广东省清远八校联盟2024-2025学年高一年级下册教学质量监测（一）数学试题（A卷）（原卷版+解析版）

广东省八校联盟2024~2025学年度第二学期教学质量监测（一）

局一数学

注意事项：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置.

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.

4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

V3

22

2.已知tan。=-2,则sin2<z=

3.下列结论中正确的为（

A.两个有共同起点的单位向量，其终点必相同

B.向量而与向量丽的长度相等

c.对任意向量a,E是一个单位向量

D.零向量没有方向

5.如图，已知而=M，CB=b,AD=2DB，用万、3表示反为（）

c

uurairir

B.DC=——a——b

23

uum2r1ruunir2r

CDC=——a——bD.DC=——a——b

3333

6.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦

图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若

BC^a,BA^b,BE^3EF，则乔=()

16-12

B.—aH---br

2525

34-

D.-a+~b

55

7.已知问=5,忖=3,且力=—12,则向量£在向量B上的投影向量为()

4f4.T2—27

A.—bB.C.—bD.—b

3333

8.已知函数y=2sin(ox+e)(O>0,|d<T)的图象如图所示，则。夕=()

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知1£(0,兀)，sina+cosa=根，则()

A.若加=1,贝Ucosa=0

13

B若加=不，则coso=-g

C若根=!，则sina-cosa=叵

22

D.冽£(-后，后)

s-.八》皿“、sin4x+v3cos4x皿

10.已知函数/(%)=----------------，则

sin2x-y/3cos2x

A./(%)的最小正周期为万B./(%)的最大值为2

c./(X)的值域为(-2,2)D./(X)的图象关于(-吉,0)对称

11.已知VA3C是边长为2的等边三角形，若向量5满足通=2G，BC=b，贝I()

A.AC=2a+bB.a.b=—2C.(45+Z?)J_BCD.\a-b\=\

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.一个扇形的圆心角是2弧度，半径是4,则此扇形的面积是.

1

13.己知函数/(X)=cos(aw+0)3>O,O<0<71)的最小周期为T,若/■(7)=],x=7r3为/(%)的

零点，则。的最小值为.

->1—>—>3—>—>

14.如图，在VA3C中，AN=-NC,P是BN上一点，^AP^—AB+mAC,则实数机的值为

311

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.己知角a的终边过点R-3,4).

/、cos(cr+—)+sin(—+a),,..

(1)求'22的值;

sin(2兀-a)-cos(兀-a)

7T

(2)若角Q的终边按逆时针方向旋转一得到角夕，求cos，

4

16.己知向量少与万的夹角6=半，且同=3,同=2后.

⑴求忖+阳

(2)求彳与Z+B的夹角的余弦值.

17.设函数/(九)=sinx,xeR.

(1)已知。6[0,2兀)，函数/(x+。)是偶函数，求6的值;

(2)求函数y=[7(x+A)]2+[/(x+：)]2的值域.

18.如图，在菱形ABCD中，BE=-BC,CF=2FD.

2

(1)若丽=xZ5+y而，求3x+2y的值；

(2)若|通|=6,ZBAD=60°,求衣•丽.

19.已知函数/(x)Msinjcosj+gcos?：

(1)求/(%)最小正周期和单调递增区间；

(2)若g(x)=/(x)-加在[0,兀]上有两个零点，求机的取值范围.

广东省八校联盟2024~2025学年度第二学期教学质量监测(一)

高一数学

注意事项：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置.

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.

4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

.7万

sin——=

1.6

A.1B.--C.BD.

2222

【答案】B

【解析】

77r71711

【详解】试题分析：sin——二sin(»+—)=—sin—=——.故选B.

6662

考点：诱导公式

点评：本题用到诱导公式sin(;r+dz)=—sina.

2.已知tana=-2,则sin2«=()

,4244

A.----B.----C.-D.土一

5555

【答案】A

【解析】

【分析】应用二倍角公式变形后再转化为关于sin。,cos。的二次齐次式，化为tan。的式子，然后代入计

算.

