安徽省合肥市某中学2025届高三年级下册数学素质拓展试卷（四）（含答案与解析）

机密★启用前

合肥一中2025届高三下学期素质拓展（四）

数学

（考试时间：120分钟满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试

卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1,已知集合44隧2彳<2},"I，、},则Ag=（）

A.{1}B,{3}C.{1,3}D,{1,3,5}

2.已知平面向量点5满足同=1,忸+囚=2,且+万，则.=（）

A.2B.有C.72D.1

y=――>0）

3.四参数方程的拟合函数表达式为］+［二］/，常用于竞争系统和免疫检测，它的图象是

一个递增（或递减）的类似指数或对数曲线，或双曲线（如y=x」），还可以是一条S形曲线，当a=4,

b--1,c=l,d=l时，该拟合函数图象是（）

A.类似递增的双曲线B.类似递增的对数曲线

C.类似递减的指数曲线D.是一条S形曲线

已知sin（a一夕）=一；,且sinacosQ=g,

4.则cos(2a+2〃)=()

5114

A.一B.----C.-D.一

9999

5.在棱长为。的正方体.ABC。—4与。12中，尸为A3上任意一点，E,/为C。上两个动点，且跖的

长为定值，则点尸到平面AEP的距离（）

A.和点E,尸的位置有关B.和斯的长度有关

C.和点P的位置有关D.等于也a

2

6.建设“书香校园”成为越来越多学校的办学追求.在对某高中1000名高一年级学生的图书馆借阅量的调查

中，已知这1000名高一年级学生中男生有600人，采用分层随机抽样的方法抽取100人，抽取的样本中男

生借阅量的平均数和方差分别为5和6,女生借阅量的平均数和方差分别为10和6,则估计该校学生借阅

量的总体方差是（）

A.7B.8C.12D.13

7.已知直线/:如+"'+♦=0（眉+4#0）与圆+（y+3）2=8交于两点，若加，八J成等差数

列，则/ACB的最小值为（）

兀兀2兀57i

A—B.—C.——D.——

3236

8.设实数2>0,若对任意不等式e"”—（X+l）x+lnx20恒成立，则2的取值范围是（）

A.0<2<eB.2>eC.0<2<-D.2>-

ee

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.下列说法中，正确的命题是（）

A.在两个随机变量的线性相关关系中，若相关系数厂越大，则样本的线性相关性越强

B.在具有线性相关关系两个变量的统计数据所得的回归直线方程$=&+最中，

b=-2,x=l,y=3^则d=5

C.在回归分析中，决定系数夫2的值越大，说明残差平方和越小

D.以模型y=ceh去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny,将其变换后得到线性方程

z=0.3x+4,贝Ic,左的值分别是和。.3

10.已知抛物线C：V=8x焦点为F,过点厂的直线/与。交于两点，。是。的准线与*轴的交

点，则下列说法正确的是（）

A.若忸刊=4|AE|,则直线/的斜率为±g

B,^^+4|^|>18

C.0。</4。8<90°（。为坐标原点）

\AF\,.

D.当勒取最小值时，AE=4

\AD\11

11.我们常用数是十进制数，2024=2-103+0-102+2-101+4.10%计算机用的是二进制数，只需

两个数码o,1.如二进制数：H01⑵=1・23+1・22+（）•21+1・2°=13.将十进制正整数n表示为二进制数，

其各位数字之和记为凡，即："=%"+%7+…+4-2°,其中4e｛0』｝,«=0,1,2,…%）,且

k

工匕=m,则根，如[3=1+1+。+1=3.则以下关于数列｛4,｝的结论正确的有（）

1=0

A.若q=根（7〃6N*）,则〃的最大值为2"'—1B.%“=an

a=

C.2n-l-1D.。2"+1=+1

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

-3+i_

12.己知复数2=k^,则z的虚部为.

