安徽省阜阳市两校2024-2025学年高二年级下册3月月考数学试题（解析版）

高二下学期3月份月考试卷

数学试题

满分150分，考试时间120分钟本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）

第I卷（选择题共58分）

一、单选题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一

项符合题目要求.

1.圆Gd+yJi与圆Q：（%-3）+丁=4的位置关系是（）

A.相交B.内切C.外切D.内含

【答案】C

【解析】

【分析】求出两圆圆心距，结合圆与圆的位置关系可得出结论.

【详解】圆6：尤2+：/=1的圆心£（0,0）,半径为4=1,

圆。2：（%—3『+_/=4的圆心。2（3，。），半径々=2,

两圆的圆心距为|GG|=|3—0|=3,所以|GG|=4+G=3,所以两圆的位置关系为外切.

故选：C.

22

2.已知椭圆c：」_+3_=1的焦点在y轴上，则实数加的取值范围为（）

4-m6+m

A.（-1,4）B.（1,4）C.（-6,4）D.（-l,+oo）

【答案】A

【解析】

【分析】由焦点在x轴上的椭圆特征列出关于机的不等式，求解可得答案.

4-m>0

【详解】<6+m>0,解得一1〈根<4.

6+m>4-m

故选：A.

r

3.已知空间向量Z=（2,〃—1）,^=（-2,1,2）,若Z与3垂直，则。等于（）

A逐B.小C.3D.^/41

【答案】D

【解析】

【分析】根据空间向量垂直的坐标表示及模长公式即可求解.

【详解】因为4=（2,〃—1）,^=（-2,1,2）,£与B垂直，

所以£%=—4+〃-2=0，解得〃=6,

所以M=（2,6,—1）,所以同=厅京不了=可.

故选D.

4.已知直线/与曲线/a）=e*+sinx在点（0"（0））处的切线垂直，则直线/的斜率为（）

1

A.-1B.1C.——D.2

2

【答案】C

【解析】

【分析】可得/'（x）=e'+cosx,得到/'（0）=2,进而求得直线/的斜率，得到答案.

【详解】由函数/（x）=e*+sinx,可得/'（x）=e*+cosx,

则/'（0）=2,所以直线/的斜率为—g.

故选：C.

5.若数列｛。“｝满足％=2,an+ian^an-l,则%（）24=（）

A.1B.2C.3D.-1

【答案】A

【解析】

【分析】先分析归纳出数列的周期，利用周期可得答案.

，、，1

【详解】,数列｛。"｝满足4=2,一1,,4+1=1---,

an

g=g，/=1-2=-1,/=1-（-D=2,45=］一万=5，

•..｛4｝是周期为3的周期数列，而2024=3x674+2,故

故选：A

6.已知正项数列｛4｝满足％=己里生，则”=（）

2n%

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定的递推公式，利用构造法探讨数列｛&4的特性即可得解.

n

【详解】依题意，.=则数歹!)｛"｝是以;为公比的等比数列，因此发=色(工],

n+12nn284(2J

a.1

所以」二G

/8

故选：B

7.记数列｛%｝的前〃项和为S“，若。I=LS"+S“+I=3〃2+2〃+1,则邑0=()

A.590B.602C.630D.650

【答案】A

【解析】

【分析】根据q+i=5,向一工作差得到%+%+2=6(〃+1)—1,再计算出q+%，即可得到

a”+a,-]=6"-1,再利用并项求和法计算可得•

【详解】因为S“+S“+]=3"2+2〃+l,

所以S"+i+Sn+2=3(〃+1)2+2(〃+1)+1,

两式相减可得%+i+%+2=6〃+5=6(〃+1)—1.

由4=1,+S2=3xl~+2xl+l=6,解得出=4,

所以4+%=5,满足上式，故aa+%+i=6“一1,

所以S?o=(4+%)+(%----(49+。20)

10x(5+113)

=5+17+29+…+113=——------^=590.

