广东省广州市某中学20232024学年高二年级下册月考（一） 数学试题（含解析）

广东省广州市第二中学2023-2024学年高二下学期月考

（一）数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

.2

1.在数列｛%｝中，若q=［，=2-一，则下列数不是｛4｝中的项的是（）

a

3n

A.-2B.—1C.—D.3

（、41

2.数列｛q｝满足lg«„+1=1+lg«„,且%+%+%+%+&=10亍，贝U

%+%+%+。4+〃5=（）

A.1B.MC.loVioD.100

3.下列函数中，在（。,内）上为增函数的是（）

A./（x）=sin2xB./（x）=xexC./（x）=x3-xD./（x）=-x+lnx

4.已知函数f（x）=^ax3+-^bx2+cx+d（a,b,c,dER）的单调递增区间是（-3,1）,则

（）

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.a<c<b

5.设等比数列｛%｝的公比为4，前〃项和为S“，则“q=2”是“｛S“+q｝为等比

数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知数列｛七｝满足q=28,。鹏-%=2〃，则2的最小值为（）

,29r八48、27

A.—B.4A/7—1C.—D.—

354

7.已知函数/（x）=Hnx,若存在无e（0,+s）,使得/（x）W*+:一3成立,则实

数机的最小值是（）

A.-2B.—1C.—D.4

8.设函数（（X）是奇函数/（x）（尤eR）的导函数，/（-1）=0,当x>o时，

W）-/«>o,则使得了（尤）>0成立的x取值范围是（）

A.(-<»,-l)U(l,+co)B.(-l,0)u(0,l)

c.(一8,-1)50,1)D.(-1,0)。(1,+8)

二、多选题（本大题共3小题）

9.已知｛%｝是等差数列，其前w项和为S,,,卬+5%=$8，则下列结论一定正确

的有（）

A.%。=0B.4最小C.S]=S12D.520=0

尤2+X—1

10.已知函数〃x）=,则下列结论正确的是（）

e,

A.函数〃尤）存在两个不同的零点

B.函数“X）既存在极大值又存在极小值

C.当-e〈左<0时，方程〃x）=左有且只有两个实根

D.若时，/（x）^=-^,贝If的最小值为2

11.已知数列｛%｝满足%>0,%=2,且（〃+1）晨1=财+%,则下列说法正确的

是（）

A.VncN*,>1

B.｛4｝是递增数列

C.%+“2---F=（〃+1）〃；+1—4

D.\/n>2,〃£N*,%£+"+…+£<2

223242n2

三、填空题（本大题共3小题）

12.若曲线y=lnx（尤>0）的一条切线是直线y=gx+b,则实数6的值为

13.已知函数/⑴=皿%+丁-1⑴ER）,其中无理数e=2.718….若函数/⑺有两

e

个极值点，则实数，”的取值范围是.

14.如图数阵中，第一行有两个数据均为1,将上一行数据中每相邻两数的和插

入到两数中，得到下一行数据，形成数阵，则数阵第11行共有个数，

第”行（〃N*）所有数据的和S“=.

第一行11

第二行121

第三行13231

第四行143525341

四、解答题（本大题共5小题）

15.已知数列｛q,｝的前〃项和为S“，a2=|,点（4+1,S“）（〃eN*）在直线

2%-y-3=0±.

（1）求数列｛q,｝的通项公式；

（2）若勿=一,也｝的前，项和为r“，求

an

16.如图，R9是三棱锥尸—ABC的高，PA=PB,AB±AC,E是心的中点.

p

(2)若NA5O=NCBO=30。，PO=3,PA=5,求二面角C—AE—3的正弦值.

17.已知函数/(无)=Injf-gor?,aeR.

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)若关于x的不等式/(*)<(4-1)彳-1恒成立，求整数。的最小值.

18.如图，对于曲线「，存在圆C满足如下条件：

①圆C与曲线「有公共点A,且圆心在曲线「凹的一侧；

②圆c与曲线r在点A处有相同的切线；

③曲线「的导函数在点A处的导数(即曲线r的二阶导数)等于圆C在点A处的

二阶导数(已知圆(尤-。)2+”-勿2=/在点4(%为)处的二阶导数等于);

则称圆c为曲线r在点A处的曲率圆，其半径r称为曲线「在点A处的曲率半

径.