2+1

22

13.已知厂是双曲线C:]—（=1的右焦点，尸是C左支上一点，M是圆。：—+竹―2也>=2上一

点，贝HMP|+1尸尸|的最小值为.

7T7T

14.从球0外一点尸作球。表面的三条不同的切线，切点分别为A&C,NAPB=一,ZBPC=-,

33

71

ZCPA=-,若上4=2,则球。的表面积为.

2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在一个不透明的盒子中装有除颜色外其余完全相同的若干个小球，其中有机个白球，机个黑球，2个

黑白相间的球，且从盒子中随机摸出1个球，摸到黑白相间的球的概率为1.

（1）从盒子中随机摸出1个球，求在摸出球上带有黑色的条件下，摸出黑白相间的球的概率；

（2）从盒子中1次随机取出1个球，取出后不放回，共取2次，设取出的黑球数量为X,求X的分布列与

期望.

16.已知在VABC中，ccosB—bcosC—a=0.

(1)判断VA3C的形状，并说明理由；

■JT

(2)若ZA=z，点。在AB边上，且5D=2AD.若CD=2,求的面积.

OAACD

17.如图，在四棱锥P—ABCO中，上4J_底面ABCD,PA=AB,E为线段PB的中点，咒为线段

5C上的动点.

(1)若BCLAB,平面AEF与平面P3c是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由.

(2)若底面ABCD为正方形，当平面AEF与平面PCD夹角为'时，求变的值.

6BC

18.设函数/(x)=e*+i-三—田.

(1)当k=0时，求曲线y=/(x)在点(T/(—1))处的切线方程；

(2)若/(%)在区间［—1,”)上单调递增，求左的取值范围；

(3)当行—1时，/(x)>/(-1),求左的取值范围.

19.己知椭圆E；:=+==1(。〉6〉0)的离心率为点P(0,l)在片上.

ab2

(1)求用的方程；

(2)设椭圆4：、+/=加(加〉1).若过尸的直线/交片于另一点Q』交E2于两点，且A在X轴

上方.

(i)证明：\AP\=\BQ\.

(ii)。为坐标原点.C为E2右顶点.设A在第一象限内，BP=2PA，是否存在实数〃使得AOB尸的

面积与ACB1的面积相等？若存在，求加的值；若不存在，说明理由.

参考答案

一、单选题

1,已知集合/回够％/,8={-1,1,3,5},则AC3=（）

A.{1}B,{3}C.{1,3}D,{1,3,5}

【答案】C

【解析】

【分析】由对数函数的定义域与单调性可求得集合4再结合交集的概念即可得答案.

【详解】因为A={邓og2%<2}=（0,4）,所以4口6={1,3}.

故选：C.

2.已知平面向量万万满足同="2万+.=2,且（万+B）_L万，则忖=（）

A.2B.白C.72D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示列式计算即可.

【详解】由5+5）_LZ,得3+石）2=万？十万.5=O,则万.石=一,2=_],

由|24十5|=2,得4五2+$2+4].5=4，因此户=4,

所以,|=2.

故选：A

了=_（1+]（*>0）

3.四参数方程的拟合函数表达式为1+（xj），常用于竞争系统和免疫检测，它的图象是

一个递增（或递减）的类似指数或对数曲线，或双曲线（如y=/D,还可以是一条S形曲线，当。=4,

b=-l,c=l,d=l时，该拟合函数图象是（）

A.类似递增的双曲线B.类似递增的对数曲线

C.类似递减的指数曲线D.是一条S形曲线

【答案】A

【解析】

3—3

【分析】依题意可得y=--+L(x>0),整理得y=--+4,(尤>0),再根据函数的变换规则

1+XX+1

判断可得；

【详解】解：依题意可得拟合函数为y=----r+1,(x>0),

1+x-

日n3x3(x+l)—3—3/\

即y=-----bl-----------bl-----F4,(%>n0j,

1+xx+1x+1

由y=?(x>l)向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到丁=1\+4,(%>0),

因为y=口在(l,y)上单调递增，

所以拟合函数图象是类似递增的双曲线；

故选：A

4.已知sin(a—〃)=—，，且sinacos/=^,则cos(2a+20=()

36

5114

A.-B.一一C.-D.-

9999

【答案】C

【解析】

【分析】应用两角和差正弦公式计算，再结合二倍角余弦公式计算即可.