2

故选：A

8.己知过点A(“,0)可以作曲线y=(x-l)e，的两条切线，则实数。的取值范围是()

A.(1,+00)B.(-oo,-3)U(l,+℃)

C.(—oo,-e)u(2,+8)D.(—8,—2)U(2,+℃)

【答案】B

【解析】

【分析】先对函数求导，设切点(x0，(%—I)*)，写出切线方程，将点4。，0)代入切线方程，得到

2

xo-(a+l)xo+l=O,根据切线有两条，得到方程有两根，结合判别式即可求出结果.

【详解】由y=(x—1把工得y'=e"+(x—1)e"=xe\

设过点4a,0)的直线与曲线y=(x-l)ex切于点(玉),(X0—De.")，

则切线斜率为左=/e而，

所以切线方程为y-(x0-l)e-'°=/e%(x-/)

因为切线过点4。,0),

所以0-(1—l)e%(a-x0),整理得与？+1=0,

因为过点A(“,。)的切线有两条，

所以方程/2-(。+1)/+1=。有两不同实根，

因此A=(a+1)2—4>0,解得a>l或。<一3,

即实数°的取值范围是(—8,—3)。(1,+8).

故选：B

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“,q〉0,且(Su-S7)(Sii—S8)<0,贝U()

A.%+〉0

B.S]<Sn<Ss

C.当〃=10时，S“取最大值

D.当S“<。时，〃的最小值为19

【答案】ABD

【解析】

【分析】对A,根据等差数列的基本性质，结合q〉0分析公差判断即可；对B,根据作差法结合A中结论

分别判断Hi—邑下]]—Sg的正负即可；对C,由。9〉0，的0<0判断即可；对D,根据。9〉0，q0<0可得

——d<ai<-9d,再分析S),<0时满足6<—2二d判断即可.

22

【详解】对A,(Su—S7)(Su—耳卜。则(4+佝+%o+%i)(%+%o+%1)<。，

由等差数列性质可得2(%,+%o)x3%o<0,即(％,+%o)qo<0.

因q〉0,若公差d>0,则。9，％0>0，不满足，故d<0，则。9>即)・

则为+%()〉0,。1()<。，故A正确；

对B,由A,a9+al0>0,aw<0,故。9〉0,%()<0.

则Sp—S7=%+%+q0+%[=2(%+%())>0,则Su〉S7,

又Hi—Sg=佝+%(；+41=3%0<0,故耳1<工，故B正确；

对C,由佝〉0，40<。可得〉°，60，“11，％2“・<0，故当〃=9时，S”取最大值，故c错误；

17

对D,由%+%()~2al+17d>0,a]。=%+9d<0,可得---d<q<—9d.

故当何=74+""["<0时,需要满足q<——d,故〃的最小值为19,故D正确.

故选：ABD

10.已知直线/:(a+2)x—(a+l)y—1=0与圆C：x2+/=4交于点A,瓦点尸(1,1),人3中点为。，则

()

A.|AB|的最小值为20

B.|A目的最大值为4

C.百.而为定值

D.存在定点“，使得|MQ|为定值

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用直线过定点P（l,l）进行逐项分析，对于A,根据CP和直线/垂直时，|A回取最小值求解即可；

对于B,验证直线/能否过圆心即可；对于C,联立直线和圆的方程，将丽・丽表示出来求解即可；对于

D,利用CQLPQ,结合直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可.