(1)求抛物线y=r在原点处的曲率圆的方程;

⑵若曲线y=e，在)和住3也)(x产马)处有相同的曲率半径，求证:

玉+%<-In2.

19.已知抛物线E：x2=2y,焦点为F,过歹作了轴的垂线石，点P在x轴下方,

过点尸作抛物线E的两条切线4，I，k，4分别交无轴于A,8两点，k，4分别

交于C,O两点.

⑴若4，4与抛物线E相切于C,O两点，求点尸的坐标；

(2)证明：的外接圆过定点；

(3)求APCD面积S的最小值.

参考答案

1.【答案】B

402

【分析】由％=£和。〃+1=2----,依次求出。2，。3，。4，。5，即可得出结果.

a

3n

402

【详解】因为4=(L—一一,

3an

212224

所以%=2----=-,%=2----=-2,。4=2----=3,a5=2----

乙^^2J

所以数列｛4｝是以4为周期的数列，故T不是｛%｝中的项.

故选B.

2.【答案】B

【分析】根据已知条件可知｛〃〃｝为等比数列，再根据等比数列的通项公式基本量

的计算即可求解.

【详解】依题意，M+1-M=ig—=1,则也=1。，

%a”

故｛%｝是以10为公比的等比数列，

2020202020

后二［、］〃21+〃22+々23+〃24+々25+々2^7+。3g+々4g+。5g201八20

/TT以■==q=］U,

%+%+。3+。4+054+%+/+〃4+%

所以q+出+/+%+%==屈.

故选B.

3.【答案】B

【分析】A中，根据正弦函数的单调性即可判断；

B中，利用导数判定/(x)=x"在(0,+S)上是增函数；

C中，利用导数判定/。)=了3一芯在(0,1)上是减函数，在〔5+℃］上是增函数；

D中，利用导数判定Ax)在(0,1)上是增函数，在(1,—)上是减函数.

【详解】对于A,〃x)=sin2元是周期函数，当当，即xe(二,当时，函数

是减函数，所以不满足题意；

对于B,因为/'(x)=x/,所以广(x)=(l+丈解，

所以当xe(0,+8)时，-(x)>0,所以/'(x)在(0,+8)上是增函数；

对于C,因为/'(x)=/_x,所以广(无)=31-1,

所以当xe(o,；)时，ruxo,〃无)是减函数；

+时，f'(x)>0,Ax)是增函数；所以不满足题意；

11—y

对于D,因^?/"(%)=—%+lux,所=—1H—=---,

xx

当xe(O,l)时，f'(x)>0,f(x)是增函数，

当无e(l,+oo)时，f(x)<0,/(x)是减函数，所以不满足题意.

综上，在(0,+8)上为增函数的是B.

故选B.

4.【答案】C

【解析】首先求出函数的导函数，再根据函数的单调递增区间为(-3,1),即可

((x)>0的解集为(-3,1),即可得到。、b、c的关系，从而得解；

【详解】由题可得f(x)="+6x+c,则(。)>0的解集为(-3,1),即

f\x)=a(x+3)(x-1)=0,a<0,可得6=2a,c=-3。，所以6<a<c,

故选C.

【关键点拨】本题考查函数的单调性，考查运算求解能力及推理论证能力.

5.【答案】C

【分析】应用等比中项的性质，由｛S“+q｝为等比数列，解出4值，即可判断.

【详解】依题，“｛S.+q｝为等比数列"，所以(邑+4『=(岳+4)-6+%),

得(2%+出)~=2%・(24］+%+4),化简得(2+q)2=2(2+q+/),

解得q=2,则“q=2”是“｛§"+%｝为等比数列”的充要条件.

故选C.

6.【答案】C

【分析】采用叠加法求出由区可得5=〃+至-1,结合对勾函数性质分析在

nnn

〃=5或6取到最小值，代值运算即可求解.