【详解】E^sin(tz-/7)=sin(zcos/?—costzsin/?=—g,且sinacos〃=g,

12

则costzsin夕=—,所以sin(a+y?)=sin(zcos/?+costzsin/?=—,

则cos(2a+2/7)=1-2sin2(«+/?)=l-2x(g)=1—g=g.

故选：C.

5.在棱长为。的正方体.ABC。—A4G2中，p为A8上任意一点，E,尸为CD上两个动点，且EF的

长为定值，则点尸到平面4石歹的距离()

A.和点E,尸的位置有关B.和所的长度有关

C.和点尸的位置有关D.等于正〃

2

【答案】D

【解析】

【分析】利用线面平行的判定性质、点到平面距离的定义推理计算即可.

【详解】在棱长为。的正方体ABC。-A4G。中，由瓦E为。上两个动点，得平面4所即平面

AB]CD,

由48//。,43<2平面44。£）,。。匚平面4用8,得AB//平面4月。。,

而尸为上任意一点，则点P到平面4与。的距离即点B到平面4片。。的距离,

由CD,平面3CC]3i，BGu平面5CC[3],得CDLBG，又qCLBG，

B[CeCD=C,B[C,CDu平面AiBiCD,因此2?G-L平面A^CD,

所以点尸到平面A肢的距离为:3G=3。，

ABC错误，D正确.

6.建设“书香校园”成为越来越多学校的办学追求.在对某高中1000名高一年级学生的图书馆借阅量的调查

中，已知这1000名高一年级学生中男生有600人，采用分层随机抽样的方法抽取100人，抽取的样本中男

生借阅量的平均数和方差分别为5和6,女生借阅量的平均数和方差分别为10和6,则估计该校学生借阅

量的总体方差是（）

A.7B.8C.12D.13

【答案】C

【解析】

【分析】先根据分层抽样计算出抽取100人中男生、女生的比例，然后根据总体方差的计算公式求得正确答

案.

【详解】1000名高一学生，男生600人，则女生400人,

所以抽取的100人中，男生60人，女生40人，

总体平均数为—x5+—xl0=7,

100100

所以总体方差为阖6+(5-7)2]+菊6+(10-7月=12.

故选：C

7.已知直线/：7.+"丁+/=0(/+"2#0)与圆Ur2+('+3)2=8交于AB两点，若加,成等差数

列，则/ACB的最小值为()

7T7T27t57T

A.-B.—C.—D.—

3236

【答案】C

【解析】

【分析】设数列加，〃/公差为乱结合等差数列通项公式分析可知直线过定点。(L-2),再根据圆的性质可

知当CDLAB时，弦长|A却最小，此时/ACfi最小，进而运算求解.

由题意可知：圆C:f+(y+3)2=8的圆心为C(0,—3),半径r=2后，

因为772,八/成等差数列，所以设="+△,

则加x+〃y+f=0可化为(〃-d)x+盯+〃+d=0,

即(l-x)d+(x+y+l)〃=0,

l-x=0x—1/、

令＜__2,可知直线过定点。(L—2),

x+y+l=0、y

且F+(_2+3)2<8,所以。(1,—2)在圆C内部,

当CDLAB时，弦长|AB|最短，此时/ACB最小，

又|C£＞卜J(l-O.+(-3+2)2=氏,所以卜用=2“_g2=2逐=，=276，

所以2r2-AB2x8-(2")i

所以cosZACB=-----=------------——'

2r22x82

2冗

又NACBe(O,兀)，所以NAC3=石，

故选:C

【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有

图，见数想图，以开拓自己的思维.使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要

准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解

8.设实数2>0,若对任意xe。,”)，不等式e"x—(X+l)x+hw之0恒成立，则几的取值范围是()