【详解】直线］:（a+2）x-（a+l）y-l=0,即a（x-y）+2x-y-l=0,

故直线过定点2。,1）,且圆。：/+寸=4的圆心为（0,0）,半径为2,

-.-12+12<4-故P（1,1）在圆c内，

对于A,当CP和直线/垂直时，圆心到直线的距离最大，距离d=|CP|=0,

此时最小，1ABi=2"-/=2万故A正确；

对于B,当［4耳=4时，AB为圆的直径，此时直线过圆心，

•.■（。+2）*0—（。+1）义0—1=0方程无解，故直线不可能过圆心，故B错误；

对于C,设A（%,%）,现42，%），则

西•丽=（石-1）（9-1）+（弘T）（%-1）=石马-（国+%）+%%-（弘+%）+2,

当直线/斜率不存在时，Z：x=l,联立圆。：/+丁2=4得，y=±石，

此时西.丽=1-3-2+2=-2

当直线/斜率存在时，设直线y—1=左（1—1）,联立圆C：f+y2=4,

得d+［左（x—1）+11=4,即（左2+1）尤2+（2左一2左2）x+/—2左一3=0,

'2k-2k2

=一KF

"k2-2k-3，

I12k2+l

X+%=左（石+%2）+2-2左，

2

yry2=［左（玉-1）+1］X［A（%2-1）+1］=kx1x2+（左一左2）（玉+々）+（1-左J,

PA-PB=X{X2_（玉+%）+—（%+%）+2=（左之+1）项々_（左之+1）（%+/）+k2+1,

带入得：PAPB=k2-2k-3+2k-2k2+k2+1=-2，

故西•丽为定值-2，故C正确；

对于D,AB中点为Q,故CQLA5,且P(U)在AB上，

所以CQ，PQ,故△PQC是直角三角形，

当M为PC中点时，|MQ|=g|PC|=等为定值，故D正确.

故选：ACD

11.已知抛物线E：V=2px的焦点为尸，从点尸发出的光线经过抛物线上的点尸(原点除外)反射，则

反射光线平行于X轴.经过点F且垂直于X轴的直线交抛物线E于B,c两点,经过点尸且垂直于X轴的直

线交x轴于点Q；抛物线E在点尸处的切线/与阳y轴分别交于点则()

A.\PQ?=\BF\-\QF\B.|P2|2=|5C|.|O(2|

C.\PF\=\MF\D.FN±l

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据题意，得到各线段的长度，从而判断AB,利用抛物线光学性质，结合抛物线的定义判断CD.

【详解】对于AB,设点P(x,y),则Q(x,0),y=而^,

贝而忸刊=H。8=看一x,

所以y-x=\BF\-\QF\,故A错误；

又15cl=2p,|OQ|=x,则|PQ|2=2px=|5CHOQ|，故B正确；

对于C,如下图所示，过点P作x轴的平行线R”，与抛物线E的准线KH交于点”，

又题意所给抛物线的光学性质可得=,

又NSPR=/PMF,所以NMPF=NPMF,从而|%|=|用/|,故C正确；

对于D,因为NSPR=NHPM,所以NMPF=NHPM,即PM为厂的角平分线,

又由抛物线定义知|加|=|。4，结合|PE|=|MF|,可得四边形丽〃为菱形，

而y轴经过线段中点，从而与y轴的交点即为点N,所以FN，/,故D正确.

故选：BCD.

第n卷（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在各项均为正数的等比数列｛qj中，a3a13=144,%=6,则为=.

【答案】3

【解析】

【分析】根据给定条件，利用等比数列性质计算作答.

【详解】等比数列｛4｝中，«„>0,由a；==144,

得=12,由a2ag—ag=36,得a2=3,

所以%=3.

故答案为：3.

13.已知曲线丁='"-lnx与直线y=ar+4（aeR）相切，则。=.

ex

【答案】-2e

【解析】

【分析】由丁=工-hu的导数出发，设出切点坐标，利用导数方程，由此求得。的值.

ex

【详解】由丁=’—hu,得y=—3―工，

exexx

设切点为（玉）,%）,

,1।11

则UXQ+4=------IDJVQ,a=------J------,

2

消去a得1叫)+3------=0,

e/

函数/(%)=lnx+3—■4在区间(0,+“)上单调递增，且

故答案为：—2e

14.己知各项均为正数的数列｛a,｝的前〃项和为S“，且4S“=(4+3)(。,,—1),数列｛%｝满足％=(-1)向

n+15o

-----,若4+仇+…+仇<2——外对任意“eN*恒成立，则4的取值范围是___________.

%限"3

【答案】

【解析】

【分析】先由s,关系求解数列｛4｝通项公式，代入式子整理得对整

数的奇偶性分类讨论进行数列求和，得数列的最大值，进而得到2范围.