【详解】因为册+i-a,=2〃，所以a“一%t=2(〃-1),-a„_2=2(«-2),L,

a2—Oj=2-1,n—］式相力口可得a”=2(l+2d；)("——=n(n-l),

所以q,=/-〃+28,^=,2+--l>2^-1=477-1,当且仅当w=2近取到，但

nn

场wN*,2"w(5,6),所以〃=5时1=5+1=当,当几=6时,§=6+--1=学,

555663

AQOQ所以n5的最小值为48真

53n5

故选C.

7.【答案】D

【分析】分离参数，利用导函数求函数的最值即可.

【详解】由小)”+93=_01+/+3G>0)能成立,

问题转化为机421nx+x+。］

I"min

人/x3,/、23x+3x-1)

令g(x)=21nx+x+—ng(x)=—+1—-=----------------

由x>lng'(x)>0；由0<x<l^>gr(x)<0,

所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,依)上单调递增，

所以gGL,=g(l)=4,贝1」加24，

故机的最小值为4.

故选D.

8.【答案】D

【分析】

根据题意构造函数g(x)=3,由求导公式和法则求出g'(x),结合条件判断出

X

g'(x)的符号，即可得到函数g(x)的单调区间，根据/(X)奇函数判断出gG)是偶函

数，由/(-1)=0求出g(-l)=0,结合函数g(x)的单调性、奇偶性，再转化

/«>0,由单调性求出不等式成立时X的取值范围.

【详解】

由题意设g(x)=/(2,贝=

XX

因为当x>0时，有#'(x)-/(x)>0,所以当x>0时，g'(x)>0,

所以函数g(x)=四在(0,+s)上为增函数，

X

因为函数/(X)是奇函数，

所以g(-x)=g(x),

所以函数g(x)为定义域上的偶函数，

ga)在(-乱。)上递减，

由〃-1)=0得,g(-l)=0,

因为不等式/(x)>0ox.g(x)>0,

[x>0fx<0

所以।,、八、或｛,、Z]、，

[g(x)>g⑴[g(x)<g(-D

即有x>l或

所以使得/(x)>。成立的x的取值范围是：(T，。)u0,+⑹，

故选D.

9.【答案】AC

【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件得到4和d的

关系，然后对选项逐一分析即可.

【详解】根据题意，数列｛4｝是等差数列，若q+5%=S8，

即q+5%+10d—8%+28d,

变形可得4=-94,

a„=a1+(/7-l)J=(«-10)(5?,则％o=0,故A正确；

不能确定4和d的符号，不能确定A。最小，故B错误；

,n(n-l]dn(n-l]dd(\

20

由=nax+△2=-9nd+△?—=—x(^-19〃),

由二次函数图象的性质可知，邑=»2,故c正确;

20x19"

S=20a.+-------=一180d+1901=101

2?0n12

当公差不为0时，520^0,则D错误.

故选AC.

10.【答案】ABC

【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图

象，最后直接判断选项.

【详解】对于A,由〃x）=0,得/+工一1=0,所以彳=」芋，故A正确；

对于B,/,⑺一J+1*-2）,

当天€（9,-1）52,+°°）时，/'（力＜。，当xe（-l,2）时，＞0,

所以在（2,+8）上单调递减，在（-1,2）上单调递增，

所以〃T）是函数的极小值，7（2）是函数的极大值，故B正确；

对于C,当xf+s时，y-0,根据B可知，函数的最小值是f（T）=-e,再根据

单调性可知，当-e〈左W0时，方程/（元）=左有且只有两个实根，所以C正确；

对于D：由图象可知，/的最大值是2,所以D错误.

故选ABC.

【易错警示】

本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令

导数为0,判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是（2,内）是函数

的单调递减区间，但当x-+8时，y-0,所以图象是无限接近x轴，如果这里判断错

了，那选项容易判断错了.

11.【答案】ACD

【分析】根据递推关系得5+1）（见+「1）（4阳+1）=（%-1）（也,+"+1）,进而得到

。”+1-1与。”一1同号判断A；由（〃+1）%4=*+。"＜成+d=（〃+1）〉即可判断B；

由为=（"+1）域「电；，再用累加法判断C；由C分析得始14生金，进而

n+1

2

a2〃+22（n+l）7

z1V应用累加、裂项相消判断D.