A.0<2<eB.2>eC.0<2<-D.2>-

ee

【答案】D

【解析】

【分析】依题意可得对任意xe(l,+8),不等式e"—/Ix'emx—Inx恒成立，令/(x)=e*—x,

xe(O,+。),结合函数的单调性得到九cNlnx对任意xe(l,+”)恒成立，参变分离可得22也对任意

X

xe(l,+”)恒成立，构造函数，利用导数求出生色，即可得解.

VX/max

【详解】因为对任意xe(l,+”)，不等式l)x+lux20恒成立

即对任意xe(l,+oo),不等式e"x—/lxAx—Inx恒成立，

即对任意xe(l,+。)，不等式e加—In尤恒成立，

因为尤e(l,+oo),所以In尤>0,又2>0,所以Xx>0,

令/(x)=e"—%,xe(0,+8),贝1I/'(x)=e*—1>。,

所以"％)在(0,+“)上单调递增，

由/(尢。》/(In%)对尤e(1,+8)恒成立，得到Ax>Inx对任意尤e(1,+")恒成立，

所以X2电」对任意xe(l,+oo)恒成立，

4g(x)=—,%e(l,+⑹，则g，(x)=J,

XX

所以当1(尤<e时，g'(九)>0,即g(x)在(Le)上单调递增，

当％>e时，g'(x)<0,即g(x)在(e,+8)上单调递减，

所以g(x)1mx=g(e)=}

故得2之工，即2的取值范围是42

ee

故选：D

二、多选题

9.下列说法中，正确的命题是()

A.在两个随机变量的线性相关关系中，若相关系数「越大，则样本的线性相关性越强

B.在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程亍=6+晟中，

b=-2,x=l,y=3>则a=5

C.在回归分析中，决定系数R2的值越大，说明残差平方和越小

D.以模型y=ceh去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny,将其变换后得到线性方程

z=0.3x+4,则c,左的值分别是和。.3

【答案】BCD

【解析】

【分析】对选项A,根据相关系数厂的性质即可判断；对选项B,根据回归直线方程9=6+最过点

(x,y),计算可得即可判断；对选项C,根据R2的性质即可判断；对选项D,两边取对数，可得

z=lny=In(ce^)=Inc+Ax,又z=0.3x+4,求出c,左的值，即可判断.

【详解】对于A,相关系数「的绝对值越大，样本的线性相关性越强，故A错误；

对于B,回归直线方程亍=4+晟中，a=y-b-x=3-(-2)xl=5,故B正确；

对于C,在回归分析中，相关指数a2越大，残差平方和越小，回归效果就越好，故C正确；

对于D,y=cefa,两边取对数，可得Iny=111卜寸")=111。+111/=lnc+Ax,则z=lnc+Ax,

Qz=0.3x+4,；」nc=4,左=0.3,所以c=e\左=0.3,故D正确.

故选：BCD.

10.已知抛物线C:y2=8x的焦点为尸，过点厂的直线/与C交于A3两点，。是C的准线与X轴的交

点，则下列说法正确的是（）

A.若忸E|=4|AE|,则直线/的斜率为±g

B.|AF|+4|BF|>18

c.0°</AOB<90°（。为坐标原点）

D.当取最小值时，|AE|=4

【答案】ABD

【解析】

分析】设出直线/：%=叼+2,4%],%）,6（%2，%），根据题意求出4d，一2；5（8,8）,得到斜率判定

A；运用抛物线定义转化线段长度，结合基本不等式计算判定B；借助向量法计算判定C；运用抛物线定

义转化长度，结合基本不等式计算判定D.

【详解】依题意得/（2,0）,设直线/：x=r^+2,A（xl,y1）,B（x2,y2）,

x=my+2c

联立《2得）-8my-16=0,则X+%=8根,

[y=8x

Ui或]K=-2

川包一皿二“解得

1为=-8=8则呜4

5（8,—8）或2）3（8,8）,则直线/的斜率左=±g,故A项正确.