【详解】当〃=1时，4sl=4q=(a]+3)(a]-l),

又％>0,解得q=3,

由4s“=(4+3)(4-1)①,

则当2时，4S-1=(%T+3)(。“-1一1)②，

两式①②相减得，4an=a；—a；r+2an—2a〃_i,

即(%—%—2)3+%)=。，又a”>0,则a,—矶=2,

所以数列｛4｝是以3为首项，2的公差的等差数列，

故。〃=6+2(〃-1)=2〃+1,

〃+111

则〃=(—1严=-x(-l)n+1-----------1------------

(2〃+1)(2〃+3)42〃+12〃+3

令4=4+4+•♦•+%,

黑一高]

又&-1=-|-

4n+3j4(4〃+1

则数列｛(“｝是递增数列,且eN*,(〃<，；

2

数列｛心“-1｝是递减数列，V"eN*Z,i<Z71=—,

5一

若/?]+/??+…+2<A——A9恒成立，

<2—己5丸92且《25229恒成立，

33

515212

所以几---%2N---,且％---%2>---,解得一<彳<一,

31231555

故答案为：M

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数〃x)=x2/'(3)+5x—7.

(1)求函数/(%)的解析式;

(2)设g(x)=W(x)，求曲线y=gQ)的斜率为-4的切线方程.

【答案】(1)f(x)^-x2+5x-7

(2)4x+y—9=0或108x+27y+13=0

【解析】

【分析】(1)先对给定函数求导，然后将x=3代入导函数求出了'(3)的值，进而得到函数/(%)的解析式.

(2)先求出g(x)的表达式，再对g(x)求导，根据切线斜率求出切点坐标，最后利用点斜式求出切线方程.

【小问1详解】

对/(x)=d/'(3)+5x-7求导，可得f(x)=2xfr(3)+5.

把x=3代入，得到了'⑶=2x3r(3)+5.解得八3)=-1.

把尸(3)=-1代入/(x)=X2/(3)+5X-7,得到/(x)=——+5x—7.

【小问2详解】

已知g(x)=xf{x},把/(x)=——+5x—7代入可得g(x)=x(-x2+5x—7)=-x3+5x2—7x.对g(x)

求导，可得g'(x)=-3/+10x-7.

因为曲线y=g(x)切线斜率为-4,所以令g'(x)=T,即—3%2+10%—7=-4.

解得x=3或x=L

3

当x=3时，g(3)=—33+5x32—7x3=—3.

3

当尤W时，^)=-(1)+5X(|/-7X1=-^.

当切点为(3,—3),切线方程为y—(―3)=T(x—3),整理得4x+y-9=0.

149491

当切点为（§,—方），切线方程为y—（一句）=—4（x—p,整理得108x+27y+13=0.

综上所得，y=g（X）的斜率为-4的切线方程为4九+y—9=0或108x+27y+13=0.

16.如图，在四棱锥尸―ABCD中，上4，平面43。0,43_14。,3。〃4。，点/是棱。£）上一点，且

AB^BC=2,AD=PA=4.

（1）若尸加："。=1:2,求证：〃平面A&0；

（2）求二面角A—CD—P的正弦值；

【答案】（1）证明见解析

⑵当

【解析】

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量去证明PB〃平面A&0；

(2)利用空间向量先求得二面角A-CD-P余弦值，进而求得其正弦值.

【小问1详解】

,在四棱锥尸―ASCD中，外，平面458,45,4£),5。〃4£),

:•以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系,

设平面ACM的法向量为=(x,y,z),

n-AC=2x+2y=0

则_.48，取尤=2,得为=(2,—2,1),

n-AM=—y+—z=0

33

:而•而=4—4=0,PB(z平面A。/，；•P5〃平面ACM.

【小问2详解】

D(0,4,0),PC=(2,2,-4),PD=(0,4,-4)，

设平面CDP的法向量沅=(a,b,c),

m-PC=2a+26-4c=0

则一，取b=l,得玩=(1,1,1),

m-PD=4Z?-4c=0

又万=(0,0,1)为平面ACD的一个法向量，

设二面角A—CD—P的平面角为。，则6e[0,7i]

则6昨品则sin"「了邛

，二面角A-CD-P的正弦值为渔.

3

17.已知各项均为正数的数列｛4｝的前w项和为5“，且%=3,q=病+£:(/eN*且〃22).

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)若2喷，求数列也｝的前〃项和北.

