求该皮划

艇顶棚的宽度.

(3)现公园管理方准备通过只调节喷头露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，为避免游客

被喷泉淋湿，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5m,

已知游船顶棚宽度为2m,顶棚到湖面的高度为1.5m,那么公园应将喷头(喷头忽略不计)至少向上移动多

少m才能符合要求？(直接写出结果)

23.(11分)

在矩形4BCD中，48=8,AD=10.点、E、尸分别在边48、2c上，AFLDE,垂足为点

题图备用图1备用图2

⑴求/尸：DE的值；

⑵当"F=2E/7时，求4E1的长；

(3)连接CH,如果△COHr是等腰三角形，求ZEDC的正切值.

24.（12分）

如图，抛物线＞=如2+云+。经过/(TO)、3(3,0)、C(0,3)三点，对称轴与抛物线相交于点P,与直线3c

相交于点连接/C,PB.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)设对称轴与x轴交于点N,在对称轴上是否存在点G,使以。、N、G为顶点的三角形与'OC相似？如

果存在，请求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由；

(3)抛物线上是否存在一点0,使AQMB与的面积相等，若存在，求点。的坐标；若不存在，请说明

理由.

2025年中考数学第一次模拟考试（湖北卷）

全解全析

第I卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.下列为无理数的是（）

A.yB.0C.-5D.V3

【答案】D

【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数，进行判断即可.

【详解】解：在:。-5,△四个数中，无理数是石；

故选D.

【点睛】本题考查无理数的判断.熟练掌握无理数的定义，是解题的关键.

2.下列四个图形中，是轴对称图形的是（）

方k大火

【答案】c

【分析】本题考查轴对称的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

【详解】解：A,不是轴对称图形，不符合题意；

B.不是轴对称图形，不符合题意；

C.是轴对称图形，符合题意；

D.不是轴对称图形，不符合题意；

故选C.

3.对于不等式4x+7（x-2）>8不是它的解的是（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】D

【分析】根据不等式的解的含义把每个选项的数值代入不等式的左边进行计算，满足左边大于右边的是不

等式的解，不满足左边大于右边的就不是不等式的解，从而可得答案.

【详解】解：当％=5时，4x+7(x-2)=41>8,

当工=4时，4x+7(x-2)=30>8,

当x=3时，4x+7(x-2)=19>8,

当x=2时，4x+7(x-2)=8.

故知x=2不是原不等式的解.故A,B,C不符合题意，D符合题意，

故选D

【点睛】本题考查的是不等式的解的含义，理解不等式的解的含义并进行判断是解本题的关键.

4.如(x+加)与(x+3)的乘积中不含尤的一次项，则加的值为()

A.-3B.3C.0D.1

【答案】A

【分析】此题考查了多项式的乘法，利用多项式的乘法展开后合并同类项，根据(x+加)与(x+3)的乘积中

不含x的一次项得到加+3=0,即可得到答案.

【详解】解：；(x+加)(x+3)=x?+(加+3)x+3加，(x+加)与(x+3)的乘积中不含x的一次项，

•••m+3=0,

m=—3.

故选：A.

5.如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点P,则点P落

在阴影部分的概率为()

【答案】B

3

【分析】设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为；，根据题意，分别求得阴影部分面积和总面积，根

据概率公式即可求解.

3

【详解】解：设小正方形的边长为1,则大正方形的边长为

,•总面积为16XF+4X[|]=16+9=25,

阴影部分的面积为2x=2+>5,

13

•••点P落在阴影部分的概率为T=B,

25~50

故选：B.

【点睛】本题考查了几何概率，分别求得阴影部分的面积是解题的关键.

6.如图，DE是△N5C的中位线，点尸在D8上，DF=2BF.连接E尸并延长，与的延长线相交于点

M.若2c=6,则线段CM的长为（）

【答案】C

【分析】根据三角形中中位线定理证得OE〃8C,求出。£,进而证得AOEFSABMF,根据相似三角形的

性质求出即7,即可求出结论.

【详解】解：是△4BC的中位线，

DE//BC,DE=-BC=-x6=3,

22

:.△DEFs^BMF,

.DE=DF=2BF”

BMBFBF'

3

2

：.CM=BC+BM=—.

2

故选：C.

【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相

似三角形的判定方法是解决问题的关键.

