二次函数的实际应用60题（学生版）-2025年中考数学复习压轴训练

专题04二次函数的实际应用60题专练

压轴题密押

通用的解题思路：

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型.关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下

的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意

义.

（1）利用二次函数解决利润问题

在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题.解此类题的关键是通过题意，确定出二次

函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量X的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数

的最值时，一定要注意自变量X的取值范围.

（2）几何图形中的最值问题

几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的

讨论.

（3）构建二次函数模型解决实际问题

利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到

平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题.

压轴题预测

1.（2024•北仑区一模）周末，小明和同学们一起去长江路地铁站坐地铁.在等车的过程中，他惊叹于地铁

每次都能精准的停靠在停止线上.为什么每次地铁停靠都那么准呢？里面一定包含着数学知识!通过工作人

员帮助，小明获得了地铁刹车开始的时间f与地铁到停止线的距离S之间的表格信息：

/（秒）04812162024

S（米）256196144100643616

当小明拿到这些数据时，他作了如下的思考：

（1）依据数学经验，小明需要将这些数据绘制在平面直角坐标系中，并用平滑的曲线进行连线，形成数据

所生成的图象，请你在图中落实他的想法；

（2）根据图象以及数据关系，它可能是我们所学习过的—函数图象（选填“一次”、“二次”或“反比

例”）,请你选择合适的数据求出该函数的表达式；

（3）地铁从开始刹车到下次启动一共用时60秒.求地铁的停靠时间.

（停靠时间指的是地铁刹停后的静止时间）

S

260

240

220

200

180

160

140

120

100

80

60

40

20

O48121620242832t

2.（2024•官渡区一模）“有一种叫云南的生活”融和了丰富的多元文化、多彩的自然风光和独特的民俗风

情.在云南，风里有花香，舌尖亦能有花香.“鲜花饼”是云南有名的特产，南屏街某商店销售“鲜花饼”,

进价为20元/盒，经市场调查发现：该鲜花饼的销售量》（盒）与销售价x（元/盒）之间的关系如图所示.规

定售价不低于成本，不高于成本的2.5倍.

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）求销售该鲜花饼获得的利润少的最大值.

3.（2024•新吴区一模）天气渐热，某商家购进一种冰镇饮料，每瓶进价是4元，并规定每瓶售价不得少于

6元，日销售量不低于40瓶.根据以往销售经验发现，当每瓶售价定为6元时，日销售量为60瓶，每瓶售

价每提高1元，日销售量减少5瓶.设每瓶售价为元，日销售量为瓶.

C1）当时，;

（2）当每瓶售价定为多少元时，日销售利润（元最大？最大利润是多少？

（3）判断命题：“日销售额最大时，日销售利润不是最大”是—命题（填“真”或“假”，并说明理

由.

4.（2024•滨海县校级模拟）综合与实践：

问题情境

小莹妈妈的花卉超市以15元盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近

,,,五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：

售价（元盆）日销售量（盆

2050

3030

1854

2246

2638

数据整理：

（1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中:

售价（元盆）

日销售量（盆

模型建立

（2）分析数据的变化规律，探究出日销售量与售价之间的关系式.

拓广应用

（3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中.

①要想每天获得400元的利润，应如何定价？

②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？

5.（2024•江阴市一模）某商店以30元件的进价购进了某种商品，这种商品在60天内的日销售价（单位:

元件）与时间（单位：天）之间的关系如表格所示：

第天为整数）

日销售价（元件）40

日销售量（单位：件）与时间（单位：天）之间的函数表达式为，其中为整

数.

（1）求第30天的销售利润；

（2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？

日销售利润（日销售价进价）日销售量

6.（2024•崂山区一模）某商场新进一批拼装玩具，每件玩具进价是30元，并规定每件售价不得少于50元.根

据以往销售经验发现，当每件售价定为50元时，日销售量为500件，每件售价每提高0.5元，日销售量减

少5件.设每件售价为元，日销售量为件.

（1）当时，件；

（2）当每件售价定为多少元时，日销售利润（元最大？最大利润是多少？

（3）当日销售利润不低于6000元时，求每件玩具售价的取值范围.