【详解】由已知,数列｛%｝满足。“＞0,4=2,且5+1）"*+4,

所以(M+1)a；+1-(«+1)=na^—n+an-1,

所以(«+l)(a„+1-l)(fl,i+1+1)=(%一1)(附,+〃+1),

由有(〃+1)(。“+1+1)>0,nait+n+l>0,故。“包一1与%-1同号，

因为q-l=l>0,贝1]。2-1>0,<23—1>0,…，

以此类推可知，对任意的〃eN*,an>l,故A正确；

因为(力+1)。+1=询+a„<成+[=(〃+1)4,所以an»<an>

又。“>0,所以。用<%,则｛%｝是递减数列，故B错误；

因为%=("+1)吊4一㈣：，所以0[=2婿-4；,a2=3a；-2a；,…，

%=("+1)心-我，

累加得/+。2---^an=(附+1)-4,故C正确；

a

因为«„+1<n>又4=2,>1,所以1<%V2,

2〃+4

所以---=(几+1)Q；+I—4K2〃，贝!]Q；+IW--------,

所以当〃22,“eN*时，也也

a22〃+22(H+1)22

所以当心，MN*时,齐丁＜

7??99?

±+±_±+...+^-=2--<2,故D正确.

334n-1nn

故选ACD.

【关键点拨】对于D,利用递推关系得到吊4如2,结合放缩、累加、裂项相消证不

n

等式.

12.【答案】一1+山2

【分析】先设切点为（x。,%）,对函数求导，根据切线斜率，求出切点坐标，代入

切线方程，即可得出结果.

【详解】设切点为（％%）,对函数y=ln尤求导，得到y'=L

又曲线＞=lnx（x＞0）的一条切线是直线y=LX+b,

11

所以切线斜率为一=不，所以%=2,

因止匕%=ln2,即切点为（2,ln2）,代入切线y=；x+6,可得6=-l+ln2.

故答案为：T+ln2.

【方法总结】本题主要考查由曲线的切线求参数的问题，熟记导数的几何意义即可.

13.【答案】（e,+co）

【分析】根据题意，求导可得((无)，由函数/(X)有两个极值点可得导函数有两

个解，通过机与1的大小比较，转化求解机的取值范围.

【详解】因为尸(x)=！-%=£二竺，令。(x)=e。〃a，x>0,

xe"xex

因为函数/(x)有两个极值点，所以。(x)=0有两个不等的正实数根，

且</>'(x)=ex-m,

当“£1时，"(x)>0,则。(x)在(0,+®)上单调递增，不符合题意；

当加>1时，xc(O,ln〃z)时，“(x)<0,则。(x)单调递减,

xw(ln"+oo)时,。'⑺>0,则。(力单调递增，

又°(0)=1,当Xf+8时，0(x)f+oo,

所以。=m—znln/n<0,所以m>e,

综上所述，实数机的取值范围是(e,+8).

故答案为：(e,+oo).

14.【答案】1025S„=3^+1

【分析】设第〃行数据有。“个，根据数阵的规律求得关于巴的递推关系式，利用

构造法求得％,进而求得知.根据数阵的规律求得关于S”的递推关系式，利用构

造法求得

【详解】由数阵形成规律，设第〃行数据有"，个，

贝U%=%+%-1=2a“_]-1(〃>2),

则见一1=2(矶-1),

｛4-1｝是以1为首项，2为公比的等比数列.

则。"一l=2Ta“=2"T+l,

所以％i=1025,

设第”行数据的和为S.，

弟n—1仃数据为1,X],%，W，…，，1，

则第n行数据为Ll+Xi，%,%+%，％，无2+尤3，W，…，+，

所以S“=3S”「2(〃23),

所以S“—l=3⑸厂1),

得｛S“-l｝从第二项起，是以邑-1=3为第二项，以3为公比的等比数列，

所以邑-l=3.3"-2=3"T(〃22),

S„=3n-1+l(n>2),

〃=1时，S]=2,

所以S"=3"T+I.