222

L

|AF|+4|JBF|=x1+4x2+10=^+^+10=^y+^+10>18,

82%2

当且仅当£=8时等号成立，故B项正确

因为况•无=x/,―12<0，所以NAOB>90°，故C项错误.

64

D（-2,0）,F（2,0）,则弁=8%,%>0,由抛物线的定义可得

|AF\=%1+2,|AD|=«X]+2）2+（%-。）2=《x；+45+4+8须=Jx；+12再+4，

!

因为％>o,所以；—=/1=AT-----------!—=A1——------

士\ADJx；+g+4]x；+12玉+4Vx；+12X|+4

当且仅当玉=2时取等号，止匕时g同=4,故D项正确.

故选：ABD

11.我们常用的数是十进制数，2024=2-103+0-102+2-101+4-10%计算机用的是二进制数，只需

两个数码0,1.如二进制数：1101⑵=1・23+1.22+().2+1・2°=13.将十进制正整数n表示为二进制数,

kk10

其各位数字之和记为%，即：n=bk-2+bk_l-2-+-..+b0-2,其中伪e{0,l},(i=0,l,2,..4),且

£bj=m,则4=机，如&=1+1+0+1=3.则以下关于数列{4“}的结论正确的有()

i=0

A.若％=根N*）,则〃的最大值为2"'—1B.a2n=an

C1D.。2”+1=a2rl+1

【答案】BD

【解析】

【分析】举反例由数列新定义可得A错误；设。〃=加，由二进制数的转换规则可得B正确；当〃=1时可

得4与B矛盾可判断C错误；由数列新定义表示出2n+1和2H可得D正确.

【详解】对于A,如。“=1,则〃=1⑵=1,或"=10⑵=2或〃=100(2)=4…无最大值，故A错误;

k

kk1

对于B,设。“=m，n=bk-2+bk_r-2~+---+b0-2°,且工人产机

i=0

i+1k1

则2n=bk-2+bk_x-24-----FZ?o-2+0-2°,a2n—bk+bkl4-----b0+0—an,B正确;

对于C,当〃=1时，由C得而由B,g二勾，矛盾，故C错误;

对于D,设2九+1=4・2上+为-/21+・一+$21+>2°

kk1kk11

2n=(bk-2+bk_i-2-+---+bl-?)+l-2°)-l=bk-2+bk_l-2-+---+bl-2+0-2°,

故。2“+i=%.+l，故D正确.

故选：BD

三、填空题

-3+i_

12.已知复数2=-----,则三的虚部为.

2+1

【答案】—1

【解析】

【分析】由复数的除法运算结合共辗复数的概念即可求解;

【详解】

所以z——i'

所以［的虚部为-1,

故答案为：-1

13.已知E是双曲线C:：—?=1的右焦点，P是C左支上一点，M是圆。：/+-2后=2上一

点，则||+1尸尸|的最小值为.

【答案】4应

【解析】

【分析】利用双曲线定义，将|MP|+|PF|转化为|上研+|尸用+2a,结合圆的性质求解即可.

【详解】设双曲线C的左焦点为耳，连接尸耳，PD.

由题知，实轴长2a=2后，网-面,0）,。（0,2君），

由双曲线定义知，归耳=2。+|防|=2虎+归耳|,

则\MP\+\PF\>\PD\+\PF\-s/2=\PD\-42+242+户耳|=|P£>|+|尸制+JL

当尸，D,6三点共线时，|MP|+|PF|取得最小值，

且最小值为|。耳|=+|卬=,6+12+72=40.

故答案为：472

7171

14.从球0外一点尸作球。表面的三条不同的切线，切点分别为ASC,/APB=—,/BPC=—,

33

TV

ZCPA=-,若PA=2,则球。的表面积为.