7.（2024•龙湖区校级一模）某企业设计了一款工艺品，每件成本是50元，为了合理定价，投成市场进行

式销，据调查，销售单价是100元时，每天销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5伴,

但要求销售单价不得低于成本.

设销售单价元，销售利润元.

（1）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

（2）该企业要使每天的销售利润不低于4000元，求出销售单价的取值范围？

8.（2024•抚州一模）如图，要建一个圆形喷水池，在池中心竖直放置一根水管，在水管的顶端安装一个

喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中

心.

（1）求水管的长度；

（2）若在喷水池中竖直放置一盏高为的景观射灯，且景观射灯的顶端恰好碰到水柱，求景观射

灯与之间的水平距离；

（3）现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点与水管之间的距离为，己知水管升高后，喷水头喷出的

水柱形状和对称轴不变，则水管要升高多少？

9.（2024•黔南州一模）如图1是某公园喷水头喷出的水柱.如图2是其示意图，点处有一个喷水头，距

离喷水头的处有一棵高度是的树，距离这棵树的处有一面高的围墙（点，，

在同一直线上）.建立如图2所示的平面直角坐标系.已知浇灌时，喷水头喷出的水柱的竖直高度（单位:

与水平距离（单位：近似满足函数关系

02610121416

00.882.162.802.882.802.56

（1）根据上述数据，求这些数据满足的函数关系式.

（2）判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树，并请说明理由.

（3）在另一次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度与水平距离近似满足函数关系

・假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，求出所满足的关系式.

10.（2024•衢州一模）综合与实践

矩形种植园最大面积探究

情境实践基地有一长为12米的墙，研究小

BA

组想利用墙和长为40米的篱笆，在前

面的空地围出一个面积最大的矩形种植

D

园.假设矩形一边，矩形种值园的面C

图1

积为•

B(M)Ja

分析要探究面积的最大值，首先应将另一边

用含的代数式表示，从而得到关于

CD

的函数表达式，同时求出自变量的取值范图2

围，再结合函数性质求出最值.

探究思考一：将墙的一部分用来替代篱笆

按图1的方案围成矩形种植园（边为墙

的一部分）

思考二：将墙的全部用来替代篱笆

按图2的方案围成矩形种植园（墙为边

的一部分）

解决问题（1）根据分析，分别求出两种方案中的的最大值：比较并判断矩形种植园的面积最

大值为多少.

类比应用（2）若“情境”中篱笆长为20米，其余条件不变，请画出矩形种植园面积最大的方案

示意图（标注边长）.

11.（2024•湖北模拟）如图1,公园草坪的地面处有一根直立水管，喷水口可上下移动，喷出的抛物线形

水线也随之上下平移，图2是其示意图.开始喷水后，若喷水口在处，水线落地点为，；若

喷水口上升到处，水线落地点为

图1图2

（1）求水线最高点与点之间的水平距离；

（2）当喷水口在处时，

①求水线的最大高度；

②身高的小红要从水线下某点经过，为了不被水喷到，该点与的水平距离应满足什么条件？请说明

理由.

12.（2024•碑林区校级模拟）2022年北京冬奥会的成功举办让更多的人参与到了冰雪运动中来

如图①是某处滑雪大跳台的实景图，建立如图②所示的平面直角坐标系，其中段可以近似的看作抛物线:

的一部分，轴，点在轴上，点在轴上，且.某滑雪爱好

者在一次滑雪比赛中沿斜坡加速至处腾空而起，近似地沿抛物线运动，在空中完成翻滚动作，

着陆在段上，已知当他运行的水平距离为2米时，达到离地面的最大高度为9米.

（1）点的坐标为；

（2）求该滑雪爱好者腾空后的抛物线的表达式；

（3）若此次滑雪评分细则规定：当运动员的腾空高度与段之间的竖直最大距离不少于6米时，则该运

动员在“腾空高度分”就可以给满分.请通过计算说明该滑雪爱好者的“腾空高度分”是否能得到满

图②

13.（2024•兰州模拟）如图1,从远处看兰州深安黄河大桥似张开的翅膀，宛如一只“蝴蝶”停留在黄河上,

它采用叠合梁拱桥方案设计.深安黄河大桥主拱形呈抛物线状，从上垂下若干个吊杆，与桥面相连.如

图2所示，建立平面直角坐标系，吊杆到原点的水平距离，吊杆到原点的水平距离

,且，主拱形离桥面的距离与水平距离近似满足二次函数关系

,其对称轴为直线

（1）求的长度；

（2）求主拱形到桥面的最大高度的长.