故答案为：1025；S,,=3"T+1.

32

15.【答案】（1）a,(2)7；,=6-(271+6).

【分析】（1）由条件可得S“=2a”+「3,然后利用。“与S,的关系求解即可;

（2）2=”.住],然后利用错位相减法求解即可.

【详解】（1）•点（。田总）（〃€武）在直线"7-3=。上,

Sn=2a„+1-3,

当"22时，5„_1=2an-3,

两式相减，并整理得，。用=]%①

33

又q=H=2a2—3=—^0,且“2=5%,②

・・・由①②可知，对任意九£N*都有也=[,

a„2

...数列｛4｝是以I•为首项，1为公比的等比数列，

2

（2）由（1）可得，bn=〃・

i偿+2x]|]+3x(1)+••・+'!)'③

④

2-D

2

，7；=6-(2〃+6>

16.【答案】（1）证明见解析;

/X11

⑵6

【分析】（1）连接80并延长交AC于点。，连接。4、PD,根据三角形全等得

到。4=06,再根据直角三角形的性质得到AO=DO,即可得到。为BO的中点从

而得到OE//PD,即可得证；

（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对

值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得.

【详解】（1）证明：连接80并延长交AC于点D,连接PD,

因为尸。是三棱锥尸-ABC的高，所以尸平面ABC,AO,8Ou平面ABC,

所以尸O_LAO、POLBO,

又PA=PB,所以AP0A=APOB,即。1=03,所以NO4B=/OA4,

又AB_LAC,即/£AC=90。，所以/Q4B+/Q4D=90。，ZOBA+ZODA=90°,

所以=

所以AO=£）O,即AO=DO=OB,所以。为8£）的中点，又E为尸B的中点，所以

OE//PD,

又OE<Z平面PAC,BDu平面PAC,

所以OE7/平面PAC.

P

（2）解：过点A作上//OP,如图建立空间直角坐标系，

因为PO=3,AP=5,所以OA=1AP2-P（f=4,

又NOBA=NOBC=30。,所以fiD=26M=8,则AD=4,A8=4百，

所以AC=12,所以0（2白,2,0）,B（4A/3,0,0）,尸（2班,2,3）,C（0,12,0）,

所以

则分=[3百AB=（473,0,0）,AC=（0,12,0）,

-n-AE=3#>x+y+—z=0

设平面AEB的法向量为〃=（%,y,z）,则彳2,令z=2,则

n-AB=4y/3x=0

y=-3,x=0,所以〃=（0,-3,2）；

二—r3

设平面AEC的法向量为加=则J_2,

m-AC=12b=0

令a=则c=—6,b=0,所以用=（G,0,—6）；

473

所以c°s（/〃--，-〃--\尸n而-mT2

713x739~vT-

46

设二面角C-AE-3的大小为e,贝!J"os。］=Icos^n,m

13

【分析】（1）先确定函数的定义域，求导后得/（6=匕乎，根据。正负进行讨

论，可得函数的单调区间；

（2）中可通过分离参数将问题转化成a2吟言D在区间（0,包）内恒成立求

解，令g（x）=2（lg：（l）,结合函数零点存在定理可求得g（x）的最值.

【详解】（1）函数〃x）的定义域为（。，―）.

由题意得r（x）=：-冰=上乎，

当4W0时，/'（x）>0,则f（x）在区间（0,内）内单调递增；

当a>0时，由尸（力=0,得了=、口或x=1口（舍去），

Va

也时，尸⑺>0,“X）单调递增,

当0<x<

a

也时，/,（x）<0,〃尤）单调递减.