2

【答案】1671

【解析】

【分析】据题意分析可知VA3C为直角三角形，进而可知点P在平面ABC内的投影为VA3C的外心，则

。必在尸。的延长线上，结合切线性质可得球的半径，进而可得表面积.

【详解】由圆的切线长定理得，PB=PC=PA=2,

因为ZAP3=工，ZBPC=~,ZCPA=-,则AB=5C=2,AC=20，

332

即AB?+,可知AB/AC,

所以VA3C为直角三角形，其外心。为C4的中点,

又因为尸5=PC=E4,可知点尸在平面ABC内的投影为VA5C的外心,

即？DJ_平面ABC，所以。必在尸Z)的延长线上，

且A为切点，则Q4L上4,由射影定理得

且ZM=PL>=&，即2=后。。，可得OD=夜，

则OA=y/AD2+OD2=2，所以球。的表面积为47rx2?=16兀.

故答案为：1671.

【点睛】关键点点睛：根据切线性质分析可知VA3C为直角三角形，进而可知点尸在平面ABC内的投影

为VA5C的外心，进而确定球心。的位置，即可运算求解.

四、解答题

15.在一个不透明的盒子中装有除颜色外其余完全相同的若干个小球，其中有根个白球，根个黑球，2个

黑白相间的球，且从盒子中随机摸出1个球，摸到黑白相间的球的概率为g.

(1)从盒子中随机摸出1个球，求在摸出的球上带有黑色的条件下，摸出黑白相间的球的概率；

(2)从盒子中1次随机取出1个球，取出后不放回，共取2次，设取出的黑球数量为X,求X的分布列与

期望.

【答案】(1)

3

,4

(2)分布列见解析，—.

【解析】

【分析】(1)根据给定条件，利用缩小空间的方法求出条件概率.

(2)求出X的可能值及对应的概率值，列出分布列并求出期望.

【小问1详解】

121

由从盒子中随机摸出1个球，摸到黑白相间的球的概率为一，得---------=解得加=4,

5m+m+25

盒子中带有黑色的球有6个，其中黑白相间的球有2个，

所以在摸出的球上带有黑色的条件下，摸出黑白相间的球的概率p=：=g.

63

【小问2详解】

依题意，X的可能值为。』,2,

A21c1A1A18A2?

则P(X=0)=鲁V，P(X=l)=Wa=2，P(X=2)=^=卷，

A,"3A-15A?n15

所以X的分布列为:

X012

182

P

31515

1o74

数学期望石(X)=Ox—+lx—+2x—=—.

315155

16.已知在VABC中，ccos5-Z?cosC-a=0.

（1）判断VA3C的形状，并说明理由；

（2）若NA=g点。在边上，且瓦）=2AD.若CD=2,求AACD的面积.

6

【答案】（1）直角三角形，理由见解析

⑵她

13

【解析】

【分析】（1）由己知根据正弦定理化简求解即可；

（2）由（1）可得3=—,设⑷3=2x,在AACD中，由余弦定理可得丁=一，再由面积公式求解即可.

313

【小问1详解】

VA3C为直角三角形，理由如下：

因为ccosB-bcosC-a=0,

由正弦定理可得sinCcosB-sinBcosC-sinA=0,

又sinA=sin（5+C）,

所以sinCcosB-sinBcosC-sinBcosC-cosBsinC=0,

所以2sinBcosC=0,

因为5e（0,兀），所以sinB>0,所以cosC=0,所以C=],

所以VA3C为直角三角形；

【小问2详解】

因为NA=£,VA5C为以C为直角的直角三角形，所以3=/，

63

设AB=2x,则AC=A，BC=X,所以AD=-A3=一,

33

所以在AACD中，由余弦定理可得CD?=A02+AC2—zAp.ACcosA，

即4=（g]+（Gx『一2xgxGxx乎，解得f=!|,

1.12xn;1y/326也

以SARP）=—A。•AC,sinA=—x—x\3xx—=—x-------

“2232613

17.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABC。，PA=AB,E为线段PB的中点，E为线段

3C上的动点.