7.如图，在正方形网格内，线段尸。的两个端点都在格点上，网格内另有48,C,。四个格点，下面四个结

论中，正确的是（）

A.连接则四〃尸。B.连接8C,则8c〃尸。

C.连接80,则8QLPQD.连接ZD,则尸。

【答案】B

【分析】根据各选项的要求，先作图,再利用平行四边形的判定与性质，垂线的性质逐一分析判断即可.

【详解】解：如图，连接48,取尸。与格线的交点K,则NP〃8K,

而4P大BK,

••・四边形ABKP不是平行四边形，

：.AB,尸。不平行，故A不符合题意;

如图，取格点N,连接QC,BN,

由勾股定理可得：QN=y/5=BC,QC=y/10=BN,

••・四边形QCBN是平行四边形,

.-.BC//PQ,故B符合题意；

如图，取格点

Q

根据网格图的特点可得：BM±PQ,AT±QP,

根据垂线的性质可得：BDLPQ,AD1PQ,都错误，故C,D不符合题意；

故选B

【点睛】本题考查的是垂线的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，熟记网格图形的特点与

基本图形的性质是解本题的关键.

8.点尸(加+3,加-1)在y轴上，则点尸的坐标为()

A.(0,4)B.(4,0)C.(0,-4)D.(-4,0)

【答案】C

【分析】直接利用夕轴上点的坐标特点得出的值，进而得出答案.

【详解】解：：点尸（"7+3,"7-1）在直角坐标系的X轴上,

m+3=0,

m=—3

/.m-1=-3-1=-4

二点尸的坐标为：（0,-4）.

故选：C.

【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确得出机的值是解题关键.

3

9.如图，在平面直角坐标系中，。为原点，。4=。8=3后，点C为平面内一动点，5C=-,连接/C,

点M是线段ZC上的一点，且满足CM:M4=1:2.当线段0M取最大值时，点M的坐标是（）

【分析】由题意可得点C在以点B为圆心，|■为半径的上，在x轴的负半轴上取点。-芋，0,连接

BD,分别过C、M作CFLCM,MELOA,垂足为尸、E,先证AQO/SAD/C,得丝=04=2,从

CDAD3

而当CD取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当。，B,C三点共线，且点8在线段DC上时，CD

取得最大值，然后分别证ABDOSAC。尸，"EMs^AFC,利用相似三角形的性质即可求解.

3

【详解】解：•.•点C为平面内一动点，BC=3,

3

.・•点C在以点8为圆心，］为半径的02上，

在无轴的负半轴上取点。-一70,连接BD,分别过C、"作CF1CM,ME10A,垂足为尸、E,

AD=OD+OA=,

2

OA_2

一f

AD3

-CM:MA=1:2,

OA2CM

••茄一§―^E，

•：NOAM=NDAC,

・•・^OAM^^DAC,

OMOA_2

~CD~^4D~3

・•・当CD取得最大值时，0M取得最大值，结合图形可知当。，B,。三点共线，且点5在线段。。上时，CD

取得最大值,

-OA=OB=3y/5,。。=拽,

2

•••BD=y/OB2+OD2=15

~2

；,CD=BC+BD=9,

OM_2

.而一§，

OM=6,

V轴J_x轴，CF_LOA,

；.ND0B=NDFC=9。。，

•・・/BDO=/CDF,

ABDOS^CDF,

15

翁岩即36~2

CF9

解得H竽

同理可得，AAEMSAAFC,

2

2__M_E__——

MEAM=7•即1863,

CFAC3——

5

解得出=上近

5

•-OE=y/OM2-ME2=66

5

.••当线段0M取最大值时，点M的坐标是卓,12世、

5J

故选D.

【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握

相似三角形的判定及性质是解题的关键.

10.已知点/（X],必）在直线y=3x+19上，点8（打%）,。（%3，%）在抛物线了=x?+4x-l上，若乂=%=%且

x1<x2<x3,贝I]再+了2+七的取值范围是（）

A.-12<再+/+七<-9B.-8<%]+%+£<-6

C.-9<再+12+<°D.-6<七+%2+%3<1

【答案】A

【分析】设直线了=3x+19与抛物线了=/+4苫-1对称轴左边的交点为P,设抛物线顶点坐标为。，求得其

坐标的横坐标，结合图象分析出为的范围，根据二次函数的性质得出X2+X3=2X（-2）=-4,进而即可求解.