图1图2

14.（2024•安阳模拟）大学生小丽暑假期间从小商品批发市场批发了一种新商品，新商品的进价为30元件,

经过一段时间的试销，她发现每月的销售量会因售价的调整而不同.若设每月的销售量为件，售价为元

件，每月的总利润为元.

（1）当售价在元件时，每月的销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？

（2）当售价在元件时，每月的销售量与售价的关系如图所示.小丽决定每卖出一件商品就向福利

院捐赠为整数）元，若要保证小丽每月获利仍随的增大而增大，请你帮她计算的最小值是多少，

15.（2024•许昌一模）如图，某市青少年活动中心的截面由抛物线的一部分和矩形组成，其中米,

米，最高点离地面的距离为9米，以地面所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角

坐标系.

（1）求抛物线的表达式；

（2）暑期来临之际，该活动中心工作人员设计了6米长的竖状条幅从顶棚抛物线部分悬挂下来（条幅的宽

可忽略不计），为了安全起见，条幅最低处不能低于地面上方2米.设条幅与的水平距离为米，求出

的取值范围.

16.（2024•合肥模拟）为了丰富学生的课余生活，加强同学们户外锻炼的意识，学校举办了排球赛.如图,

已知学校排球场的长度为18米，位于球场中线处球网的高度为2.24米，一队员站在点处发球，

排球从点的正上方1.7米的点向正前方做抛物线运动，当排球运行至离点的水平距离为5米时，

到达最高点，建立如图所示的平面直角坐标系.

（1）这名队员发球后，当球上升的最大高度为3.7米时，他此次发球是否会过网？请说明理由；

（2）在（1）的条件下，对方距球网1米的点处站有一队员，她起跳后够到的最大高度为2.02米，则这

次她是否可以拦网成功（假设她够到球一定拦网成功）？请通过计算说明.

17.（2024•焦作一模）根据以下素材，探索完成任务.

设计小区大门灯笼的悬挂方案

素材1图1是某小区的正门，图2是

正门的示意图，小航查阅相关

资料获得以下信息：①正门是

由一个矩形和一个抛物线形

HIM10cm

拱组成的轴对称图形，②矩形

图1图2

的宽为，高为，抛物

线形拱的高为.

素材2为迎接龙年春节，拟在图1正□

门抛物线形拱上悬挂直径为

的灯笼，如图3.为了美观，

图3

要求悬挂灯笼的数量为双数，

且平均分布，间隔在

之间.

问题解决

任务1确定抛物线形拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表

达式.

任务2探究悬挂数量给出符合所有悬挂条件的灯笼数量.

任务3拟定设计方案根据你建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的

横坐标.

18.（2024•邯郸模拟）图1是两层喷泉景观的效果图，图2是其示意图，两层喷泉落在直径为的圆内，

喷泉的水流均看作抛物线的一部分，下层喷泉的喷水口设在圆心处，落地点与圆心的水平距离为

水流的最高点距离地面；上层喷泉的喷水口设在圆心的正上方，且水流经过下层喷泉水流的最高点,

以圆心为原点，过圆心的一条水平线为轴，中心线为轴建立如图3所示的平面直角坐标系,设水流的

高度为（单位：，水流距离中心线的水平距离为（单位；.

（1）求图3中下层喷泉所对应抛物线的函数解析式；（不必写的取值范围）

（2）当图3中上层喷泉所对应抛物线的函数解析式为时，视觉效果最佳.

①试推算，应满足的数量关系;

②结合实际环境.要求上层喷泉的水流最大高度不低于,且不高于，求出的取值范

19.（2024•安康一模）某山体的隧道截面近似于抛物线，隧道最高点距离地面，隧道地面宽.如

图，以为轴，为坐标原点构建平面直角坐标系.