(1)若3CLA5,平面AEF与平面P3c是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由.

(2)若底面ABCD为正方形，当平面AE『与平面PCD夹角为四时，求生的值.

6BC

【答案】(1)垂直，证明见解析.

⑵3

【解析】

【分析】(1)由上底面A3CD得进而由BC,AB得平面A45,进而得3CLAE,

又AE上PB,可得AEJ_平面P3C,进而可证；

(2)BC=2,BF=t,建立空间直角坐标系，利用空间向量法根据面面角可得f=l,进而可得.

【小问1详解】

平面AEF_L平面P3C，证明如下：

因上4_1_平面ABCD,BCu平面ABCD,故。A_L3C,

又AB[}PA=A,AB,PAu平面故BC,平面已钻，

因AEu平面B4B，所以3CLAE,

因E4=A3,E为线段PB的中点，故AELPB,

因BC,PBu平面P6C,

故AE,平面P3C，又AEu平面AEF，故平面AEFJ_平面P3c.

【小问2详解】

如图建立空间直角坐标系，设BC=2,BF=t,贝VG[0,2],

则A（O,O,O）,E（1,O,1）,尸（2/,0）,P（0,0,2）,C（2,2,0）,0（0,2,0）,

则心(1,0,1),通=(2/0),定=(2,2,_2),力=(0,2,-2),

设平面AEF的一个法向量为：=(%，K，zJ,

AEi=x,+z,=0一/、

则__»_，令再=，，则M=-2,Z]=T,则i=,

A尸・i=2玉+电=0

s设平面PCD的一个法向量为/=(%2，%"2),

PC-j=2x?+2y?-2z?=0一/、

则—.r，令％=1，则Z2=l,%2=。，则/=（。/,1），

PDj=2y2-2z2=0

-2-t71A/3

由题意N_=cos—=——

'r+（—2）2+（T）2J/+I262'

解得上1目0,2],故方=]

£)0Z

18.设函数/(%)=e*+i-%之一区.

(1)当k=0时，求曲线y=/(x)在点(一1,7(一1))处的切线方程;

(2)若〃龙)在区间[T”)上单调递增，求左的取值范围;

(3)当1时，/(%)>/(-1),求左的取值范围.

【答案】(1)y=3x+3

(2)^<4-21n2

(3)k<e

【解析】

【分析】(1)利用导数的几何意义，即可求解；

(2)由条件转化为1,+。),/'(力20恒成立.再转化为导函数的最小值大于等于0,即可求解；

x+1_2

(3)方法一：首先将不等式整理为e'M—左(x+1),再参变分离为e—x2，转化为求函数

'7x+1

产1_丫2

G(x)=-———,xe(-l,+cz))最小值；方法二：根据(2)的结果，由/'(5)的值，讨论左的取值，判

x+1

断不等式是否成立，即可求解；方法三：从命题成立的必要条件入手，再证明命题成立的充分条件，即可求

解左的取值范围.

【小问1详解】

当左=0时，/(%)=ex+1-x2,则/'(x)=ex+i—2%,

则曲线y=/(可在点(-1,/(—1))处的切线斜率为/(-1)=3,

又〃T)=0，

所以曲线y=/(x)在点(—1,7(-1))处的切线方程为y=3x+3.

【小问2详解】

f(x)=ex+1-2x-k,

由题意得，工€[—1,+8),/'(%)»0恒成立.

令下(%)=/(%),则9(x)=e"+i-2,且/'(左)在[-1,长。)单调递增,

令尸(x)=0,解得x=ln2-l>-l,

所以当XG(—l,ln2—1)时，F(x)<0,故以(x)单调递减;

当xe(ln2-l,+8)时，F(x)>0,故网元)单调递增;

所以尸(x).=F(ln2—1)=4—21n2—3

又/'(%)",当且仅当尸⑴血20，故左<4—21n2.