.cc.2sindfcoscif2tana2x(-2)4

【详解】；；；

sin2a=2sinacosa=——2--------—2=——2-------=-----=——

'干畔/sincr+cos£Ztancr+l(-2)+15,

故选：A.

3.下列结论中正确的为()

A.两个有共同起点的单位向量，其终点必相同

B.向量瓦豆与向量丽的长度相等

a

C.对任意向量曰是一个单位向量

D.零向量没有方向

【答案】B

【解析】

【分析】利用单位向量概念可判断A选项的正误；利用向量模的定义可判断B选项的正误；取"=6可

判断C选项的正误；利用零向量的定义可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，两个单位向量的模相等，但这两个单位向量的方向不确定，故A错；

对于B选项，向量通与向量丽的模相等，B对;

a

对于c选项，若W=6，则曰无意义，c错；

忖

对于D选项，零向量的方向任意，D错.

故选：B.

k已知a」,兀|,sin]t/—乌|=一,则tan|cz+乌|=()

UJk6；5I3；

4343

——B.——C.-D.

3434

【答案】D

【解析】

【分析】根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式来求得正确答案.

3

所以

5

sina+-

I33

所以tan

4

cosa+一

I3

故选：D

5.如图，已知而=@，CB=b>AD=2DB，用万、方表示灰为（）

uumirir

B.DC=——a——b

23

UUUT2rlruuuir2r

C.DC=—a—bD.DC=—a—b

3333

【答案】D

【解析】

【分析】根据平面向量的线性运算，结合图象几何性质，可得答案.

—.2--

【详解】由AD=2DB，则AD=—AB,

3

uuuuruumor7uu"2/双1"2皿

CD=CA+AD=CA+-AB=CA+-[CB-CA]=-CA+-CB

33\!33

umnuurn1uir2111r

则DC=-CD=——CA——CB.

33

故选：D.

6.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦

图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若

阮=。,丽=瓦丽=3而，则赤=（）

A

3方+与

B.

2525

43-34-

C.-a+-bD.-a+-b

5555

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算列式，再借助方程思想求解作答.

__3__►__.___,3__►

【详解】因为诙=3前，所以屁k=一而，可=-而=——AE,

44

__3________________»__►3__►__►

所以而=彳+而=万一一旗...①，丽=—而=B+近...②,

44

由①+3'x②得：2-5B——F►=a+3-fb,^—BF►=1—6a+1—2-b.

41642525

故选：B

7.己知同=5,|4=3,且力=—12,则向量日在向量B上的投影向量为（）

4fA.T2—27

A.—bB.一~^bC.—bD.—b

3333

【答案】B

【解析】

【分析】根据投影向量的公式求解即可.

a-b-124

【详解】设，为向量£，B的夹角，因为cos8=W^=——=——，

\a\\b\5x35

•cos，）g=5x4b4

所以向量Z在向量5上的投影向量为（同x-=——br

J\b\33

故选：B.

8.已知函数y=25皿。%+夕）（。＞0,悯＜］）的图象如图所示，则。夕=（）

兀71c兀

A.——B.——C.——D.——

2346

【答案】A

【解析】

，再结合周期范围及点0）求。，即可求解;

分析】由点（0,—1）可求0

【详解】解：由图知，当％=0时，2sin0=—l,

又附所以9=

26

〜12兀7兀得〉史,

由一,—＜—0

2。187

二2兀7兀36.1836

由一＞—，得zn。＜—，所cri以一＜co＜—.