（1）求抛物线的函数表达式.

（2）现要在抛物线型隧道内安装一个矩形屏，屏长为，宽为，若矩形同屏的一个

顶点在抛物线上且长边需平行于•求屏底边距离地面的最大高度.

叫

A

MNX

20.（2024•东营一模）城市吉祥物是城市形象的重要视觉符号，承载着城市的文化内涵、价值理念和人文

情怀，是一座城市的形象图腾.为宣传东营城市文化，展示东营城市风采，东营市文化局和旅游局对接多

家专业设计公司，最终确定“河东东”“海营营”为东营市城市吉祥物.一时间“河东东”“海营营”套装

的销售日益火爆，据调查某特许零售店“河东东”“海营营”套装每盒进价7元，售价12元.

（1）商店老板计划首月销售320盒，经过首月试销售，老板发现单盒“河东东”“海营营”套装售价每增

长2元，月销量就将减少10盒.若老板希望“河东东”“海营营”套装月销量不低于300盒，则每盒售价

最高为多少元？

（2）实际销售时，售价比（1）中的最高售价减少了元，月销量比（1）中最低销量300盒增加了盒,

于是月销售利润达到了2100元，求的值；

（3）在（1）的条件下，当每盒售价为多少元时，月销售利润最大？最大利润为多少？

21.（2024•长安区一模）2023年5月28日，商业首航完成中国民航商业运营国产大飞机正式起步.12

时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪）.如

图1,在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车从机翼两侧向斜上方喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形

状相同的抛物线的一部分.当两辆消防车喷水口、的水平距离为80米时，两条水柱恰好在抛物线的顶

点处相遇，此时相遇点距地面20米，喷水口、距地面均为4米.如图2,以地面两辆消防车所在

的直线为轴，过点所在的铅直线为轴建立平面直角坐标系.

图1图2

（1）写出点、的坐标，并求出抛物线的关系式；

（2）两辆消防车同时向后移动相同的距离，此时两个水柱的交点记为，若，请求出两辆消防车

移动的距离.

22.(2024•黔南州一模)如图1为某公园的圆形喷水池，小玲学习了二次函数后，受到该图启发设计了一

种新的喷水池，它的截面示意图如图2所示，为水池中心，喷头、之间的距离为18米，喷射水柱呈

抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为.水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其高为1.75

米.

图1图2图3

(1)在图2中，以点为坐标原点，水平方向为轴建立直角坐标系，并求右边这条抛物线的函数解析式.

(2)如图3,拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置，从点向四周喷射抛物线形水柱且满

足以下四个条件：不能碰到图2中的水柱；落水点，的间距为；水柱的最高点与点的高

度差为；从点向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱.

(1)在建立的坐标系中，求落水点的坐标；

(2)求出喷水装置的高度.

23.（2024•东莞市校级一模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点处

起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里表

示起跳点到地面的距离，表示着陆坡的高度，表示着陆坡底端到点的水平距离，建

立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：与水平距离（单

位：近似满足函数关系：，已知，，落点的水平距离是，

竖直高度是.

►

x

（1）点的坐标是，点的坐标是；

（2）求满足的函数关系

（3）运动员再次起跳，运动员的竖直高度（单位：与水平距离（单位：近似满足函数关系:

问：运动员这次起跳着陆点的水平距离—第一次着陆点的水平距离（填“大于”、

“小于”或“等于”

24.（2024•利川市校级模拟）某商品每件进价25元，在试销阶段该商品的日销售量（件与每件商品的

日销售价（元之间的关系如图中的折线所示（物价局规定，该商品每件的销售价不得低于进价且不

得高于50元）.

（1）直接写出与的函数关系式；

（2）若日销售单价（元为整数，则当日销售单价（元为多少时，该商品每天的销售利润最大？最大

利润是多少；

（3）若该商品每天的销售利润不低于1200元，求销售单价的取值范围.

25.（2024•安顺一模）学校操场上有部分同学在玩丢沙包游戏，佳佳通过游戏得到启发编制了一道数学题,

如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1米长，佳佳在点处将沙包（看成点）抛出，其运动

路线为抛物线的一部分，亮亮恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线

为抛物线的一部分.