【详解】解：如图所示，设直线V=3x+19与抛物线昨/+4>1对称轴左边的交点为尸，设抛物线顶点坐

标为。

y=3x+19

联立

y=x2+4x-1

x——5x=4

解得:…或

歹二31

・•.P(-5,4),

由y=x2+4x-l=(x+2『-5,则。(-2,-5),对称轴为直线x=-2

设加=弘=%=为，则点45。在丁二加上,

必=必=乃且$<%2<X3，

・•.A点在尸点的左侧，即再<—5,X2<-2<X3,

当加=一5时，％2=%3

对于>=3x+19,当y=-5,x=-8,止匕时再=一8,

X]>—8,

—8<X]<—5

・•,对称轴为直线x=—2,贝ij超+工3=2x(―2)二一4,

.•・西+)2+%3的取值范围是-12<xx+x2+x3<—9,

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，数形结合熟练掌握是解题的关键.

第n卷

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11.分式三有意义，则x应满足的条件是_________.

x-2

【答案】xw2

【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0得出不等式，求解即可.

2

【详解】解：分式一丁有意义,即x-2w0,

x-2

二xw2,

故答案为：X丰2.

【点睛】本题考查分式有意义的条件，牢记分式有意义的条件是分式的分母不为0.

12.如图，函数了=丘+6（左<0）的图像经过点p,则关于x的不等式丘+人>3的解集为_____.

【答案】%<-1

【分析】观察一次函数图像，可知当y>3时，x的取值范围是x<-l,则6+6>3的解集亦同.

【详解】由一次函数图像得，当y>3时，%<-1,

贝y=kx+b>3的解集是x<-l.

【点睛】本题考查了一次函数与不等式结合，深入理解函数与不等式的关系是解题的关键.

13.有四张正面分别标有数字1、2、3、4的卡片，它们除数字外完全相同，将四张卡片背面朝上，洗匀后

随机抽取两张，取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率是.

【答案】|

【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.

【详解】解：根据题意，列出表格如下：

1234

1345

2356

3457

4567

所以共有12种等可能结果，其中取出的两张卡片上的数字之和为偶数的有4种结果，

所以取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率为己=；.

故答案为：—

【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果"，再从中选出符合

事件/或3的结果数目m,然后利用概率公式计算事件/或事件2的概率.

[2x+3v=3

14.已知x，V满足方程组，/一,贝iJ2023+x+y=____.

[3x+2y-7

【答案】2025

【分析】本题考查了解二元一次方程组，代数式求值，将原方程组中的两个方程相加得到5为+5y=10,即

x+y=2,再整体代入代数式计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键.

【详解】解：将方程组中的两个方程相加得，5x+5y=10,

即x+y=2,

2023+x+y=2023+2=2025,

故答案为：2025.

15.如图，矩形O/8C的顶点A在反比例函数y=((x<0)的图像上，顶点8、C在第一象限，对角线

x

2

轴，交y轴于点D.若矩形O/3C的面积是6,cosZOAC=~,则左=.

629

【分析】方法一：根据△ZOC的面积为3,得出。。=丁=—,AC=-a在RM/。。中，

3aa2f

222

AC=AO+OC,得出。2=迪，根据勾股定理求得。0=右0,根据上的几何意义，即可求解.

15

AF)44

方法二：根据已知得出方=大则5“加=3邑/%，即可求解.

71C/yy

2

【详解】解：方法一：

2

/.cosZOAC=—=—

AOAC3

设AD=2a,则AO=3a,

.-.AC=-a

2

•.•矩形O48C的面积是6,/C是对角线,

・•.△ZOC的面积为3,即g/OxOC=3

2

：.OC=—

3aa

在Rt"OC中，AC2=AO2+OC2

即收/4

4下

475

解得：a2

~L5~

在RM/DC中，DO=yjAO2-AD2=yTa

•••对角线/C〃X轴，贝lj4)_LOD,

2

|A:|=2S、AOD=2ax垂＞a=2y[5a=2垂|x~~~=g，

•・•反比例函数图象在第二象限，

78

k=——,

3

2

方法二：・・・cos/CMC=—,

3

/八,「ADAO2

/.cosZ.OAC==-----=—

AOAC3

设AD—2。，则AO=3a,

：.AC=-a,

2

AD_2tz4

-u

2

2s=[x2S“oc=~x6=|»

...左<0,

78

/.k=——,

3

o

故答案为：.

【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数上的几何意义，余弦的定义，熟练掌握反比例函数的性质是解

题的关键.

三、解答题（本题共9小题，共75分。其中：16-17每题6分，18-19每题7分，20-21每题8分，22题10

分，23题11分，24题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（6分）

（1）计算：3T+2sin300—2025°；

（2）解方程：x2+3x―4=0.