【答案】(1)an=21：

【解析】

【分析】(1)利用4=S〃-Si(〃22)化简题中条件，可得歹!!｛#:｝是以1为首项，1为公差的等差数

列，求得S“=〃2,再根据a“=S〃-S“T(〃22),即可求解；(2)利用错位相减法求和即可.

【小问1详解】

当〃=2时，a2=#7+.yjs^,

即3=j3+q+弧,解得q=l.

因为a,=S"-S“_i(〃之2),

所以a”=+JS“_])(w>2),

又4=+Ai(ra>2,〃eN*)，%>0,

所以病一=1(〃22),

又=&=1，

所以数列｛#；｝是以1为首项，1为公差的等差数列，

所以病=1+(〃—1)=〃，所以S“=7?.

当〃22时，an=Sn-Ri="--1)?=2"-1,

当力=1时，。1=1,满足上式,

所以数列｛4｝的通项公式为4=2〃—1.

【小问2详解】

,、…2〃一1

由（1）知a=，■=-------,

n2nT

所以＜=4+4+仇+,,,+〃=g+'+—+…1，

匚一，1,1352«-1

所以5北=尹+梦+吩+…+h'

所以工＜=工+±+3+…+2—”=1+工+3+…+工一工2n-l

2222232"2"2222?i-1222"i-

32〃+3

2一_2"i，

所以＜=3-手

22

18.己知双曲线C:^—方=1（。〉0/〉0）的左、右焦点分别为耳，鸟，点A—J反拒）在。上，且

工的面积为几.

（1）求双曲线C的方程;

11

（2）记点A在x轴上的射影为点8,过点5的直线/与C交于M,N两点.探究：屈『是否为

定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

2

【答案】（1）—-y2=l

2

11」

⑵所+阿=1'为定值.

【解析】

[LL

【分析】（1）根据耳工的面积为遥，表示为]-2c•夜=后，结合双曲线方程，即可得到答案；

（2）首先设直线/的方程与双曲线方程联立，并用坐标表示忸闾和忸川，并利用韦达定理表示，即可化

简求解.

【小问1详解】

设双曲线的焦距为2c(c>0),

1-2c-V2=V6

由题意得，《a2+b2=c2

62

=1

a—A/2

2

解得b=l,故双曲线。的方程为土—y1—1.

2

c=^3

当直线的斜率为零时,则

（的16

1111A/2+

----1-----=+一-----=1

\BMf\BN\2（血+佝2（而—吟T（2-6）216'

当直线肱V的斜率不为零时，设直线的方程为x=/盯-卡，点"(七，

2

__2二]

联立《万一y—,整理得（苏—2）y2_2\[6my+4=0,

x=my-y[6

m2-2^0

则,解得mw^2且根w—x/2，

A=24m2-16（m2-2）＞0

2yf6m4

所以

11111才

++

所以\BMf忸（1+疗）/2（1+出北1+/

’2^/6m104

/\22—2.9

1(%+%)一2%%_1m-2_116m2+16

1+m21+m2(4V1+m216

[m2-2)

11

2=1

综上,----------9~------------为定值.

\BM\忸N|

19.定义1：若数列｛4｝满足①4=1,②V"22"(4—1)=0,则称｛%｝为“两点数列”；定义2：对

于给定的数列｛4｝,若数列也｝满足①仇=1,②时2%卜％则称也｝为｛4｝的“生成数列”.

已知｛%｝为“两点数列"，他"｝为R｝的“生成数列”.

(1)若4=1+(；严,求｛2｝的前〃项和S"；

(2)设p:｛4｝为常数列，4：｛%｝为等比数列，从充分性和必要性上判断P是4的什么条件;

(3)求2025的最大值，并写出使得仇025取到最大值的｛/｝的一个通项公式.

n+3

2〒-3,〃为奇数,

【答案】(1)sn=<

30一3,〃为偶数

(2)P是q充要条件.

为奇数,

(3)%)25的最大值为21°%a

n0,”为偶数.

【解析】

【分析】(1)根据所给新定义，分”为奇偶讨论，分别求出前几项和;

(2)分别结合等比数列的定义，研究充分性、必要性即可得证;

(3)分析an,an+l的取值，可得bn+2，2的关系，得出bn+2<2bn,据此可求出/?2025