（1）求抛物线的函数解析式：

（2）若佳佳向前跑1米，再竖直向上跳0.5米，刚好接到沙包，求出此时的值；

（3）若佳佳发现在轴上方1米的高度上，且到点水平距离不超过1米的范围内可以接到沙包，请直接

写出符合条件的的取值范围.

y/m

06x/m

26.（2024•桐柏县一模）要修建一个圆形喷水池，在池中心处竖直安装一根水管，水管喷头喷出抛物线

形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之上下平移，但不影响抛物线的形状，水柱落地点与点在

同一水平面，安装师傅调试发现，喷头高米，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到

最高，高度为3米.以为原点，所在的直线为轴，水管所在的直线为轴，建立如图的直角坐标系.

（1）求水柱高度与距离池中心的水平距离的函数表达式；

（2）求水柱落地点到水池中心的距离.

（3）受场地的限时，喷水池的最大半径为2.5米，为了不让水喷到外面，喷头高度至少降低多少米？

27.（2024•元谋县一模）云南地处高原环境，日照长，昼夜温差大，利于糖分积累，是著名的蓝莓产区，

小李家今年种植的蓝莓喜获丰收，采摘上市15天全部销售完，小李对销售情况进行统计后发现，在该蓝莓

上市第天取整数）时，日销售量（单位：千克）与之间的函数关系式为

蓝莓价格（单位：元千克）与之间的函数关系如图所示.

（1）当时，求与之间的函数关系式；

（2）设日销售额元，当时，求的最大值.

28.（2024•镇平县一模）某校利用大课间开展阳光体育跳大绳活动.跳绳时，绳摇到最高处时的形状是抛

物线.正在摇绳的小明和小强两名同学拿绳的手间距为6米，到地面的距离和均为0.9米，身

高为1.4米的小丽站在距点的水平距离为1米的点处，绳子摇到最高处时刚好通过她的头顶点.以

点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为

（I）求该抛物线的解析式；

（2）如果身高为1.75米的王老师也想参加跳绳，小明和小强站原地正常摇绳的情况下，问绳子能否顺利从

王老师头顶越过？请说明理由；

（3）如果身高1.7米的小张同学也想参加跳绳，他站在，之间，且离点的距离为米，当绳子摇到

最高处时，在什么范围内，绳子能顺利越过他头顶？请结合图象，直接写出的取值范围.

29.（2024•陕西二模）如图，在一个斜坡上架设两个塔柱，（可看作两条竖直的线段），塔柱间挂起

的电缆线下垂弧度可以近似看成抛物线的形状.两根塔柱的高度满足，塔柱与之间

的水平距离为，且两个塔柱底端点与点的高度差为.以点为坐标原点，为单位长度构建

平面直角坐标系

（1）求点的坐标.

（2）经测量得知:段所挂电缆线对应的抛物线的形状与抛物线一样，且电缆线距离斜坡

面竖直高度至少为时，才符合设计安全要求.请结合所学知识判断上述电缆的架设是否符合安全要

30.（2024•杭州模拟）【问题背景】

水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂.图1

是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭.

为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离（单位:与

飞行时间（单位：的数据，并确定了函数表达式为：.同时也收集了飞行高度（单位：与飞

行时间（单位：的数据，发现其近似满足二次函数关系.数据如表所示：

【建立模型】

任务1：求关于的函数表达式.

【反思优化】

图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为

当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域,已知

任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为时，求水火箭飞行的水平距离.

任务3：当水火箭落到内（包括端点，，求发射台高度的取值范围.

31.（2024•梁园区校级模拟）某农户用喷枪将斜坡上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是抛物线.经测量,

处的喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点与水平线的距离为，建

立如图所示的直角坐标系，并设抛物线的解析式为,其中是水柱距喷水头的水平距离,

是水柱距水平线的高度.

（1）求抛物线的表达式.

（2）若斜坡上有一棵高的树，它与喷水头的水平距离为,请判断从处喷

出的水柱能否越过这棵树的树顶，并说明理由.