【答案】（1）；：（2）x=-4或x=l.

【分析】（1）利用零负指数幕法则计算以及利用特殊角的三角函数值计算即可；

（2）利用因式分解法求出解即可.

【详解】⑴3-1+2sin30°-20250=1+2><|-1=|;（3分）

2）解：x2+3xT=0

(x+4)(x-l)=0

解得x=-4或x=l.（6分）

【点睛】本题考查实数的运算，以及解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

17.（6分）

已知点E,尸分别是平行四边形的边BC,4D的中点.求证：AE=CF.

【答案】见解析

【分析】根据平行四边形的性质，可得到/尸〃CE,AF//CE,结合点E,尸分别是平行四边形/BCD的

边BC,力。的中点，即可证明结论.

【详解】•••四边形为平行四边形，

AF//CE,AD=BC.（2分）

又点£,厂分别是平行四边形4BC。的边8C,NZ）的中点，

AF=CE.（4分）

.•.四边形AECF为平行四边形.

AE=CF.（6分）

【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，牢记平行四边形的判定方法和性质是解题的关键.

18.（7分）

，，勤劳，，是中华民族的传统美德，学校要求同学们在家里帮助父母做一些力所能及的家务，开学初，某班主任

调查了全班同学寒假在家做家务的总时间，设被调查的每位同学寒假在家做家务的总时间为x小时，将做

家务的总时间分为五个类别：40白<10）,B（10<x<20）,C（20<x<30）,Z）（30<i<40）,£（x>40）,并将调查

结果制成如下两幅不完整的统计图：

根据统计图提供的信息，解答下列问题：

学生寒假在家做家务学生寒假在家做家务

的总时间条形统计图的总时间扇形统计图

(2)请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图;

(3)扇形统计图中m的值是,类别D所对应的扇形圆心角的度数是度；

(4)在被调查做家务的总时间处于类别E的学生中有1名男生和3名女生，班主任准备从这4人中任选2人

在班会课上分享收获.请用列表或画树状图的方法求被选中的2人恰好是1男1女的概率.

【答案】(1)50

(2)见解析

(3)32,57.6

(4)被选中的2人恰好是1男1女的概率为;.

【分析】(1)从两个统计图可知，Z组”的频数为10人，占调查人数的20%,计算即可；

(2)求出“2组组”人数即可补全频数分布直方图；

(3)求出“C组”的人数所占的百分比即可确定根的值，“Z组”占20%,相应的圆心角占360。的20%即可;

(4)画树状图得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率.

【详解】⑴解：10+20%=50(人),

该班共有50名学生；

故答案为：50；(2分)

(2)解：♦组人数为:50x24%=12(人)，

。组人数为：50-10-12-16-4=8(人),

补全频数分布直方图如下：

学生寒假在家做家务

的总时间条形统计图

(3)解：16-50xl00%=32%,BPm=32,

360°x8-50xl00%=57.6°,

故答案为:32,57.6；(5分)

(4)解：画树状图为：

开始

女女男女女男女女男女女女

•••共有12种等可能情况，1男1女有6种情况，

・•・被选中的2人恰好是1男1女的概率\=；.（7分）

【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，树状图等知识点，解题时注意：概率=所求情况数与总情况

数之比.

19,（7分）

2024年11月16日巴中光雾山迎来了今年入冬后的第一场雪.小明与小亮相约周末去光雾山赏雪，在山脚C

处测得山顶A的仰角为45。，沿着坡比为1:6的斜坡CF步行前进200米到达。处，在。处测得山顶A的仰

角为37。.再由。处乘坐缆车到达山顶A处.（参考数据：sin37°«0.60,cos37°«0.80,tan37°«0.75,

G"73）

A

(1)求山的高度ZB.(结果保留根号)

(2)若缆车的速度为150m/min,求乘坐缆车大约需要多少分钟.(结果保留到整数)