CD18777

w7兀Q.（7兀兀）rI7兀71

当x=—时，sin—co---=。，则一G）——=兀+2E（左GZ）,

18（186）186

解得刃=3+9％,所以外二3,

7

兀

所以=——

2

故选：A

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知a£（0,7i）,sincr+cosa=根，贝|（）

A.若根=1,贝（!cosa=0

13

B.若根=彳，则cosa=-y

,1s

C.若m=1,贝Usina-cosa=——

22

D加夜）

【答案】ABC

【解析】

加2_]

【分析】根据题意可得sinicosa=2一^对于A：可得sinacosa=0,即可得结果；对于B：分析可知

2

1123

sine,cose为方程九2一一x-----=0的根,即可得结果；对于C：sinacosof=——，结合

5258

(sina-cosaj=1一2$111。85。运算求解即可；对于D：举反例说明即可.

、、加2—1

【详解】因为sina+cosa=加，两边平方整理可得sinocos。=-----

2

且ae（0,7i）,则sina>0.

对于选项A：若加=1,贝Usinecos&=0,所以cosa=0,故A正确;

1112

对于选项B：若加二—,贝Usino+coso=—,sincrcoscr=----

5525

[12

可知sine,cosdz为方程尤之—冗----0的根,

525

,1124343

又因为x—x-----=0的根为一,—,所以sin。一,cos6z=—,故B正确;

5255555

13

对于选项C：若m=—,贝|sinacoso=——,

28

237

可得（sina-coso）=l-2sinacoso=1+—,

且sino>0,cosavO,可知sine—cosc>0,所以sina—cosa,故C正确;

2

兀

对于选项D：例如。=w，则加=sina+cosa=，故D错误;

故选：ABC.

s-rk▼业心”、sin4x+V3cos4x

10.已知函数/(x)=---------------,则nil

sin2X-A/3COS2X

A./(x)的最小正周期为乃B./(x)的最大值为2

7F

c./(X)的值域为(-2,2)D./(x)的图象关于(―吉,0)对称

【答案】ACD

【解析】

兀71

【分析】由已知有/(x)=—2sin(2x+—),cos(2x+—)彳0,

66

由三角函数的有界性可得/(x)的值域为(-2,2),由三角函数周期的求法可得/(x)的最小正周期为〃，由

7T

三角函数图像的对称中心的求法得/(X)的图象关于(-2,0)对称，得解.

71

2sin(4x+—)

Q

【详解】解：：/(x)=---------匚=—2sin(2x+—71),cos(2x+—TE)/0,

—2cos(2x+g)66

jr7C

又因为cos(2x+—)R0,所以sin(2xd—)^1,

66

•••/(x)的值域为(-2,2),

27r

由7=《-=万，则/(x)的最小正周期为万，

JTKTCTC

令2元H——=k7i,解得犬=-------(%£Z),

6212

JT

即/(X)的图象关于(-A，0)对称，

综上可得选项A,C,D正确，选项B错误，

故答案为ACD.

【点睛】本题考查三角恒等变换及三角函数图象的性质，考查运算求解能力.

11.已知VAfiC是边长为2的等边三角形，若向量4，5满足旃=2G，BC=b，贝。()

A.AC=2a+bB.a-b=-2C.(4S+Z?)J_BCD.\a-b\=\

【答案】AC

【解析】

【分析】根据向量加法的三角形法则判断A,根据数量积的定义判断B,根据数量积的运算律判断C、

D；

【详解】解：因为通=2]，BC=b>

对于A：AC=AB+BC=2a+b<故A正确；

对于B：a-b=-AB-BC=-\AB\-\BC\cosl20°^-x2x2x(--)=-l,故B错误；

2222

对于C：(4a+5)-BC=(4a+&)-/?=4a-/?+/?2=4x(-l)+22=0,则(4K+B)_LBC,故C正确：

对于D：[a-b^S1-2a-b+b2=l-2x(-l)+4=7*l,即|万一5快1,故D错误；

故选：AC

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.一个扇形的圆心角是2弧度，半径是4,则此扇形的面积是.

【答案】16

【解析】

【分析】利用公式直接计算即可.

11

【详解】扇形的面积S=—xcrx/9=—义2义429=16.

22

故答案为：16.