4B~

32.（2024•汕头校级模拟）某商店销售一种进价50元件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量（件

是售价（元件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如表：

（1）求出关于售价的函数关系式；

（2）设商店销售该商品每天获得的利润为（元，求与之间的函数关系式，并求出当销售单价定为

多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？

售价（元件）5565

销售量（件天）9070

33.（2024•天宁区校级模拟）常州市著名旅游景区“中华恐龙园”应疫情防控要求，严格控制每日来访旅

客人数.已知于219年春节长假期间，共接待游客达20万人次，而在2021年春节长假期间，接待游客仅

达16.2万人次.

（1）则“中华恐龙园”2019至2021年春节长假期间接待游客人次的年平均减少率为一；

（2）“中华恐龙园”景区内一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若

每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2022年春

节期间，店家决定进行降价促前活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店

家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？

34.（2024•蒲城县模拟）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使人们可以吃到

反季节蔬菜.如图，某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，宽度为8米，棚顶最高点距离地面高度

为4米.以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系.

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）若借助横梁在大棚正中建一个2米高的门到地面的距离为2米），求横梁的

长度是多少米？（结果保留根号）

35.(2024•泗县一模)如图1,某洒水车的喷水口距地面.如图2,已知喷水口喷出最远的水柱是抛

物线轴是地面，位于轴上，则点,抛物线与轴交于点.(注抛

物线水柱的宽度忽略)

图I

(1)求该洒水车喷水能达到的最远距离的长;

(2)如图3,将抛物线向左平移使其经过点，此时抛物线是该洒水车喷出的最近水柱，抛物线交

轴于点.

(i)求的长；

(ii)如图4,已知一条隔离绿化带的横截面是矩形，，，设洒水车到绿化带的距

离，若该洒水车在行驶过程中能浇到完整的这条隔离绿化带，求的取值范围.

36.（2024•深圳模拟）【项目式学习】

【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜

【项目背景】寻找生活中的数学，九（1）班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，

对蔬菜喷水管建立数学模型.菜地装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜.如图1所示，观察喷头可顺、

逆时针往返喷洒.

【项目素材】

素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心有一喷水管，从点向外喷水，喷出的

水柱最外层的形状为抛物线.以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点（喷水口）在轴

上，轴上的点为水柱的最外落水点.

素材二：乙小组测得种植农民的身高为1.75米，他常常往返于菜地之间.

素材三：丙小组了解到需要给蔬菜大鹏里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长.

【项目任务】

任务一：丁小组测量得喷头的高米，喷水口中心点到水柱的最外落水点水平距离为8米，其中

喷出的水正好经过一个直立木杆的顶部处，木杆高米，距离喷水口米.求出水柱所在

抛物线的函数解析式.

任务二：乙小组发现这位农民在与喷水口水平距离是米时，不会被水淋到，求的取值范围.

任务三：丙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是，截面如图3,求薄膜与地面接触点与喷水口的

水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是10厘米？（直接写出答案，精确到0.1米）.

图1图2图3

37.（2024•石阡县模拟）某俱乐部购进一台如图1的篮球发球机，用于球员篮球训练.该发球机可以以不

同力度发射出篮球，篮球运行的路线都是抛物线.出球口离地面高1米，以出球口为原点，平行于地面的

直线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系.力度变化时，抛物线的顶点在直线上

移动，从而产生一组不同的抛物线（如图

⑴若

①发球机发射出的篮球运行到距发球机水平距离为时，离地面的高度为.请直接写出该球在运行过

程中离地面的最大高度；

②若发球机发射出的篮球在运行过程中离地面的最大高度为，求该球运行路线的解析式，及此球落地点

离发球机的水平距离；

（2）球员小刚训练时发现:当篮球运行到离地面高度为至之间（包含端点）是最佳接球区间，若

直接写出当满足什么条件时，距发球机水平距离的小刚在前后不挪动位置的前提下，能在最佳区间接

到球.

图I图2

38.（2023•黄石）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成

本为10万元件.设第个生产周期设备的售价为万元件，售价与之间的函数解析式是

,其中是正整数.当时,;当时,

⑴求的值;

（2）设第个生产周期生产并销售完设备的数量为件,且与满足关系式

①当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元?