【小问3详解】

解法一：因为/(—1)=%,所以题意等价于当x>—1时，f(x)>k.

即Vxe(-1,+co),ex+1-x2-kx>k,

整理，得e"i-x22Mx+1),

e»l-r2

因为X>—1,所以x+l>0,故题意等价于———>k.

x+1

ex+1-x2

设G(x)二-------,xe(—1,+。)，

x+1

(el+1-2x)(x+l)-(eA+1-x2

G(x)的导函数G[X)=

(x+1)2

化简得G'(x)=3尸(b]-%-2),

考察函数g(x)=eX—%—l,xe(-oo,+8),其导函数为g'(尤)=e、-l,

当尤<0,g'(x)<0,g(x)单调递减；当x>0,g'(x)>0,g(力单调递增；

故在x=0时，g(x)取到最小值,即g(x)之g(0)=0,

即e"N%+1，

所以e>iNx+2oeAi—%—2N0，

所以当l,0),G'(x)<0,G(x)单调递减；

当x«0,+。),G'(%)>0,G(x)单调递增；

所以G(x)的最小值为G(0)=e,

故左<e.

解法二：先考察/'(x)=e*M—2x,由(2)分析可得/'(xLn=/'(%)，

情况1：当尸(X)而「20，即左<4—21n2,

此时了(%)在区间[-1,”)单调递增，

故/(%)皿=/(—1)，即〃力之二(—1)，符合题意；

情况2：若左>4—21n2,则/'(总述=/'(/)<。，

注意到2<4—21n2<3,且/'(—1)=3—左，故对左进一步讨论.

①当左23时，即/'(—1)=3—左<0

且由(2)分析知:当xe(—1,飞)，/'(x)单调递减,

故当xe(—1)40,即〃力单调递减，

故恒有/(X)</(-1)=氏，不符合题意，舍去；

②当4—21n2(左<3时，

注意到在区间(—1,%),/'(%)单调递减,且/'(—1)=3—左>0,又/'(毛)<0,

故在区间(—1,%)存在唯一的/满足/'(%)=0；

同理在区间(1，+8),f(%)单调递增，且埋伉乂0,广⑴=e?一2-司0,

故在区间(％,+")存在唯一的马满足/'(%)=0；故可得

(%,%2)

X5%

/'(x)+0-0+

极大极小

/(x)//

值值

所以当xe(—1,玉)/(x)>/(—1),符合题意；

故题意等价于/(々)之/(一1)，即/(动之子

又因/'(%)=0，即e.Yi-Z%—左=0，化简，得小+1=2%+左

所以氏02%+%一考一立,Nk,整理得无2[々一(2-左)]<0.

注意到2<4—21n2(左，所以2—左<0,

故解得％e[2-Z:,0],

f'(2-k)<Q,e3-k>4-k,

由之前分析得<即《

r(o)>o,k<e,

考察函数g(x)=e*-x—l,xe(—oo,+oo),其导函数gf(x)=e'-1,

当x<0,g[x)<0,g(x)单调递减；

当x〉0,g'⑺>0,g(X)单调递增；

故在尤=0时，g(x)取到最小值,即g(x)之g(0)=0,

即e—x+l，所以e3“24—女恒成立，

&324_左

故〈-'=左《e,又注意到情况(2)讨论范围为4—21n2〈左<3,

kSe,

所以4—21n2<k<e也符合题意.

综上①②本题所求k的取值范围为(f,e],

方法三：先探究必要性，由题意知当行-1时，/(-1)是〃力的最小值，

则必要地/(—1)</(0),即得到必要条件为kWe；

下证ZWe的充分性，即证：当左We时,xG[-1,+a?),/(X)>/(-1).

证明：由⑵可知当左<4—21n2时，/(%)在[—L”)单调递增，

故/(%)的最小值为/(-1),/(%)>/(-1),符合题意；

故只需要证明4—2