【点睛】本题考查扇形的面积，注意扇形的面积公式有两个：S=-lr=-ar2,其中厂为扇形的半径，

22

a为圆心角的弧度数，/为扇形的弧长，可根据题设条件合理选择一个，本题属于基础题.

1兀

13.已知函数/(x)=cos(azv+0)(®>O,O<0<7i)的最小周期为T,若/(T)=e，%=§为/(尤)的

零点，则。的最小值为.

3

【答案】一##1.5

2

【解析】

【分析】利用/(T)=；求出0，再由/(1)=0求出。的表达式，从而得出最小值.

,2兀2兀1

【详解】因为G>O,T=——,则/(T)=COS(G-----b°)=cos(2兀+夕)=cos°=—,

CDCD2

「八兀

又。<0<兀，:.(p=—f

•.•呜)=0,；.cos管+至=0,

71(0717兀八)、八73八〜、

———ku+—GZ)fco—9k+5(%£Z),

3

・・・@>0,・・・4=0时,，取得最小值一.

2

3

故答案为：一.

2

->1—>—>3—>—>

14.如图，在VABC中，AN=-NC,尸是BN上的一点，若AP=—A3+MAC,则实数加的值为

311

【答案】吃

【解析】

->1—>—>3—>—>

【分析】解法1：先根据AN=^NC得到公=4R，从而可得AP=^AB+4mAN,再根据三点共

线定理，即可得到机的值.

解法2：根据图形和向量的转化用同一组基底凝,公去表示小，根据图形可得：Xp=^B+BP^设

丽=几嬴，通过向量线性运算可得：AP=(1-A)AB+-AC,从而根据平面向量基本定理列方程

组，解方程组得加的值.

—>I—>

【详解】解法1：因AN=-NC,所以A"=4A。，

->3->->

又AP=—AB+mAC,

11

—>O—>—>

所以AP=—AB+4mAN

11

因为点R&N三点共线，

3

所以一+4m=1,

11

2

解得：m=—.

解法2：

因为白=蓝+建，设赢=入扇5

所以泰=矗+2嬴，

f1ff1f

因为AN=—NC,所以AN=—AC,

34

▽ff->

义BN=AN—AB，

f1♦♦

所以BN=—AC—AB,

4

所以AP=43+々；就—盛=(1-2)AB+^AC,

->3->->

又=—加AC,

11

1-2=—2=1

,11解得：<11

所以

A2

--mm-——

[411

所以加二打2.

2

故答案为：一

11

【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算、三点共线定理，平面向量基本定理的运用，属于基础题.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.己知角«的终边过点尸(—3,4).

/37c、./兀、

,、」、cos(crH----)+sm(—+。)乙…

(1)求、22的值；

sin(2兀一一cos(兀-a)

7T

(2)若角。的终边按逆时针方向旋转J得到角夕，求cos/

4

【答案】(1)----;

7

⑵产

10

【解析】

【分析】(1)利用三角函数定义求出tana三角函数值，再利用诱导公式及齐次式法计算得解.

(2)利用三角函数定义求出角a的正余弦，再利用和角的余弦公式计算即得.

【小问1详解】

4

由角a的终边过点P(—3,4),得tana=——,

3

3兀714

cos(a+——)+sin(一+。)-------1-1.

〜…?sincif+cosatana+131

所以-----------------——=-------------=----------=-p—=——.

sin(2兀-a)-cos(7i-a)-sina+cosa—tana+l7

3

【小问2详解】

.44-33

由角a的终边过点尸(T4),^na=^——=-,COsa=^——=--,

所以cos0=cos(£+—)=cosPcos--sinsin—=--x^--—x^-=—[也.

444525210

16.已知向量&与彼夹角e=,，且同=3,忖=20.

⑴求7B，卜+同；

（2）求a与£+B的夹角的余弦值.

【答案】（1）a-b=-6>|<3+^|=A/5；（2）

【解析】

【分析】（1）利用平面向量数量积的定义可计算得出的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出

口=的值；

（2）计算出7（£+很）的值，利用平面向量夹角