②当时，若有且只有3个生产周期的利润不小于万元，求实数的取值范围.

39.（2024•台州模拟）为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观.为

保持绿道地面干燥，水柱要喷入母亲河中.图2是其截面图，已知绿道路面宽米，河道坝高

米，坝面的坡比为（其中,当水柱离喷水口处水平距离为2米时，离地平面距

离的最大值为3米.

（1）出于安全考虑，在河道的坝边处安装护栏，要求水柱不能喷射到护栏上，则护栏的最大高度是多少

米？（结果保留一位小数）

（2）河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的

水花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上;

①河水降至离地平面距离为多少时，水柱刚好落在坝面上？

②为保证水柱的落水点始终在水面上,决定安装可上下伸缩的喷水口，设坝中水面离地平面距离为米，喷

水口离地平面的最小高度随着的变化而变化，直接写出与的关系式

喷水口。

图1图2

40.（2024•建昌县一模）某厂家特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯（如图，相关信息如下:

素材内容

素材1如图1,这种高脚杯从下往上分为三部分：

杯托，杯脚，杯体.杯托为一个圆，水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径，

杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上.

素材2图2坐标系中，特制男士杯可以看作由线段，，抛物线（实线部分），

线段，线段绕轴旋转形成的立体图形（不考虑杯子厚度，下同）；特制女士杯可

以看作由线段，，抛物线（虚线部分）绕轴旋转形成的立体图形.

素材3已知，图2坐标系中，，记为，，，，，，，

，•

根据以上素材内容，尝试求解以下问题：

（1）求抛物线和抛物线的解析式；

（2）当杯子水平放置及杯内液体静止时，若男士杯中的液体与女士杯中的液体深度均为，求两者液体

最上层表面圆面积之差；（结果保留

（3）当杯子水平放置及杯内液体静止时，若男士杯中的液体与女士杯中的液体深度相等，两者液体最上层

表面圆面积相差，求杯中液体的深度.

图2

41.（2024•余姚市一模）根据以下素材，探索完成任务.

如何制作简易风筝？

素材1图1是简易“筝形”风筝的结构图，现以14

两条线段，作为骨架，垂直

7

平分且，并按

\/

的比例固定骨架，骨架

与共消耗竹条，四边形\

(r

的面积为.EG1

素材2考虑到实际需要，蒙面（风筝面）边缘离

骨架的端点要留出一定距离.如图2,现E

以上部分的蒙面设计为抛物线形状，

过距离，，三点分别为，，F/0\\G

X\\BD//

的，，三点绘制抛物线（建

/

立如图的直角坐标系）.以下部分的

1

蒙面设计为，点在延长线

上且图2

素材3从一张长方形纸片中裁剪无拼接的风筝

蒙面（包括以上抛物线部分及以

下三角形部分），长方形各边均与骨架平

行（或垂直）.

问题解决

任务1确定骨架长度求骨架和的长度.

任务2确定蒙面形状求抛物线的函数表达式.

任务3选择纸张大小至少选择面积为多少的长方形纸片？

42.（2024•市南区一模）某工厂生产某种玩具的成本价为20元件，工厂决定采取电商销售和门店销售两

种方式同时销售该玩具.电商销售：售价为30元件；门店销售：第一天售价为50元件，此后售价每天

比前一天每件降低0.5元，该方式每天还需支付租金、人工等固定费用455元.已知两种销售方式第天的

销售数量（件均满足.（1）直接写出门店销售方式每天的售价（元件）与的

函数关系式；

（2）该玩具销售过程中，在第几天获得的利润总和（元最大？利润总和最大是多少？

（3）该玩具销售过程中，哪些天门店销售的利润不低于电商销售的利润？

43.（2024•新乡一模）数字农业正带领现代农业进入一个崭新的时代，而智能温室大棚将成为现代农业发

展进程中重要的参与者之一.某种植大户对自己的温室大棚进行改造时，先将大门进行了装修，如图2所

示，该大门门头示意图由矩形和抛物线形组成，测得，，.以水平

线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系.

（1）求此门头抛物线部分的表达式；

（2）改造时，为了加固，要在棚内梁的四等分点，处焊接两排镀锌管