【答案】⑴山的高度为(400+300g)m

(2)乘坐缆车需9min

【分析】本题考查了解直角三角形的应用；

(1)设/3=xm,过点。作。E13C于E,DHLAB于H,在R3DCE中，CD=200,坡比为1：道,

得EC=1006,在RtA4D77中，根据=37。，得出］代■+-0.75,即可求解；

⑵由(1)知加=X—1OO=3OO+3(X\G，在Rt-D，中，乙WH=37。，根据

.AH300+30073…EWE十版

sinNADH-------=-----------------b0.60,即可求为牛•

ADAD

【详解】(1)解：设/5=xm,过点。作。E_L3C于E,DH1AB于H,

由题知，/ADH=37。,ZACB=45°fzB=90°f

BC=AB=x

在RtADCE中，CD=200,坡比为1：6,

：.DE=100,£C=100A/3

•••DELAB,DHLAB,/B=90°,

••・四边形。为矩形

：.BH=DE=100,DH=BE=1(X^3+x

在RM/DH中，ZADH=31°,

AH

,：tanAADH-----,

DH

x—100

《0.75,

100A/3+x

x=400+30073

答：山的高度AB为(400+300K)m.(4分)

(2)由(1)知曲=x—100=300+300V§

在RM/D/Z中，NADH=37。

.AH300+300西八“

,/sinZADH=----=---------------x0.60，

ADAD

AD=500+50073b1366m

:•乘坐缆车需要1366+150*9(min)

答：乘坐缆车需9min.。分)

20.(8分)

正比例函数？="的图象与反比例函数＞=：的图象交于点4(4,3),“(加，小是反比例数图象上的一动点,

⑴求正比例函数和反比例函数的解析式；

(2)如图，当0〈加＜4,过点M作直线轴，交y轴于点8,过点4作直线人。〃歹轴交x轴于点C、

交直线于点。.当四边形04。”的面积为4时，在x轴上取一点尸，使七以最小，求点尸的坐标.

【答案】⑴正比例和反比例函数的表达式分别为：k为3，y=1L2

4x

⑵尸点坐标为

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；

（2）利用S矩形-2.。-SA。.列式计算求得点M的坐标为（3,4）,求得点M关于x轴的对称点”的坐

标（3,-4）,连接⑷IT交x轴与点尸，此时9包4最小，再利用待定系数法求得直线/AT的解析式，据此

求解即可.

【详解】（1）解：将点力的坐标分别代入两个函数表达式得：3=4〃，3=：,

4

3

解得：左二12,

4

312

则正比例和反比例函数的表达式分别为：＞=V=—;（2分）

4X

（2）解：由点/、M的坐标得，点。（4,〃），即（4,?],

1248

则四边形。4QM的面积S矩形0CD5-％以0-刈0.=4x---k=----12；

mm

48

四边形04W的面积=--12=4,

m

解得：初=3.（4分）

，点用的坐标为（3,4）,

•・•点M关于x轴的对称点M'的坐标（3,—4）,

设直线AM'的解析式为y=kx+b,

・・・4（4,3）,“（3,—4）代入得

4左+6=3

k=l

12,＜，解得

——k+bL=-5ft=-25

[5

，直线的解析式为＞=7x-25（7分）

当y=o时，x=—

7

，尸点坐标为（8分）

【点睛】此题属于反比例函数的综合题，涉及的知识有：反比例函数与一次函数的交点，矩形的判定与性

质，利用待定系数法求一次函数解析式，以及点与坐标的关系，利用了数形结合及方程的思想，是中考中

常考的题型.

21.（8分）

如图，48是O。的直径，点C是O。上一点，过点C作弦CD14B于E,点尸是弧AD上一点，4F交CD

于点”，过点厂作一条直线交。的延长线于交48的延长线于G,HM=FM,AC//MG.

（1）求证：MG是。。的切线；

3

（2）^tanZM=-,AH=2,求OG的长.

【答案】（1）证明过程见解析

0、25函

【分析】（1）连接。尸，通过段4万+乙l/ffi=90。得到NOE4+ZMFH=90。，即可证明MG是。。的切线；

3

（2）连接。C、OF,通过平行得到幺。4=一，设CE=4m,则/£=3%,AC=5m,RtAAEH

4

中利用勾股定理求得加的值，而△COE中利用勾股定理求得半径，比△。/G中，利用三角函数即可求得。G

的值.

【详解】（1）证明：连接OF,如图所示，

•：CDLAB,

山£〃=90o,乙HAE+乙4HE=90。,

-OA=OF,HM=FM,

:.乙HAE=^OFA,/.MFH=Z-MHF=Z.AHE,

••/OFA+44FH=9V,BPzCW=90°,

•.OFIMG,

・•.MG是。。的切线（3分）

（2）解：连接OC、OF,如图所示，

：Q=^ECA,

3

'-'tanZ-M=—,

4

3

；.tan乙ECA=—,（5分）

4

设CE=4加，则4E=3加，AC=5m,

,:FM=MH,

••山FH=/.MHF=Z.AHC,

-AC//MG,

•♦山FH—CAH,

"CAH=UHC,

：.CH=AC=5m,

:,HE=CH-CE=m,

RtAAEH中,AE2+HE2^AH2,AH=2,

・•・(3m)2+加2=22,解得加或加=-(舍去),

55

门口4>/10.々3A/10/久八、

：・CE=4Am=----,AEr=3m=--------,(6分)