当x>

a

所以当aWO时，“X）的单调递增区间为（0,内），无单调递减区间;

/（x）的单调递增区间为0,J，，单调递减区间为

当a>0时,

(2)由lux-~ax2W(a—1^x—1

得2（lnx+x+l）<a（2x+%2）,

因为x>0，所以原命题等价于a22（.十-1）在区间（0,包）内恒成立.

x+2x

A、2(lnx+x+l)

令g⑺Z=l+2x

pQ_-2(x+D(2hu+x)

则nl?(上'

令/z(x)=21nx+x,则/z(x)在区间(0,+oo)内单调递增,

又=一12n2+；<0,/z(l)=1>0,

所以存在唯一的毛eg,l),使得/z(x0)=21nx0+^=0,

且当0<x<x()时，g'(x)>0,g(x)单调递增,

当尤>七时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

所以当X=X0时，g(元)有极大值，也为最大值，且gG).二(；「,

x0+2_1

%(%+2)%o

所以“之一，

%

又所以：e(l,2),

所以。22,

因为“eZ,

故整数。的最小值为2.

【方法总结】本题属于导数的综合应用题.第一问中要合理确定对“进行分类的标准；

第二问利用分离参数的方法解题，但在求函数g("的最值时遇到了导函数零点存在但不

可求的问题，此时的解法一般要用到整体代换，即由〃(为)=2叭+玉=0可得

21nx。=%,在解题时将进行代换以使问题得以求解.

18.【答案】⑴9+,41=；；

(2)证明见解析.

【分析】(1)设抛物线>=尤2在原点的曲率圆的方程为尤2+(y-6)2=片，求出导

数、二阶导数，结合所给定义求出b即可；

(2)利用导数的几何意义即两点求直线斜率得到一阶导数，再根据题中二阶导

数的公式求得二阶导数，然后等价替换成含广伍)，广(毛)的式子，即可求得r,

3

则函数y=e、的图象在Ge)处的曲率半径,=(，'+1)2,即/=e++e-%，设

e"1*34

42/、1

g(x)=F+F，由g(x)的单调性和极值情况,可得玉<-jln2<X2，可证

g(%)=g(%)>g(Tn2-W),设函数G(x)=g(x)-g(—ln2-尤)(其中x>-Jln2),

由G'（x）＞0,可得G（x）单调递增，则G（x）＞G1$n2］=0,故可得

8（*2）＞8（-山2-当），所以％+马＜-ln2.

【详解】（1）记〃力=/，设抛物线y=/在原点的曲率圆的方程为

所以抛物线y=d在原点的曲率圆的方程为无2+卜

（2）设曲线y=〃x）在（%,%）的曲率半径为"，

则

所以宙）］+“2，

3

所以函数尸右的图象在（羽内处的曲率半径厂二3"+1）2,

ex

故3_3X,3X.

Ir-CPTCP

42A.—0——O_2

设g（x）=F+e铲，则g，M=je^--e^=-e-3%（2e^-l）,

所以当xe1-8,-gln21寸g<x）<0,当xe]-；ln2,+ooj时g〈x）>0,

所以g（x）在1巴-口也］上单调递减，在］gln2,+q上单调递增,

故有石v-；ln2<%2，

以玉,-In2—%w1一℃,—51n2

要证再+马<一ln2,即证玉<-In2-x2,

即证gHJug(%)>g(—ln2—々)

下面证明，

当14n2,+co］时，有g(x)>g(-ln2-x),

设函数G(x)=g(龙)一g(—ln2—x)(其中x>-Jln2),

D(2_1A_4

则G'(x)=g'(x)+g'(-ln2_x)=_(2匕2"—1)”—2>0,

故G(x)单调递增，G(x)>G［；In2,0,

故g(N)>g(，2-形),所以,+电<-1112.

【方法总结】极值点偏移法证明不等式，先求函数的导数，找到极值点，分析两根相等

时两根的范围，根据范围以及函数值相等构造新的函数，研究新函数的单调性及最值，

判断新函数小于或大于零恒成立，即可证明不等式.

19.【答案】⑴尸(0,-£|；

(2)证明见解析；

⑶苧.

【分析】(1)由己知可得C,。两点的坐标，给函数求导可得切线的斜率，利

用点斜式表示切线方程，联立方程即可得P点坐标；

(2)设过尸的两条切线分别与抛物线切于。卜,手；写出直线PQ,

用的方程，联立可得P点坐标，设ARIB外接圆方程，求出圆心，整理变形即可

得定点坐标