55

设。。半径为r，则OE=CM-4E=--独

5

RtACOE中,OE2+CE2=OC2,

z3M、,(4AAO、22而用5厢

・•・(r-——)2+(—―)2=产，解得—,

556

：.OF=,

6

・・,MG是。O的切线，

.^OFG=90°,

44OF4

Rt^OFG中，tan/-G=—>•-sinZ-G=—,即---=一,

35OG5

5屈

■•­6_4,

0G-h

...。6=空叵.(8分)

24

【点睛】本题考查了圆切线的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知

识点，正确作出辅助线是解答本题的关键.

22.（10分）

如图，某公园的一组同步喷泉由间隔等距的若干个一样的喷泉组成，呈抛物线形的水流从垂直于地面且高

出湖面1m的喷头中向同一侧喷出，每个喷头喷出的水流可看作同样的抛物线.若记水柱上某一位置与喷头

的水平距离为喷出水流与湖面的垂直高度为加.

人

下表中记录了一个喷头喷出水柱时xm与冲1的几组数据:

x(m)01234.5

y（m）11.61.81.60.55

(1)如图，以喷泉与湖面的交点为原点，建立如图平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；

(2)现有一个顶棚为矩形的单人皮划艇，顶棚每一处离湖面的距离为L75m.顶棚刚好接触到水柱，求该皮划

艇顶棚的宽度.

(3)现公园管理方准备通过只调节喷头露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，为避免游客

被喷泉淋湿，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5m,

已知游船顶棚宽度为2m,顶棚到湖面的高度为L5m,那么公园应将喷头(喷头忽略不计)至少向上移动多

少m才能符合要求？(直接写出结果)

【答案】(1)了=-0.2/+0领+1

(2)1m

(3)公园应将水管高度至少向上调节0.4米才能符合要求.

【分析】本题主要考查了运用待定函数求函数解析式、二次函数图像的平移、二次函数的应用等知识点，

将实际问题转化成二次函数问题是解题的关键.

(1)在表格中取三组数据，然后运用待定系数法解答即可；

(2)令V=1.75,求得对应x的值，然后确定两个x之间的距离即可解答；

(3)设出二次函数图像平移后的解析式，根据题意列出不等式求解即.

【详解】(1)解：由表格可知：函数图像经过点(0,1),(1」⑹(3,1.6),

设函数解析式为：y=ax2+bx+c,

1.6=a+b+c[a=-0.2

则有：[1.6=9a+36+c,解得：b=0.8,

c=lIc=1

所以函数解析式为：了=-0.2/+0.8》+1.(3分)

x=

(2)解:令y=1.75,则有1.75=-0.2x?+0.8x+l,解得:\2.5,x2=1.5,

所以该皮划艇顶棚的宽度为2.5-1.5=1111.(6分)

(3)解：设公园应将喷头(喷头忽略不计)至少向上移动才能符合要求，则调节后的水管喷出的抛物

线的解析式为：y=-0.2尤~+0.8x+1+”,

•,・抛物线的对称轴为：x=2,

2

由题意可知，当横坐标为2+^=3时，纵坐标的值不小于L5+0.5=2,

■­--0.2X32+0.8X3+1+H>2,解得：«>0.4,

.•.水管高度至少向上调节0.4米，

•••公园应将水管高度至少向上调节0.4米才能符合要求.(10分)

23.（11分）

在矩形/BCD中，AB=8,AD=10.点E、下分别在边/2、3c上，AF1DE,垂足为点

A

B

备用图1

⑴求Z尸的值；

(2)当/m=2E/7时，求4E1的长；

(3)连接纺，如果是等腰三角形，求/助C的正切值.

【答案】(呜4

⑵5

48

(3)§或］或2

Ap4R4

【分析】(1)先由矩形的性质证明△ZBFs即可得==

DEAD5

BFAB

(2)延长。E、C5交于〃，设4E=x，由尸得一二—二—4，则=4-x,证明△/石石^^板以

AEAD55

得过=坐=2,进而得M/=2x,BM=-x,再由月。〃AW得=进而可得关于x的一元二次

HFMF